第五章 非线性随机振动
非线性振动——精选推荐
非线性振动非线性振动§0.1非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。
这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置四周微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和同一的数学表达形式。
因此有可能建立同一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际题目提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。
不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够正确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此工程实际中的振动系统尽大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
(振动理论课件)非线性振动概述
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
机械振动基础 第五章 随机振动
lim x (t1) E[X (t1)]
N
1 N
N
xx (t1)
i 1
X(t)的所有样本函数在t1时取值的集合平均。 称为随机过程按截口或状态的平均。
样本函数时域描述样本平均 随机变量集合描述集合平均
b) 样本函数的均值：
随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t) 的样本平均（时域均 值）：
“严平稳”随机过程的，它必然是“宽平稳”的。反之， “宽平稳”的随机过程则不一定是“严平稳”的平稳过 程。本书中的平稳过是平稳随机过程，则X(t)，Y(t)
的互相关函数也只是单变量时差的函数。
Rxy(t1,t2) Rxy(0, )
对于平稳随机过程X(t)，则符号X(t)既可表示平稳随机过 程本身，又可表示平稳随机过程在时刻t时的状态。
描述了两个随机过程之间的线性依赖关系 。
一般 Rxy (t1, t2 ) Ryx (t1, t2 )
d) 样本函数的互相关函数
两个随机过程X(t)、Y(t)在时域内的互相关函数定义为
Rxr ys
( )
xr (t) ys (t
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 xr (t) ys (t )dt
1 N
Rxx(t1, t2 )
E[ X (t1) X (t2)]
lim
N
N
xk (t1)xk (t2 )
k 1
b) 样本函数的自相关函数
Rxr ( )
xr (t)xr (t
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 xr (t)xr (t )dt
表示样本函数xr(t)在t和(t+)时刻波形的相似程度。
非线性振动.ppt
t 0 x 2 V (t, x1, x2, x3) 2 x 2
这里，a( x ) x 2 ,b( x ) 2 x 2 。
注意： 设 V(t, x) 是具有无穷小上界的正定函数，
即 a( x ) V (t, x) b( x )
则 V(t, x) 的变化范围如图（手绘图）。
e t x1
取正定函数
V
x12
e
t
x
2 2
[注：V x12 x22 x，2 V (t,0) 0]
求得：V. et x22 (2a(t) 1)
。 根据定理（1），如果对一切 t
t0
，有a(t)
1 2
，则无扰运动是稳定的
定义4 如果存在K类函数b(r) ，使得函数V (t, x)在区域 t 0, x h, (h H)内， 满足：V (t, x) b( x )，则函数 V (t, x)具有无穷小上界。
(1) V (t, x) a( x ), V (t,0) 0 （正定的）
(2)
.
V (t, x)
0,
(常负的)
则非驻定系统（1）的无扰运动是稳定的。
例
求单自由度系统，q..
a(t)
.
q
e
t
q
0
无扰运动 q 0的稳定条件
解：化成标准形式
.
x1
x2
.
