4.1.2无理数指数幂及其运算性质
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件(人教版)
6 3
= 3
3
20
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 课堂小结
1、无理数指数幂 2、实数指数幂的运算性质
21
谢谢您的凝听
5
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 温故知新 知识点二 根式的性质 性质1 (n＞1，且n∈N*)：
( n a） n a
6
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 温故知新 知识点二 根式的性质 性质2 (n＞1，且n∈N*)：
当n是奇数时，n an a 当n是偶数时，n an a
7
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 温故知新
11
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 研探新知 知识点一 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的 实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
12
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 研探新知 知识点二 实数指数幂的运算性质（适用于有理数、无理数） (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
第四章 指数函数与对数函数
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 教学目标
1. 理解无理数指数幂的概念; 2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值； 3. 掌握实数指数幂的运算性质； 4. 能利用已知条件求值.
2
4.1.2无理数指数幂及其运算性质 重点难点
重点： ①掌握并运用实数指数幂的运算性质； ②能利用已知条件求值． 难点： 能利用已知条件求值．
知识点三 分数指数幂的意义
正分数指 数幂
m
规定：a n n am (a＞0， m， n∈ N *，且 n＞1)
4.1.2 无理数 指数幂及其运算性质
4．1.2 无理数 指数幂及其运算性质(一)教材梳理填空 (1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．(2)实数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b _r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (二)基本知能小试 1．判断正误(1)22是实数．( ) (2)2π＞2 3.( ) 2．化简⎝⎛⎭⎫123·4π为( ) A ．2π－3 B ．22π－3 C ．23＋πD ．22π＋33．化简(3＋2)3－2·(3－2)3－2.题型一 无理数指数幂的运算[学透用活][典例1] 已知2a,3b,5c .求103235+[对点练清]1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( )(1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05，… (2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,21.732 06，… A ．21.7 B ．21.8 C ．2 3D ．42．计算：3π×⎝⎛⎭⎫13π＋(2的值为( ) A ．17 B ．18 C ．6 D ．5题型二 指数幂的运算[学透用活][典例2] 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5； (2)(0.064)-13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] -43＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫14-12·()4ab －130.1－2(a 3b －3)12(a ＞0，b ＞0)．[对点练清]计算下列各式：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.题型三 条件求值[学透用活][典例3]已知a 12＋a-12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[对点练清] 1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.2．[变条件]已知a 12－a-12＝m，求本例中(1)(2)的值．3．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xa x＋a－x的值．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．化简[3(－5)2]34的结果为()A．5B． 5 C．－ 5 D．－52．计算(2a－3b -23)·(－3a－1b)÷(4a－4b-53)得()A．－32b2 B.32b2C．－32b73 D.32b733＝________.4．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________.s 二、创新应用题5．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·64-23； (2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b12.[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A ．164B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D ．⎝⎛⎭⎫122n －72．在算式2大＋2国＋2精＋2神＝29中，“大、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．若a ＞1，b ＞0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．24．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．1005．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.x x －16．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.7．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________. 8．若a ＝2，b ＞0，则a 2b ＋a 12a 12b＋(a 12－b-13)(a ＋a 12b-13＋b-23)的值为________．9．计算下列各式： (1)(－x 13y -13)(3x-12y 23)(－2x 16y 23)；(2)2x 14(－3x 14y -13)÷(－6x-32y-43)．10．已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求a 12－b12a 12＋b 12的值．B 级——高考水平高分练1．计算：12－1＋(3－22)0－⎝⎛⎭⎫94－0.5＋4(2－π)4＝________. 2．已知a 2m ＋n ＝2－2，a m －n ＝28(a ＞0，且a ≠1)，则a 4m＋n的值为________．3．(1)设a ＞0，化简：3a 4a －33a 4a 4；(2)若x 12＋x -12＝6，求x ＋x －1－1x 2＋x －2－2的值．4．根据已知条件求下列各式的值： (1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b.5．对于正整数a ，b ，c (a ≤b ≤c )和非零实数x ，y ，z ，ω，有a x ＝b y ＝c z ＝70ω，1ω＝1x ＋1y ＋1z ，求a ，b ，c 的值．。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
所以
1
x2
1
x2
6，
所以
x2 x2
1
1
4
2.
x2 x 2
ax )(a2x 1 ax ax
a 2x
)
a 2x
1 a 2x
1
2 1
1 1 2 2 1. 2 1
【素养·探】 在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学
运算,通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后 求值的数学运算习惯. 将本例中的式子改为 a3x a3x ,试求值.
ax ax
【解析】
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算,一 般指数中的根式可以保留.
【习练·破】
计算下列各式:
1( 3 )2 3.
3
2
(m
3
m
6
)12
.
【解析】(1)原式=
(
3
3
2 )2
3
(
3
2 )2
3
3.
(2)原式=
(m
3
6
)12
(m 6 )12
x的指数升高,再代入求值.
