第6章__拉普拉斯变换
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bt
当b<=0时，X（s）不存在 如果信号x(t)的拉氏变换存在，一定是属于性 质3~性质6中的一种
• 性质7：如果 x(t)的拉氏变换 X(s)是有理的， 那么它的ROC是被极点所界定的或延伸到 无限远。且ROC内不包含 X(s)的任何极点。 • 性质8：若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，对 右边信号，则其ROC位于最右边极点的右 边；对于左边信号，则其ROC在S平面上最 左边极点的左边。
求X(s)
1 1 x(t ) e 2t u (t ) [ e (13 j )t e (13 j ) t ]u (t ) 2 2 1 e 2t u (t ) s2 Re{s}>-2 1 e (13 j )t u (t ) Re{s}>-1 s (1 3 j )
jt
1 dt ( ) j
0
1 X (s) s
Re{s}
—拉普拉斯变换的收敛域 • 只有 0 时，才能令 Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： 解：
x(t ) e at u(t )
0
求拉氏变换
0
( s a )t e X ( s) e at e st dt sa Re{s} 0
2、时移 x(t ) X (s) 若 ROC=R 则 x(t t 0 ) e st 0 X (s) ROC=R 3 、S域平移 x(t ) X (s) ROC=R ROC如上表示是一种符号（边界变化）
e s0t x(t ) X ( s s0 )
ROC R Re{s0 } R1
5、共轭
ROC=R x * (t ) X * ( s*) ROC=R 推论：若 x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*) 因此若X(s)有零极点位于 s s0 必有一共轭的零极点位于 s s0*
x(t ) X (s)
6、卷积性质
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
• 性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包 含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛） • 性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可 积，那么ROC为整个S平面。 -t x(t) e dt 证明：拉氏变换收敛 x(t ) 绝对可积， x(t ) dt T t x ( t ) e dt Re{s} 欲证对所有S，有 T (1) 当 0时 上式化为 x(t ) dt 0 在ROC内
0 0 0
例 x(t) eb t 求X（s） 解： x(t ) ebt u(t ) ebt u(t )
Re{s}>-b Re{s}<b 只有b>0时有公共收敛域：-b<Re{s}<b
1 1 2b X ( s) 2 s b s b s b2
1 e u (t ) sb 1 bt e u (t ) sb
求x(t)?
1 1 ( s 1) ( s 2)
a. 对右半平面的ROC 存在傅立叶变换 t 2t x ( t ) e u ( t ) e u(t ) b. 对左半平面的ROC 无傅立叶变换 c. 对带状的ROC x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
对所有s ， T 即ROC为整个S平面
1
x(t ) e -t dt
T2
成立
• 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果 Re{s}= 0 位于ROC内，那么Re{s}> 0 的 全部s值都一定在ROC内。 右边信号：指 t T1 时，x(t)=0 证明：因为x(t)的拉氏变换对 0 收敛， x(t ) e- t dt x(t)是右边信号， 化为 x(t ) e - t dt 对于 1 0 ,有 T
ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 (s)
例：已知
X 1 (s) 1 s 1
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
Re{s}>-1，
X 2 ( s)
求X（s）? 解： X (s) X 1 (s) X 2 (s)
s 1 1 ( s 1)(s 2) ( s 2)
N (s) D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子 多项式的根——零点 分母多项式的根——极点 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 极点。
因为ROC不包括 jw的轴（即 Re{s}=0） 所以x(t)无傅立叶变化
6.2 拉普拉斯变换收敛域
极点和ROC的关系； 极点、ROC与信号时域性质的关系
性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的 带状区域组成。 由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件）， -t x ( t ) e dt ，仅与s的实部 有关 要求 有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝 对可积 F收敛
x(t ) X (s)
L
X (s)
t jwt
s j
X ( j)
当实部为0，为傅立叶变换 F{x(t )} L{x(t )} s j X (s jw) [ x(t )e ]e dt 另有： 即： F{x(t )e t } L{x(t )}
例4
4 1 x(t ) (t ) e t u(t ) e 2t u(t ) 3 3
L{ (t )} 1
t
1 L{e u (t )} s 1 1 L{e 2t u (t )} s2
？X(s) s为任意值 Re{s}>-1 Re{s}>2 Re{s}>2
4 1 (s 1) 2 X ( s) 1 3(s 1) 3(s 2) (s 1)(s 2)