x2
a(t ) x 2
解析方法： 摄动法（小参数法） 渐进法（KBM法） 谐波法 多重尺度法
（3）数值解法
摄动法（小参数法）
L-P方法的基本概念由天文学家A. Lindstedt于1883年提出，
非线性振动研究非线性系统振动的学科
非线性振动研究非线性系统振动的学科非线性振动研究：非线性系统振动的学科非线性振动研究是物理学、工程学和应用数学中一个重要的学科领域。
它涉及到非线性系统中的振动现象，对于理解和分析各种实际问题具有重要意义。
本文将基于该主题，介绍非线性振动研究的基本概念和方法，以及它在各个学科中的应用。
引言振动是自然界中广泛存在的物理现象，从机械振动到电磁振动，都是非常重要的。
然而，在实际问题中，线性系统往往无法完全揭示振动行为。
非线性系统中的振动特性往往更为复杂，涉及到非线性的力学、电磁学和流体力学等多个领域。
因此，非线性振动研究成为了一个独立的学科领域，其目的是研究非线性系统中的振动现象以及相关的动力学行为。
非线性振动的基本概念非线性振动是指系统在受到激励或扰动后，不呈线性关系的振动现象。
与线性振动相比，非线性振动的特点在于其振幅与激励信号之间的关系不再是比例关系。
常见的非线性振动现象包括剧烈摆动、混沌振动以及非周期振荡等。
非线性振动的研究方法研究非线性振动的方法包括理论分析和数值模拟两种主要途径。
1. 理论分析理论分析是非线性振动研究的基础。
常见的理论方法包括广义福克斯-普朗克方程、极限环理论和多尺度分析等。
通过建立系统的数学模型，可以通过解析推导的方式研究其振动行为，得到系统的稳定性条件和振动特性。
2. 数值模拟数值模拟是研究非线性振动的重要手段之一。
借助计算机的计算能力，可以模拟非线性系统的振动行为。
常见的数值方法有有限元法、有限差分法和谱方法等。
这些方法可以通过离散化系统的动力学方程，利用计算机进行数值求解，从而得到系统的振动特性和动态响应。
非线性振动的应用非线性振动研究不仅在学术领域具有重要意义，还在实际工程和科学研究中得到了广泛应用。
1. 结构动力学非线性振动理论在结构动力学中有广泛的应用。
对于高层建筑、大型桥梁和飞机等结构，非线性振动的研究可以更准确地预测其动态响应和受力情况。
这对结构的设计、安全评估和损伤检测具有重要意义。
随机振动系统的非线性动力学分析
随机振动系统的非线性动力学分析第一章：引言随机振动系统是各种科学领域和工程实践中广泛存在的话题。
线性动力学模型已被广泛研究，但实际情况中系统常常具有非线性特性，如受于环境扰动时可能会发生系统的分岔或混沌行为，这时，采用非线性动力学分析方法才能更为准确地描述系统的运动规律。
本文将介绍随机振动系统的非线性动力学分析方法及其应用，以提高对于这个领域现象的理解。
第二章：基础理论2.1 非线性动力学系统非线性动力学系统是指系统的运动规律不符合线性微分方程的物理现象。
这类系统常常会在域的某一范围内产生分岔现象或者混沌现象。
为了研究这类系统，我们需要用到混沌理论以及非线性振动理论。
2.2 随机振动系统随机振动系统是指系统受到随机扰动而存在的变化的研究。
具体的研究方法有很多种，常用的如随机振动分析，强度试验，振动测试分析等。
这里我们主要介绍随机振动分析方法。
2.3 非线性随机振动系统的描述非线性随机振动系统的描述可以通过函数解析式表示或者直接通过数值模拟进行研究。
函数解析式的模型可以通过非线性微分方程和随机方程相结合得到。
第三章：非线性动力学分析方法3.1 极限环法静态采用极限环法，在相平面内取定某一点作为系统不动点，在其周围附近一定半径内描绘出系统对应的相平面，以此确定系统的定点和极限环。
3.2 非线性振动的频响特性非线性振动的频响特性是指系统的振动幅度和系统参数之间的关系，主要用于描述系统受到外界随机干扰时的稳态响应。
通常采用主模型的频响特性法来描述。
3.3 分析分岔分布分析系统的分岔分布，主要是通过数值模拟或者分布分析法来获得系统在不同参数下的分岔图形象地反映。