【解析】由已知可得:x+x-1=(
x
1 2
x -12 2) 2=(
)2-25 =3.
x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 7 6 1 .
35 2
【类题·通】 解决条件求值问题的步骤
【习练·破】
1.已知a+a-1=7(a>1),求
a
1 2
1
a2
所以 3 a b 1 .
高数数学必修一《4.1.2无理数指数幂及其运算性质》教学课件
1
2
−
1
2
1 a + a ；(2)a2＋a－2.
1
2
1
1
a−2)2＝a＋2＋a－1＝4＋2＝6，所以a2
1
−2
解析：(1)因为(a +
+ a ＝ 6.
(2)因为a＋a－1＝4，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16，所以a2＋a－2＝14.
的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值．
2+2+3−2 2 ＝25＝32.
2 3
＝29×32＝4 608.
学霸笔记：
无理数指数幂的运算方法
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变
形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含
有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
微点拨❶
r
a
(1)因为ar÷as＝ s ＝ar·a－s＝ar－s，所以对于a＞0，r，s∈R.有ar÷as＝
a
ar－s成立．
(2)化简指数幂的几个常用技巧
b －p
a p
①( ) ＝( ) (ab≠0)；
a
b
1 m
②a＝ am
n
m
1
m n
，a ＝(a ) (a使式子有意义)；
−
1
2
1
2
1
2
③1的代换，如1＝a－1·a，1＝a ·a (a使式子有意义)等；
(2)指数幂ax(a>0)中x可以是任意实数．( √ )
3 5 3 是一个确定的实数．( √ )
高中数学必修一课件：第四章无理数指数幂及其运算性质
课后巩固
1.212×3136等于( D ) A．8 C．17
B．9 D．72
2．化简[(－ 3)2]－12的值等于( C )
A．－
3 3
B. 3
3 C. 3
D．－ 3
3．(3－2x)－34中的x的取值范围是( C )
A．(－∞，＋∞)
B.－∞，32∪32，＋∞
C.－∞，32
D.32，＋∞
2
2)3－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
a÷46
ab·3
b3.
【解析】 (1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13 ＋1＝64175.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－3ac. (3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.
例2 化简： (1)(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)； (2)(x－2－y－2)÷(x2－y2)． 【解析】 (1)原式＝（a－（a－a1）－·a（－1a）＋2 a－1）＝aa－＋aa－－11＝aa22－ ＋11. (2)原式＝x12－y12÷(x2－y2)＝y2x－2y2x2÷(x2－y2)＝－x21y2＝－x－2y－2.
1．实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗？ 答：相同．
2．下列运算是否正确？ (1)(3 2) 2＝9；
πππ (2)a 3 ·a 6 ＝a 2 ； (3)(－2)2 2＝(－2)2·(－2) 2. 答：(1)(2)正确，(3)不正确．
2020学年新教材高中数学4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学案新人教A版必修第一册
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一 无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二 实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r÷a s＝ar －s成立．这是因为a r÷a s＝a r as ＝a r ·a －s ＝a r －s.教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bp (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m)m，anm＝(a 1m)n(a 使式子有意义)；1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α，β是实数，当a >0时，(a α)β＝(a β)α.( )(2)当a >0，b >0时，(a 12 ＋b －12 )(a 12 －b －12 )＝a －b －1.( ) (3)当a >0时，(a －a －1)2＝(a ＋a －1)2－2.( ) (4)[(3)－2] 12 ＝ 3.( ) (5)(3－2) 12 ×(3)－2＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)化简：(3－3)3＝________.(2)已知5α＝3,5β＝2，则 ①5α＋β＝________； ②5α－β＝________；③5－3α＝________；④5α2＝________.答案 (1)127 (2)①6 ②32 ③127④3题型一 利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：1.3a ·6－a 等于( ) A.－－a B ．－a C.－a D.a答案 A解析 3a ·6－a ＝a 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 12 ＝－－a .2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －14的值是( ) A.23 B.32 C.481 D ．－814 答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－14 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝32.答案 A解析 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53 ＝－32a 0b 2＝－32b 2.4.化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.答案3－ 2解析 (3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－2.。
课件1：4.1.1 n次方根与分数指数幂~ 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
(1)
a
a(a>0)；(2)
3
1 (x>0)；(3) 4
x x
5
22
b2 －3
－32
(b>0)．
1
3
31
3
解 (1)原式＝ a·a2 ＝ a2 ＝(a2 )2 ＝a4 .
(2)原式＝
3
1＝
2
3
x·(x5 )2
1
4
x·x5
＝
3
1
9
x5
＝ 1 x
9 5
13
＝
1
3
x5
3
＝x－5
.
(3)原式＝ b ＝b ＝b .
