第6章__拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
第6章拉普拉斯变换.ppt
Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： x(t) eatu(t) 求拉氏变换
解：
X (s) 0 eat est dt e(sa)t
sa
0
1 sa
Re{s} 0
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。
收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。
T1
T1
T1
Re{s} 1位于ROC内 即
Re{
s}
的全部
1
s值位于
ROC
内
右边信号 对应 右半平面的ROC
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 0 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。
左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC
Re{s} 1
6.1.2 零极点图
上述各X（s）称为有理的，
只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，
N (s)
X（s）就一定是有理的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子
多项式的根——零点
分母多项式的根——极点
除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。
Re{s}>-a
得所以
teatu(t) L d ds
eatu(t) L (s
(1 1s a a)2
)
1 -
(s a)2
Re{s}>-a
一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
t n-1 eatu(t)L 1
例2： x(t) eatu(t) 求拉氏变换
解：
X (s) 0 eat est dt e(sa)t
sa
0
1 sa
Re{s} 0
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。
收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。
T1
T1
T1
Re{s} 1位于ROC内 即
Re{
s}
的全部
1
s值位于
ROC
内
右边信号 对应 右半平面的ROC
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 0 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。
左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC
Re{s} 1
6.1.2 零极点图
上述各X（s）称为有理的，
只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，
N (s)
X（s）就一定是有理的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子
多项式的根——零点
分母多项式的根——极点
除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。
Re{s}>-a
得所以
teatu(t) L d ds
eatu(t) L (s
(1 1s a a)2
)
1 -
(s a)2
Re{s}>-a
一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
t n-1 eatu(t)L 1
数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换
− − −
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
信号与系统第6章拉氏变换
t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12
拉普拉斯变换
ℒ[est ]
1 ps
2i
(Re p Re s)
1 2i
s
1
i
s
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cos t] 1 ℒ [eit ] ℒ2 Nhomakorabea[eit ]
s
s2 2
(Re s 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
i
0
f (t) 1 i f (s)est ds
2i i
从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普 拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt 的傅里叶变换。
4 Laplace变换的定义
设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复
值函数，若含 s i( ,为实数）( 0)
a
a
L[ f (t, )] F (s, )
a
a
L[0 f (t, )d ] 0 F (s, )d
十一 初值定理
设L[ f (t)] F(s),且lim sF (s)存在，则 s
f (0) lim f (t) lim sF (s)
t 0
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
的下界称为收敛横标，以0 表示。 大多数函数都满足这个充分条件。
s 平面
0+i
o
i s
收敛横标
0-i
第六章-拉普拉斯变换
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p0 p p 0 p0 p
− pt ∞
L[e st ] (3) 求
L[e ] = ∫ e ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
−( p − s ) t
1 −( p − s )t dt = − e p−s
∞ 0
1 = . p−s
Re P > Re s
(4) 求 L[te st ]
L[te ] = ∫ te ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ te
θ = arccos
R R +ω L
2 2 2
.
Re P > 0
高阶导数的
L[ f ( n ) (t )] = p n L[ f (t )] − p n −1 f (0) − p n − 2 f ' (0) − K − pf ( n − 2 ) (0) − f ( n −1) (0)
(3) 积分定理
1 L[ ∫ ψ (τ ) dτ ] = L[ψ (t )]. 0 p
例 (1) 解如下交流 RL 电路的方程。
d L j + Rj = E0 sin ωt , dt j (0) = 0.
