第14章 代数系统
代数学引论第二版课程设计
代数学引论第二版课程设计一、课程概述本课程为高等数学系列课程中的一门代数学基础课程，是对代数学基础理论和方法的概括与总结，旨在帮助学生全面掌握代数学基本概念，理解代数学基本原理，掌握代数学基本方法和技巧，在将来学习更高阶的数学课程时有更加扎实的数学基础。
二、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.掌握代数学的基本概念和基本理论；2.理解代数学基本方法和技巧；3.能够熟练运用代数学中的基本操作；4.能够解决代数学中的基本问题。
三、课程大纲第一章代数系统1.代数系统的定义和基本概念；2.代数系统的分类；3.群、环、域的定义和基本概念。
第二章群论1.群的定义和基本性质；2.等价关系与商群；3.群的同态与同构；4.子群、左陪集和右陪集；5.群的生成元和表示；6.群的分类。
第三章环论1.环的定义和基本性质；2.环的同态与同构；3.互反元、单位元和幺环；4.环的理想和商环；5.环的生成元和表示；6.环的分类。
第四章域论1.域的定义和基本概念；2.域的同态与同构；3.域的代数性与超越性；4.域的扩张：代数扩张与超越扩张；5.域扩张的应用。
四、参考书目1.《代数学引论（第二版）》，李文治，高等教育出版社；2.《现代代数学基础（第二版）》，杨学义，高等教育出版社；3.《线性代数及其应用（第四版）》，Gilbert Strang，机械工业出版社。
五、考核方式本课程的考核方式主要包括平时成绩、期中考试和期末考试三个环节。
其中，平时成绩占课程总评成绩的30%，期中考试占40%，期末考试占30%。
教师根据学生的表现情况，适时设置小组讨论和作业，以及课堂互动等环节，以增强学生的学习兴趣和主动性。
同时，教师将通过每门课程结束时的总结，及时进行反思和修改，以提高本课程的教学质量和效果。
六、结语代数学作为一门基础学科，为其他数学领域的发展奠定了坚实的数学基础，其对我们现代生活的影响至关重要。
本门课程旨在帮助学生体会代数学的精髓，全面掌握代数学的基础知识和理论，为将来的数学学习打下坚实的基础。
代数系统
第三篇代数系统篇第3-1章代数结构本章将从引入一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。
§3-1-1 代数系统的概念在计算机科学中，常用代数系统去描述机器可计算函数，研究运算的复杂性，分析程序设计语言的语义等。
由非空集合和该集合上的一个或多个运算所组合的系统，常称为代数系统，有时简称为代数。
在研究代数系统之前，首先考察一个非空集合上运算的概念，如将有理数集合Q上的每一个数 a 的映射成它的整数部分［a］；或者将Q上的每一个数a 映射成它的相反数-a，这两个映射可以称为集合Q上的一元运算；而在集合Q上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法都是集合Q上的二元运算，也可以，x2 ，x3，看作是将Q中的每两个数映射成一个数；至于对集合Q上的任意三个数x１代数式x12+x22+x32和x1+x2+x3分别给出了Q上的两个三元运算，它们分别将Q中三个数映射成Q中的一个数。
上述这些例子有一个共同的特征，那就是其运算的结果都是在原来的集合中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。
相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。
很容易举出不封闭运算的例子，设N是自然数集，Z是整数集，普通的减法是N×N到Z的运算，但因为两个自然数相减可以不是自然数，所以减法运算不是自然数集N上的闭运算。
定义3-1-1.1设A和B都是非空集合，n是一个正整数，若Φ是A n到B的一个映射，则称Φ是A到B的一个n元运算。
当B=A时，称Φ是A上的n元运算（n-ary operation），简称A上的运算。
并称该n元运算在A上是封闭的。
例3-1-1.1（1）求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算。
（2）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是。
（3）S是一非空集合，S S是S到S上的所有函数的集合，则复合运算○是S S上的二元运算。
代数系统简介
代数发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori0、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
《代数系统群》课件
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01
代数系统群概述
02
代数系统群的分类
03
代数系统群的运算
04
代数系统群的子群与 商群
05
代数系统群的同态与 同构
06
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代数系统群概述
代数系统群的定义
代数系统：由集合和定义在集合上的二元运算构成 群：具有封闭性、结合性和单位元的三元组 代数系统群：具有代数系统作为其元素的群 代数系统群的定义：代数系统群是一个具有封闭性、结合性和单位元的代数系统
代数系统群的表 示理论
群表示的定义与性质
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群表示的定义：群表示是将 群中的元素映射到某个域
（如实数域或复数域）中的 线性变换，使得变换的乘法 运算对应于群中的乘法运算。
单击添加标题
群表示的性质：群表示具有一 些重要的性质，如封闭性、可 交换性、可结合性等。封闭性 是指群中的每个元素都可以被 表示为某个域中的线性变换； 可交换性是指表示的乘法运算 满足交换律；可结合性是指表
代数系统群的基本性质
代数系统群的 定义
代数系统群的 分类
代数系统群的 性质
代数系统群的 应用
代数系统群的应用
代数系统群在计算机科学中的应用 代数系统群在数学物理中的应用 代数系统群在信息科学中的应用 代数系统群在金融工程中的应用
代数系统群的分 类
循环群
定义：循环群是一种特殊的代数系统群，由一个元素生成的子群构成 性质：循环群的阶数等于其生成元素的阶数 循环群的运算：循环群的运算可以通过其生成元素的运算来定义 应用：循环群在数学和计算机科学中都有广泛的应用
代数系统群的子 群与商群
离散数学ch10[2]代数系统
![离散数学ch10[2]代数系统](https://img.taocdn.com/s3/m/373a5b1ca300a6c30c229f57.png)
同态关系:同态
X Y
同态的图解
同态关系:同态
例: 给定代数系统<R,+>和<R,×>
设函数f:RR，f(x)=2z
则 f是从<R,+>到<R,×> 的同态，
证: 对于y,zR来说，
f(y+z) =2y+z =2y×2z =f(y)×f(z)