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数 指数幂的运算性质运算． (3)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写 出，然后再用性质进行化简．
[跟踪训练 2] 将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
课程标准
核心素养
m
通过对有理数指数幂 an (a>0，且 a≠1；m，n 为整数，且 n>0)、实数 通过对有理数指数幂、实数指数幂 指数幂 ax(a>0，且 a≠1；x∈R)含义 的学习，提升“数学抽象”、“逻辑 的认识，了解指数幂的运算过程， 推理”、“数学运算”的核心素养.
[微体验] 1．下列运算结果中正确的是( ) A．a2·a3＝a6 C．(a2)3＝(－a3)2
高中数学4-1指数4-1-2无理数指数幂及其运算性质课时作业新人教A版必修第一册
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质必备知识基础练1．计算：2a 2b 3×3a 3b ＝( ) A ．5a 6b 3B ．6a 6b 3C ．6a 5b 4D ．5a 5b 42．计算a 3a ·3a 2的结果为( )A ．a 32B ．a 116C ．a 56 D ．a 653．下列运算正确的是( ) A ．a 3＋a 4＝a 7B ．a 4·a 2＝a 6C ．a 23÷a －23＝a 23 D ．(a 2·b 12)3＝a 5b 724．对于a >0，b >0，下列等式成立的是( )A ．a 23·a 32＝a B ．(a 12a 13)6＝a 3a 2C ．(a 3)2＝a 9D ．a －12·a 12＝05．若102x＝25，则10－x等于( ) A ．15B ．－15 C ．150 D ．16256．(多选)下列说法中错误的是( ) A ．根式都可以用分数指数幂来表示B ．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法C ．无理数指数幂有的不是实数D ．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂 7．已知x >0，化简()x3－23＋2＝________．8．[2022·山东滨州高一期末](278)23－（－14）2＋(19)0＝________．关键能力综合练1．化简(a 3b 12)12÷(a 12b 14)(a >0，b >0)结果为( )A ．aB ．bC ．a bD ．b a2．若2x ＝3，2y ＝4，则2x ＋y的值为( )A ．7B ．10C ．12D ．343．计算(4a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2 B ．32b 2C ．3b 2D ．－3b 24．若0<a <1，b >0，且a b－a －b＝－2，则a b ＋a －b的值为( ) A ．2 2 B ．±2 2 C ．－2 2 D ． 6 5．已知a ＋1a＝3，则a 2＋a －2的值是( )A ．47B ．45C ．50D ．356．(多选)以下化简结果正确的是(字母均为正数)( ) A ．a 52·a 13·a 136＝1B ．(a 6·b －9)－23＝a －4b 6C ．－15a 12b 13c －3425a －12b 13c54＝－35acD ．(－2x 14y －13)(3x －12y 23)(－4x 14y 23)＝24y7．[2022·河北邯郸高一期末]计算：432－(－94)0＋6（3－π）6＋[(－3)6]12＝________．8．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 9．计算下列各式(式中字母均是正数)(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)；(2)(3a 2－a 3)÷4a 2.10．已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a －a －1.核心素养升级练 1．已知3a －1＋3a －2＋3a －3＝117，则(a ＋1)(a ＋2)(a ＋3)＝( )A ．120B ．210C ．336D ．5042．化简：(1＋1232)(1＋1216)(1＋128)(1＋124)(1＋122)(1＋12)＝________．3．已知a >0，且a 2x＝2＋1，求下列代数式的值． (1)(a x＋a －x)(a x －a －x)；(2)a x ＋a －xa x －a－x ；(3)a 3x ＋a －3x a x ＋a－x .4．1.2 无理数指数幂及其运算性质必备知识基础练1．答案：C解析：依题意，原式＝2×3×a 2＋3×b3＋1＝6a 5b 4.2．答案：B 解析：a 3a ·3a 2＝a 3a 12·a23＝a 3a76＝a3－76＝a 116.3．答案：B解析：A 选项a 3＋a 4不能再进行运算；B 选项a 4·a 2＝a 6，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故正确；C 选项a 23÷a －23，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故应为a 23÷a －23＝a 43；D 选项(a 2·b 12)3，积的幂等于幂的积，故应为(a 2·b 12)3＝a 6b 32.4．答案：B解析：对于选项A ，a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136，选项A 错误；对于选项B ，(a 12b 13)6＝a 12×6b 13×6＝a 3b 2,选项B 正确；对于选项C ，(a 3)2＝a3×2＝a 6，选项C 错误；对于选项D ，a －12·a 12＝a 0＝1，选项D 错误．5．答案：A解析：由102x ＝25得，(10x )2＝25，则10x ＝5，∴10－x＝15.6．答案：CD 解析：A.由na m＝a mn，1na m＝a －mn ，(n ，m ∈N *)，知根式都可以用分数指数幂来表示，故正确；B ．