有源的非齐次方程
A. Lpj + Rj = E0 p 2 + ω 2 ,
ω
E0 E0 1 ω ω B. j = = , 2 2 2 2 Lp + R p + ω L p + R / L p +ω
信号与系统第6章拉氏变换
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
大学数学教程复变函数与积分变换 第六章 拉普拉斯变换
满足
0, δ(t) ,
0且 t δ(t)d t1 0 t
如一根无限杆 长， x的 在 0处 均有 匀一 细单位
在 x0处质0量 则 , 为 细杆的线密度为
(t) 0,,
0x且 m
ρ(t)d t1
x0
δ函数的— 筛 — 选 δ (t)f性 (t)d 质 tf(0),
δ(t-0)tf(t)d tf(t0), (t)f(t-0)td tf(t0)
(t)cos
te -st dt
u (t ) sin
te -st dt
0
0
(t )cos
te -st dt
sin
te -st dt
0
cos
te -st
t0
e -st s 2 1 ( sin
t cos
t)
0
1
1 s2 1
s2 s2 1
(2)
L [f
(t)]
1
1 e 2πs
2π f (t )e std t
0
T
kT
k0
(k 1)T kT
f
(t
)e-st
dt
但 (k1T)f(t)esd t tt k T uTf(uk)T es(ukT )du
kT
0
eskT Tf(u)esu d ueskT Tf(t)esd t t
0
0
L[f (t)] eskT T f (t)estdt 0 k 0
f (tT)f(t) (t0)
且f (t )在一个周期上是连续或分段连续的,证明:
L[f(t)] 1
1esT
T f(t)estdt
0
R(es)0
SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(1)
➢单边与双边拉普拉斯变换
❖前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至 +∞整个时间区间内存在的信号，将这一定 义式称为双边拉普拉斯变换
X (s) x(t)estdt
❖对于因果信号x(t)= x(t)u(t)，双边拉普拉斯 变换退化为单边拉普拉斯变换
X (s)
0
x(t
)e
st
dt
2021年1月21日星期四
信号与系统
多媒体教学课件 第六章 Part 1
内容要点
➢ 双边拉普拉斯变换的定义和收敛域 ➢ 单边拉普拉斯变换及其性质 ➢ 拉普拉斯逆变换 ➢ 微分方程和电路的s域求解 ➢ LTI系统的系统函数及其性质 ➢ LTI系统的框图表示
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
2
第6章 拉普拉斯变换与连续时间系统
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
Back 8
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢主要内容
❖拉普拉斯正变换 ❖拉普拉斯逆变换 ❖拉普拉斯变换的收敛域 ❖拉普拉斯变换的零极点图
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
9
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢定义一：从傅里叶变换引出
❖傅里叶变换
叶变换
x(t)et IFTX ( j)
1
X
(
j)e
jt d
2π
❖经整理，得到拉普拉斯逆变换
x(t) 1 jX (s)estds
2πj j
2021年1月21日星期四
信号与系统 第6章第1次课
17
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢拉普拉斯变换与傅里叶变换
❖拉普拉斯变换将信号x(t) 表示为复指数 est的加权组合，其权值正比于X(s)
第6章拉普拉氏变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方 程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
第6章 拉普拉斯变换
间后，其响应的输出分别为稳态值的63.2%、86.5%、95%、 98.2%和99.3%。由此可见，对典型一阶系统，它的过渡过程时间 大约为(3～5)T，到达稳态值的95%～99.3%。
第6章
拉普拉斯变换
【例2】若输入量 r t 为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量 c t 。
C ( s) 1 1 A B s Ts 1 s Ts 1
由上式有：
1 A(Ts 1) Bs ( AT B) s A s(Ts 1) s(Ts 1) s (Ts 1)
AT B 0 及 A 1
第6章
拉普拉斯变换
3) 用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入上式有：
