第五章 非线性随机振动

等价线性阻尼c e和等价线性刚度k e的确定 由于等价线性方程中含有c e和k e二个参数，而计算
c e和k e的表达式中的期望值由等价线性方程求得，所
以，为求c e和k e的具体值，一般需叠代求解。
干扰F(t)是非平稳过程
由于非平稳反应的统计矩是时间t 的函数，所以，
c e和k e是随时间变化的，需按
T T T
E[eX ] E[ g ( X , X ) X ] Ce E[ X X T ] K e E[ XX T ] 0
T T


求解
Ce 、 K e 的关键是确定式中的期望值。
有二种方法：
正态降阶法

假设 g ( X , X ) 满足正态截断法的条件，则 Ce 和 的元素为
结论：
当结构干扰为向量正态白噪声或正态过滤白噪声
时，可用FPK方程法求解响应的概率密度函数。
2、随机摄动法（小参数法）
考虑如下的单自由度体系
m X c0 X kX g ( X , X ) F (t )



（1）
式中， 1 称为“小参数”，F(t)是正态平稳随机过程。 基本思想： 假设方程的解可以展开成ε的幂级数：
由以上步骤叠代求解。
tk kt (k 1,2,3,)
（2）多自由度非线性体系
考虑如下多自由度非线性体系
M X g ( X , X ) F (t ) X ( 0) X ( 0) 0

式中： F(t)是零均值的矢量正态过程。 设等价线性方程为：
M X C e X K e X F (t ) X ( 0) X ( 0) 0

其中 E[ g ( X 0 , X 0 )] 可按正态截断法降阶后由 X 0 (t ) 和 X 0 (t )


的前二阶矩表示；也可按如下的公式计算：
E[ g ( X 0 , X 0 )] g ( x0 , x 0 ) p( x0 , x 0 )dx0 d x 0


式中： C 和 K e 为待定的等价线性阻尼矩阵和等价线 e
性刚度矩阵。
令误差项为：
e(t ) g ( X , X ) Ce X K e X

Baidu Nhomakorabea
根据e(t) 均方值最小的充分必要条件可得
E [ e X ] E [ g ( X , X ) X ] C e E[ X X ] K e E [ X X T ] 0
2
0 0 1
式中：Re[] 表示对 [] 取实部。
适用条件：
•弱非线性系统； •平稳、非平稳过程，但非平稳的情况很难求解。
原则上，用摄动法可求出反应统计矩的ε任意阶项， 但高阶项的统计矩很难求得。一般，只求ε的零阶和一 阶项的统计矩。
3、随机等价线性化法
基本思想：
将非线性体系用等价线性体系来近似，即将非线性 运动方程等价为线性方程，用线性随机振动理论求解等 价线性体系的反应作为原非线性体系的近似反应。
零向量。
引进如下扩充的状态向量
Y1 (t ) X (t ) Y (t ) X (t ) Y (t ) 2 Y3 (t ) V (t )
则方程（A）与干扰的滤波方程可以合起来写成
Y (t ) f (Y ) G (Y )W (t )
式中
Y2 01 T f (Y ) M 1 g (Y1 , Y2 ), G (Y ) 02 03 B Y3 02 M 1C Y3 02 01 T 02 I

状态方程（B）和（C）是伊藤型随机微分方程，
其状态反应是矢量马尔柯夫过程。因此，可用FPK方 程法求解。
式中的期望值由等价线性体系反应的联合概率密度函
数确定。 干扰F(t)是零均值的正态过程（平稳或非平稳）
g ( X , X ) g ( X , X ) g (Y ) g (Y ) , ce ke E E E X X Y1 Y2
X (t ) X 0 (t ) X 1 (t ) 2 X 2 (t )

（2）
将非线性函数 g ( X , X ) 在X和X0附近展开成Talor级
数，并将式（2）代入方程（1），令ε的同次幂相等
则可得一系列线性方程：
m X 0 c X 0 kX F (t ) 0 0 m X 1 c0 X 1 kX1 g ( X 0 , X 0 ) g ( X 0 , X 0 ) g ( X 0 , X 0 ) m X 2 c X 2 kX X1 X1 0 2 X 0 X0
Ke
g ( X , X ) g i (Y ) g i (Y ) g i ( X , X ) , cij k ij E E i E X Y j X j Yn j j
由于干扰 F (t ) 是正态过程，所以 X 0 (t ) 和 X 0 (t ) 也 是正态过程，其平稳联合概率密度函数 p( x , x 0 ) 可简 0 单求出。 反应的相关函数
E[ X (t ) X (t )] E[ X 0 (t ) X 0 (t )] {E[ X 0 (t ) X 1 (t )] E[ X 1 (t ) X 0 (t )]} o( 2 )
•
• • •
叠加原理不适用 使得对线性反应分析非常有效的脉冲响应函数 法、频率响应函数法及模态叠加法不再适用。 正态激励一般得不到正态响应 使得我们不能由反应的二阶统计矩来直接得到反应
的概率分布。 激励与响应之间的简单关系不存在
SY ( ) H ( ) S X ( )
2
非线性振动有跳跃、混沌现象。
{ X 1 (t ),, X n (t ), X 1 (t ),, X n (t )}T