第四章：应用与展望4.1 应用领域随机振动系统的非线性动力学分析方法在诸如电气系统、机械系统、建筑结构系统等领域中都有广泛的应用。
4.2 展望非线性动力学分析方法的发展是随着计算机技术和计算力的不断提升而不断得以提高的。
未来，我们可以通过机器学习技术手段，对非线性系统进行自动化研究。
非线性动力学理论与振动控制
非线性动力学理论与振动控制非线性动力学理论与振动控制是研究非线性系统振动特性和控制方法的重要领域。
非线性系统是指系统的行为不符合线性叠加原理，其振动特性与系统参数、初始条件和外部扰动等因素密切相关。
非线性动力学理论和振动控制方法的研究对于理解和控制复杂系统的振动现象具有重要意义。
非线性动力学理论的研究主要包括非线性系统的振动特性、混沌现象、分岔和周期倍增等。
非线性系统的振动特性与系统的非线性特征密切相关，例如系统的非线性耦合、非线性反馈和非线性摩擦等。
非线性系统的振动特性可以通过数学模型和数值仿真等方法进行研究，以揭示系统的非线性动力学行为。
非线性系统中常常出现的混沌现象是指系统的运动状态表现出无规律、无周期的特性。
混沌现象的研究对于理解非线性系统的复杂行为具有重要意义，也对于控制混沌现象具有重要应用价值。
分岔和周期倍增是非线性系统中常见的振动现象，分别指系统参数改变时系统运动状态发生突变和周期倍增的现象。
分岔和周期倍增的研究对于理解非线性系统的稳定性和振动特性具有重要意义。
振动控制是指通过改变系统的参数或设计控制策略来抑制系统的振动。
非线性系统的振动控制方法包括被动控制和主动控制两种。
被动控制是指通过改变系统的结构或参数来改变系统的振动特性，例如采用减振器、阻尼器或刚度调节器等装置来改变系统的振动特性。
主动控制是指通过设计反馈控制器来改变系统的振动特性，例如采用PID控制器、模糊控制器或自适应控制器等方法来实现振动控制。
非线性动力学理论和振动控制方法在工程领域有广泛的应用。
例如在结构工程中，非线性动力学理论可以用于研究结构的振动特性和疲劳寿命，以及设计抑制结构振动的控制方法。
在机械工程中，非线性动力学理论可以用于研究机械系统的振动特性和故障诊断，以及设计抑制机械振动的控制方法。
在电力系统中，非线性动力学理论可以用于研究电力系统的稳定性和动态特性，以及设计抑制电力系统振荡的控制方法。
总之，非线性动力学理论与振动控制是研究非线性系统振动特性和控制方法的重要领域。
机械振动学基础知识非线性振动系统的分析与控制
机械振动学基础知识非线性振动系统的分析与控制机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象的学科。
振动是一种普遍存在于自然界和人造系统中的现象，对于机械系统的设计、分析和控制具有重要意义。
在机械系统中，振动可以分为线性振动和非线性振动两种类型。
本文将着重介绍非线性振动系统的基本原理、分析方法以及控制技术。
一、非线性振动系统的基本原理非线性振动系统是指系统的振动特性不遵循线性原理，即系统的振动方程中包含非线性项。
非线性振动系统的特点包括：振幅对应力的关系非线性、振动频率与振幅之间存在非线性关系、振动系统存在多个共振点等。
非线性振动系统的振动行为通常更为复杂，但也包含了更多的信息。
二、非线性振动系统的分析方法针对非线性振动系统，常用的分析方法包括：周期摆动法、受迫振动法、Poincaré映射法、Lyapunov指数法等。
周期摆动法是研究非线性振动系统解的定性行为的基本方法，通过对周期解进行分析，得到系统的相图。
受迫振动法是研究系统在外力作用下的振动响应，通过将外力视作驱动力进行分析。
Poincaré映射法是一种针对周期性外激励的分析方法，可用于研究系统的稳定性和周期解。
Lyapunov指数法是评估系统稳定性和混沌性质的方法，通过计算Lyapunov指数来描述系统的演化规律。
