线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)
初二垂直平分线练习题
初二垂直平分线练习题首先，让我们来回顾一下垂直平分线的概念。
垂直平分线是指将一条线段垂直地平分成两个相等的部分的线。
在几何学中，垂直平分线是十分重要的概念之一，常常用于解决各种几何问题。
下面，我们将通过一些练习题来巩固对初二垂直平分线的理解和应用。
练习题一：已知线段AB的中点为M，令点C在线段AB上。
若MC垂直平分线段AB，并且MC的长度为5cm，求线段AB的长度。
解答一：根据题意可知，MC是AB的垂直平分线，也就是说MC与AB垂直且等长。
所以，线段AB的长度为10cm。
练习题二：在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD垂直平分BC。
已知AB = 12cm，AC = 9cm，求BD的长度。
解答二：由于AD垂直平分BC，所以AD与BC垂直且等长。
由于D是BC 的中点，所以BD = CD = BC/2。
根据题意，AB = 12cm，AC = 9cm，那么BC = AB - AC = 12cm - 9cm = 3cm。
因此，BD = CD = BC/2 =3cm/2 = 1.5cm。
练习题三：在△ABC中，点D是边AC的中点，且BD垂直平分AC。
已知AB = 5cm，BD = 3cm，求AC的长度。
解答三：根据题意可知，BD垂直平分AC，所以BD与AC垂直且等长。
又由于D是AC的中点，所以AD = DC = AC/2。
根据题意，BD = 3cm，那么DC = 3cm。
设AC = x，根据勾股定理可得：AD² + DC² = AC²(AC/2)² + 3² = x²(x/2)² + 3² = x²(x²/4) + 9 = x²9 = (3x² - x²)/436 = 2x²x² = 18x = √18 = 3√2因此，AC的长度为3√2 cm。
通过以上练习题的解答，我们可以进一步理解垂直平分线的性质和应用。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
线段的垂直平分线(习题课)
习题课
1.线段的垂直平分线的性质(重点、考点)
线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等. 2.线段的垂直平分线的判定(重点、考点)
到一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.
1.如图,在锐角三角形ABC中，∠BAC=50°, AC、BC的垂直平分线交于点O，求∠BOC 的度数 。分析：∠1_____∠2, ∠3______∠4, ∠5_____∠6， ∠2+∠3=_____度, ∠1+∠4=_____度, ∠5+∠6=____度， ∠BOC=______度.
2. 如图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD, 则AD_____DC, 点D在______的垂直平分 线上.
3.如_∠1， ∠C____∠2；若∠BAC=126°，则 ∠EAG=__________度. 72
4.如图，直线 l上一点Q满足QA=QB，
则Q点是直线l与_________的交点.
6.如图，P是∠AOB的平分线OM上任意 一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结 EF.求证：OP垂直平分EF.
5.△ABC中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC于D，若 ∠BAD－∠DAC=22.5°，则 ∠B等于（ B ） A. 37.5° B. 37.5°或67.5° C. 67.5° D. 无法确定
7.已知，如图，△ABC中，∠A=90o， AB=AC，D是BC边上的中点，E、F分别是 AB、AC上的点，且BE=AF. 求证：ED⊥FD
A F
E
B D C
作业：
8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
线段的垂直平分线练习题
(第2题）EDCBA线段的垂直平分线一、基础知识：1、线段垂直平分线的性质因为，所以AB＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为，所以点A在线段BC的中垂线上.理由：1、如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.（第1题）（第3题）（第4题）2、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2则A、E两点的距离是（）.A.4B.2C.3D.123、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.64、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：.①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.5、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，P A=PB；②若P A=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若P A=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1、已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B(第1题)C DABlCBA二．解答：1、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
2.如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.3.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点.（1）当AE=13cm时，BE= cm；（2）当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm；（3）当BC=15cm，则△BEC的周长是cm.角平分线练习题1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
线段垂直平分线与角平分线练习题(精.选)
线段的垂直平分线与角的平分线一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒，则∠ACD 等于 （ ） A ．50︒ B ．65︒ C ．80︒ D ．95︒ 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。
其中正确的有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90︒，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC的大小关系是 （ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。
5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有 （ ）A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、②③④7题图 8题图 9题图F DEC BADE C B A PD CBAEDCB A DCB AE D CBA图3 图4图1图2c b aOCB ADP 8、如图所示，在ABC ∆中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE⊥AB ，则EB 的长是 （ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝D 、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。
垂直平分线练习题
垂直平分线练习题一、选择题1. 在平面几何中，垂直平分线是指：A. 连接两点的线段B. 垂直于线段的直线C. 将线段平分为两等分的直线D. 通过线段中点的直线2. 垂直平分线的性质是：A. 垂直于线段B. 平分线段C. 垂直于线段且平分线段D. 垂直于线段的两端点3. 如果线段AB的垂直平分线与线段CD相交，那么点C和点D到点A 的距离：A. 相等B. 不相等C. 可能相等D. 无法确定4. 在三角形中，垂直平分线的性质是：A. 连接顶点和对边中点B. 将对边平分为两等分C. 垂直于对边D. 以上都是二、填空题5. 垂直平分线将线段_____，并且_____该线段。
6. 如果点P在三角形ABC的边AB的垂直平分线上，那么PA_____PB。
7. 在直角三角形中，斜边的垂直平分线同时也是其_____。
三、判断题8. 垂直平分线总是通过线段的中点。
（对/错）9. 垂直平分线的长度总是等于线段长度的一半。
（对/错）10. 垂直平分线与线段的交点是线段的中点。
（对/错）四、简答题11. 描述垂直平分线在三角形中的应用。
12. 解释为什么垂直平分线可以用于确定线段的中点。
五、计算题13. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，求AB边的垂直平分线的长度。
六、作图题14. 给定线段AB，请画出AB的垂直平分线，并标出中点M。