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。 左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC • 性质6：如果x(t)是双边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括 Re{s} 的一条带状区域。 双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的
6.1 拉普拉斯变换
6.1.1 定义 st st y ( t ) H ( s ) e e 已知：LTI系统对 的响应为： st H ( s ) h ( t ) e dt 其中 对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（ L ）定义为： st L { x ( t )} X ( s ) x ( t ) e dt s为复数： s j
0
0
1
T1
x(t ) e
- 1t
dt x(t ) e
T1
- 0 t
e
-( 1 0 )t
dt e
-( 1 0 )T1
T1
x(t ) e - 0t dt
Re{s} 1位于ROC内
即来自百度文库
Re{s} 1的全部s值位于ROC内
右边信号 对应 右半平面的ROC
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
回顾：如何引入傅里叶变换—— 1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组 合来表示。 2.复指数信号是LTI系统的特征函数 st e 复指数信号： , s j 时——傅立叶变换 推广为任意s值——拉普拉斯变换 除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳 定系统的分析 缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰
例 1 ： x(t ) eat u(t ) ， 为实数，求其傅立叶变 换和拉氏变换 1 0 X ( j) e e dt 解： a j
at jt 0
X ( s) e e dt e e
at st at 0 0
t
e
1 sa
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。 收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。 注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。
例3 解：
x(t ) e 2t u(t ) e t cos(3t )u(t )
ROC=R1 ROC=R2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 (s) X 2 (s) ROC包括 R1 R2
7、时域微分
x1 (t ) X 1 (s)
dx (t ) sX ( s ) dt
ROC=R ROC包括R， s=0处的零极点有变化
8、S域微分 ROC=R dX ( s ) tx(t ) ROC=R ds at x(t) te u(t) 的拉氏变换 例：求 1 L at e u ( t ) 解：由 s a Re{s}>-a d 1 1 L at te u(t) ( ) 得 ds s a (s a) 2 1 e u(t) 所以 Re{s}>-a (s a) 一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
e
X (s)
(1 3 j ) t
1 s (1 3 j )
Re{s}>-1
Re{s} 1
1 1 1 s 2 s (1 3 j ) s (1 3 j )
2s 2 5s 12 2 ( s 2s 10)(s 2)
6.1.2 零极点图 上述各X（s）称为有理的， 只要x(t)是实指数或复指数的线性组合， X（s）就一定是有理的
若X(s)有极点或零点在 s=a，那么X (s s0 )一定有 极点或零点在 s s0 a ，即 s a s0
4、时域尺度变换（a为实） x(t ) X (s) ROC=R 1 s x(at) X ( ) ROC=aR a a ROC=aR 表示“边界的变化”
a为负值时，ROC要增加关于 jw轴的反转。 特例： x(t ) X (s) ROC=-R
T2 T1
2 1
T2
T1
（2）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T1
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T1 dt
（3）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T 2
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T2 dt
6.3 拉普拉斯反变换
定义式： 对于一般的X（s），上述积分的求值要利用 复平面的围线积分--不做讨论 重点掌握：有理变换，利用部分分式展开 法
1 j st x(t ) X ( s ) e ds j 2j
例： 解：展开为 X (s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2)
Re{s}>-1
1 1 ( s 1) ( s 1)(s 2)
ROC为：Re{s}>-2
R1 R2 为：Re{s}>-1，但仅在s=-2有极点，
所以ROC向左延伸至s=-2 原因：s=-1处零、极点抵消 R1 R2 确定 ax1 (t ) bx2 (t ) 的ROC方法： （1）求 R1 R2 （2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点
x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
6.4 拉普拉斯变换的性质
1、 线性
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
ROC为 R1 ROC为 R2
L{x1 (t )} X1 (s)
ROC包括 R1 R2 （1）若 R1 R2 为空，则 X(s)无收敛域，x(t) 不存在拉普拉斯变换。 如前节例 b<0时 （2）X(s)的ROC可能比 R1 R2 大