三、非线性振动系统的控制技朧针对非线性振动系统，常用的控制技术包括：PID控制、滑模控制、自适应控制等。
PID控制是一种基础的控制技术，通过调节比例、积分和微分系数来控制系统的稳定性和响应速度。
滑模控制是一种鲁棒性控制技术，通过设计滑模面来实现系统的稳定控制。
自适应控制是根据系统动态特性自适应调整控制器参数的技术，能够适应系统的变化和不确定性。
结语：非线性振动系统是机械振动学领域的重要研究内容，对于提高系统的性能和稳定性具有重要意义。
通过深入理解非线性振动系统的基本原理、分析方法和控制技术，可以有效地提高系统的运行效率和安全性。
第五章 随机平均法 非线性随机动力学教案 .docx
□ 015
(a)
Scห้องสมุดไป่ตู้
(b)
图5. 2-1例4.2-1系统（a）平稳响应。S]=S?=二0.3 ,其它参 数与图4.2-1中相同。（a）系统总能量的概率密度；（b）位移均方值。
—随机平均法结果；---第一种准则等效非线性系统方法结果；••数 字模拟结果。
5.1
随机平均原理是随机平均法的严格数学基础。本书中所发展 的拟HamUton随机平均法用到两种形式随机平均原理，一是被经 常引用的Stratonovich-Khasminskii极限定理，该定理乃由Stratonovich⑹基于物理考虑提出，然后Khasminskii⑺为该定理提 供了严格的数学提法与证明，Papanicolao与Kohle严贝II对该定理 作了改进与引申。该定理的数学提法较为一般，此处仅限于本书 用到的特殊形式。
立，此时(5.1-2)化为
% (兀)=”(X, 0 +Dki笃;"Sji(兀,0bij(x)=Qd禺kgt'gjid,叽
若进一步假定/.、緞不显含丫，则(5.1-7)化为
叫(兀)= /(*) +Dki气“gji (*) bij(x) = 2Dklgik(x)gjl(x)
第一式中的第二项即为Wong-Zakai修正项。
再设以H为Hamilton函数的Hamilton系统为不可积，即H是与（522）相应的HamUton系统的唯一独立首次积分。弓【入变
H=H(QQ(5.2-3)
应用It6微分公式(261),可由(5.2-2)导得HamUton过程H(f)所满足的It6随机微分方程
以(524)代替(5.2-2)中关于P}的方程，并在(522)的其 余方程及(5.2-4)中，按(5.2-3)以H代替円。这组新方程形 同(5.1-9),的)，AU)，…，几⑺为快变过程，而H(f)为慢变过 程。根据Khasminskii定理在etO时，在訂量级时间区间上，刊了)弱收敛于一维扩散过程。仍以丹⑴表示这一极限扩散过 程，则支配该过程的平均It6随机微分方程形为
非线性振动系统研究及其应用
非线性振动系统研究及其应用随着科技的不断发展，研究和应用非线性振动系统的重要性越来越受到人们的关注。
非线性振动系统是指体系在某些条件下，不再服从简单的线性自由振动，而会出现一个或多个非线性效应的振动系统。
非线性振动系统具有更为丰富的动力学行为，而且它们所表现出的非线性行为让人们对其特性产生了浓厚的兴趣，这也是其研究和应用得以不断深入的原因。
一、非线性振动系统的研究1.非线性振动系统的特点非线性振动系统和线性振动系统相比，其独有的非线性特性表现在多方面，包括振幅非线性、频率非线性、幅值依赖性、滞后效应、混沌等方面。
因此，非线性振动系统具有更为丰富的动力学响应，更加复杂多样的运动形式与基本特征。
例如，非线性振动系统中的“共振”现象比线性振动系统更为复杂，发生时间也更难把握。
对于偏微分方程、非线性方程等问题，经典的方法已经无法从理论上解决，非线性振动系统的研究能够帮助人们寻找这些问题的答案。
2.非线性振动系统的应用非线性振动系统的应用范围非常广泛，其在物理、力学、电子、生物、化工等多个领域中都有应用。
例如，在机械制造中，往往需要通过对非线性振动系统的运动特性进行研究和分析，以更好地调整和协调发动机、传动系统、轮胎和悬挂系统之间的各种振动问题；在电子工程领域，非线性振动系统的应用也是更满足系统的新需求和开发应用。