由na m＝a mn ，1na m＝a －mn ，(n ，m ∈N *)，知分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法，故正确；C ．实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，故错误；D ．由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，故错误． 7．答案：x 7解析：因为x >0，所以由幂的运算法则得(x 3－2)3＋2＝x(3－2)(3＋2)＝x9－2＝x 7.8．答案：3关键能力综合练1．答案：A解析：根据实数指数幂的运算公式，可得：(a 3b 12)12÷(a 12b 14)＝a 32b 14÷(a 12b 14)＝a 32－12b 14－14＝a .2．答案：C解析：因为2x ＝3，2y ＝4，所以2x ＋y＝2x ·2y＝3×4＝12.3．答案：D 解析：原式＝－3a －3－1－(－4)b－23＋1－(－53)＝－3b 2.4．答案：A解析：由题设，(a b －a －b )2＝a 2b －2＋a －2b＝4，即a 2b ＋a－2b＝6，又(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋2＋a －2b＝8，且a b＋a －b>0，所以a b＋a －b＝2 2. 5．答案：A解析：∵a ＋1a＝3，∴(a ＋1a)2＝a ＋2＋a －1＝9，即a ＋a －1＝7，∴(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝49， ∴a 2＋a －2＝47. 6．答案：BD解析：A 选项：a 52·a 13·a 136＝a 52＋13＋136＝a 5≠1，A 选项错误；B 选项：(a 6·b －9)－23＝a6×(－23)b(－9)×(－23)＝a －4b 6，B 选项正确；C 选项：－15a 12b 13c －3425a －12b 13c54＝－35a 12－(－12)b 13－13c －34－54＝－35ac －2≠－35ac ，C 选项错误； D 选项：(－2x 14y －13)(3x －12y 23)(－4x 14y 23)＝24x 14－12＋14y－13＋23＋23＝24y ，D 选项正确．7．答案：31＋π解析：432－(－94)0＋6（3－π）6＋[(－3)6]12＝8－1＋π－3＋27＝31＋π.8．答案：14 215解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.9．解析：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]·a 23＋12－16·b 12＋13－56＝4ab 0＝4a .(2)原式＝(a 23－a 32)÷a 12＝a 23÷a 12－a 32÷a 12＝a 23－12－a 32－12＝a 16－a ＝6a －a .10．解析：(1)(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.(2)(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47； (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45，所以a －a －1＝±3 5.核心素养升级练1．答案：C 解析：3a －1＋3a －2＋3a －3＝(9＋3＋1)×3a －3＝117，得3a －3＝9，解得：a ＝5，所以(a ＋1)(a＋2)(a ＋3)＝336.2．答案：2－1263解析：原式＝(1＋1232)(1＋1216)(1＋128)(1＋124)(1＋122)(1＋12)×(1－12)×2＝(1＋1232)(1＋1216)(1＋128)(1＋124)(1＋122)×(1－122)×2 ＝(1＋1232)(1＋1216)(1＋128)(1＋124)×(1－124)×2 ＝(1＋1232)(1＋1216)(1＋128)×(1－128)×2 ＝(1＋1232)(1＋1216)×(1－1216)×2 ＝(1＋1232)×(1－1232)×2 ＝(1－1264)×2 ＝2－1263.3．解析：(1)因为a >0，且a 2x＝2＋1， 所以a－2x＝12＋1＝2－1（2＋1）（2－1）＝2－1， 所以(a x＋a －x)(a x－a －x)＝a 2x－a－2x＝2＋1－(2－1)＝2.(2)a x ＋a －x a x －a －x ＝（a x ＋a －x ）2（a x －a －x ）（a x ＋a －x）＝a 2x ＋a －2x ＋22＝2＋1＋（2－1）＋22＝2＋1. (3)a 3x ＋a －3x a x ＋a －x ＝（a x ＋a －x ）（a 2x －a x ·a －x ＋a －2x ）a x ＋a －x＝a 2x －a x ·a －x ＋a －2x ＝2＋1－1＋(2－1)＝22－1.。
课件2：4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
m
an＝
n
am中，
为什么必须规定 a>0?
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，
即n
m
am＝an＝0，无研究价值．
②若
m
a<0，an＝
n
3
am不一定成立，如(－2)2＝2
(－2)3无意义，
故为了避免上述情况规定了 a>0.
2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
2．已知
a＋
1 的值，如何求 a
a＋1a的值？反之呢？
提示：设 a＋ 1a＝m，则两边平方得 a＋1a＝m2－2；
反之若设 a＋a1＝n，则 n＝m2－2，∴m＝ n＋2.
即
a＋
1＝ a
n＋2.
例 3 已知 a12＋a－12＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解：(1)将 a12＋a－12＝4 两边平方， 得 a＋a－1＋2＝16，故 a＋a－1＝14. (2)将 a＋a－1＝14 两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝196，故 a2＋a－2＝194.