七、证明题15. 证明：如果点P在三角形ABC的边AB的垂直平分线上，那么PA=PB。
八、应用题16. 在一个矩形中，如果已知对角线AC的垂直平分线，如何确定矩形的中心点？九、探索题17. 探索并证明：在一个圆中，任意弦的垂直平分线都会经过圆心。
十、综合题18. 在一个给定的三角形ABC中，已知AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，求出AB边的垂直平分线与AC边的垂直平分线的交点，并证明该点是三角形ABC的重心。
以上练习题涵盖了垂直平分线的定义、性质、应用以及相关的证明和计算，旨在帮助学生全面理解和掌握垂直平分线的概念和应用。
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案#精选、
3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
CEFA D B例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线M N∥BC，与F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB⊥于，求证：BE=CF。
E，DF AC FAEB M CFD答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．263．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．145．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 _________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 _________ cm ．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 _________ ． 9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 _________ ．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= _________ ．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC． 线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．解答：解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．26考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，∴AB=2AE=8，AD=BD，∵△ACD的周长为18，∴AD+DC+AC=18，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=8+BD+DC+AC=8+AD+DC+AC=8+18=26，故选D．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC考点：线段垂直平分线的性质．专题：数形结合．分析：由∠ACB=90°，∠B=22.5°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB与DA相等，利用等边对等角得到∠BAD与∠B相等，求出∠BAD的度数，由∠BAC的度数减去∠BAD 的度数，求出∠DAC的度数，又因为∠ADC是三角形ADB的外角，由三角形的外角性质得到∠ADC等于2∠B ，求出∠ADC的度数，从而得到选项A，B，C的结论正确，在直角三角形ACD中，根据斜边总大于直角边，判定得到AD大于CD，而AD与BD相等，等量代换得到BD大于CD，选项D的结论错误．解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，∴∠BAC=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，又AB的垂直平分线交BC于D，∴DB=DA，故选项C正确；∴∠BAD=∠B=22.5°，∴∠DAC=67.5°﹣22.5°=45°，选项A正确，∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项B正确，在直角三角形ACD中，∵AD＞CD，又AD=BD，∴BD＞CD，选项D错误，则不正确的选项为D．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，外角性质及直角三角形的边角关系．遇到线段垂直平分线，往往根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，构造出等腰三角形，从而利用等腰三角形的有关知识解决问题．4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．14考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=12，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．解答：解：∵ED是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵△BCD的周长等于12，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=12，∵CE=4，∴AC=8．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+8=20．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 18 cm．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=5cm，代入AB+AE+BE求出即可．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=5cm，∴AE=BE=5cm，∵AB=8cm，∴△ABE的周长是AB+AE+BE=8cm+5cm+5cm=18cm，故答案为：18．点评：本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 14 cm．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线得出CE=AE=2，AD=DC，根据已知得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10，即可求出答案．解答：解：∵DE是AC的中垂线，∴AE=CE=2，AD=DC，∵△ABD的周长是10cm，∴AB+BD+AD=10，∴AB+BD+DC=AB+BC=10，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+2+2=14，故答案为14．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出AB+BC=10，题目比较典型，难度适中．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 9 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出△BCD的周长=AB+BC，代入求出即可．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴△BCD的周长是BD+DC+BC=BD+AD+BC=AB+BC=5+4=9，故答案为：9．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出△BCD的周长等于AB+BC．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 23 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长=EC+BE+BC得到答案．解答：解：AB的垂直平分线交AB于点D，所以EA=BE．∵AC=13，BC=10，∴△BCE的周长是EC+BE+BC=BC+CE+EA=AC+BC=13+10=23，故答案为23．点评：本题考查了垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= 4 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，根据BC长求出AD+BD=8，代入AB+AD+BD=12即可求出答案．解答：解：∵MN垂直平分AC，∴AD=DC，∵BC=8，∴BD+DC=8=AD+BD，∵△ABD的周长为12，∴AB+AD+BD=12，∴AB=12﹣8=4，故答案为：4．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：（1）根据线段的垂直平分线性质求出AC即可；（2）根据线段的垂直平分线性质求出AD=DC，AC=2AE=6，根据△ABD的周长为13求出AB+BC的值即可求出答案．解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，∴AC=BC=6，答：BC的长是6．（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+CD+BD=13，即AB+BC=13，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=13+6=19．