此外，如在化学工程领域，非线性振动系统的研究还可以为生产提供更优质的产品，方便安全管理等等。
二、非线性振动系统实例分析：Van der Pol 振子Van der Pol 振子是一种非线性振子，它是由最早的荷兰电机工程师 Balthasar van der Pol 对电路振荡的探索得出的方程式而被命名的。
Van der Pol 振子最初作为调制器使用，在无线电通信技术以及电力系统的稳定性控制中起到了重要作用，是非线性振动系统中的一大代表。
Van der Pol 振子的方程式为：$$ \frac{d^2x}{dt^2}-\epsilon (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x = 0 $$其中，x是运动的位移、t是时间、$\epsilon$是一个常数。
非线性振动
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留 到二阶导数加速度项，并引入两个参数 和对截去的高阶小 量作修正。
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
动力系统的非线性振动分析
动力系统的非线性振动分析动力系统的非线性振动是指在外部激励下，动力系统输出的振动不符合线性系统的响应规律，而出现非线性现象。
非线性振动是一种复杂而有趣的现象，广泛应用于各个领域，如机械工程、航空航天、电力电子等。
非线性振动的分析对于设计和优化动力系统至关重要，因此本文将介绍非线性振动的基本理论、方法和应用。
非线性振动的基本理论基于非线性动力学，非线性动力学研究非线性振动系统的运动规律。
非线性振动系统通常由一系列非线性微分方程描述，如Duffing方程、Van der Pol方程等。
这些方程往往包含非线性项，如非线性刚度、非线性阻尼、非线性耗散等。
非线性系统的解析解很难获得，因此需要借助数值模拟和近似方法来进行分析。
数值模拟是研究非线性振动的常用方法之一、通过数值方法可以求解非线性微分方程的数值解，得到系统的时域响应。
常用的数值方法包括Euler法、Runge-Kutta法、有限元法等。
数值模拟可以模拟系统在不同参数和激振条件下的响应，确定系统的稳定性和动态特性。
非线性振动还可以通过近似方法进行分析。
近似方法不依赖于数值计算，通过一系列数学变换和经验公式，将非线性系统简化为线性或半线性系统，以更好地理解系统的振动行为。
常用的近似方法有受激扰动法、多尺度方法和平均法等。
这些方法可以得到系统的解析解或近似解，为设计和优化动力系统提供参考。
非线性振动的应用广泛，其中一个重要应用是结构动力学领域。
在建筑、桥梁和飞行器等结构中，非线性振动会导致结构的破坏和失效。
通过对结构的非线性振动分析，可以预测并避免结构的振动失控，以提高结构的安全性和可靠性。
此外，非线性振动还在能量传输和能量转换系统中发挥着重要作用。
如能量管道、振动发电器和能量吸收器等系统，其中非线性振动可以改善系统的能量传输效率和转换效率。
通过对非线性振动的分析和优化，可以提高能量系统的性能，降低能量损耗。
总之，非线性振动的分析是设计和优化动力系统的重要环节。
随机震动-第五章 非线性随机振动
0
h(
)E[F
(t
)]d
E[
X1
(t)]
0
h(
) E[ g (
X
0
(t
),
•
X
0
(t
))]d
其中
•
E[g( X0, X 0 )]
可按正态截断法降阶后由
X 0 (t)
和
•
X
0 (t)
的前二阶矩表示；也可按如下的公式计算：
•
E[g(X 0 , X 0 )]
•
• , x0 )dx0d x0
计矩截断法 ——是从确定性非线性振动方法扩展而来
1、FPK方程法
基本思想：
将结构响应视为马尔柯夫过程，求其概率密度函数。
