22谓词逻辑表示法
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
第9讲谓词逻辑公式
2012-2-22
一阶逻辑
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合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
2012-2-22
一阶逻辑
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字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
2012-2-22
a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
2012-2-22
一阶逻辑
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一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22 一阶逻辑 18
合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
2.2谓词逻辑
22
2.2.3 谓词公式
4．量词的辖域
量词的辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括弧括起 来的谓词公式。 约束变元与自由变元：辖域内与量词中同名的变元称为 约束变元，不同名的变元称为自由变元。
例如：
( x)(P(x, y) → Q (x, y))∨R(x, y) (P(x, y) → Q (x, y)) ：( x)的辖域，辖域内的变元x是 受（ x）约束的变元，R(x, y)中的x是自由变元。
( x)( y) F(x, y) 表示对于个体域中的任何两个个体x
和y，x与y都是朋友。
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2.2.3 谓词公式
全称量词和存在量词出现的次序将影响命题的意思。 例如： ( x)( y)(Employee(x) → Manager(y, x)) :
“每个雇员都有一个经理。”
( y)( x)(Employee(x) → Manager(y, x)):
“有一个人是所有雇员的经理。”
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2.2.3 谓词公式
3. 谓词公式
定义2.2 可按下述规则得到谓词演算的谓词公式：
(1) 单个谓词是谓词公式，称为原子谓词公式。 (2) 若A是谓词公式，则﹁A也是谓词公式。 (3) 若A，B都是谓词公式，则A∧B，A∨B，A→B，
A B也都是谓词公式。
(4) 若A是谓词公式，则 ( x) A，( x)A也是谓词公式。 (5) 有限步应用（1）－（4）生成的公式也是谓词公式。
公式中的所有y都是自由变元。
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（3）∧： “合取”（conjunction）——与。
“我喜欢音乐和绘画”： Like (I, music) ∧ Like (I, painting)
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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谓词逻辑的基本原理和推理方法
谓词逻辑的基本原理和推理方法谓词逻辑是数理逻辑的一种形式，它主要研究陈述句的真值和推理关系。
本文将探讨谓词逻辑的基本原理和推理方法，以帮助读者进一步理解和运用这一重要的逻辑体系。
一、谓词逻辑的基本原理谓词逻辑是由Richard Montague在20世纪50年代提出的，它是一种基于谓词和量词的逻辑形式。
谓词是描述个体和关系的词汇，而量词则表示个体的范围。
基于这些基本元素，谓词逻辑涉及命题的真值判断和逻辑推理。
1. 命题的真值判断在谓词逻辑中，命题的真值可以通过公式化的方式进行判断。
具体而言，谓词逻辑使用谓词和个体常量构建公式，通过赋值给个体常量和谓词变量来确定命题的真假。
这种方法可以使我们更加准确地判断复杂命题的真值。
2. 逻辑运算符谓词逻辑中常用的逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴涵和双条件。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行复合运算，并获得更加精确的逻辑推理。
3. 量词的运用量词在谓词逻辑中起着重要作用，它用来限定命题的个体范围。
通常使用的量词有普遍量词和存在量词，分别表示“对于所有的”和“存在一个”。
量词的运用使得我们能够对具有普遍性或存在性的命题进行精确的描述和推理。
二、谓词逻辑的推理方法谓词逻辑在推理中有着广泛的应用。
下面介绍几种常用的推理方法。
1. 求解真值通过给定谓词和量词的赋值，可以求解命题的真值。
这种方法可以通过证明或反证法来进行，根据不同的情况选择合适的推理策略。
2. 归结推理归结推理是一种通过消解规则进行推理的方法。
它通过将多个命题进行归结，从而得到新的命题。
这种方法在人工智能领域得到广泛应用。
3. 等词推理等词推理是一种通过等词的等同性进行推理的方法。
它通过推导两个等词相等的命题，从而间接地得出新的命题。
等词推理在代数逻辑和数学中有着重要的应用。
4. 形式化推理形式化推理是一种将命题转化为形式逻辑公式来进行推理的方法。
通过将推理过程形式化，可以减少人为因素的干扰，提高推理的准确性和可靠性。
2.2--谓词逻辑表示法
29
人工智能
7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
谓词逻辑_
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示 “2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命 题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定义2：复合命题函数（compound propositional function）：
举例说明：
例1．“有些人是要死的”. 解1： 采用全体人作为个体域.
