南开大学光学工程Dec 7th

单色辐射出射度 r(,T)
~ d,
d 1
ds 1
温度为T的热辐射体, 单 位面积，向2立体角辐射出的、 波长在附近单位波长间隔 （d＝１)的辐射功率.
Thermal Radiation
辐射出射度 R(T)
: 0 ~ .
亦简称辐出度，表示温度
为T单位面积的热辐射体，向2
0 h
式中 h 6.626 10
34
J s, 称为普朗克常数.
上面这个假说,叫做普朗克能量子假说,它与经 典理论能量是连续的理论相矛盾.
Planck’s quantum theory
以这个假说为前提,根据热力学定律,普朗克得出 黑体辐射公式(普朗克公式):
r0 ( , T )
r0
1600k
色温
上式中温度Ｔ称为色温. 且式中 b 2.9 10 3 mk. 由维恩定律,可以根据物体 的颜色确定其温度,天体的 温度就是这样确定的.
0 23
b 5
6
(10 cm)
4
Planck’s quantum theory
黑体辐射辐出度 r0(,)等于普适函 数, 因此要解释实验得出的黑体辐射能量 曲线, 归根结底就是确定普适函数的形式. 然而, 所有想从经典理论中得出这一 函数的正确形式的尝试都遭到了失败.
(m1

L1
, m2

L2
, m3

L3
kz
插页
)

L3
注意:驻波波矢有限制.
ky
不同的 m1, m2, m3 形成三
维空间点阵, 8个格点形 L2 成一个长方体元, 每个 L1 格点又属于8个长方体元. 因此,每一格点对应一个长方体元, 有n个格 点，对应n个长方体元, 就有n个振动模式.
kx
Planck’s quantum theory
(2) 普朗克能量子假说
普朗克假说: 黑体是由带电的线性谐振 子所组成,这些谐振子能量不能连续变化,只 能取一些分立的值,这些分立值的是最小能量 0 的 整 数 倍 , 即 0, 0 , 20 , 30 ,…,n 0,…,称为谐振子的能级.最小能量
Thermal Radiation
Atoms or molecules are always in thermal motion as long as their temperature is not 0K. The irregular motion of atoms or molecules causes light radiate, called as thermal radiation.
dn
8 c
3
2
d ,
插页
普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性 谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,
0 h ,
m 0 ,
2 0 kT 3 0 kT
按照玻耳兹曼定理,具有能量 0, 0 ,2 0 ,3 0 的振动几 率有如下关系:
1: e
0 kT
个普适函数的数学形式。研究黑体辐射是寻找
普适函数的有效途径．
Black body
Experimental results of black body radiation
r0
1646k 1460k
904k
793k
0
1
2
3
4
5
6
(10 cm)
4
Black body
Experimental law (a) 斯特藩—玻耳兹曼定律 黑体辐射的辐射出射度Ｒ与绝对温
4 3
体元的体积:
V元







3
.
插页
L1 L2 L3
V
其中，V =L1L2L3为谐振腔的体积. 体元数:
V球 V元 4 3 V, 3 c
3
考虑到两个偏振态:
8 N 3 V . 3 c
3
将上式两边除以V并对 微分,得单位体积频率在～ d 范围内的本征模数.
m3
2 L3 cos

.
因此，谐振腔中可以存在的波矢为:
k x m1

L1
, k y m2
2 2 c /

L2

, k z m3
2 c ,

L3
.
k

Planck’s quantum theory
m1 2 m3 2 m2 2 2 2 k ( ) ( ) ( ) L2 L3 L1
(1) 维恩公式和瑞利-金斯公式 维恩假设分子辐射频率与分子热运动 动能成正比.因此按频率的能量分布与按速 度的麦克斯韦分布类似,由此得出光谱分布 函数的解析式：
Planck’s quantum theory
r0 ( , T ) C1

c
3 2

C 2 T
e
.
曲线
维恩公式与实验曲线在短波部分相符, 但在长波 部分与实验曲线偏离. 瑞利-金斯提出,在达到热平衡的空腔内,电 磁辐射场是具有不同频率和不同传播方向的驻波 系统.其中每一种驻波是辐射场中的一种波型, 或称模式.都代表辐射场中的一个稳定的状态.因 此可以称为本征振动的方式或本征模.
2h c
2
3
e
1
h kT
.
推导
1
曲线
这个公式与实验曲线符合得很好, 在短波和 长波两种极限的情况下能过度到维恩公式和瑞利金斯公式. 并且由普朗克公式可以导出维恩位移 定律和斯特潘-玻耳兹曼定律.
Planck’s quantum theory
紫外灾难
插页
r0
瑞利-金斯线
实验曲线
维恩线

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Planck’s quantum theory
推导普朗克黑体辐射公式
设黑体腔内是稳定的驻波场,是具有不同频率、不 同传播方向的驻波系统.在腔壁上电场形成波节,磁场形 成波腹.每一驻波代表一种振动模式.
插页
z
以长方形腔为例.腔内某一 驻波的波矢为:
k k k k ,
2 2 x 2 y 2 z
K

