公式法与根的判别式

公式法与根的判别式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时

课题 求根公式与根的判别式

教学目标：

1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.

2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.

3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.

4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.

5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.

教学重点：

1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.

2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.

教学难点：

1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.

2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.

一、学习新知，推导公式

我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）

的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a

b x -=，那么对于一元二次方程02=++

c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

解： c bx ax -=+2 移常数项 a

c x a b x -=+

2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a

ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式

注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论

因为2040a a ≠>所以

（1）当2

40b ac -≥时，22404b ac a -≥。

利用开平方法，得2b x a +=则2b x a =-±

所以2b x a

-=， （2）当2

40b ac -<时，22404b ac a -<。在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2

2244)2(a ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：

x =（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.

问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何

2、如何用求根公式求一元二次方程的根

解答：

1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-

==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果

042≥-ac b ，那么可代入公式求出方程的根，如果042<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.

二、根的判别式：

利用求根公式2b x a

-=，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.

（1）当2

40b ac ->时，方程的根是1222b b x x a a -+-==. （2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a

==-

. （3）当240b ac -<时，方程没有实数根. 提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况

1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.

2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，

当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；

当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；

当△=240b ac -<时，方程没有实数根.

例题精讲：

例1：用公式法解下列方程：

（1）25610x x ++= （221)(2)1x x x -=-+

注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。

例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）223x +=.

例3、关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗为什么

三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）

当一元二次方程有实数解12x x ==

12b x x a

+==-

12c x x a

⋅== 例4：已知12,x x 是一元二次方程22370x x --=的两个根，求2212x x +的值。

四、与根的判别式相关的证明题：

例5：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程

222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根。

巩固练习

一、填空题：

1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式 ，接着确定 的值，然后求出 ，最后代入 。

2、方程2523x x +=中，24b ac -= 。

3、若代数式2425x x --与221x +的值互为相反数，则x 的值为 。

4、当x= 时，既是最简根式又是同类二次根式。

5、一元二次方程2320x -+=的根的判别式的值等于 。

6、不解方程，判定方程2257x x -=-是实根的个数为 。

7、方程22(2)(2)30m x m x -++-=，当m= 时，是关于x 的一元二次方程， 它的根的判别式∆= 。

8、已知方程220mx mx -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 。

二、求下列方程中24b ac -的值：

1、265x x -=

2、28160x x -+=

3、2232x x =- 42x =

5、211042

x x -= 6、21x x -=