设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
解2： 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死
的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
（x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。
第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。
解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”.
谓词逻辑表示法
谓词逻辑表示法谓词逻辑表示法是把一些知识表示为经典逻辑中的谓词表示式。
它只好表示出精准的知识，而对不确立的知识没法有效表示，同时这类表示方式也不可以很好地表现知识的内在联系。
在进行教课时，第一需要经过实例让学生认识什么是命题和命题公式，什么是谓词和谓词公式，而后用实例来剖析解说将知识表示为谓词公式的过程：1）定义谓词和个体例：王先生是李文的老师。
第一定义谓词：TEACHER(X,Y):X是Y的老师，尔后定义个体：王先生(Wang) ，李文（ LiWen ）；2）为每个谓词中的变元赋以特定的值：TEACHER(Wang,LiWen)；3）依据所要表达的知识语义，以适合的连结词和量词符号将各个谓词连结起来，获得知识的谓词公式：TEACHER(Wang,LiWen)。
在理解连结词∧ ( 逻辑与 ) 、∨（逻辑或）、┐（逻辑非）时能够参照我们平常的语言中的“而且” 、“或许”、“不”，对 P→ Q的理解能够参照┐ P∨ Q。
在此节只需修业生对谓词表示法有认识，命题的证明等内容不做要求，能够将有关内容放在协助教课网站的拓展篇，以知足不一样学生的需求。
在教课中除了书籍中介绍的例子以外，还能够使用以下例子。
例 1：用谓词逻辑和公式表达境界。
剖析以下命题和谓词逻辑，并尽可能正确表达它的含义：（1）蓝的（天）∧飘（白云）∧奔跑（马儿）∧翱翔歌唱（鸟儿）；答：这是一个由“与” 关系连结起来的谓词逻辑公式，它表达了一种大自然的景观：蓝色的天上白云飘飘，马儿在奔跑，鸟儿在翱翔歌唱。
（2）( x){ 好姑娘（x）∧居住的地方(z,x)∧遥远的(z)∧ (y)[人 (y)∧行走经过 (y,z)→回头迷恋地观望(y)]}答：这是一个既有谓词表示，又有命题逻辑表达，既有连结词，又有全称量词和存在量词的较复杂的谓词公式，它表达的意思是：在那遥远的地方，有位好姑娘，人们经过她的身边，都要回头迷恋地观望。
这就是青海民歌《在那遥远的地方》（王洛宾词曲）中的境界。
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
第四章、谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
谓词逻辑符号
谓词逻辑符号，又称为谓词演算或逻辑演算，是一种描述语言和逻辑推理的形式语言，是一种
用来表示真假命题的逻辑表达式。
它是一种精确描述问题和提出解决方案的工具，它可以用来
表达任何复杂的逻辑关系。
谓词逻辑符号包括两个部分：符号和参数。
符号表示逻辑关系，参数表示操作对象。
常见的谓
词逻辑符号有：“∧”表示与，“∨”表示或，“↔”表示双边关系，“→”表示条件关系等。
例1：比如，我们可以用“A∧B”表示A且B，也就是A和B都成立时，结果才为真，例如：“星期一∧星期二”，只有同时是星期一和星期二时，才是真的。
例2：我们可以用“A∨B”表示A或B，也就是只要A或B其中之一成立，结果就为真，例如：“星期一∨星期二”，只要是星期一或星期二，结果就是真的。
例3：我们可以用“A↔B”表示A关于B，也就是A和B互相关联，当A成立时，B也成立，当
B成立时，A也成立，例如：“星期一↔星期二”，只要有一个成立，另一个也必定成立。
例4：我们可以用“A→B”表示A到B，也就是A条件成立，B才能成立，例如：“星期一→
星期二”，只有星期一成立时，星期二才能成立。
谓词逻辑符号可以用来表达复杂的逻辑关系，可以用来描述客观事物之间的联系，也可以用来
描述抽象概念之间的联系。
