黄金分割典例分析

黄金分割典例分析

黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容，考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题．下面举例予以说明．

例1 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是（ ）

A ．512-

B ．352-

C ．512+

D ．

352+ 分析:设AB=1,AC=x,则BC=1-x ．根据定义可知.11x x x

-=解得x=512

-．故选A ． 评注:黄金分割是成比例线段的一个特例．一条线段的黄金分割点是指把一条线段分成两条线段,其中较长的线段是较段线段和全线段的比例中项．在解决这类问题时一般将等积式与比例式互化,黄金比的比值约为0．618,其在生活中有着广泛应用．

例2 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造

一座高2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方

案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常

用于人体雕像的设计中．如图2是小兵同学根据黄金

分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕

像下部的设计高度(精确到0.01m ，参考数据：

2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)是（ ）．

A ．0．62m

B ．0．76m

C ．1．24m

D ．1．62m

分析：由题意知，B 点是雕像的黄金分割点，所以

BC=22

1236.2215⨯-≈-AC =1．236≈1.24m ．故选C ． 评注:黄金分割既是线段的比,成比例线段的应用,同时也蕴含着丰富的文化价值,是密切数学与现实生活之间联系的重要内容．如:人体肚脐以下高度与身高之比接近0.618;在探索最优生产方案时,人们常用的“优选法”中有“ 0.618法”；在人体

小资料 雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度之比等于下部与全部的高度比，这一比值是黄金分割数。 图2 B A C A B C 图1

绘画、雕塑等方面艺术家多以这个比作为美学标准等．

例3 (孝感)宽与长的比是512-的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图3所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD ； 第二步：分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连接MN ；

第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；

第四步：过E 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ，

请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB=2）．

分析:欲证明矩形DCEF 为黄金矩形,只需证明矩形DCEF 的宽与长的比为51

2-,

也就是证明=CD CE 51

2-,我们不妨设正方形ABCD 的边长为2,于是NC=1,DC=2,

根据勾股定理求DN,从而求得CE,于是CD CE

的比值即可求出．

证明：在正方形ABCD 中，取AB=2．

∵N 为BC 的中点，∴NC=1

12BC =．

在Rt △DNC 中，2222125DN NC CD =+=+=

又∵NE=ND ，∴CE=NE-NC=51-,51

2CE CD -∴=,

故矩形DCEF 为黄金矩形．

评注: 本题首先给出了“黄金矩形”的定义．然后通过作图提供的信息，理解这里面蕴涵的道理，将它迁移，则可以顺利地解决后面的问题．此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程,符合学生的认知规律,是中考的热点题目之一．

图3