因式分解教学案

一、例题详解：

考点一 提公因式法

把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

()ma mb mc m a b c ++=++

注： 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.

例1、因式分解 ⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23()2()x x y y x ---

练习 分解因式

（1）y x y x y x 3

234268-+-； （2）m m m 126323+--； （3）323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--

(4) (x -y )n -(x -y )n -2 (5)(2x +1)y 2+(2x +1)2y

.

考点二 公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.

ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整

理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

例1、因式分解 ⑴22364a b -； ⑵22122

x y -

（1）164+-a ； （2）a a 43- （3）221694b a -； （4）22)(4)(n m n m --+

(5)2633x x

- (6)22)2(4)2(25x y y x ---

例2、因式分解 ⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++

练习（1）1224+-x x (2)222221y xy x +- （3）2

1222++x x

(4)811824+-x x

(5)234168++++-m m m a a a

考点三 十字相乘法

借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次

项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足,ab q a b p =+=的a b 、，则有22()()();x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

注意6：观察比较我们可以发现把q 分解成两个整数a 、b 之间的符号关系为:

1）若q ＞0,则a 、b 同号．

当p ＞0时a 、b 同为正，当p ＜0时a 、b 同为负

2）若q ＜0，则a 、b 异号．

当p ＞0时a 、b 中的正数绝对值较大，当p ＜0时a 、b 中的负数绝对值较大。

例1、因式分解 x 2+ 5x+6 x 2+ 5x-6 x 2-5x+6 x 2-5x-6

练习（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）()=++-a x a x 12；

（4）=+-18112x x (5)234352x x x --

考点四 分组分解法

定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能

直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.

原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式. 例1、因式分解 （1）22244z y xy x -+-； （2）b a b a a 2322-+-

练习 分解因式：

（1）x xy y x 21372-+-； （2）22441y xy x -+-； （3）315523+--x x x ；

(4)x 5-2x 4-3x 3+x 2-2x-3. (5)22414y xy x +-- (6)a 2+2ab +b 2

-6a -6b +5

考点五 常见因式分解考题

1、已知,0136422=+-++y y x x 则.___________________,==y x

2、当n 为大于1的自然数时，证明n 4-n 2能被12整除

3、已知3

12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

4、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值

5、已知2=+b a ，求

)(8)(22222b a b a +--的值

课堂练习

因式分解

（1）2254

1b -； （2）21001m +-； （3）24)(9c b a --；