基于分布函数的数学期望与方差的简洁求法

基于分布函数的数学期望与方差的简洁求法摘要:在仅已知随机变量的分布函数求解数学期望与方差时,通常利用分布函数求出分布列或概率密度,再根据定义求出数学期望与方差,过程较为复杂。为了简化计算,本文针对非负整值离散型随机变量与连续型随机变量,从理论上推导出了基于分布函数直接求解数学期望与二阶原点矩的计算公式,并可间接用于方差的求解。进一步通过实例验证了此方法在一定场合下的有效性与简洁性。

关键词:数学期望方差二阶原点矩分布函数

数学期望与方差是随机变量的两个重要数字特征,用定义求解数学期望与方差是最常用、最基本的方法,但定义中仅给出了用分布列与概率密度的求解方法[1～2]。有时在实际中往往已知随机变量的分布函数,虽然可以将分布函数转化为分布列或概率密度,但过程稍显复杂[3]。下面主要讨论不同情况下,如何利用分布函数直接求解数学期望与二阶原点矩的方法,同时可间接用于方差的求解。

1 非负整值随机变量的情形

非负整值随机变量是指只取非负整数值的离散型随机变量。利用分布函数求非负整值随机变量的期望与二阶原点矩,有如下结论。

对于形如例3形式的分布函数,利用定理2求解数学期望与方差的过程简单,计算方便。

3 结语

本文从理论上推导出了基于分布函数直接求解非负整值随机变量与连续型随机变量的数学期望与二阶原点矩的公式,同时可间接用于方差的求解。并通过实例验证了此公式在一定场合下的有效性与简洁性。

参考文献

[1] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答[M].北京:高等教育出版,2005.