合作探究
类型 1 根式与分数指数幂的互化
例 1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) a a(a>0)；(2) 1 ；
3
x5 x22
(3)4
b－23－23(b>0)．
解Байду номын сангаас(1)原式＝
a·a12＝
a ＝ a ＝a . 3 2
3212
无理数指数幂及其运算性质-【新教材】人教A版高中数学必修
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例 4 已知 pa3＝qb3＝rc3，且1a＋1b＋1c＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)13
1
1
1
＝p3 ＋q3 ＋r3 .
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去 构建能用到题干中已知值的式子．
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
内容索引
活动二 实数指数幂的运算性质
思考3►►► 整数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂吗？
【解析】 整数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂． 实数指数幂的运算性质： (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
内容索引
思考 2►►► 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明它也是 一个确定的实数吗？ 【解析】无理数指数幂 2 3的含义：一串以 3的不足近似值为指数、 以 2 为底数的有理数指数幂和另一串同样以 3的过剩近似值为指数、以 2 为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故 2 3是一个确定的实数．
A.
－1a＝－
a a
B. π－e2＝π－e
C. (m13n－14)24＝mn68
D. (x ) ＝x
【解析】 对于 A，因为－1a>0，所以 a<0，则 －1a＝－ －a a，故 A
错误；对于 B，因为 π－e>0，所以 π－e2＝π－e，故 B 正确；对于 C，
(m13n－14)24＝(m13)24(n－13)24＝mn68，故 C 正确；对于 D，(x3－2 故 D 正确．故选 BCD.
内容索引
(1) 求值：12531＋295－21－287
2
3
－164；
【解析】 12513＋295－21－287
2
3
－164
＝5＋35－1－233
2
－23
＝5＋53－23－8＝－2.
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学设计一、教学目标1．理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质．2．掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．二、教学重难点教学重点无理数指数幂的概念及其运算性质教学难点无理数指数幂的运算三、教学过程（一）新课导入在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.（二）探索新知探究一:无理数指数幂的运算性质学习课本探究部分，明白无理数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的概念：一般地，无理数指数幂a α（a >0，α为无理数）是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂a α（α>0）中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R（三）课堂练习1.化简1327125-⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是( ) A.35 B.53 C.3 D.5 答案：B 解析：11313327335125553---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选B. 2.若ab =a b +=( )A.1B.5C.-1D.2π5- 答案：A解析：3π|2π|3ππ21a b +==-+-=-+-=，故选A.3.若35n m b -=（m , *n ∈N ），则b =( ) A.35nm - B.35n m- C.35nm D.35mn答案：B解析：35n m b -=，()()131335n n m n b---∴=，即35m n b -=.故选B.4.化简： （1）1112121336325346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫⨯-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______； （2=______.答案：（1）1654b - （2）1解析：（1）原式11111113113113632633262255532644a b a b a b a b b ------+--⎛⎫=⨯-÷=-=- ⎪⎝⎭. （20a >，所以原式1a a ===÷=.四、小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R五、板书设计4.1.2无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R。
学案4：4.1.1 n次方根与分数指数幂~4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1.1n次方根与分数指数幂~ 4.1.2无理数指数幂及其运算性质最新课程标准：通过对有理数指数幂a mn(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂a x(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．新知初探知识点一n次方根及根式的概念1．a的n次方根的定义如果，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R.(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈．3．根式式子na叫做根式，这里n叫做，a叫做．状元随笔根式的概念中要求n>1，且n∈N*.知识点二根式的性质(1)(na)n＝(n∈R＋，且n>1)；(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a(n为奇数，且n>1)，|a|(n为偶数，且n>1).状元随笔(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而na n中a∈R.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1．分数指数幂的意义2.有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝ ；(a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝ ；(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝ .(a >0，b >0，r ∈Q ). 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个 ．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． 教材解难1．可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把3a 2，b ，4c 5等写成下列形式： 3a 2＝a 23(a >0)，b ＝b 12(b >0)，4c 5＝c 54(c >0)．2．无理数指数幂23的含义：就是一串以3的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以3的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故23是一个确定的实数．基础自测1.(π－4)2＋π等于( ) A ．4 B ．2π－4 C ．2π－4或4D ．4－2π2．b 4＝3(b >0)，则b 等于( ) A ．34 B ．143 C ．43D ．353．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C ．(3－2)3＝－2D.3(－2)3＝24.⎝⎛⎭⎫8162514-的值是________．