L ［f n(t)］=snF(s)
(6- 3)
在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数 的拉氏式等于其象函数乘以sn。
第6章
拉普拉斯变换
证
d (t )] L f (t ) L[ f dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
2 2
n 2 1 1 1 C ( s) 2 2 2 T s 2 Ts 1 s s 2n s n 2 s
1 n T
（6-11）
第6章
拉普拉斯变换
2 2
s1,2 n n 2 1
1、当ξ=0(无阻尼)(零阻尼)时： 特征方程的根s1,2=±jωn，即为一对纯虚根。 当ξ=0时，式(6-11)为
(重根)。
当ξ=1时，由式(6-11)有
2 1 C ( s) 2 s 2n s n 2 s n 2 s ( s n ) 2
当ξ=1时，临界 阻尼时的阶跃响 应为单调上升曲 线。
第6章
拉普拉斯变换
【例2】若输入量 r t 为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量 c t 。
C ( s) 1 1 A B s Ts 1 s Ts 1
由上式有：
1 A(Ts 1) Bs ( AT B) s A s(Ts 1) s(Ts 1) s (Ts 1)
AT B 0 及 A 1
第6章
拉普拉斯变换
3) 用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入上式有：
L ［f n(t)］=snF(s)
(6- 3)
在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数 的拉氏式等于其象函数乘以sn。
第6章
拉普拉斯变换
证
d (t )] L f (t ) L[ f dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
2 2
n 2 1 1 1 C ( s) 2 2 2 T s 2 Ts 1 s s 2n s n 2 s
1 n T
（6-11）
第6章
拉普拉斯变换
2 2
s1,2 n n 2 1
1、当ξ=0(无阻尼)(零阻尼)时： 特征方程的根s1,2=±jωn，即为一对纯虚根。 当ξ=0时，式(6-11)为
(重根)。
当ξ=1时，由式(6-11)有
2 1 C ( s) 2 s 2n s n 2 s n 2 s ( s n ) 2
当ξ=1时，临界 阻尼时的阶跃响 应为单调上升曲 线。
第06章_拉普拉斯变换
f ( )e p ( t0 )d
0
e
t0 p
0
f ( )e p d
e
t0 p
f ( p)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
t
15
(6) 位移定理 [e 证明： [e
其中积分 f (t )e pt dt称为拉普拉斯积分，f ( p )称为函
0
数f (t )的拉普拉斯变换函数(像函数)，f (t )称为原函数。
拉普拉斯变换存在的充分条件：(1) 在0≤t<∞的任一有限 区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数 是处处连续的；(2) 存在常数M>0和σ≥0，使得对于任何 的t值(0≤t<∞)，有 f (t ) Me t σ的下界称为收敛横标，用σ0表示。特别说明：大多数函 数都满足该条件！
d
1 p f( ) a a
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
14
(5) 延迟定理
[ f (t t0 )] e
t0 p
f ( p)
pt
证明： [ f (t t0 )]
0
f (t t0 )e dt
WangChengyou © Shandong University, Weihai
Байду номын сангаас
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
11
(2) 导数定理
[ f '(t )] pf ( p) f (0)
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换
1的拉氏变换为
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[ f (t a)(t a)] eapF( p)
无锡职业技术学院数学教研室
(2)在使用该性质时,不能忽视假设条件a 0和当t 0时,f (t)=0
否则会引起混乱.该性质表明,f (t a)的拉氏变换等于f (t)的拉氏变
换乘以因子eap .
例7 求£[(t a)],(a 0).
(t
)
注:(1)此处定义的函数 (t)是广泛意义下的函数,它不能用逐点
的对应来定义(讲清该函数涉及大纲外的内容[实变函数与泛函分
析]);
(2)上述极限也不是通常定义的极限,在通常意义下,
lim
0
(t
)是
不存在, 只有广泛意义下, 这个极限才有效.
