互斥事件和独立事件

互斥事件和独立事件

浙江奉化奉港高级中学 罗永高 315500

互斥事件和独立事件是高中数学概率中的两个重要概念,学生在学习这两个概念时,常常会混淆两着关系而导致判断错误和计算错误，怎样才能有效消除混淆，更好地区别这两个概念，本文结合实例，来阐述这两个概念的关系.

问题 抛掷一颗骰子，记A 为事件“落地向上的数为奇数”，B 为事件“落地向上的数为偶数”，C 为事件“落地向上的数为3的倍数”，D 为事件“落地向上的数为大于3的数”，E 为事件“落地向上的数为7”。判断下列每对事件是否互斥事件？是否对立事件？是否相互独立事件？

（1）A 与B ，（2）A 与C ，（3）B 与C ，（4）A 与D ，（5）A 与.E

分析解答 }.7{},6,5,4{},6,3{},6,4,2{},5,3,1{=====E D C B A

,0)(,2

1)(,31)(,21)(,21)(=====

E P D P C P B P A P .0)(,61)(,61)(,61)(,0)(=====AE P AD P BC P AC P AB P 得结论如下

归纳方法

1 对于事件,,B A 若B A ,所含结果组成的集合彼此互不相交，则B A ,为互斥事件，其意义为事件A 与B 不可能同时发生.

思考 （1）若B A ,为互斥事件，问A 发生对事件B 发生的概率有影响吗？

（2）若)()()(B P A P B A P +=+，问B A ,为互斥事件吗？

（3）若,0)(=AB P 问B A ,为互斥事件吗？

2对于事件,,B A 若),()()(B P A P AB P =则B A ,为相互独立事件，其意义为事件(A 或B ）发生件B （或)A 发生的概率没有影响，从集合角度看，若.0)(,0)(≠≠B P A P 则事件B A ,所包含的结果一定相交.

3 若B A ,为相互独立事件，则A 与B ，A 与,B A 与B 均为相互独立事件，事件B A B A B A ⋅⋅⋅,,为互斥事件.

揭示关系

1 对于事件,,B A 若B A ,至少一个为不可能事件，则B A ,一定互斥，也一定相互独立.

2 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 至少一个为零，则B A ,一定相互独立，B A ,可能互斥

也可能不互斥.

3 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 都不为零，

（1） 若B A ,相互独立，则B A ,一定不互斥.

证明 假设B A ,互斥，则,0)(=AB P 得.0)(0)(==B P A P 或

与已知矛盾，所以B A ,一定不互斥.

（2） 若B A ,互斥，则B A ,一定不相互独立.

（3） 若B A ,不相互独立，则B A ,可能互斥也可能不互斥.

（4） 若B A ,不互斥，则B A ,可能独立也可能不独立.

思考 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 都不为零，问B A ,是否可能既互斥又相互独立.

应用举例

例1 某人忘记了电话号码地最后一个数字，因而他随意的拨号，求拨号不超过3次

就通电话的概率.

分析 用i A 表示事件“第i 次拨通”，.3,2,1=i

则 .)(,)(,101)(310

293210192!A A A P A A A P A P === 321,,A A A 互斥，.

103)()()(321=++=∴A P A P A P p 例2 某车间在三天内，每天生产10件产品，其中第一，第二，第三天分别生产了

1，2，2件次品。而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过，求三天全部通过检查的概率.

分析 用i A 表示事件“第i 天通过检查”， .3,2,1=i

则.3

1)(,31)(,53)(410483410482410491======C C A P C C A P C C A P 321,,A A A 相互独立，.)()()(1321==∴A P A P A P p

例3 某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，命中则停止射击；第一

次没命中，可以进行第二次射击，但目标为150m ，第二次没命中，还可以进行第三次射击，此时目标在200m 处，若第三次没命中则停止射击。已知射手在100，150，200m 处击中目标的概率分别

,4

1,31,21求这名射手在三次射击命中目标的概率.

分析 设第一，二，三次射击命中目标分别为事件.,,C B A

因此这个试验的结果包含了三个事件：C B A B A A ⋅⋅⋅,,是互斥事件，而事件A 与B ，C B A 与与又是互相独立，所以 =++=)()()()()()(C P B P A P B P A P A P p .

43 说明 上述三个例子看起来貌似相同，但其本质明显不同，因此分清互斥事件和相互独立事件，注意事件同时发生和有一个发生的区别，正确理解“至多”、“至少”、“只有”等关键词就显得非常重要.