课堂探究题型一利用根式的性质化简求值例1(1)下列各式正确的是()A.8a8＝a B．a0＝1C. 4(－4)4＝－4 D.5(－5)5＝－5(2)计算下列各式：①5(－a)5＝________.②6(3－π)6＝________.③614－3338－30.125＝________.方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1求下列各式的值：(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)x2－2xy＋y2＋7(y－x)7.题型二根式与分数指数幂的互化例2(1)将分数指数幂a34-(a>0)化为根式为________．(2)化简：(a2·5a3)÷(a·10a9)＝________.(用分数指数幂表示)．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·3a2.②a－4b23ab2(a>0，b>0)．方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．跟踪训练2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.－x＝(－x) 12(x>0)B.6y2＝y13(y<0)C.x34-＝4⎝⎛⎭⎫1x3(x>0)D.x13-＝－3x(x≠0)题型三分数指数幂的运算与化简例3计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)（2a 23b12）（－6a12b13）÷（－3a16b56）；(2)（m14n3-8）8；(3)(3a 2－a 3)÷4a 2.状元随笔 ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a 0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减． 教材反思利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练3 计算：(1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)⎝⎛⎭⎫1412-·(4ab －1)30.1－2·(a 3b －3)12(a >0，b >0)．状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算． 课时训练 一、选择题1．将3－22化为分数指数幂，其形式是( )A.212B.－212C.212- D.－212-2．若a14(a －2)0有意义，则a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ＝2 C.a ≠2D.a ≥0且a ≠23．化简－x 3x 的结果是( )A.－－xB.xC.－xD.－x4．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2二、填空题5.614－3338＋30.125的值为________． 6．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝____________________.7．若 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2019)y ＝________.三、解答题8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)： (1)a 2a ； (2)3a 2·a 3； (3)(3a )2·ab 3； (4)a 26a 5 .9．计算下列各式：(1)0.06413-－⎝⎛⎭⎫－570＋[(－2)3]43-＋16－0.75； (2)⎝⎛⎭⎫94 12－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫－27823-＋(－1.5)－2； (3)⎝⎛⎭⎫－338 23-＋0.00212-－10(5－2)－1＋(5－2)0.尖子生题库10．已知a12＋a12-＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.参考答案新知初探知识点一n次方根及根式的概念1．x n＝a2．(2) [0，＋∞)3．根指数被开方数知识点二 根式的性质 (1)a知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1．0 无意义 2. (1)a r ＋s (2) a rs (3) a r b r 3．确定的实数 基础自测 1.【答案】A【解析】(π－4)2＋π＝4－π＋π＝4.故选A. 2．【答案】B【解析】因为b 4＝3(b >0)，∴b ＝43＝314.3．【答案】C【解析】由于(－3)2＝3，4a 4＝|a |，3(－2)3＝－2，故选项A ，B ，D 错误，故选C. 4.【答案】53【解析】⎝⎛⎭⎫8162514-＝⎝⎛⎭⎫6258114＝ 462581＝45434＝ 4⎝⎛⎭⎫534＝53. 课堂探究题型一 利用根式的性质化简求值例1 【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③12【解析】(1)由于na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，则选项A ，C 排除，D 正确，B 需要加条件a ≠0.(2)① 5(－a )5＝－a .②6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. ③614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.首先确定式子na n 中n 的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果． 跟踪训练1 解：(1)3(－2)3＝－2； (2)4(－3)2＝ 432＝ 3； (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3；(4)原式＝(x －y )2＋y －x ＝|x －y |＋y －x .当x ≥y 时，原式＝x －y ＋y －x ＝0； 当x <y 时，原式＝y －x ＋y －x ＝2(y －x )．所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2(y －x )，x <y .由根式被开方数正负讨论x≥y ，x<y 两种情况． 题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 (1)【答案】14a 3【解析】a34-＝1a 34＝14a 3. (2)【答案】a 65【解析】(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a13755-＝a 65.(3)解：①a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a23+3＝a 113.②a －4b 23ab2a116-b43.跟踪训练2 【答案】C【解析】－x ＝－x12(x >0)；6y 2＝(y 2)16＝－y13(y <0)；x 34-＝(x －3)14＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)；x 13-＝⎝⎛⎭⎫1x 13＝31x(x ≠0)． 题型三 分数指数幂的运算与化简例3 解：(1)(2a23b12)(－6a 12b13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 211+326-b115236+-＝4ab 0 ＝4a ；(2) (m14n3-8)8＝⎝⎛⎭⎫m 148⎝⎛⎭⎫n －388 ＝m 2n －3 ＝m 2n3； (3)(3a 2－a 3)÷4a 2＝（a23－a32）÷a12＝a 23÷a 12－a 32÷a12＝a2132-－a3122-＝a 16－a ＝6a －a .跟踪训练3 解：(1)原式＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫27823－10＋932＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋27＝29－10＝19. (2)原式＝412·0.12·23·a 32·b －32a 32·b －32＝2×1100×8＝425.课时训练一、选择题 1．【答案】B【解析】 3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.2．【答案】D【解析】要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a －2≠0，∴a ≥0且a ≠2. 3．【答案】A【解析】依题意知x <0，所以－x 3x ＝－－x 3x 2＝－－x . 4．