显然,对任何 0,有
无锡职业技术学院数学教研室
第一个积分为零,对于第二个积分,令t a u,则
£[ f (t a)] f (u)e p(au)dt eap f (u)e pudu eap F ( p)
0
0
说明: (1)在这个性质中, f (t a)表示函数f (t)在时间上滞后a个
单位,所以这个性质也常称为延滞性性质.也常表示为
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换
f1(x) ∗ f2 (x) =
∞
−∞ f1(x −η) f2 (η)dη
简单的证明过程要掌握
¾ δ函数有两个重要的特征
（1） δ(x)函数在x=0处为无穷大，在其它处为0；
（2）
δ(x)是归一化的分布函数，即
∫∞ δ (x)dx −∞
=1
¾ δ(x)函数具有挑选性
∫∞ −∞
f
(x)δ (x −
x0 )dx
0
0
p −α
eαt U 1
p −α
其中要求Rep>Reα
例3 求函数f(t)=tn的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ F ( p) = ∞ tn ⋅ e− ptdt 0
当n=1时，
∫ ∫ ∫ 方法1
F( p) =
∞
t
⋅ e− pt dt
=
d2 dp2
∞ e− pt dt
0
=
d2 dp2
⎛ ⎜ ⎝
1⎞
p
⎟ ⎠
=
2 p3
类推，有
tn
U
n! p n +1
例4 求函数f(t)=teαt的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ ∫ F ( p) = ∞ teαt ⋅ e− pt dt = ∞ te−( p−α )tdt
∫ F( p) =
∞
1⋅
e−
pt
dt
=
−
1
e− pt
∞
=
1
0
p 0p
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
第6章 拉普拉斯变换
1.叠加定理
L[ f1 (t ) ± f 2 (t )] = L[ f1 (t )] ± L[ f 2 (t )]
2.微分定理 零初始条件下，亦即
f (0) = f (0) = ⋯ = f (0) = 0
' n
有
L[ f (t )] = s F ( s )
n n
3.积分定理 零初始条件下，亦即
∫
f (t )dt
−
1 t RC
)
输入输出关系中含有微分，求解不便
二、拉普拉斯变换
为了简化输入输出关系的求解过程 引入拉普拉斯变换的概念
F ( s ) = L[ f (t )] = ∫
+∞Βιβλιοθήκη 0f (t )e dt
− st
s = σ + jω
f (t )
F ( s)
原函数
单值函数， 单值函数，一一对应关系
象函数
三、拉氏变换的主要运算定理
U i ( s ) = RCsU o ( s ) + U o ( s )
U o (s) 1 1 = = U i ( s ) Ts + 1 s + 1 T
(T = RC )
经一些处理，再拉氏反变换得
uo (t ) = 1 − e
− 1 t RC
五、响应曲线分析
c(t) 斜率=1/T r (t) 99.3% 5T t c (t)
（1）起点斜率
1 m= T
r(t) 1
T 对于一阶系统， 过渡时间大约为3~5T， 到达稳态值的95%~99.3%
0
63.2%
（2）过渡时间
86.5%
2T
95% 3T
98.2% 4T
L[ f1 (t ) ± f 2 (t )] = L[ f1 (t )] ± L[ f 2 (t )]
2.微分定理 零初始条件下，亦即
f (0) = f (0) = ⋯ = f (0) = 0
' n
有
L[ f (t )] = s F ( s )
n n
3.积分定理 零初始条件下，亦即
∫
f (t )dt
−
1 t RC
)
输入输出关系中含有微分，求解不便
二、拉普拉斯变换
为了简化输入输出关系的求解过程 引入拉普拉斯变换的概念
F ( s ) = L[ f (t )] = ∫
+∞Βιβλιοθήκη 0f (t )e dt
− st
s = σ + jω
f (t )
F ( s)
原函数
单值函数， 单值函数，一一对应关系
象函数
三、拉氏变换的主要运算定理
U i ( s ) = RCsU o ( s ) + U o ( s )
U o (s) 1 1 = = U i ( s ) Ts + 1 s + 1 T
(T = RC )
经一些处理，再拉氏反变换得
uo (t ) = 1 − e
− 1 t RC
五、响应曲线分析
c(t) 斜率=1/T r (t) 99.3% 5T t c (t)
（1）起点斜率
1 m= T
r(t) 1
T 对于一阶系统， 过渡时间大约为3~5T， 到达稳态值的95%~99.3%
0
63.2%
（2）过渡时间
86.5%
2T
95% 3T
98.2% 4T
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T2 T1
2 1
T2
T1
（2）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T1
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T1 dt
（3）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T 2
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T2 dt
x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
6.4 拉普拉斯变换的性质
1、 线性
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
ROC为 R1 ROC为 R2
L{x1 (t )} X1 (s)
ROC包括 R1 R2 （1）若 R1 R2 为空，则 X(s)无收敛域，x(t) 不存在拉普拉斯变换。 如前节例 b<0时 （2）X(s)的ROC可能比 R1 R2 大
求X(s)