（对马尔柯夫过程，其概率密度函数完全由初始条件X0 和转移概率密度函数P(x,t/x0,t0)所决定。）
而转移概率密度函数P (x,t/x0,t0)则由FPK方程求得。 适用条件：
• 平稳、非平稳，强非线性、弱非线性都可适用； • 响应必须是马尔柯夫过程。
考虑如下多自由度非线性体系：
••
•
M X g( X , X ) F (t)
初始条件为
•
•
X (t0 ) x0 , X (t0 ) x0
（1）当结构干扰为向量正态白噪声时：
（A）
引进状态向量 Y (t) {Y1(t),,Yn (t),Yn1(t),Y2n (t)}T
法、频率响应函数法及模态叠加法不再适用。
• 正态激励一般得不到正态响应
使得我们不能由反应的二阶统计矩来直接得到反应
的概率分布。
• 激励与响应之间的简单关系不存在
SY () H () 2 SX ()
声学基础第五章非线性声学简介
第五章 非线性声学简介到目前为止，我们在讨论声源的振动和声的传播等问题中，数学上一直采用线性近似。
正因为如此，我们一直对所讨论的问题要提出一些限制性条件，如小振幅声波假设，其目的是在线性近似下简化问题的数学处理。
当所研究的问题超越了规定的限制性条件，如果我们仍然采用线性近似方法处理，则势必会出现太大的误差，从而无法获得满意的结果。
因此，在这样的情形下，我们只好把以前进行线性近似时舍弃的高阶量再“恢复”回来一些，直到获得的结果和精度满足我们的要求。
这就是非线性方法，对于声学问题就是非线性声学。
使声学问题超越线性范围而产生非线性的因素主要有两部分，一是声源的非线性振动，即振动的弹性恢复力偏离胡克定律。
二是声波在介质中的传播特性引起的非线性，最典型的例子是当声扰动引起的粒子振动速度接近或达到声传播速度时，描述声传播规律的波动方程就不得不保留一定的非线性项。
这在以下的内容中将会详细讨论。
非线性声学的内容同样离不开介绍介质特性，理想介质的非线性声学相对简单，而粘滞性介质的非线性声学就要复杂和繁琐的多。
§5.1 声波在理想介质中非线性行为5.1.1 理想介质的非线性波动方程及其解的形式 5.1.1.1理想气体介质在理想介质中，小振幅声波的一维运动方程为dv p dt x ρ∂=-∂或1dvp dtx ρ∂=-∂ 由于质点振速v 本身就是时间和位置的函数，即(,)v v x t =，因此dv v v dx v vv dt t x dt t x∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂本地加速度+迁移加速度 满足小振幅声波假设，意味着v c ，上式中的v v x ∂∂项为二阶小量，线性近似时可将其忽略。
在有限振幅（非线性）声波中，质点振速v 与声传播速度c 的量值相当，该项不容忽略，因此有限振幅声波的运动方程为1v v p v t x x ρ∂∂∂+=-∂∂∂ 或2112v v p t x xρ∂∂∂+=-∂∂∂ （5-1-1） 连续性方程()0v t xρρ∂∂+=∂∂ （5-1-2）声传播过程按绝热近似，状态方程()P P ρ=，2()s dP P d c d ρρρ=∂∂=。
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E[eX ] E[ g ( X , X ) X ] Ce E[ X X T ] K e E[ XX T ] 0
T T
求解
Ce 、 K e 的关键是确定式中的期望值。
有二种方法：
正态降阶法
假设 g ( X , X ) 满足正态截断法的条件，则 Ce 和 的元素为
结论：
当结构干扰为向量正态白噪声或正态过滤白噪声
时，可用FPK方程法求解响应的概率密度函数。
2、随机摄动法（小参数法）
考虑如下的单自由度体系
m X c0 X kX g ( X , X ) F (t )
（1）