注: f(R)是R的一个子集 在f(R)中，原有的+运算关系得到保持
<ρ(S),∪,∩,~>也是代数系统, 其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算~。
代数系统:代数系统的实例
在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们对于系统 的一元或二元运算起着重要的作用, 例如二元运算的单位元和零元。 在定义代数系统的时候,如果把含有这样的特定元素也作 为系统的性质, 比如规定系统的二元运算必须含有单位元， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统,也 可以把这些代数常数列到系统的表达式中,
这样 * 和×可被分别运载到运算 ⊙ 和⊕，则： (4)如果运算 * 对于×运算是可分配的， 则运算 ⊙ 对于运算⊕也必定是可分配的。
同态关系:同态与同构
同态关系:同态与同构
定理
给定代数系统 U=<X,*,×> 和 V=<Y, ⊙, ⊕>,
其中的 * 和×以及 ⊙ 和⊕都是二元运算。 设 f:XY 是从 U 到 V 的满同态，
这样 * 和×可被分别运载到运算 ⊙ 和⊕，则： (3)对于运算 *，如果每一个元素 xX 都有一个逆元x-1，
则对于运算⊙,每一个f(x)Y,也都会具有一个逆元 f(x-1),
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
离散数学近世代数代数结构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
南京高等数学教材目录
南京高等数学教材目录封面：目录：第一章基础数学1.1 整数与有理数1.2 实数1.3 多项式与因式分解1.4 分式与有理方程1.5 二次函数与一元二次方程1.6 不等式与不等式组第二章微积分基础2.1 函数与极限2.2 连续与间断2.3 导数与其应用2.4 不定积分与定积分2.5 微分与积分基本定理第三章微积分进阶3.1 可积函数3.2 隐函数与参数方程3.3 微分方程3.4 曲线与曲面积分3.5 多重积分与坐标变换3.6 常微分方程与级数第四章线性代数4.1 矩阵与线性方程组4.2 行列式与矩阵的逆4.3 向量空间与线性变换4.4 特征值与特征向量4.5 线性空间的性质4.6 内积空间与正交变换第五章概率论与数理统计5.1 随机事件与概率5.2 随机变量与分布律5.3 数理统计基础5.4 参数估计与假设检验5.5 回归分析与方差分析5.6 相关分析与非参数检验第六章微分方程6.1 一阶常微分方程6.2 二阶常系数线性微分方程6.3 高阶线性微分方程6.4 变系数线性微分方程6.5 常微分方程的数值解法第七章离散数学7.1 集合与命题逻辑7.2 代数系统与组合数学7.3 图论与网络分析7.4 关系及其性质7.5 排列与组合问题附录：附录A-数学常用公式附录B-数学符号表附录C-习题解答附录D-参考书目附录E-索引以上为南京高等数学教材的目录，涵盖了基础数学、微积分、线性代数、概率论与数理统计、微分方程等主要内容。
每一章节都有详细的小节，使读者能够有条理地学习数学知识。
附录部分提供了数学常用公式、符号表、习题解答以及参考书目等对学习和复习都有很大帮助的内容。
希望这本教材能够对读者的数学学习起到积极的指导作用。
代数系统
定义5 定义5-1.1 如果 为An到B的一个函数，则称 的一个函数， 的一个函数 为集合A上的 元运算（ 上的n元运算 ）。如果 ， 为集合 上的 元运算（operater）。如果 BA，则 ）。 元运算在 上封闭。 称 该n元运算在A上封闭。 元运算
二、代数系统 定义5 定义5-1.2 一个非空集合 连同若干个定义在该集合上的 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的 所组成的系统称为一个代数系统 代数结构） 代数系统（ 运算 f1,f2,…,fk 所组成的系统称为一个代数系统（代数结构）， 记为<A, f1,f2,…,fk > 。 记为 定义5 定义5-1.2‘ 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构： 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构 是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合 ，称为代数结构的载体。 ）非空集合S，称为代数结构的载体。 上的若干运算。 （2）载体 上的若干运算。 ）载体S上的若干运算 （3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 ）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组<S， 来表示, 代数结构常用一个多元序组 ，，，… >来表示 其中 来表示 S是载体 ,，…为各种运算。有时为了强调 有某些元素地 是载体, 为各种运算。 是载体 为各种运算 有时为了强调S有某些元素地 位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾 也可将它们列入这种多元序组的末尾。 位特殊 也可将它们列入这种多元序组的末尾。
五、吸收律 定义5 是定义在集合A 定义5-2.5 设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元 运算，如果对于任意的x,y x,y∈ 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*(xΔy Δy) x*(xΔy)=x xΔ(x*y)=x Δ(x*y)=x *y) 则称运算*和运算Δ满足吸收律。 则称运算*和运算Δ满足吸收律。 例题5 设集合N为自然数全体， 上定义两个二元运算* 例题5 设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★， 对于任意x,y x,y∈ 对于任意x,y∈N，有 x*y=max(x,y) x★y=min(x,y) 验证运算* 的吸收律。 验证运算*和★的吸收律。 对于任意a,b a,b∈ 解 对于任意a,b∈N a*(a★ a*(a★b)=max(a,min(a,b))=a a★(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此， 满足吸收律。 因此，*和★满足吸收律。
离散数学教学大纲精选全文