1 1 x(t ) e 2t u (t ) [ e (13 j )t e (13 j ) t ]u (t ) 2 2 1 e 2t u (t ) s2 Re{s}>-2 1 e (13 j )t u (t ) Re{s}>-1 s (1 3 j )
2、时移 x(t ) X (s) 若 ROC=R 则 x(t t 0 ) e st 0 X (s) ROC=R 3 、S域平移 x(t ) X (s) ROC=R ROC如上表示是一种符号（边界变化）
e s0t x(t ) X ( s s0 )
ROC R Re{s0 } R1
x(t ) X (s)
L
X (s)
t jwt
s j
X ( j)
当实部为0，为傅立叶变换 F{x(t )} L{x(t )} s j X (s jw) [ x(t )e ]e dt 另有： 即： F{x(t )e t } L{x(t )}
0
0
1
T1
x(t ) e
- 1t
dt x(t ) e
T1
- 0 t
e
-( 1 0 )t
dt e
-( 1 0 ) ) e - 0t dt
Re{s} 1位于ROC内
即
Re{s} 1的全部s值位于ROC内
右边信号 对应 右半平面的ROC
jt
1 dt ( ) j
0
1 X (s) s
Re{s}
—拉普拉斯变换的收敛域 • 只有 0 时，才能令 Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： 解：
x(t ) e at u(t )
0
求拉氏变换
0
( s a )t e X ( s) e at e st dt sa Re{s} 0
N (s) D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子 多项式的根——零点 分母多项式的根——极点 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 极点。
6.1 拉普拉斯变换
6.1.1 定义 st st y ( t ) H ( s ) e e 已知：LTI系统对 的响应为： st H ( s ) h ( t ) e dt 其中 对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（ L ）定义为： st L { x ( t )} X ( s ) x ( t ) e dt s为复数： s j
0 0 0
例 x(t) eb t 求X（s） 解： x(t ) ebt u(t ) ebt u(t )
Re{s}>-b Re{s}<b 只有b>0时有公共收敛域：-b<Re{s}<b
1 1 2b X ( s) 2 s b s b s b2
1 e u (t ) sb 1 bt e u (t ) sb
求x(t)?
1 1 ( s 1) ( s 2)
a. 对右半平面的ROC 存在傅立叶变换 t 2t x ( t ) e u ( t ) e u(t ) b. 对左半平面的ROC 无傅立叶变换 c. 对带状的ROC x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
例4
4 1 x(t ) (t ) e t u(t ) e 2t u(t ) 3 3
L{ (t )} 1
t
1 L{e u (t )} s 1 1 L{e 2t u (t )} s2
？X(s) s为任意值 Re{s}>-1 Re{s}>2 Re{s}>2
4 1 (s 1) 2 X ( s) 1 3(s 1) 3(s 2) (s 1)(s 2)
ROC=R1 ROC=R2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 (s) X 2 (s) ROC包括 R1 R2
7、时域微分
x1 (t ) X 1 (s)
dx (t ) sX ( s ) dt
ROC=R ROC包括R， s=0处的零极点有变化
8、S域微分 ROC=R dX ( s ) tx(t ) ROC=R ds at x(t) te u(t) 的拉氏变换 例：求 1 L at e u ( t ) 解：由 s a Re{s}>-a d 1 1 L at te u(t) ( ) 得 ds s a (s a) 2 1 e u(t) 所以 Re{s}>-a (s a) 一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
5、共轭
ROC=R x * (t ) X * ( s*) ROC=R 推论：若 x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*) 因此若X(s)有零极点位于 s s0 必有一共轭的零极点位于 s s0*
x(t ) X (s)
6、卷积性质
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
1 sa
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。 收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。 注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。
例3 解：
x(t ) e 2t u(t ) e t cos(3t )u(t )
6.3 拉普拉斯反变换
定义式： 对于一般的X（s），上述积分的求值要利用 复平面的围线积分--不做讨论 重点掌握：有理变换，利用部分分式展开 法
1 j st x(t ) X ( s ) e ds j 2j
例： 解：展开为 X (s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
例 1 ： x(t ) eat u(t ) ， 为实数，求其傅立叶变 换和拉氏变换 1 0 X ( j) e e dt 解： a j
at jt 0
X ( s) e e dt e e
at st at 0 0
t
e
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。 左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC • 性质6：如果x(t)是双边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括 Re{s} 的一条带状区域。 双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的