答：△ABC的周长是19．点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；（2）求出四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD×AC，代入求出即可．解答：解：（1）∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，BE=DE（三线合一定理）；（2）∵AC=a，BD=b，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×（AE+CE）=BD×AC=ab．点评：本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质，三角形的面积等知识点的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，且平分底边．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可．解答：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出关于x的方程，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线性质求出CE长，代入BE+CE+BC=18求出BC即可．解答：解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是8．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出CE长，题目较好，难度不大．16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．解答：证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．点评：本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题：综合题．分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示．（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，﹣2）和（7，3）代入得：，解得：，∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，证△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：证明：∵线段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AC、AD，根据线段垂直平分线定理求出AC=AD，根据全等三角形的判定SSS证△ABC≌△AED即可．解答：证明：连接AC，AD，∵AF⊥CD，F为CD的中点，∴AC=AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E．点评：本题考查了对线段的垂直平分线定理和全等三角形的性质和判定的应用，关键是构造三角形ABC和三角形AED，并推出两三角形全等，题目比较典型，难度适中．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）根据全等三角形的判定SSS证出△ABC和△ADC即可；（2）根据线段垂直平分线定理得出点A，C都在线段BD的垂直平分线上即可．解答：证明：（1）在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠ABC=∠ADC．（2）∵AB=AD，CB=CD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上，∴AC⊥BD．点评：本题综合运用全等三角形的性质和判定和线段的垂直平分线定理，难度适中，题型较好．通过作题培养了学生分析问题和解决问题的能力．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE ，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE ，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AF=DF，推出∠FAD=∠FDA，根据角平分线得出∠BAD=∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．解答：证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B．点评：本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出∠FAD=∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：利用线段的垂直平分线的性质得到：AD=BD，AF=CF，就可以将△ADF的周长转化为线段BC的长．解答：解：∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线∴AD=BD，AF=CF∴△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=10∴△ADF的周长是10．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质以及转化思想的应用．24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．考点：线段垂直平分线的性质；三角形三边关系．专题：数形结合．分析：PA大于PB，理由是：如图连接PA，与直线l交于C，连接PB，BC，因为直线l为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定理得直线l上的点C到线段两端点的距离相等，即AC=BC，在三角形PBC中，根据三角形的两边之和大于第三边得到PC+BC大于PB，然后利用等量代换把其中的BC换为AC，根据图形可得证．解答：解：PA＞PB．理由如下：（3分）如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．（2分）因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以CA=AB；（2分）因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；（2分）所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．（1分）点评：此题考查了线段垂直平分线的定理，以及三角形的三边关系．遇到线段垂直平分线，常常连接垂直平分线上的点与线段的两端点，构造等腰三角形．同时注意运用在三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由已知和BC=BC，根据SSS即可推出两三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根据线段垂直平分线定理得出即可．解答：（1）证明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）证明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴点M在BC的垂直平分线上．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线定理的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15°，根据三角形的外角性质求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=8cm，点评：本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．考点：三角形的五心；线段垂直平分线的性质．专题：作图题．分析：首先根据线段的垂直平分线的性质，推出垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上，作△H1H2H3的外接圆O，根据线段的垂直平分线的性质作出弧H1H2、弧H2H3、弧H1H3的中点即可得到答案．解答：作法：1、作△H1H2H3的外接圆O，2、连接H1H2，作H1H2的垂直平分线EF交圆O于A，同法可作H2H3和H1H3的垂直平分线，分别交圆于B、C，3、连接AB、BC、AC，则△ABC为所求．点评：本题主要考查了三角形的五心，线段的垂直平分线的性质等知识点，解此题的关键是理解△ABC的垂心H 关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上．题型较好，但有一定的难度．21。
线段的垂直平分线中考题(含答案
