高中数学全套讲义 选修1-1 椭圆初步提高 学生版

目录

考点一：椭圆的定义及其应用 (2)

题型一：利用定义判断轨迹 (2)

考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (2)

题型二：椭圆的标准方程相应问题 (3)

题型三：椭圆简单性质问题 (4)

课后综合巩固练习 (4)

考点一：椭圆的定义及其应用

椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，

的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c >

题型一：利用定义判断轨迹

1．（2017秋•大庆校级期中）若二次函数2(0)y ax bx c ac =++≠的图象的顶点坐标为1

(,)24b a a

-

-，与x 轴的交点P ，Q 位于y 轴的两侧，以线段PQ 为直径的圆与y 轴交于(0,4)M -，则点(,)b c 所在曲线为( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．线段

2．（2016春•雅安期末）已知A 点的坐标为1(2-，0)，B 是圆221

:()42

F x y -+=上一动点，

线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为( ) A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线的一支

D ．抛物线

考点二：椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程：

①22

221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，

，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22

221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，

，2(0)F c ，，且222c a b =-． 椭圆的几何性质

1．范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；

2．对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；

3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，

，，； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．

5．椭圆的离心率：c

e a

=

，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．

题型二：椭圆的标准方程相应问题

1．（2017•崇明县一模）如图，已知椭圆C 的中心为原点O

，(F -0)为C 的左焦点，

P 为C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为( )

A ．22

1255x y +=

B ．22

13010x y +=

C ．22

13616

x y +=

D ．22

14525

x y +=

2．（2019•河南模拟）设1F ，2F 是椭圆22

:13x y C m +=的两个焦点，若C 上存在点P 满足

12120F PF ∠=︒，则m 的取值范围是( )

A ．(0，1][12，)+∞

B ．3

(0,][23,)2+∞

C ．3

(0,][23,)4

+∞

D ．3

(0,][12,)4

+∞

3．（2018•黑龙江模拟）椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2:4E y x =的焦点F

重合，点P 是椭圆C 和抛物线E 的一个公共点，点(0,1)Q 满足QF QP ⊥，则C 的离心率

为 ．

4．（2016秋•常州期末）已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．

题型三：椭圆简单性质问题

1．（2019春•中原区校级月考）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作

圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )

A ．

1

2

B C D 2．（2019•桃城区校级一模）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，

且123F PF π

∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离

心率为( ) A ．

45

B ．

23

C ．

12

D ．

25

3．（2018•衡阳三模）椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆上一动

点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6则椭圆的标准方程为

( )

A ．22

143x y +=

B ．22

132x y +=

C ．2

212x y +=

D ．2

214

x y +=

4．（2019春•汇川区校级月考）已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点．以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A ．若1AF 与2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于( )

A 1

B C 1 D 课后综合巩固练习

1．（2019春•汕尾期末）已知椭圆22

:186x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆C

上不同于A 、B 两点的动点，若直线PA 斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB 斜率的取值范围是( )