当b<=0时，X（s）不存在 如果信号x(t)的拉氏变换存在，一定是属于性 质3~性质6中的一种
• 性质7：如果 x(t)的拉氏变换 X(s)是有理的， 那么它的ROC是被极点所界定的或延伸到 无限远。且ROC内不包含 X(s)的任何极点。 • 性质8：若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，对 右边信号，则其ROC位于最右边极点的右 边；对于左边信号，则其ROC在S平面上最 左边极点的左边。
求X(s)
1 1 x(t ) e 2t u (t ) [ e (13 j )t e (13 j ) t ]u (t ) 2 2 1 e 2t u (t ) s2 Re{s}>-2 1 e (13 j )t u (t ) Re{s}>-1 s (1 3 j )
jt
1 dt ( ) j
0
1 X (s) s
Re{s}
—拉普拉斯变换的收敛域 • 只有 0 时，才能令 Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： 解：
x(t ) e at u(t )
0
求拉氏变换
0
( s a )t e X ( s) e at e st dt sa Re{s} 0
2、时移 x(t ) X (s) 若 ROC=R 则 x(t t 0 ) e st 0 X (s) ROC=R 3 、S域平移 x(t ) X (s) ROC=R ROC如上表示是一种符号（边界变化）
e s0t x(t ) X ( s s0 )
ROC R Re{s0 } R1
5、共轭
ROC=R x * (t ) X * ( s*) ROC=R 推论：若 x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*) 因此若X(s)有零极点位于 s s0 必有一共轭的零极点位于 s s0*
x(t ) X (s)
6、卷积性质
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
• 性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包 含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛） • 性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可 积，那么ROC为整个S平面。 -t x(t) e dt 证明：拉氏变换收敛 x(t ) 绝对可积， x(t ) dt T t x ( t ) e dt Re{s} 欲证对所有S，有 T (1) 当 0时 上式化为 x(t ) dt 0 在ROC内
0 0 0
例 x(t) eb t 求X（s） 解： x(t ) ebt u(t ) ebt u(t )
Re{s}>-b Re{s}<b 只有b>0时有公共收敛域：-b<Re{s}<b
1 1 2b X ( s) 2 s b s b s b2
1 e u (t ) sb 1 bt e u (t ) sb
求x(t)?
1 1 ( s 1) ( s 2)
a. 对右半平面的ROC 存在傅立叶变换 t 2t x ( t ) e u ( t ) e u(t ) b. 对左半平面的ROC 无傅立叶变换 c. 对带状的ROC x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
对所有s ， T 即ROC为整个S平面
1
x(t ) e -t dt
T2
成立
• 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果 Re{s}= 0 位于ROC内，那么Re{s}> 0 的 全部s值都一定在ROC内。 右边信号：指 t T1 时，x(t)=0 证明：因为x(t)的拉氏变换对 0 收敛， x(t ) e- t dt x(t)是右边信号， 化为 x(t ) e - t dt 对于 1 0 ,有 T
ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 (s)
例：已知
X 1 (s) 1 s 1
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
Re{s}>-1，
X 2 ( s)
求X（s）? 解： X (s) X 1 (s) X 2 (s)
s 1 1 ( s 1)(s 2) ( s 2)
N (s) D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子 多项式的根——零点 分母多项式的根——极点 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 极点。
因为ROC不包括 jw的轴（即 Re{s}=0） 所以x(t)无傅立叶变化
6.2 拉普拉斯变换收敛域
极点和ROC的关系； 极点、ROC与信号时域性质的关系
性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的 带状区域组成。 由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件）， -t x ( t ) e dt ，仅与s的实部 有关 要求 有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝 对可积 F收敛
x(t ) X (s)
L
X (s)
t jwt
s j
X ( j)
当实部为0，为傅立叶变换 F{x(t )} L{x(t )} s j X (s jw) [ x(t )e ]e dt 另有： 即： F{x(t )e t } L{x(t )}
例4
4 1 x(t ) (t ) e t u(t ) e 2t u(t ) 3 3
L{ (t )} 1
t
1 L{e u (t )} s 1 1 L{e 2t u (t )} s2
？X(s) s为任意值 Re{s}>-1 Re{s}>2 Re{s}>2
4 1 (s 1) 2 X ( s) 1 3(s 1) 3(s 2) (s 1)(s 2)
