边缘分布与条件分布

i 1



i 1
j 1,2,
二维离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分 别为:
FX ( x) F ( x, ) pij ,

FY ( y) F (, y)
xi x j 1
y j y i 1
p .
ij
pi . P{ X xi } pij , i 1, 2,;

y x2
O

y
y
6d x
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )

j 1



i 1, 2 ,
X xi X xi , Y y j j 1
j 1
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律（即Y的分布律）为:
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
第二节
边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度
课堂练习
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数 F x , y , 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x , FY y , 依次称为二维随机 变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数. 关系式:
记住：
fY ( y) FY ( y) fY ( y )



f ( x, y) d x.
f X (x) f (x, y)d y,


f (x, y)d x.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
记住：
FX x F x ,
FY y F , y
二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律
一般地，对二维离散型随机变量 ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,

(X,Y) 关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:
P X xi P X xi ,Y y j pij pi .
3
4
0 0
0
1 16 1 16 1 16 1 16
Y
X
1
2
3
1 12
4
p j P{Y y j }
25 48 13 48 7 48 3 48
1 2
1 4
1 8 1 8
0 0 0
1 4
1 12
1 12
3
4
0 0
1 4
0
1 4
1 16 1 16 1 16 1 16
1 4
pi P{ X xi }
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
0 1
0
12 49 12 49
1
12 49
6 49
解
4 12 12 P{X 0} 42 42 7 4 12 12 P{Y 0} 42 42 7
P{X
P{Y
1}
12 6 3 42 42 7
12 6 3 1} 7 42 42
解 f X ( x)

f ( x, y) d y

y y x
(1,1)
当 0 x 1 时,
f X ( x)
f ( x, y ) d y
x x
y x2
O
2 6d y
x
6( x x 2 ).
y y x
(1,1)
y x2
当 x 0 或 x 1时,
[

x


f (u, v) d v]d u,
故关于X的边缘概率密度 ( x) f ( x, y) d y, f X ( x)=FX

同理由
FY ( y) F (, y) [ f (u, v)d u] d v,

y

可得关于 Y 的边缘概率密度
p. j P{Y y } p , j 1, 2,. j ij
i 1
j 1

Y
X
x1
x2

xi

y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j


pi 1 pi 2 pij
பைடு நூலகம்




我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
f X ( x)
因而得

O

x
f ( x, y) d y 0d y 0.
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
下求：fY ( y)


f ( x, y) d x
y y x
(1,1)
当 0 y 1 时, fY ( y ) f ( x , y ) d x
Y X
0

1
12 42 6 42
012 42 12 142 pi P{ X xi } 4 7
3 7
p j P{Y y j } 4 7 3 7 1
边缘分布
注意
联合分布
例2 已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
1
2
3
1 12
4
1 2
1 4
1 8 1 8
0 0 0
1 12
1 12
1
三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y f 各自的概率密度,分别记为： X ( x), fY ( y)， 下面讨论二维
连续型随机变量 ( X , Y )的概率密度 f ( x, y)与f X ( x)及
fY ( y)之间的关系:
由于
FX ( x) F ( x, )