比如，我们可以用“真∧假”表示真且假，“贫穷∨富有”表示贫穷或富有，“美好↔幸福”表示美好关于幸福，“勤奋→成功”表示勤奋到成功。
总之，谓词逻辑符号是一种用于表达逻辑关系的有效工具，可以用来准确描述问题，用来提出
解决方案，是数学和计算机等领域的基础工具。
谓词逻辑的语法和语义
谓词逻辑的语法和语义谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式化逻辑系统，用于描述和分析自然语言中的命题和推理关系。
它在语义学、计算机科学以及哲学等领域发挥着重要的作用。
本文将从语法和语义两个方面来介绍谓词逻辑，并探讨其在实际应用中的价值。
一、语法在谓词逻辑中，命题被视为由对象、谓词和变量构成的复合结构。
语法规则规定了这些元素如何组合和相互关联，以构成合法的命题表达式。
1. 对象：对象是命题中的基本元素，通常表示具体的事物或抽象的概念。
它可以是一个单词、一个短语或者一个复合结构。
2. 谓词：谓词描述了对象的属性或关系。
它是一个函数，接受对象作为参数，并返回一个命题。
谓词通常用一个或多个变量来表示其参数。
3. 变量：变量是用于表示谓词的参数的占位符。
它可以代表任意的对象，并在谓词表达式中起到灵活性的作用。
4. 量词：量词用于限定变量的范围。
在谓词逻辑中，常用的量词有全称量词（∀）和存在量词（∃），分别表示“对于所有”的意思和“存在某个”的意思。
二、语义谓词逻辑的语义研究命题的真值和推理的有效性。
通过对语义的分析，我们可以理解命题之间的关系，并进行精确的推理。
1. 真值分配：在谓词逻辑中，给定一组对象和赋值函数，可以确定命题的真假。
真值分配是将对象和赋值函数映射到命题中的变量上。
2. 公式的满足性：一个谓词逻辑的公式被称为是可满足的，如果存在一组真值分配使得该公式为真。
反之，如果不存在这样的真值分配，则称该公式是不可满足的。
3. 模型理论：模型理论是研究谓词逻辑的基本工具之一。
它用于定义满足特定公式的模型，进而判断该公式的真假。
三、应用价值谓词逻辑作为一种形式化工具，具有广泛的应用价值。
以下是一些典型的应用领域：1. 自然语言处理：谓词逻辑可以帮助计算机理解自然语言的含义，进行语义解析和逻辑推理。
在自然语言处理领域，谓词逻辑被广泛应用于语义角色标注、篇章分析等任务。
2. 人工智能：谓词逻辑为人工智能领域提供了强大的推理和推断能力。
谓词逻辑表示法的举例
谓词逻辑表示法的举例谓词逻辑表示法是一种符号逻辑表示法，它是用来描述论述中陈述的关系和命题。
简而言之，谓词逻辑就是需要用到谓词的逻辑。
谓词是指在命题中可以用来刻画对象或主语属性特征的一种语言成分。
谓词逻辑非常适用于在大量数据和信息集合中推理、分类和描述数据特征。
在本文中，我们将通过几个举例来展示谓词逻辑的表示能力和优越性。
举例一：家族关系假设我们有三个人，一个爷爷（Grandfather）、一位父亲(Father)和一个儿子(Son)。
然后我们就可以把他们的关系表现为：GrandFarther(GF) ----- Father(F) | | | --- Son(S)通过谓词逻辑公式表示为：GrandFarther(GF) - Son(S)其中，- 表示“拥有“或者”儿子“, GF 表示爷爷，F 表示父亲，S 表示儿子。
这个谓词逻辑公式基本上就代表了这个家族的结构和关系，可以方便地实现数据建模和分类。
举例二：环境保护假设现在有两个动物，一个是乌龟(Turtle)，一个是袋鼠(Kangaroo)。
然后我们想要描述它们和环境的关系，可以表示为：Turtle(T) --- LivesIn(LI) --- WaterEnv(W) | --- LandEnv(LE)Kangaroo (K) --- LivesIn (LI) --- LandEnv (LE) 这组谓词逻辑公式表示表明乌龟生活在水环境中，而袋鼠生活在陆地环境中。
这样的结构是非常重要的，因为它给我们提供了更多的信息和描述性，这可以用来分类和描述这两个动物。
举例三：人物关系网络假设现在有四个人物，分别是John、Mary、Tom和Kevin。
他们之间的关系为：John(J) -----SisterOf (SO) ---- Mary(M) | FatherOf(FO) -- Tom(T) -- FriendOf(FO) -- Kevin(K)通过谓词逻辑公式可以表示为：SisterOf(SO) (Mary, John) FatherOf(FO) (Tom,John) FriendOf(FF) (Tom, Kevin)这个公式可以很好地描述这个人物网络之间的联系和关系，对于人物分析和推理非常有用。
