华东理工大学线性代数第2册
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华东理工大学
线性代数 作业簿（第二册）
学 院____________专 业____________班 级____________
学 号____________姓 名____________任课教师____________
1.4 矩阵的分块
1．设34003
2
0043
004500,00200041002
20
06
2A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,求（1）AB ；（2）4A . 解：
1
111
222244
4211424242526000700(1);00820020
6(2),(25)625,10101016162121416250
0006250000160006416A
B A B AB A B A B A A A I I A A A ⎡⎤⎢
⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎢
⎥⎣⎦
⎡⎤
===⎢⎥⎣
⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2．设00200
00304001000A ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1_____________________________________A -=. 解： 12111
12
001100041000210003
A A A A A A ---⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡
⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣
⎦
.
3. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则T
W =( ). (A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；
(C) 111221T
T T
W W W O ⎛⎫
⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 解：D .
4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤
⎢⎥=+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
5. 设n 阶矩阵A ,B 满足A B AB +=.
(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；
(2) 若已知130210002B -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即
I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；
且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即
B A BA +=，结合条件知BA AB =.
（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而
,10
00031021
010*******)(1
1
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-
=20
0131021
1
A .
6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1) 计算,,T T
i j i j e A Ae e Ae ，其
中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列； (2) 试证：对任一m 维列向量,0T x x A A O =⇔=；
(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，
0T x A y A O =⇔=. 解：（1）
[]T
T
T
1212,,,,,,,,i
i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a ⎡⎤===⎣⎦ (2)“⇐”显然；
“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]T 12,,...,0i i i im e A a a a ==，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；
“⇒”由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i
e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =.
7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量[1,1,,1]T α= ，(1) 计算A α； (2) 若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每
一行元素之和也都相等，且等于1
c
.
解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有
T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α
又设i α为A 的第i 列，则有
A α＝1121
12121n k k n k k n n n nk
k a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα (2) 由题设及(1)的结论可得：11
A c A c
-=⇒=αααα，即1A -的
每一行元素之和都等于1
c
.