不等式的综合运用

不等式的综合应用

1. 不等式理论的应用主要体现在以下几个方面：

（1）运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）.

（2）运用不等式研究方程解的问题.

（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.

例如解集之间的包含关系，函数的定义域、值域及最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等式的知识相关联.

2、不等式的解法及证明的基本应用：

①求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题

②判断函数的单调性及求相应的单调区间；

③利用不等式讨论方程实根的个数、分布范围和解含参数的方程；

④将不等式同数学其他知识结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题。

3.不等式在实际中的应用是指用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.在解题时要过“阅读理解”关，阅读关是指读懂题目，能够概括出问题涉及哪些内容；理解关是指准确理解和把握这些量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题的结论.

4、解不等式应用问题的几个主要步骤：

① 审题，必要时画出示意图；

② 建模，简历不等式模型，即根据题意找出常量与变量间的不等关系，注意文字语言、符号语言、图形语言的转换；

③ 求解，利用不等式的有关知识解题。

5.运用基本不等式求最值，常见的有两类（已知x 、y 都为正数）

（1）若x+y=S(和为定值)，则当 时，积xy 取得最大值 ;

（2）若xy=P （积为定值），则当 时，和x+y 取得最小值 .

基础自测

1.已知a 1>a 2>a 3>0，则使得（1-a i x ）2<1(i=1,2,3)都成立的x 的取值范围是 .

2.若 则a 的取值范围是

3.若关于x 的不等式4x -2x+1-a ≥0在［1，2］上恒成立，则实数a 的取值范围为 .

4.已知点P （x,y ）在曲线 上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM （O 为坐标原点）的周长的最小值为 .

题型分析：

题型一 利用不等式求函数的值域

有些函数的值域可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出货求出。 例1、 求下列函数的值域

（1） （2）

,011log 22<++a a a x y 1=

（3）（4）

变式1、求函数的值域

题型二不等式在研究函数性质方面的应用

例2、已知函数的图象在点处的切线方程为,（1）用a表示b，c；

（2）若上恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：.

变式2 已知函数。

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2） 证明：若，则对任意，有。 例3 设f （x ）=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）· f（1）>0,求证:

(1) 方程f(x)=0有实根;

(2)

(3)设x 1,x 2是方程f(x)=0的两个实根,则

变式3 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00. (1)证明: 是方程f(x)=0的一个根;

(2)试比较 与c 的大小; (3)证明:-2

题型三 不等式在求函数最值方面的应用

应用不等式求函数的最大（小）值，表现形式是 。

例4已知函数，其中。 （1） 若曲线在点处的切线方程为y=3x+1，求函数f （x ）的解析

式；

（2） 讨论函数f （x ）的单调性；

;12-<<-a b a 1

a 1

若对于任意的，不等式在上恒成立，求b 的取值范围。

变式4 求函数的值域.

例5 函数y=f(x)是定义域为R 的奇函数，且对任意的x ∈R,均有f(x+4)=f(x)成立.当x ∈(0,2］时，f(x)=-x 2+2x+1.

(1)当x ∈［4k-2,4k+2］(k ∈Z)时，求函数f(x)的表达式；

（2）求不等式f(x)> 的解集.

变式5 已知函数y=f(x)是定义域为R 的偶函数，其图象均在x 轴的上方，对任意的m 、n ∈［0,+∞)，都有f(m ·n)=［f(m)］n ，且f(2)=4，又当x ≥0时，其导函数f ′(x)>0恒成立.

（1）求f(0),f(-1)的值； （2）解关于x 的不等式： 其中k ∈(-1,1).

23,2)422(

22≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++x kx f

例6已知函数 a>0,讨论f(x)的单调性. ),ln 2(2)(x a x

x x f -+-=

题型四不等式在解决实际问题中的应用

例7 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次购买粮食价格不同，两位采购员的购粮方式不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？

变式7 设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算*，使得求证：若a,b∈S，则a*b∈S.

题型五不等式在解决数列问题中的应用

例8已知数列。（1）若，求的取值范围

（2）当时，求的最大值，并求出对应b的取值。

,

1ab

b

a

b

a

+

+

=

*

变式8 各项均为正数的数列，且对满足m的正整数m，n，p，q都有

（1） 当时，求通项；

（2） 证明：对任意a ，存在于a 有关的常数，使得对于每个正整数n ，都有

。

题型六 不等式在解析集合中的应用

例9 设椭圆中心在坐标原点，A （2，0）、B （0，1）是它的两个顶点，直线与

AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点。

（1） 若=6，求k 的值；

（2） 求是变形AEBF 面积的最大值。

练习：1.设a>0，b>0,若 是3a 与3b 的等比中项，则 的最小值为 . 2.已知函数 则不等式f(x)>1的解集为 . 3设函数f(x)=|x-4|+|x-a|,则f(x)的最小值为3，则a= ,若f(x)≤5，则x 的取值范围

是 . 4.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两部 3b a 11+,)0(11)0(3)(2⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43,43,0y x y x x 3

4