幂函数的定义

(0,+)
(0,+)
(-,0)(0,+)
(-,0)(0,+) (-,0)(0,+)
偶 数
奇数
(0,+) (0,+)
(0,+)
解 (1)因为指数- 1 <0，且指数的分母、分子为奇数，对 3
照上表知其定义域为(-,0)(0,+)，值域为(-,0)(0,+)；
(2)因为指数-2<0，且指数的分母为奇数(分母为1，作为奇
§3.2 幂函数
1课时
预备知识 幂的概念的推广 正比例函数的概念及其性质 反比例函数的概念及其性质 二次函数y＝ax2的概念及其性质 重点 幂函数的概念、定义域和值域 几个特殊指数的幂函数的图象及性质 难点 幂函数的定义域、值域 幂函数的图象及性质 学习要求 了解幂函数的概念 会求幂函数的定义域和值域 理解几个特殊指数的幂函数的图象及性质 能根据幂函数的性质比较同底幂的大小
y=12(1+p)25．
以x表示量1+p，上式成为
y=12x25．
(2)
我们知道x25是x的25次幂，只是现在(2)中的x不是常数，而
是一个变量，那么它是什么呢？
1．幂函数的定义 对每一个x1，x25是一个幂；随着x的变化，幂的大小
也发生变化。对每一个确定的x，x25有唯一确定的值与之对 应，因此x与x25之间具有函数关系．这种类型的函数关系， 叫做幂函数．
引入：
设当年人口为12亿，如果人口的年净增率是5.3‰，那么到
25年后，人口总数y为
y=12(1+0.0053)25=12 1.005325，
(1)
现在想知道，不同的年净增率对25年后总人口数y大小的
影响，年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，
不妨用p来表示它．不同的p，计算y的公式是
1. 确定下列幂函数的定义域和值
域.
(1)y=x3；
(2)y=x-2；
(3)y=x3/ 4；
(4)y=x – 2/ 3；
(5)y=x – 5/2；
(6)y=x 4/5．
No Im再a见ge
幂函数的一般形式是y=x，其中x是自变量， 叫做幂 指数(0)，幂指数是常量． 幂指数仅有一个限制：0，即可以取任意不等于零的确
定的实数值．
2.幂函数的定义域和值域 我们先来考察几个具体幂函数的例子．
ห้องสมุดไป่ตู้
例1 求下列幂函数的定义域和值域：
1
2
1
(1)y=x 5 ； (2)y= x 5 ； (3)y= x 4
q
围去掉0，其余不变． ．
例2 求下列幂函数的定义域和值域：
(1)y=
x 1
3 ； (2)y=x -2；
(3)y=
x 3 2
p
分析 根据有理指数幂的定义 a q q a p ，当
p
q ＜0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表：
p q ＜0
q
p
a允许取值
范围
ap值
qap
值的范围
奇 数
偶数 奇数
数)，分子为偶数，对照上表并注意去掉0，即知其定义域
为(-,0)(0,+)，值域为(0,+)；
(3)因为指数- 3 ＜0，且指数的分母为偶数，分子为奇数， 2
对照上表知其定义域为(0,+)，值域为(0,+)．
对其它的幂函数y=x，当为有理数 p
q
时，可仿例1、例2
来确定它的定义域和值域．
课内练习1
分析 根据有理指数幂的定义
p
aq q ap
当p q
>0时，a的允许取值范围及所得幂的范围
如下表:
q
p
a允许取值
范围
ap值
偶数
奇数
p q ＞0
奇数
偶数 奇数
(-,+) [0,+)
[0,+) (-,+)
[0,+)
qap
值的范围
[0,+) (-,+)
[0,+)
1 解 (1)因为指数 3 >0，且指数的分母、分子均为奇数，对
照上表，即知其定义域为(-,+)，值域为(-,+)；
(2)因为指数 2 >0，且指数的分母为奇数，分子为偶数，对 5
照上表，即知其定义域(-,+)，值域为[0,+)； (3)因为指数 1 >0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对
4
照上表，即知其定义域[0,+)，值域为[0,+)．
当 <p 0时，只要把上表中把a允许取值范围及 q a p 值的范