线段的垂直平分线中考题（含答案）一．填空题（共7小题）1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________cm．3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=_________．4．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为_________°．5．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=_________°，CE=_________．6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=_________．二．解答题（共1小题）7．（2011?香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6．考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．解答：解：∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=6．故答案为：6．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= 2cm．考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案．解答：解：连接BD．∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣∠ABC）=30°，∴DC=2BD，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴DC=2AD，∵AC=6，∴AD=×6=2，故答案为：2．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：由题可证△BED≌△ADF≌△CFE，则AD=BE，由勾股定理得，BE=BD，因为AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1，所以BD=．解答：解：∵∠DEB=90°∴∠BDE=90°﹣60°=30°∴∠ADF=180﹣30°﹣60°=90°同理∠EFC=90°又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF∴△BED≌△ADF≌△CFE∴AD=BE，由勾股定理得：∵BE=∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1∴BD=．点评：本题利用了：（1）等边三角形的性质，（2）勾股定理，（3）全等三角形的判定和性质．5．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为60°．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：根据BD=CE可得CD=AE，即可证明△ACD≌△BAE，得∠CAD=∠ABE，再根据内角和为180°的性质即可解题．解答：解：∵BD=CE，∴BC﹣BD=AC﹣CE，即CD=AE，在△ACD与△BAE中，，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°，∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，∴∠APE=∠BAE=60°，故答案为：60．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠BAE是解题的关键．6．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=30°，CE=．考点：等边三角形的性质．专题：综合题．分析：由△ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为△DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答：解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，∴CD=CE=AC=．故答案为：30；点评：此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用．7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=4cm．考点：含30度角的直角三角形．分析：根据三角形的内角和定理求出∠A=30°，求出∠ABD=∠CBD=∠A=30°，求出AD=BD，CD=BD，代入求出即可．解答：解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠CBD，∴∠CBD=∠ABD=30°，∴CD=BD，∠A=∠ABD，∴AD=BD=8cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理等知识点，关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较典型，难度适中．二．解答题（共1小题）8．（2011?香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；作图—基本作图．专题：作图题；证明题．分析：（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；（2）由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．解答：（1）解：如图所示：（2）解：△BCD是等腰三角形．理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠C=72°，∴BC=BD，∴△BCD是等腰三角形．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
2020年秋人教版八年级数学上册专题小练习十 线段的垂直平分线(含答案)
2020年人教版八年级数学上册专题小练习线段的垂直平分线一、选择题1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为( )A．8 B．11 C．16 D．172.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A.①②B.①③C.②③D.③④3.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A.10°B.15°C.40°D.50°4.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP5.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A.AC，BC两边高线的交点处B.AC，BC两边中线的交点处C.AC，BC两边垂直平分线的交点处D.∠A，∠B两内角平分线的交点处6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB 边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.12二、填空题7.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为．8.如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为．9.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF=BF，则∠EFC= °．10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．三、解答题11.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.（1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.12.如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证： MN⊥BD.参考答案1.答案为：B.2.答案为：B3.A4.C5.C6.答案为：C.7.答案为：28cm．8.答案为：11．9.答案为：45．10.答案为：100°11.解：(1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.12.证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴2DM=EC，2BM=EC，∴DM=BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案由于A、B都在CD的垂直平分线上，所以直线AB是CD的垂直平分线。
证毕。
例4：解：连接EF，由于AB=AC，所以∠BAC=60°，∴∠DEG=30°，∠GFC=60°，又因为DE⊥AB，FG⊥AC，所以DEGF是一个菱形，且DG=GF=7.5cm，所以EG=2DGsin30°=7.5cm。
例5：证明：因为BD=BC，所以∠XXX∠CBD，又因为BE⊥CD，CF⊥BD，所以∠BEC=∠BCF，所以BE平分∠XXX，CF平分∠CBD，又因为∠XXX∠CBD，所以BE和CF都平分∠BCD，即BE垂直平分CD。
证毕。
例6：证明：连接OF，OE，MN，∵MN∥BC，∴∠EOF=∠ACB，又∠XXX∠EOM+∠MOF，∠XXX∠EOM+∠EOF，∴∠MOF=∠ACB-∠EOF，又因为EF是AC的角平分线，∴∠XXX∠EAF，又因为EF是AC的外角平分线，∴∠XXX∠XXX，∴∠MOF=∠ACB-∠XXX，又因为OE⊥AC，OF⊥AC，所以OE=OF，证毕。
