整体把握高中课程提高效率-首都师范大学教授讲稿整理
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一、“重视基础”——高考试题趋势
二、 整体把握高中数学课程
三、抓住数学本质 四、通性通法
五、帮助学生养成好习惯
一、“重视基础”——高考试题趋势
高考试题分类
1、基本题 2、把关题 3、难 题 ——以数列试题为例
一、“重视基础” ——基本题
高考的招生人数已达到70%的前提下，试卷的选拔功能必 然发生变化，至少要能区分70% 以上的考生，淘汰不到30% 的考生．数学优秀的考生会有其他的渠道选拔(如自主招生)， 这样的选拔机制将得到不断的完善，高考不是选拔数学优秀 学生主要渠道。 • 高考的“基本试题”应让全体考生都能入手，这些试题应 该以实现高中数学课程目标的基本内容为载体，这些内容不 仅是基本的，也是重要的 ，同时，在不同水平层面上显示学 生数学学习水平。 • 在今年的试题中，这些“基本试题”在试卷中占有很大比 例，以下选择一些典型的试题，分析其基本、重要，以及学 习、理解时的差异，这些差异自然产生区分。
一、“重视基础” ——把关题
• •
等比数列的连续 项的积仍是指数幂的形式，底数不变，指数是连续m 项等差数列的和，在等差数列日常教学，认识等差数列概念时，应该强调 相邻项差一个公差d，间隔一项的两项差2d，首项与通项an（间隔n-2项 ）差（n－1）d，新数列每一项的指数为项的数列仍是等差数列（公差是 m2），新数列一定是等比数列； • 最后，需要算一下公比，指数的公差m2产生的幂qm2，选前两项算一次 就可以，这是考试技巧。
一、“重视基础” ——基本题
• • 例1和例2的第一问是基本内容不会有异议。
但是，这样问题仍会有区分度，有相当多的学生都不能推导出这 些基本的公式。 • 有一些老师会质疑这不是鼓励“死记硬背”吗？恰恰相反，我们需 要反复、深入理解这些基本内容含义，学好这些不是为了做题，做题 是为了更好理解这些基本的内容，掌握高中数学，数学最重要的思想 都是通过这些基本内容体现的。
问 题
• 高考复习 • 知识梳理——忘了？
• • • • 专题深入 查漏补缺 攻关冲刺 心理疏导
问题
•
不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、 教学效率？ • 如何让学生喜欢您——喜欢数学？ • 如何调动学生学习激情、主动精神？ • “做得快”是数学教育主要价值追求？
•
如何帮助学生学会学习？
目 录
一、“重视基础” ——把关题
(2013 年福建理 9)已知等比数列{an}的公比为 q，记
bn am ( n1)1 am ( n1) 2 am ( n1) m ， cn am ( n1)1 am ( n1) 2 am ( n1) m ， (m, n N *)
• • • • • • • • • 例2，(2013年陕西理17)(本小题满分12分) 设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1， 证明数列 {a 1} 不是等比数列.