【答案】C【解析】(36a 9)4·(63a 9)4＝(6a 9)43·(3a 9)46＝(a96)43·(a93)23＝a9463⨯·a9233⨯＝a 4.二、填空题 5. 【答案】32【解析】原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123 ＝52－32＋12＝32. 6．【答案】8【解析】由根与系数关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2) 32-＝23＝8. 7．【答案】－1【解析】∵x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0， ∴(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0， ∴x ＝－1，y ＝－3.∴(x 2019)y ＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1. 三、解答题8．解：(1)原式＝a 2a12＝a12+2＝a52.(2)原式＝a 23·a 32＝a2332+＝a 136. (3)原式＝(a13)2·(ab 3)12＝a 23·a 12b 32＝a 2132+b 32＝a 76b 32.(4)原式＝a 2·a5-6＝a52-6＝a76.9．解：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32212－1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－32323-＋⎝⎛⎭⎫－32－2＝32－1－⎝⎛⎭⎫－32－2＋⎝⎛⎭⎫－232＝12. (3)原式＝(－1)23-·⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150012-－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫27823-＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 尖子生题库10．解：(1)将a12＋a 12-＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5， 则a ＋a －1＝3.(2)由a ＋a －1＝3两边平方， 得a 2＋a －2＋2＝9， 则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方， 得y 2＝a 4＋a －4－2 ＝(a 2＋a －2)2－4 ＝72－4＝45，所以y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.。
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
高中数学《指数——无理数指数幂及其运算性质》(第二课时)教学设计
指数（第二课时）4.1.2 无理数指数幂及其运算性质一、内容与内容解析1.内容无理数指数幂的概念与运算性质．2.内容解析对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始．假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中．可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…逐步逼近的结果．由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）．逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是．无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。
教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。
也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应．在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+∞）内定义对数函数．这样，我们把指数幂（a＞0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质学习目标 1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 导语伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了．可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m 究竟是什么数．世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数．给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称为“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”． 一、无理数指数幂的运算问题 阅读课本108页的探究，你发现了什么？提示 可以发现，当指数x 的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应． 知识梳理1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α(a >0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． (4)拓展：a r as ＝a r －s(a >0，r ，s ∈R )．注意点：特别强调底数a >0，如果a <0，比如()21-，无法判断其值是1还是－1.例1 计算下列各式的值： (1)2333383(2)663a a aπ7π4π-(a >0)；(3)3333⎛π.解 (1)原式＝⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭＝29×32＝4 608.(2)原式＝74663aπππ+-＝a 0＝1.(3)原式＝⎛⎛= ⎪ ⎪⎝⎭＝π.反思感悟 关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 跟踪训练1 计算下列各式的值(式中字母均是正数)：(1)(；(2)233a a aππ-π.解 (1)原式＝⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭＝26·m 3＝64m 3.(2)原式＝233aππ+-π＝a 0＝1.二、实际问题中的指数运算例2 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 答案 4解析 由题意，得第n 次操作后溶液的浓度为⎝⎛⎭⎫1－12n ，令⎝⎛⎭⎫12n <110，验证可得n ≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 反思感悟 指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．跟踪训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个． 答案 64解析 经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)． 三、实数指数幂的综合运用 例3 (1)已知1122x x-+＝5，则x 2＋x －2＝________.答案 7 解析 将1122x x -+＝5，两边平方得x ＋x －1＋2＝5，则x ＋x －1＝3，两边再平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. (2)已知x ＋x －1＝7，求值：①1122x x -+；②x 2－x －2.解 ①设m ＝1122x x-+，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2＝7＋2＝9，因为m >0，所以m ＝3，即1122x x -+＝3.②设n ＝1122x x--，两边平方得n 2＝x ＋x －1－2＝7－2＝5，因为n ∈R ，所以n ＝±5， 即1122x x--＝±5.所以x －x －1＝11112222x x x x --⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝±35，x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±21 5. 延伸探究 本例(2)的条件不变，求x 3＋x－3的值．解 由x ＋x －1＝7平方可得x 2＋x －2＝47， 所以x 3＋x －3＝(x ＋x －1)(x 2＋x －2－1)＝7×46＝322. 