离散数学 第二章 谓词演算及其形式系统
第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词内容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号∀(All的第一个字母A的倒写) 和∃(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词∀和∃分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：∀xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在,至少有一个）x满足P(x)”。
谓词逻辑表示知识的一般步骤
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式化的逻辑体系，用于表示和推理关于事物及其关系的陈述。
表示知识的一般步骤如下：
1. 定义命题符号：确定用于表示事实和关系的基本命题符号。
这些符号通常表示对象、性质、关系等。
2. 定义谓词符号：引入谓词符号，用于描述对象之间的关系或属性。
谓词符号包含一个或多个参数，表示关系的参与者。
3. 定义量词：引入全称量词(∀) 和存在量词(∃)，用于表示某种性质或关系是否对所有对象成立或是否存在至少一个对象满足。
4. 建立谓词逻辑语句：使用定义好的命题符号、谓词符号和量词构建逻辑语句。
这些语句用于表示关于对象、关系和属性的陈述。
5. 表示规则和知识：使用谓词逻辑语句表示领域中的事实、规则和知识。
这可能涉及到使用特定的谓词符号和量词来表达领域特定的关系和规则。
6. 建立推理规则：定义基于谓词逻辑语句进行推理的规则。
这可能包括经典的逻辑规则、蕴含规则、量词约束等。
7. 应用推理规则：利用定义好的推理规则，对谓词逻辑语句进行推理，从而得到新的结论。
8. 知识库：将所有定义、事实、规则和推理结果组织成一个知识库。
知识库用于支持对领域知识的查询和推理。
这些步骤提供了一种形式化的方法来表示和推理关于世界的知识，谓词逻辑作为一种强大的逻辑体系在人工智能和计算机科学领域得到广泛应用。
谓词逻辑的概念与基本要素
谓词逻辑的概念与基本要素谓词逻辑（Predicate Logic），也称一阶逻辑（First-order Logic），是逻辑学中的一个重要分支。
它是对命题逻辑的扩展，通过引入谓词和变量，使得我们能够更加准确地描述自然语言的复杂逻辑关系。
本文将介绍谓词逻辑的概念与基本要素，帮助读者理解和运用这一逻辑工具。
一、概念1. 谓词逻辑的定义谓词逻辑是一种用来描述对象之间关系的逻辑系统。
它通过引入谓词和变量来表示命题中的主体和特性，以更加细致和准确的方式分析和推理。
2. 谓词谓词是用来描述对象特性或关系的符号。
在谓词逻辑中，谓词可以是单个个体或者多个个体之间的关系。
例如，谓词"P(x)"表示x具有性质P，谓词"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
3. 变量变量用来表示命题中的主体，可以是个体、集合或其他对象。
变量在谓词逻辑中是可以被替换的，通过替换不同的变量，我们可以针对不同情况进行推理。
二、基本要素1. 基本命题在谓词逻辑中，基本命题由谓词和变量构成。
它们可以是简单的描述性语句，也可以是较为复杂的逻辑判断。
例如，命题"P(x)"表示x具有性质P，命题"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
2. 量词量词用来限定变量的范围。
谓词逻辑中有两种常见的量词：全称量词（∀，表示“对于所有”）和存在量词（∃，表示“存在某个”）。
全称量词用来表示命题在所有情况下都成立，存在量词用来表示命题在某些情况下成立。
3. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接不同的命题，以构成更复杂的逻辑表达式。