1 ( s 1)(s 2)
Re{s}>-1
1 1 ( s 1) ( s 1)(s 2)
ROC为：Re{s}>-2
R1 R2 为：Re{s}>-1，但仅在s=-2有极点，
所以ROC向左延伸至s=-2 原因：s=-1处零、极点抵消 R1 R2 确定 ax1 (t ) bx2 (t ) 的ROC方法： （1）求 R1 R2 （2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点
对所有s ， T 即ROC为整个S平面
1
x(t ) e -t dt
T2
成立
• 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果 Re{s}= 0 位于ROC内，那么Re{s}> 0 的 全部s值都一定在ROC内。 右边信号：指 t T1 时，x(t)=0 证明：因为x(t)的拉氏变换对 0 收敛， x(t ) e- t dt x(t)是右边信号， 化为 x(t ) e - t dt 对于 1 0 ,有 T
ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 (s)
例：已知
X 1 (s) 1 s 1
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
Re{s}>-1，
X 2 ( s)
求X（s）? 解： X (s) X 1 (s) X 2 (s)
s 1 1 ( s 1)(s 2) ( s 2)
因为ROC不包括 jw的轴（即 Re{s}=0） 所以x(t)无傅立叶变化
6.2 拉普拉斯变换收敛域
极点和ROC的关系； 极点、ROC与信号时域性质的关系
性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的 带状区域组成。 由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件）， -t x ( t ) e dt ，仅与s的实部 有关 要求 有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝 对可积 F收敛
第六章 拉普拉斯变换
2 1
T2
T1
（2）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T1
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T1 dt
（3）当 0时
T2 -t T1
e -t e -T 2
T2 T1
x(t ) e dt x(t ) e -T2 dt
x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
6.4 拉普拉斯变换的性质
1、 线性
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
ROC为 R1 ROC为 R2
L{x1 (t )} X1 (s)
ROC包括 R1 R2 （1）若 R1 R2 为空，则 X(s)无收敛域，x(t) 不存在拉普拉斯变换。 如前节例 b<0时 （2）X(s)的ROC可能比 R1 R2 大
求X(s)
1 1 x(t ) e 2t u (t ) [ e (13 j )t e (13 j ) t ]u (t ) 2 2 1 e 2t u (t ) s2 Re{s}>-2 1 e (13 j )t u (t ) Re{s}>-1 s (1 3 j )
2、时移 x(t ) X (s) 若 ROC=R 则 x(t t 0 ) e st 0 X (s) ROC=R 3 、S域平移 x(t ) X (s) ROC=R ROC如上表示是一种符号（边界变化）
e s0t x(t ) X ( s s0 )
ROC R Re{s0 } R1
x(t ) X (s)
L
X (s)
t jwt
s j
X ( j)
当实部为0，为傅立叶变换 F{x(t )} L{x(t )} s j X (s jw) [ x(t )e ]e dt 另有： 即： F{x(t )e t } L{x(t )}
0
0
1
T1
x(t ) e
- 1t
dt x(t ) e
T1
- 0 t
e
-( 1 0 )t
dt e
-( 1 0 ) ) e - 0t dt
Re{s} 1位于ROC内
即
Re{s} 1的全部s值位于ROC内
右边信号 对应 右半平面的ROC
jt
1 dt ( ) j
0
1 X (s) s
Re{s}
—拉普拉斯变换的收敛域 • 只有 0 时，才能令 Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： 解：
x(t ) e at u(t )
0
求拉氏变换
0
( s a )t e X ( s) e at e st dt sa Re{s} 0
N (s) D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子 多项式的根——零点 分母多项式的根——极点 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶 极点。
6.1 拉普拉斯变换
6.1.1 定义 st st y ( t ) H ( s ) e e 已知：LTI系统对 的响应为： st H ( s ) h ( t ) e dt 其中 对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（ L ）定义为： st L { x ( t )} X ( s ) x ( t ) e dt s为复数： s j
0 0 0
例 x(t) eb t 求X（s） 解： x(t ) ebt u(t ) ebt u(t )
Re{s}>-b Re{s}<b 只有b>0时有公共收敛域：-b<Re{s}<b
1 1 2b X ( s) 2 s b s b s b2
1 e u (t ) sb 1 bt e u (t ) sb
求x(t)?