则方程（A）可化为
Y (t ) f (Y ) G W (t )

（B）
式中
Y2 0 0 f (Y ) , G M 1 , W (t ) W (t ) 1 M g (Y ) 1



（3）
式中
E[ X 0 (t ) g ( X 0 (t 1 ), X 0 (t 1 ))]

也可按正态截断法降阶求得。 反应的功率谱密度函数 对式（3）的相关函数两边作Fourier变换，可得：
S X ( ) S X ( ) 2 Re[S X X ( )] o( )
• 平稳、非平稳，强非线性、弱非线性都可适用； • 响应必须是马尔柯夫过程。
考虑如下多自由度非线性体系：
M X g ( X , X ) F (t )

（A）
初始条件为
X (t0 ) x0 , X (t0 ) x 0

（1）当结构干扰为向量正态白噪声时： 引进状态向量 Y (t ) {Y (t ),,Y (t ),Y (t ),Y (t )}T 1 n n 1 2n
等价原则： 使二个方程之差的某种度量最小 确定等价线性方程中的参数。 随机等价线性化的原则一般为： 使二个方程的误差过程的均方值最小。
适用条件：
• 弱非线性体系和强非线性体系； • 平稳过程和非平稳过程。
（1）单自由度非线性体系
考虑如下单自由度非线性体系
m X g ( X , X ) F (t ) X ( 0) X ( 0) 0
按顺序依次求解以上线性方程（Duhaml积分）。 于是，体系反应 X (t ) 的统计矩则由式（2）求得。
反应的均值
E[ X (t )] E[ X 0 (t )] E[ X 1 (t )]
式中：
E[ X 1 (t )] 0 h( ) E[ g ( X 0 (t ), X 0 (t ))]d E[ X 0 (t )] 0 h( ) E[ F (t )]d


即：
R X ( ) 0
0
RX
0 X1
h( 1 )h( 2 ) RF ( 1 2 )d 1 d 2 0 ( ) 0 h( 1 ) E[ X 0 (t ) g ( X 0 (t 1 ), X 0 (t 1 ))]d 1
E ( X ) E[ X g ( X , X )] E ( X X ) E[ Xg ( X , X )] ce E ( X 2 ) E ( X 2 ) [ E ( X X )]2 E ( X 2 ) E[ Xg ( X , X )] E ( X X ) E[ X g ( X , X )] ke E ( X 2 ) E ( X 2 ) [ E ( X X )]2
（3）非线性随机振动的分析方法 非线性随机振动的分析方法有二大类： FPK方程法 ——是随机分析特有的； 其它方法：如随机等价线性化法、随机摄动法、统 计矩截断法 ——是从确定性非线性振动方法扩展而来
1、FPK方程法
基本思想：
将结构响应视为马尔柯夫过程，求其概率密度函数。
（对马尔柯夫过程，其概率密度函数完全由初始条件X0 和转移概率密度函数P(x,t/x0,t0)所决定。） 而转移概率密度函数P (x,t/x0,t0)则由FPK方程求得。 适用条件：
2
从上式可以看出，计算参数c e、k e的关键是确定式中
的期望值。在一定的假设下才能求得。
干扰F(t)是平稳过程 由于平稳位移和速度反应互不相关，所以有：

ce
E[ X g ( X , X )] E( X 2 )
E[ Xg ( X , X )] , ke E( X 2 )
（2）当F(t)为向量正态过滤白噪声
并可表示为如下成形滤波器的向量平稳反应时：
V (t ) B V (t ) W (t ) 2 F (t ) C V (t ), V (t 0 ) 01
（C）
式中，V(t)是m维向量；W2(t)是m维向量正态白噪声；
B是m×m维常量矩阵；C是n×m维常量矩阵；0是m维

设等价线性方程为：
m X c e X k e X F (t ) X ( 0) X ( 0) 0

式中：
ce ke
——为等价线性阻尼；
——为等价线性刚度。
令：
e(t ) g ( X , X ) ce X ke X


误差e(t)是一个随机过程。 根据误差过程e(t) 均方值最小的等价原则，可得：
第五章 非线性随机振动
本章简单介绍非线性系统随机反应分析方法。
（1） 结构的非线性： 几何非线性——应变与位移之间的非线性。 材料非线性（物理非线性） ——应力与应变不服从 虎克定律。 阻尼非线性——非线性表现在阻尼项 刚度非线性——非线性表现在刚度项 滞变非线性——非线性表现在阻尼与刚度的偶合项
严格说，所有结构系统总不同程度地具有某种非线性。 （2）非线性随机振动的特点 从工程应用来看，非线性振动分析更具实用意义。 一般，结构在小激励下才作为线性系统。在结构发 生某种损伤之后，其非线性性质更为明显。此时结构响 应预测对于结构安全性有重要意义。 从分析方法来看，非线性振动分析更为复杂和困难。 其原因主要为：