例7：证明：连接AD，因为AD是∠A的平分线，所以∠EAD=∠FAD，又因为BD=BC，所以∠XXX∠DCB，又因为AD⊥DE，所以∠EDB=90°-∠XXX，又因为DF⊥CF，所以∠XXX°-∠DCB，所以∠EDB=∠XXX，又因为∠EAD=∠FAD，所以三角形ADE与三角形ADF全等，所以DE=DF，又因为BE⊥DE，CF⊥DF，所以BE=DEsin∠EDB=DFsin∠FDC=CF，证毕。
例4：根据题意，作AH垂直BC于点H，可以得到HC 的长度为15/2.由于△ABC是等腰三角形，所以∠ACB=∠ABC=30°。
根据正弦定理，可以求得AC的长度为5√3.由于F是AC的中点，所以FC的长度为5/2√3.根据勾股定理，可以得到CG和BE的长度都为5.因此，EG的长度也为5.例5：由于DE垂直于AB，而∠ACB=90°，所以∠BDE=∠ACB=90°。
七年级数学下---5.3.2线段的垂直平分线1
七年级数学下---5.3.2线段的垂直平分线1一、线段的垂直分线定义及其性质到_______________________的直线叫做这条线段垂直平分线。
垂直平分线又可称为_________。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离___________。
A 组：二、练习1、如上图2，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．62、如上图3，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，则PA PC3、点P 是△ABC中边AB 的垂直平分线上的点，则一定有（）A ．PA=PB B ．PA=PC C ．PB=PCD ．点P 到∠ACB 的两边的距离相等 4、下列说法错误的是（ ） A ．D 、E 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD ，AE=BE B ．若AD=BD ，AE=BE ，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线 C ．若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上 D ．若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线5、在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三边垂直平分线的交点6、如图1-3-1，下列说法正确的是（ ）A ．若AC =BC ，则CD 是线段的垂直平分线； B ．若AD =DB ，则AC =BC ； C ．若CD ⊥AB ，则AC =BC ；D ．若CD 是线段AB 的垂直平分线，则AC =BC7、如图1-3-2，Rt △ABC 中，∠C =90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 分∠CAD ：∠DAB =2：1，•则 ∠B 的度数为（ ） A ．20° B ．22.5° C ．25° D ．30°8、如图1-3-3，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC =BD +AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上A ．AB B ．AC C ．BCD ．不能确定OABDC M54DBACPABCNMDE图1-3-1图1-3-2图1-3-39、平面内到不在同一条直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能11、如下图1，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、2012、如上图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若∠A=300,AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、3 D、213、如上图3，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80°B、70° C、60°D、50°14、如上图4，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确15、如右图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC的长。
(2021年整理)线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
线段的垂直平分线 4。
角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小(2)如果将（1）中∠A 的度数改为070,其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。
ECFA D B例3:如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
A BC NM A BC NM A B C N MAC DEB例4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，,E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。
A例5:：如图所示,Rt △ABC 中，,D 是AB 上一点，BD=BC,过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。
求证：BE 垂直平分CD.CEA D BF例6：：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点,过点O 作直线MN ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF⊥于例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE AB⊥于，求证:BE=CF。
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线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE的长为_________．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC 的周长．解答：解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．故选C．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、4考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．解答：解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、3考点：线段垂直平分线的性质。
专题：计算题。
分析：由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．解答：解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．故选B．点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。
专题：计算题。
分析：先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC==80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确考点：线段垂直平分线的性质。
分析：先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC=BC，再根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB．解答：解：甲错误，乙正确．证明：∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．故选D．点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难．6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。
分析：根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE；根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°，则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．解答：解：A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；D、根据C的证明过程．故该选项正确．故选B．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边的性质、角平分线的性质．由已知条件结合各知识点得到结论对选项逐一验证时解答本题的关键．7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点考点：线段垂直平分线的性质。