精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是：1．学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法，包括：集合论的主要内容：集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等；图论的主要内容：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等；2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法，熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型；3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法，并用于离散结构的性质分析。
4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。
5. 能够理论联系实际，用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。
6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练，进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。
二、教学内容1．集合（教材第一章）●引言●预备知识（命题逻辑）●预备知识（一阶谓词逻辑）●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2．二元关系（教材第二章）●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3．函数（教材第三章）●函数的基本概念、性质、合成、反函数4．自然数（教材第四章）●自然数的定义●自然数的性质5．基数（教材第五章）●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6．图（教材第七章）●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7．欧拉图与哈密顿图（教材第八章）●欧拉图●哈密顿图8．树（教材第九章）●树9．图的矩阵表示（教材第十章）●图的矩阵表示10．平面图（教材第十一章）●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11．图的着色（教材第十二章）●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12．支配集、覆盖集、独立集与匹配（教材第十三章）●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13．带权图及其应用（教材第十四章）●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统（教材第十五章）●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点（教材第十六章）●半群与独异点16 . 群（教材第十七章）●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域（教材第十八章）●环与域18. 格与布尔代数（教材第十九章）●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理（教材第二十章）●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式（教材第二十一章）●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法（教材第二十二章）●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理（教材第二十三章）●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑（教材第二十六章）●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑（教材第二十七章）●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主，辅以作业和练习，并配备助教对作业进行批改。
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
代数系统
1代数系统1. 定义定义1.1 设A 是集合， 12,,,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。
根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。
由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。
2. 半群半群是最简单的代数系统，其定义如下。
定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。
带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。
例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。
3. 群定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。
例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。
4. 置换群定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。
12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。
2-阶轮换称为对换。
定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。
此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。
置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。
证明：请读者尝试完成该证明。
证毕5.环和域略。
6.格定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。
若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。
注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。
定义6.2设(,,)L∨∧是格。
（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。
高等代数
例6： Q, R, C 对通常加法和乘法均是 域。 有理数域 Q, 实数域 R, 复数域 C.