反思感悟 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x 2＋x －2＝(x ±x －1)2 ∓2，x ＋x －1＝211222x x -⎛⎫± ⎪⎝⎭，2111122442x xx x --⎛⎫+=± ⎪⎝⎭.跟踪训练3 已知a m ＝4，a n ＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B ．6 C.32 D ．2 答案 A1．知识清单：(1)无理数指数幂的运算． (2)实际问题中的指数运算． (3)实数指数幂的综合运用．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．计算()333-π的结果是( )A ．π B.π C ．－π D.1π答案 D2．将222化为分数指数幂为( ) A ．322 B ．342 C ．742 D ．782答案 D 3．已知2233x x -+＝5(x >0)，那么1133x x-+等于( )A.7 B ．－7 C ．±7 D ．7答案 A解析 2112233332x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭＝5＋2＝7.又x >0，故1133x x-+＝7.4．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________. 答案 94解析 ∵10x＝3，∴102x ＝9，∴102x －y ＝102x 10y ＝94.课时对点练1．已知集合A ＝{0,1,2,4}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈A }，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1,2}B ．{0,1,4}C ．{2,4}D ．{1,2,4}答案 D解析 由题意得B ＝{1,2,4,16}，又A ＝{0,1,2,4}， ∴A ∩B ＝{1,2,4}．2．对于a >0，b >0，以下运算正确的是( ) A ．a r ·a s ＝a rs B ．(a r )s ＝a rs C.⎝⎛⎭⎫a b r＝a r b rD ．a r b s ＝(ab )r ＋s答案 B解析 根据实数指数幂的运算性质进行判断． 3．下列运算中正确的是( )A ．aa =B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －2)0＝1D ．(5a a -=-答案 D解析 aa =A 错误；(－a 2)3＝－a 2×3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 错误；当a ＝4时，(a －2)0无意义，故C 错误；(5a a -=-故D 正确．4．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为( )A ．2.56厘米B ．5.12厘米C ．10.24厘米D ．20.48厘米 答案 C解析 0.01×210＝10.24(厘米)．5．若3a ·9b ＝13，则下列等式正确的是( )A ．a ＋b ＝－1B ．a ＋b ＝1C ．a ＋2b ＝－1D ．a ＋2b ＝1答案 C解析 ∵3a ·9b ＝3a ·32b ＝3a ＋2b＝13＝3－1， ∴a ＋2b ＝－1.6．(多选)已知a 2＋a －2＝3，则a ＋a －1等于( )A. 5 B ．－ 5 C ．1 D ．－1 答案 AB解析 (a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝5， ∴a ＋a －1＝±5.7．计算：138＋⎝⎛⎭⎫12－2＋()02232716-+＝________.答案 7解析 原式＝2＋4＋1＝7.8．化简()2232228⋅＝________.答案 1解析 原式＝()22222222233322221228⋅===.9．已知x ＋x －1＝3(x >0)，求3322x x-+的值．解 因为x ＋x －1＝3，所以x 2＋x －2＝7，所以23322x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝x 3＋x －3＋2＝(x ＋x －1)(x 2＋x －2－1)＋2＝3×6＋2＝20，所以3322x x -+＝2 5. 10．已知a 2x ＝3，求a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值． 解 原式＝(a x ＋a －x )(a 2x －a x a －x ＋a－2x)a x ＋a －x ＝a 2x －1＋a －2x ＝3－1＋13＝73.11．在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“国”字所对应的数字为3. 12．方程213x -＝19的解是( ) A ．－ 2 B ．－22 C. 2 D.22答案 B解析 ∵213x -＝19，∴213x -＝3－2，∴2x －1＝－2，∴x ＝－22.∴方程213x -＝19的解是x ＝－22. 13．已知2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 由题意得m >0， ∵2a ＝m ,5b ＝m ， ∴2＝1am ，5＝1bm ， ∵2×5＝1am ·1bm ＝11a bm+，∴m 2＝10，∴m ＝10. 14．已知2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________.答案 27解析 由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3， 所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9， 所以2y ＝x －9.② 联立①②， 解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.15．22k －1－22k ＋1＋22k 等于( ) A ．22k B ．22k －1 C ．－22k －1 D ．－22k ＋1答案 C解析 原式＝22k －1－22×22k －1＋2×22k －1＝(1－4＋2)×22k －1＝－22k －1. 16．已知方程x 2－8x ＋4＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求x －21－x －22的值； (2)求112212x x ---的值．解 由题意知x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝4.(1)∵x 1<x 2，∴x －21－x －22＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)(x 1x 2)2＝x 2－x 12＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 22＝64－162＝2 3.(2)()1111222122121212x xxxx x ----=＝x 1＋x 2－2x 1x 2x 1x 2＝8－2×42＝1.。
无理数指数幂及其运算性质
【解题策略】 指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计 算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】
从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用
水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液
α 5 6 7 8 … 14 15 … 27
28
29
2α
32
64
128
256
…
163 84
327 68
…
13421 7728
26843 5356
53687 0912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的
对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的
【解析】由x>1，α<0，得xα<x-α， 由xα+x-α=2 5，得x2α+2+x-2α=20， 所以x2α+x-2α=18， 所以xα-x-α= （x x）2 ＝ x2 2 x2＝ 18 2 =-4. 答案：-4
【变式探究】
将本例的条件变为“a+1 =5”，试求a2+a-2.
a
【解析】根据题意，a+ 1 =5，则 (a 1)2 =a2+ 1 +2=25，
=24m2=16m2.
答案：16m2
5.计算 9 2 3 2 6 2 =_______.
【解析】原式=3-
111
22 3 6
=3-2=1.
答案：1
C.20 736亩
D.17 280亩
【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10 000×(1+20%)x-1，