式中， 1 称为“小参数”，F(t)是正态平稳随机过程。 基本思想： 假设方程的解可以展开成ε的幂级数：
由于干扰 F (t ) 是正态过程，所以 X 0 (t ) 和 X 0 (t ) 也 是正态过程，其平稳联合概率密度函数 p( x , x 0 ) 可简 0 单求出。 反应的相关函数
E[ X (t ) X (t )] E[ X 0 (t ) X 0 (t )] {E[ X 0 (t ) X 1 (t )] E[ X 1 (t ) X 0 (t )]} o( 2 )
等价线性阻尼c e和等价线性刚度k e的确定 由于等价线性方程中含有c e和k e二个参数，而计算
c e和k e的表达式中的期望值由等价线性方程求得，所
以，为求c e和k e的具体值，一般需叠代求解。
干扰F(t)是非平稳过程
由于非平稳反应的统计矩是时间t 的函数，所以，
c e和k e是随时间变化的，需按
第五章 非线性随机振动
本章简单介绍非线性系统随机反应分析方法。
（1） 结构的非线性： 几何非线性——应变与位移之间的非线性。 材料非线性（物理非线性） ——应力与应变不服从 虎克定律。 阻尼非线性——非线性表现在阻尼项 刚度非线性——非线性表现在刚度项 滞变非线性——非线性表现在阻尼与刚度的偶合项
严格说，所有结构系统总不同程度地具有某种非线性。 （2）非线性随机振动的特点 从工程应用来看，非线性振动分析更具实用意义。 一般，结构在小激励下才作为线性系统。在结构发 生某种损伤之后，其非线性性质更为明显。此时结构响 应预测对于结构安全性有重要意义。 从分析方法来看，非线性振动分析更为复杂和困难。 其原因主要为：
按顺序依次求解以上线性方程（Duhaml积分）。 于是，体系反应 X (t ) 的统计矩则由式（2）求得。
反应的均值
E[ X (t )] E[ X 0 (t )] E[ X 1 (t )]
式中：
E[ X 1 (t )] 0 h( ) E[ g ( X 0 (t ), X 0 (t ))]d E[ X 0 (t )] 0 h( ) E[ F (t )]d
（3）非线性随机振动的分析方法 非线性随机振动的分析方法有二大类： FPK方程法 ——是随机分析特有的； 其它方法：如随机等价线性化法、随机摄动法、统 计矩截断法 ——是从确定性非线性振动方法扩展而来
1、FPK方程法
基本思想：
将结构响应视为马尔柯夫过程，求其概率密度函数。
（对马尔柯夫过程，其概率密度函数完全由初始条件X0 和转移概率密度函数P(x,t/x0,t0)所决定。） 而转移概率密度函数P (x,t/x0,t0)则由FPK方程求得。 适用条件：
设等价线性方程为：
m X c e X k e X F (t ) X ( 0) X ( 0) 0
式中：
ce ke
——为等价线性阻尼；
——为等价线性刚度。
令：
e(t ) g ( X , X ) ce X ke X
误差e(t)是一个随机过程。 根据误差过程e(t) 均方值最小的等价原则，可得：
Ke
g ( X , X ) g i (Y ) g i (Y ) g i ( X , X ) , cij k ij E E i E X Y j X j Yn j j
式中
Y2 01 T f (Y ) M 1 g (Y1 , Y2 ), G (Y ) 02 03 B Y3 02 M 1C Y3 02 01 T 02 I
状态方程（B）和（C）是伊藤型随机微分方程，
其状态反应是矢量马尔柯夫过程。因此，可用FPK方 程法求解。
（3）
式中
E[ X 0 (t ) g ( X 0 (t 1 ), X 0 (t 1 ))]
也可按正态截断法降阶求得。 反应的功率谱密度函数 对式（3）的相关函数两边作Fourier变换，可得：
S X ( ) S X ( ) 2 Re[S X X ( )] o( )
由以上步骤叠代求解。
tk kt (k 1,2,3,)
（2）多自由度非线性体系
考虑如下多自由度非线性体系