若 F的子集合 K 对 F中的原运算仍是一个域 ， 称 K为 F的子域，而 F称为 K的扩域。
C的子域被称作数域， 有理数域 Q是最小的数域 - -是任意数域的子域。 7
II
Polynomial form
an q1 = X bm
nm
,
则 g q1 与 f 的首项相同。
令 f s = r ， q1 + q 2 + + q s = q ， 即可。
唯一性，设 f = q g + r = gq0 + r0，
= 于是 g（q q0） r0 r 若两边均非零，则由 deg g（q q0）） deg g > deg r0 r） （ ≥ （ 矛盾， 故q = q0， r = r0 。
群 : 设 G 是非空集合 , 在 G 中定义了一个二元 运算 (即对 G 中任意 a , b 有 G 中唯一元素 (记为 a b )与之对应 , 且满足如下规律 : (1)封闭性 . 对任意 a , b ∈ G , 总有 a b ∈ G . ( 2 )结合律 .a ( b c ) = ( a b ) c ( 对任 a , b, c ∈ G ). ( 3)( 恒元 )存在 e ∈ G , 使 e a = a 对任 a ∈ G . ( 4 )( 逆元 )对任 a ∈ G , 总存在 b ∈ G , b a = e.
例3： n阶可逆方阵的全体（按 通常矩阵的 乘法）是乘法群。称为 一般线性群 .－－ general linear group 简记为 GL n (F). 而 SL n (F)＝｛ A ∈ M n (F) detA ＝1 ｝ 称为特殊线性群－－ Special Linear group
第十四章 代数系统简介 离散数学及其应用课件
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
8
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
集合
运算
交换律 结合律 幂等律
Z,Q,R 普通加法+
有有Βιβλιοθήκη 无普通乘法有
有
无
Mn(R) 矩阵加法+
有
有
无
矩阵乘法
无
有
无
P(B)
并
有
有
有
交
有
有
有
相对补
无
无
无
对称差
有
有
无
AA
13
消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件： (1) 若x∘y=x∘z且x，则y=z； (2) 若y∘x=z∘x且x，则y=z； 称◦运算满足消去律，其中(1)为左消去律，(2)为右消去律．
注意被消去的 x 不能是运算的零元 ．
整数集合上的加法和乘法满足消去律． P(S)上的并和交一般不满足消去律. 对称差运算满足消去 律, A,B,CP(S)，都有
函数复合
无
有
无
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实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
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第14章代数系统
14.1 代数系统
1.集合A={1,2,3,4}, * 是A 上的二元运算，定义为 a * b = a ·b - b ，试写出*的运算表。
2.< Z 5,5⊕>是代数系统，其中Z 5 ={0,1,2,3,4}，运算5⊕是模5加法，试写出5⊕的运算表。
3.设A={1,2,3,4,5}，A 上二元运算*定义 a * b = min(a,b), 其中min(a,b)是求a 和b 的最小值，写出*的运算表。
4.< Z 3,3⊗>是代数系统，其中Z 3 = {0,1,2}，运算3⊗是模3乘法，试写出3⊗的运算表，并求（23⊗2）3⊗2和23⊗（23⊗2）的值。
5.<A,*>是代数系统，其中A={a,b,c,d,e}, 运算*由下表给出：
求(b * c) * d 和 b * (c * d)。
6.设< A, *>是代数系统，其中 A = {a,b,c,d}, *是可结合运算，且b = a 2, c = b 2, d = c 2, 证明*是可交换运算。
7.写出< Z 5,5⊕>的幺元和各元素的逆元，并求435⊕3-1。
8.写出< Z 5,5⊗>中的幺元和各元素的逆元（如果存在的话）。
9.设Z+是所有正整数的集合，Z+上的二元运算*定义为a*b = gcd(a,b), 其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。
写出代数系统< Z+, * >幺元和零元（如果存在的话）。
10.设<A,*>是代数系统，其中A={a,b,c,d}, 运算*由下表给出，请指出<A,*>中的幺元，零元和各元素的逆元（如果存在的话）。
11.请构造一个代数系统，除幺元外，每个元素都没有逆元。