1 1 ( s 1) ( s 2)
a. 对右半平面的ROC 存在傅立叶变换 t 2t x ( t ) e u ( t ) e u(t ) b. 对左半平面的ROC 无傅立叶变换 c. 对带状的ROC x(t ) e t u(t ) e 2t u(t )
例4
4 1 x(t ) (t ) e t u(t ) e 2t u(t ) 3 3
L{ (t )} 1
t
1 L{e u (t )} s 1 1 L{e 2t u (t )} s2
？X(s) s为任意值 Re{s}>-1 Re{s}>2 Re{s}>2
4 1 (s 1) 2 X ( s) 1 3(s 1) 3(s 2) (s 1)(s 2)
ROC=R1 ROC=R2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 (s) X 2 (s) ROC包括 R1 R2
7、时域微分
x1 (t ) X 1 (s)
dx (t ) sX ( s ) dt
ROC=R ROC包括R， s=0处的零极点有变化
8、S域微分 ROC=R dX ( s ) tx(t ) ROC=R ds at x(t) te u(t) 的拉氏变换 例：求 1 L at e u ( t ) 解：由 s a Re{s}>-a d 1 1 L at te u(t) ( ) 得 ds s a (s a) 2 1 e u(t) 所以 Re{s}>-a (s a) 一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
5、共轭
ROC=R x * (t ) X * ( s*) ROC=R 推论：若 x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*) 因此若X(s)有零极点位于 s s0 必有一共轭的零极点位于 s s0*
x(t ) X (s)
6、卷积性质
x1 (t ) X 1 (s)
x2 (t ) X 2 (s)
1 sa
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。 收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。 注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。
例3 解：
x(t ) e 2t u(t ) e t cos(3t )u(t )
6.3 拉普拉斯反变换
定义式： 对于一般的X（s），上述积分的求值要利用 复平面的围线积分--不做讨论 重点掌握：有理变换，利用部分分式展开 法
1 j st x(t ) X ( s ) e ds j 2j
例： 解：展开为 X (s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
例 1 ： x(t ) eat u(t ) ， 为实数，求其傅立叶变 换和拉氏变换 1 0 X ( j) e e dt 解： a j
at jt 0
X ( s) e e dt e e
at st at 0 0
t
e
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。 左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC • 性质6：如果x(t)是双边信号，且若 Re{s} 位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括 Re{s} 的一条带状区域。 双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的
1 ( s 1)(s 2)
Re{s}>-1
1 1 ( s 1) ( s 1)(s 2)
ROC为：Re{s}>-2
R1 R2 为：Re{s}>-1，但仅在s=-2有极点，
所以ROC向左延伸至s=-2 原因：s=-1处零、极点抵消 R1 R2 确定 ax1 (t ) bx2 (t ) 的ROC方法： （1）求 R1 R2 （2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点
对所有s ， T 即ROC为整个S平面
1
x(t ) e -t dt
T2
成立
• 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果 Re{s}= 0 位于ROC内，那么Re{s}> 0 的 全部s值都一定在ROC内。 右边信号：指 t T1 时，x(t)=0 证明：因为x(t)的拉氏变换对 0 收敛， x(t ) e- t dt x(t)是右边信号， 化为 x(t ) e - t dt 对于 1 0 ,有 T
ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 (s)
例：已知
X 1 (s) 1 s 1
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
Re{s}>-1，
X 2 ( s)
求X（s）? 解： X (s) X 1 (s) X 2 (s)
s 1 1 ( s 1)(s 2) ( s 2)
因为ROC不包括 jw的轴（即 Re{s}=0） 所以x(t)无傅立叶变化
6.2 拉普拉斯变换收敛域
极点和ROC的关系； 极点、ROC与信号时域性质的关系
性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的 带状区域组成。 由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件）， -t x ( t ) e dt ，仅与s的实部 有关 要求 有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝 对可积 F收敛
第六章 拉普拉斯变换