M X g ( X , X ) F (t ) X ( 0) X ( 0) 0
式中： F(t)是零均值的矢量正态过程。 设等价线性方程为：
M X C e X K e X F (t ) X ( 0) X ( 0) 0
E ( X ) E[ X g ( X , X )] E ( X X ) E[ Xg ( X , X )] ce E ( X 2 ) E ( X 2 ) [ E ( X X )]2 E ( X 2 ) E[ Xg ( X , X )] E ( X X ) E[ X g ( X , X )] ke E ( X 2 ) E ( X 2 ) [ E ( X X )]2
{ X 1 (t ),, X n (t ), X 1 (t ),, X n (t )}T
Байду номын сангаас
则方程（A）可化为
Y (t ) f (Y ) G W (t )
（B）
式中
Y2 0 0 f (Y ) , G M 1 , W (t ) W (t ) 1 M g (Y ) 1
式中： C 和 K e 为待定的等价线性阻尼矩阵和等价线 e
性刚度矩阵。
令误差项为：
e(t ) g ( X , X ) Ce X K e X
根据e(t) 均方值最小的充分必要条件可得
E [ e X ] E [ g ( X , X ) X ] C e E[ X X ] K e E [ X X T ] 0
式中的期望值由等价线性体系反应的联合概率密度函
数确定。 干扰F(t)是零均值的正态过程（平稳或非平稳）
g ( X , X ) g ( X , X ) g (Y ) g (Y ) , ce ke E E E X X Y1 Y2
X (t ) X 0 (t ) X 1 (t ) 2 X 2 (t )
（2）
将非线性函数 g ( X , X ) 在X和X0附近展开成Talor级
数，并将式（2）代入方程（1），令ε的同次幂相等
则可得一系列线性方程：
m X 0 c X 0 kX F (t ) 0 0 m X 1 c0 X 1 kX1 g ( X 0 , X 0 ) g ( X 0 , X 0 ) g ( X 0 , X 0 ) m X 2 c X 2 kX X1 X1 0 2 X 0 X0
零向量。
引进如下扩充的状态向量
Y1 (t ) X (t ) Y (t ) X (t ) Y (t ) 2 Y3 (t ) V (t )
则方程（A）与干扰的滤波方程可以合起来写成
Y (t ) f (Y ) G (Y )W (t )
其中 E[ g ( X 0 , X 0 )] 可按正态截断法降阶后由 X 0 (t ) 和 X 0 (t )
的前二阶矩表示；也可按如下的公式计算：
E[ g ( X 0 , X 0 )] g ( x0 , x 0 ) p( x0 , x 0 )dx0 d x 0
2
从上式可以看出，计算参数c e、k e的关键是确定式中
的期望值。在一定的假设下才能求得。
干扰F(t)是平稳过程 由于平稳位移和速度反应互不相关，所以有：
ce
E[ X g ( X , X )] E( X 2 )
E[ Xg ( X , X )] , ke E( X 2 )
（2）当F(t)为向量正态过滤白噪声
并可表示为如下成形滤波器的向量平稳反应时：
V (t ) B V (t ) W (t ) 2 F (t ) C V (t ), V (t 0 ) 01
（C）
式中，V(t)是m维向量；W2(t)是m维向量正态白噪声；
B是m×m维常量矩阵；C是n×m维常量矩阵；0是m维
等价原则： 使二个方程之差的某种度量最小 确定等价线性方程中的参数。 随机等价线性化的原则一般为： 使二个方程的误差过程的均方值最小。
适用条件：
• 弱非线性体系和强非线性体系； • 平稳过程和非平稳过程。
（1）单自由度非线性体系
考虑如下单自由度非线性体系
m X g ( X , X ) F (t ) X ( 0) X ( 0) 0