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。 左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC • 性质6：如果x(t)是双边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括 Re{s} 的一条带状区域。 双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的
6.1 拉普拉斯变换
6.1.1 定义 st st y ( t ) H ( s ) e e 已知：LTI系统对 的响应为： st H ( s ) h ( t ) e dt 其中 对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（ L ）定义为： st L { x ( t )} X ( s ) x ( t ) e dt s为复数： s j
0
0
1
T1
x(t ) e
- 1t
dt x(t ) e
T1
- 0 t
e
-( 1 0 )t
dt e
-( 1 0 )T1
T1
x(t ) e - 0t dt
Re{s} 1位于ROC内
即来自百度文库
Re{s} 1的全部s值位于ROC内
右边信号 对应 右半平面的ROC
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
回顾：如何引入傅里叶变换—— 1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组 合来表示。 2.复指数信号是LTI系统的特征函数 st e 复指数信号： , s j 时——傅立叶变换 推广为任意s值——拉普拉斯变换 除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳 定系统的分析 缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰
例 1 ： x(t ) eat u(t ) ， 为实数，求其傅立叶变 换和拉氏变换 1 0 X ( j) e e dt 解： a j
at jt 0
X ( s) e e dt e e
at st at 0 0
t
e
1 sa
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。 收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。 注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。
例3 解：
x(t ) e 2t u(t ) e t cos(3t )u(t )
ROC=R1 ROC=R2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 (s) X 2 (s) ROC包括 R1 R2
7、时域微分
x1 (t ) X 1 (s)
dx (t ) sX ( s ) dt
ROC=R ROC包括R， s=0处的零极点有变化
8、S域微分 ROC=R dX ( s ) tx(t ) ROC=R ds at x(t) te u(t) 的拉氏变换 例：求 1 L at e u ( t ) 解：由 s a Re{s}>-a d 1 1 L at te u(t) ( ) 得 ds s a (s a) 2 1 e u(t) 所以 Re{s}>-a (s a) 一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
e
X (s)
(1 3 j ) t
1 s (1 3 j )
Re{s}>-1
Re{s} 1
1 1 1 s 2 s (1 3 j ) s (1 3 j )
2s 2 5s 12 2 ( s 2s 10)(s 2)
6.1.2 零极点图 上述各X（s）称为有理的， 只要x(t)是实指数或复指数的线性组合， X（s）就一定是有理的
若X(s)有极点或零点在 s=a，那么X (s s0 )一定有 极点或零点在 s s0 a ，即 s a s0
4、时域尺度变换（a为实） x(t ) X (s) ROC=R 1 s x(at) X ( ) ROC=aR a a ROC=aR 表示“边界的变化”
a为负值时，ROC要增加关于 jw轴的反转。 特例： x(t ) X (s) ROC=-R
T2 T1
2 1
T2
T1
（2）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T1
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T1 dt
（3）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T 2
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T2 dt
6.3 拉普拉斯反变换
定义式： 对于一般的X（s），上述积分的求值要利用 复平面的围线积分--不做讨论 重点掌握：有理变换，利用部分分式展开 法
1 j st x(t ) X ( s ) e ds j 2j
例： 解：展开为 X (s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2)
Re{s}>-1
1 1 ( s 1) ( s 1)(s 2)
ROC为：Re{s}>-2
R1 R2 为：Re{s}>-1，但仅在s=-2有极点，
所以ROC向左延伸至s=-2 原因：s=-1处零、极点抵消 R1 R2 确定 ax1 (t ) bx2 (t ) 的ROC方法： （1）求 R1 R2 （2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点
x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
6.4 拉普拉斯变换的性质
1、 线性
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
ROC为 R1 ROC为 R2
L{x1 (t )} X1 (s)
ROC包括 R1 R2 （1）若 R1 R2 为空，则 X(s)无收敛域，x(t) 不存在拉普拉斯变换。 如前节例 b<0时 （2）X(s)的ROC可能比 R1 R2 大