2 L2
频率从
由
0～ 范围内, 有多少个振动模式?
2 c
插页
k (
2
) k k k
2 2 x 2 y
2 z
可知，允许存在的波矢数等于在波矢空间内半径为 2/c的球体内可以存在的体元数。因m1、m2、m3为 正整数，故对应1/8球体内的体元数：
V球
1 4 2 3 4 ( ) 3 , 8 3 c 3 c
r ( , T ) r ( , T )
.
入射
Thermal Radiation
基尔霍夫定律:
物体的单色辐出度和吸收本领的比值与物 体性质无关，对于所有物体，这个比值是波长
和温度的函数。
r (, T ) (, T )
f (, T ).
f(,T)是与物体性质无关的普适函数.
Black body
1
h kT
.
1
1
h kT
r0 (, T )
c 4
( , T )
2h c
2
3
.
Planck’s quantum theory
二 证明关系式 r0 ( , T )
c 4
( , T ).
d

单位面 积小孔 黑体空腔
插页
证明： 热辐射以光速c向各 个方向辐射，因此， 在任意一方向上的 立体角d内，频率 为的辐出度为
L3
kx
2

cos , kz 2
ky
2
y
L1

cos ,
L2

cos ,
x
Planck’s quantum theory
产生驻波的条件为:
插页
m1 , m2 , m3 0, 1, 2,
2 L1 cos
m2 2 L2 cos
其中， m1

,

,
Black body 能够在任何温度下全部吸收任何波长的辐射
的物体称绝对黑体，简称黑体。黑体满足：
0 1
由基尔霍夫定律，对黑体也应有：
Black body
基尔霍夫定律对于黑体仍旧成立，因此有：
f ( , T ) rb ( , T ) rb ( , T )
b
黑体辐射的单色辐出度与物体热辐射普适 函数有相同的形式。研究热辐射，需要找出这
Planck’s quantum theory
可以算出,腔内在～+d频率范围内,本征模 数为 2 8 d , 3 c
瑞利根据热力学中能量均分定理, 认为每一本 征振动的动能和势能各占KT/2.因此在～+d 频率范围内的能量为
( , T )d
8 c
3
2
kTd ,
Planck’s quantum theory
Hydrogen spectrum
Figure shows hydrogen spectral lines in the visible region. These were the first lines toຫໍສະໝຸດ Baidube discovered. There are 4 lines at 210 nm, 434 nm, 486nm and 656 nm (red). These lines form the Balmer series named after the scientist who came up with an empirical formula for the wavelengths of these lines.


:e
:e

所以,平均能量为

m 0
m
m 0


m
0
e
m 0 kT
0 kT
e

e
0
0
kT
e
h
h kT
.

1
1
插页
壁上振子分布应与驻波分布相同, 因此单位体积内频率 范围在 ~ d 内的能量密度为
( )d
黑体单色辐出度为
8h c
3
3
e
式中为黑体腔内的能量密度，K 为玻 耳兹曼常数．可以证明
( , T )
4 c r0 ( , T ).
证明
因此有
r0 ( , T )
2 c
2
kT.
2
曲线
上式为瑞利-金斯公式.它在波长相当长时,才 与实验曲线相符,随着波长的减小辐射能量无限大 . 这就是物理学发展史上所谓的紫外灾难．
插页
因此有

c 2 k c 2 ( m1 L1 ) (
2
m2 L2
) (
2
m3 L3
) .
2
一组
m1, m2, m3 对应一种模式.不同的频率应有不同
的模式,相同的频率,因k方向不同,也会有不同的模式. 一组 m1, m2, m3 对应一个波矢,对应波矢三维空间中 的一个点.
波矢三维空间中的一任意 点,其坐标为
Line spectra of some elements
The existence of these lines cannot be explained by classical Physics
Emission (line) spectra of some elements
Spectrum of Hydrogen Atom
度的四次方成正比，即：

R r0 ( , T )d T .
4 0
式中=5.6710-8W/m2K4，称为斯特藩-玻耳
兹曼常数，Ｒ等于黑体辐射曲线下面积。
Black body
(b) 维恩定律:
任何温度下，黑体辐射曲线都有一个极大 值，这极大值对应的波长与温度成反比，即
bT b.
立体角辐射出的所有波长的光 的总功率。可写为：
ds 1

R(T ) r ( , T )d.
0
Thermal Radiation
吸收本领 (,T)
入射到物体上的辐射通量 , 一部分被 物体散射或反射(对透明物体,还会有一部
分透射), 其余的为物体所吸收.
吸收本领定义为:
吸收
( , T )
dr0 (, T ) c 4
(, T ) cos d,
Planck’s quantum theory
插页
在小孔外２立体角空间内总辐射能量为

r0 (, T )
c (, T ) cos sin dd 4 (, T ) 4
0 0
1
2 2
c
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Spectrum of hydrogen atoms
小型棱镜读（摄）谱仪
位移调节手轮
鼓轮调解
狭缝调节
氦氖光源
（摄谱用）
测微目镜 氦氖灯电源
小型棱镜读（摄）谱仪光路
L1
S1
L
S
*
L2
鼓轮
L2 S2
F
测微目镜 a. 摄谱仪光路 棱镜读（摄）谱仪光路图 b.读谱部分
Line Spectra
The spectrum produced by a gas or vapour (following an electric discharge) contains only a few wavelengths (colours) and some of the wavelengths are missing. This is called a Line Spectrum. Each atom has its own spectrum
Modern Optics
Blackbody Radiation and Planck’s Quantum Theory
Content
1. Thermal radiation 2. Black body and Black body radiation 3. Planck’s quantum theory