谓词逻辑中常见的逻辑连接词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等值（↔）。
这些逻辑连接词能够帮助我们表达命题之间的逻辑关系。
4. 推理规则推理规则是谓词逻辑中用来推导新命题的方法。
常见的推理规则有：全称推理规则、存在推理规则、析取引入规则、蕴含引入规则和等值引入规则等。
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
知识表示之一——谓词逻辑表示法
知识表⽰之⼀——谓词逻辑表⽰法 谓词逻辑表⽰法是指各种基于形式逻辑（formal Logic）的知识表⽰⽅式，利⽤逻辑公式描述对象、性质、状况和关系，例如“宇宙飞船在轨道上”可以描述成：In(spaceship,orbit)。
它是⼈⼯智能领域中使⽤最早和最⼴泛的知识表⽰⽅法之⼀。
其根本⽬的在于把教学中的逻辑论证符号化，能够采⽤属性演绎的⽅法，证明⼀个新语句是从哪⾥已知正确的语句推导出来的，那么也就能够断定这个新语句也是正确的。
在这种⽅法中，知识库可以看成⼀组逻辑公式的集合，知识库的修改是增加或删除逻辑公式。
使⽤逻辑法表⽰知识，需要将以⾃然语⾔描述的知识通过引⼊谓词、函数来加以形式描述，获得有关的逻辑公式，进⽽以机器内部代码表⽰。
在逻辑法表⽰下可采⽤归结法或其它⽅法进⾏准确的推理。
谓词逻辑表⽰法建⽴在形式逻辑的基础上，具有下列优点：谓词逻辑表⽰法对如何由简单说明构造复杂事物的⽅法有明确、统⼀的规定，并且有效地分离了知识和处理知识的程序，结构清晰；谓词逻辑与数据库，特别是与关系数据库有密切的关系；⼀阶谓词逻辑具有完备的逻辑推理算法；逻辑推理可以保证知识库中新旧知识在逻辑上的⼀致性和演绎所得结论的正确性；逻辑推理作为⼀种形式推理⽅法，不依赖于任何具体领域，具有较⼤的通⽤性。
但是，谓词逻辑表⽰法也存在着下列缺点：难于表⽰过程和启发式知识；由于缺乏组织原则，使得知识库难于管理；由于弱证明过程，当事实的数⽬增⼤时，在证明过程中可能产⽣组合爆炸；表⽰的内容与推理过程的分离，推理按形式逻辑进⾏，内容所包含的⼤量信息被抛弃，这样使得处理过程加长、⼯作效率低。
谓词逻辑适合表⽰事物的状态、属性、概念等事实性的知识，以及事物间确定的因果关系，但是不能表⽰不确定性的知识，以及推理效率很低。
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（2）复合命题：由联结词、标点符号 和原子命题等复合构成的命题，称为复合 命题。
注意：所有这些命题都应具有确定的真值。
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➢3.命题逻辑
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所谓命题逻辑就是研究命题和命题之间 关系的符号逻辑系统。通常用大写字母P、Q、 R、S等来表示命题。如：
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·语法元素
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常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和
后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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➢2 基本概念
函数符号与谓词符号
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·若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f为n元
函数符号。 ·若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为n元
谓词符号。
如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二元谓词.
一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓词表达 了个体之间的关系.
