高考专题都江堰外国语实验学校高四月月考理科数学试题

第3题都江堰外国语实验学校高2015届四月月考理科数学试题本试题卷分第I 卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题时，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

在本试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1z i =+，则zi z i +⋅=（A ）2-（B ）2（C ）2i -（D ）2i2.下列说法中正确的是A ．“5x >”是“3x >”必要条件B ．命题“x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∈，210x +≤”C ．R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题3.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为 A ．19、13B ．23、20C ．20，18D ．26、22 4．函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是425.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.136.设点()b a ,是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0004y x y x 内的随机点，函数 142+-=bx ax y 在区间[)+∞,1上是增函数的概率为A.31B.32 C.41 D.21 7．设111()()1222b a <<<，那么 A ．a b a b a a << B ．b a a a b a <<C ．a a b b a a <<D ．a a b a b a <<8．若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则（＋）·＝A ．16B ．16-C ．32D ．32-9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y x =P ，若函数y x =P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是51+ 52+ 31+ D.3210.若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---++≤恒成立，则实数a 的最大值是 A.14 B.1 C.2D.12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分。

11．53(x x展开式中的常数项为 ▲ ．12．7．已知点()0,2A ,()4,2-B ,()8,5C ,若线段AB 和CD 有相同的中垂线，则点D 的坐标是 ▲ ． 13.某几何体的三视图如图所示， 则它的表面积为 ▲ ．14．高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、2 俯视图三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不 能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的 选取法的种数为___▲__15.如图，A 是两条平行直线12,l l 之间的一个定点，且A 到12,l l 的距离分别为AM=1，AN=2，设△ABC 的另 两个顶点B ，C 分别在12,l l 上运动，且AB<AC ，cos cos AB ACABC ACB=∠∠，则以下命题中． ①△ABC 是直角三角形；②12AB AC+2； ③S 代表图形面积，则(S 四边形MBCN )min =(S △ABC )min +(S △AMB +S △ACN )min ； ④设△AMB 的周长为y l ，△CAN 的周长为y 2，则(y 1+y 2)min =10． 正确的命题是 ▲ 。

（填正确命题的序号）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足113,1a b ==，2252310,2.b S a b a +=-= (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2.n T17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．n 为奇数，n 为偶数，2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩18.(本小题满分12分）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多.某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M(文化)、N(面试)两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地校的保送生.假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的.根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如下表：已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分.(I)若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；(II)若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为5 520.（本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：12x x +≥理科数学参考答案1---10：ABAAC ACCAD11.8012.()7,613.8(2π++14.47215.○1○2○416.解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=．…………………4分(Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，则即…………………6分21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+…………………9分12(14)12114n n -=-++-22(41)213n n n =+-+…………………12分 17.(1)由已知)6cos()6cos(22cos 2cos A A B A +-=-ππ得)sin 41cos 43(2sin 2sin 22222A A A B -=- 化简得23sin =B ，3π=∴B 或32π…………………6分 （2）因为a b ≤，所以3π=B …………………7分由正弦定理2233sin sin sin ====Bb Cc A a得A a sin 2=,C c sin 2= 故)32sin(sin 2sin sin 221A A C A c a --=-=-π A A cos 23sin 23-=)6sin(3π-=A …………………9分因为a b ≤，所以323ππ<≤A ，，266πππ<-≤A …………………10分所以=-c a 21)6sin(3π-A ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23…………………12分 n 为奇数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数，C1B 1A 1PBACyxz19、解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1A B ABC ⊥平面，1A B ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABC ，………………………………………………（2分） 因为平面11ABB A 平面ABC AB =，AB AC ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A ，所以1AC BB ⊥.………………（4分）(Ⅱ)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则)0,0,2(C ，()0,2,0B ,()2,2,01A ,()2,4,01B ……………………6分()0,2,211-==BC C B设()0,2,21λλλ-==BC P B ,[]1,0∈λ,则()2,24,2λλ-P …………………………8分 设平面PAB 的一个法向量为()1,,x y z =n ，因为()=2422AP λλ-，，，()020AB =，，， 110AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即()2422020x y z y λλ⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩，所以,0z x y λ=-⎧⎨=⎩令1x =得()110n λ=-，，，………………………………………………………（10分） 而平面1ABA 的一个法向量是()21,0,0=n ，则121212|cos ,|⋅〈〉===⋅n n n n n n 12λ=，即P 为棱11B C 的中点.……（12分） 20.(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分(II)设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x +=联立⎩⎨⎧=+=xy a my x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y ,21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=)111(1363611)()(112222222122122ma a m m y y y y m t +-=+=++=∴ 不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”;-------------------------9分 (ii )0>a 时,0621<-=a y y ,21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴)11321(13624361122222ma a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”.------------------------------------------------------------13分21.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x -'=-=>……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1).………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立．………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=-…………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．……………10分方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥．…………6分因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020*********()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++．…………………8分 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-<所以01 1.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2……10分（3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++=从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅……………………13分令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。