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谓词的阶
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如果谓词P中的所有个体都是个体常量、变元、 或函数，则该谓词为一阶谓词。
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注意：
（1）因为命题变元可以表示任意命题，所 以它不能确定真值，故命题变元不是命题。
（2）当命题变元P用一个特定的命题取代 时，P才能确定真值，这时也称为对P进行指 派。
（3）当命题变元表示原子命题时，该变元 称为原子变元。
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➢谓词逻辑
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谓词逻辑：根据对象和对象上的谓词 （即对象的属性和对象之间的关系），通过 使用连接词和量词来表示世界。
主要思想：世界是由对象组成的，可以 由标识符和属性来区分它们。在这些对象中， 还包含着相互的关系。
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注意:可以用真值表的方法表明联结词的功能:
P
Q
¬P P∧Q P∨Q P→Q P↔Q
FFTFFTT
FTTFTTF
TFFFTFF
TTFTTTT
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▪2.2.2 谓词逻辑
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➢2.2.1 命题逻辑
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➢1.命题的含义：
在逻辑系统中，最简单的逻辑系统是命题逻辑。 所谓命题就是具有真假意义的陈述句。如“今天下 雨”、“雪是黑的”、“1+100=101”、“人是会 死的”等等。这些句子在特殊的情况下都具有
“真 (Ture)”和 “假（False)”的意义，都是命题。
一个命题总是具有一个值，称为真值。真值只
有“真”和“假”两种，一般分别用符号T和F表示。
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➢2.命题类型：
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命题有两种类型：
（1）原子命题：不能分解成更简单的 陈述语句，称为原子命题。
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▪4.语法
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➢命题逻辑的符号包括以下几种：
（1）命题常元：True(T)和False(F)； （2）命题符号：P、Q、R、T等； （3）联结词： ① ¬； ②∧；③∨；
④ →； ⑤ 。 （4）括号：( )。
➢命题逻辑主要使用这5个联结词，通过这 些联结词，可以由简单的命题构成复杂的复 合命题。
P：今天下雨
P就是表示 “今天下雨”这个命题的名。 表示命题的符号称为命题标识符，P就是命 题标识符。
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➢介绍几个概念
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命题常量：如果一个命题标识符 表示确定的命题，就称为命题常量。
命题变元：如果命题标识符只表 示任意命题的位置标志，就称为命题变 元。
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➢1 语 法
·一阶谓词演算
❖ 标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n
元谓词符号集、量词
·谓词演算
❖ 合法表达式 (原子公式、合式公式)，
表达式的演算化简方法，标准式 (合取
的前束范式或析取的前束范式)
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如果谓词P中某个个体本身又是一个一阶谓词， 则称P为二阶谓词。
余者类推。
个体变元的取值范围称为个体域。个体域可以 是无限的，也可以是无限的。把各种个体域综合在 一起作为讨论的范围的域称为全总个体域。
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➢注意:
➢ 在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。
➢ 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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▪5.语义
➢ ¬: 否定(Negation),复合命题¬Q表示否定 Q的真值的命题,即“非Q”
➢ ②∧: 合取(Conjunction),复合命题P∧Q 表示P和Q的合取,即“P与Q”
➢ ③∨: 析取(Disjunction),复合命题P∨Q 表示P或Q的析取,即“P或Q”
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第2章 知识表示
2.1 概 述 2.2 谓词逻辑表示法
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▪2.2 谓词逻辑表示法
➢ 谓词逻辑表示法是一种重要的知识表
示方法,是到目前为止能够表示人类思维 活动规律的一种最精确的形式语言,是知 识的形式化表示、定理的自动证明等研究 的基础，在人工智能中具有重要的作用。
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▪5.语义
➢ ④ →: 条件(Condition),复合命题P→Q表示 命题P是命题Q的条件,即“如果P,那么Q”
➢ ⑤ ↔: 双条件(Bicondition),复合命题P↔Q 表示命题P、命题Q相互作为条件,即“如果 P,那么Q；如果Q,那么P”