n
例3，(2013年陕西文19) (本小题满分14分) 设Sn表示数列{an}的前n项和． (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； 1 qn , (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有 Sn 1 q 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
一、“重视基础” ——难题
• 高考试卷中必然会有难题，用来区分高 端考生．2013年多数高考试卷中都有好的 、严格遵循课程标准和考试大纲的难题． 以数学的核心内容、核心方法、核心思想 可以命制不超纲区分高端考生的难题．
一、“重视基础” ——难题
(2013 年北京理 20)(本小题共 13 分) 已知 {a n } 是由非负整数组成的无穷数列． 该数列前 n 项的最大值记为 A n ， 第 n 项之后各项 a n 1 , a n 2 , 的最小值记为 B n ， d n A n B n ． (Ⅰ)若 {a n } 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3, ，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n N* ， a n 4 a n )，写出 d 1 ， d 2 ， d 3 ，
1 2 n
n
n
n
一、“重视基础” ——基本题
• 在高中课程中，“函数内容”是主线 之一，数列是最基本函数形式，其中，数 列核心内容是对等差、等比数列认识。 • 以上三道数列的试题都是考察数列基本 内容。（包括：知识认识、技能使用、思 想渗透）
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • 例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比数列{an}满足： │a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)是否存在正整数m，使得
的等比数列，
1 1 1 1 , n为偶数, 1 1 1 从而 5 1. a1 a2 an a1 a2 an n为奇数. 0,
综上，对任何正整数 m，总有 1
a1
1 1 1. a2 an
一、“重视基础” ——基本题
•
一、“重视基础” ——基本题
• • • 例3第一问是基本要求 在日常教学中，一定要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。一般 我们称为“知三求二”，即在首项、等比值、项数n、通项、前n项和“知三 求二” 。 这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和 q，就具有区分度。例如，有的学生会做的好一些，例如，可以先求出a1q， 从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5； 再由第一个条件，求解q的一元绝对值方程；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、 －5。
一、“重视基础” ——基本题
• 高考一个重要方向——考察基本结果
• • 余弦定理 向量基本定理
一、“重视基础” ——把关题
• 每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，能 否用基础内容设计好的数学试卷的把关题，是反映命题者命题水平高 低的试金石． • 有些试卷把课程中一些非主干、次要的内容，超越一般性“理解” 的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高．这样做导向不好， 应该导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、 核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法． • 因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比 例还是分数权重上都应该是重点．即便是把关题，也最好是尽量难在 基础和核心内容的考查上． • 数学试题难度可以反映在技巧上，也可以反映在思想理解上，希望 命题者在后者下些功夫，这很具挑战。今年不少高考数学试卷中，都 有一些很好的把关题．我们选了一道数列题进行分析。
整体把握数学课程 提高日常教学效率
——从高考视角说起
首都师范大学 王尚志
问 题
• 1、新课标卷的变化及应对。 • 2、数学教师应该具备什么样的素质，采取哪些教学策略，带出更多 的数学高分学生？ • 3、湖南卷最后一道题如何分解难度？ • 4、文科学生要学习到什么程度才能突破填空题最后一题的最后一问 和最后一个解答题？ • 5、怎样调节文科学生在感性思维和理性思维培养之间的矛盾? • 6、数学课是学校开课最多的科目，怎样才能从繁重的工作中解脱出 来？ • 7、在高考题中解答题有可能出现哪些变化？ • 8、新课标中对数列、不等式、圆锥曲线中的双曲线等内容的要求明 显降低，针对这些内容高考在命题方式上可能做哪些调整？
一、“重视基础” ——基本题
• 例1和例2的第二问也都是考察等比数列的概念，要求学生会使用 等差、等比数列的定义进行判断。 • 例1的第二问容易一些，需要了解比的基本性质，两个数比值不为 1时，两个分别加一个数，它们和的比值与原比值不等，这是分数不 等性质一个推广。 • 例2的第二问要难一些，首先需要理解通项an与前n项和Sn的关系 ，即an＝Sn－Sn－1；前者反映了后者的变化，后者是前者的积累，用 分析的术语，后者是前者的积分，前者是后者的“导数”。 • 在日常教学时，不是形式地介绍这些术语，而是用学生可以理解语 言解释其意义；求解第二问还需要用到一个推理常识，否定一个结论 ，只需要举出一个反例，讨论一下：a2：a1 和a3：a2 就可以了，通 过简单因式分解就可以得到结果。这些要求应该是高中数学的基本要 求。
1 1 1 1? a1 a2 an
• 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • • • • • 例3第一问是基本要求 问题的条件是等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125，进而讨论 等比数列的其他结果。 什么是反映等比数列的本质？ 等比数列首项a1和公比q是最本质条件。为什么？ 等比数列的定义 ：an =q an-1 （n>2）。 这个式子又称为迭代公式，只要知道首项，就可求出任意一项的值，这个 思想是求解绝大多数微分方程和差分方程基本思路。 在某些特定条件下，可以求出通项an的解析表达式，例如，等差、等比。 哪些数列能求出通项公式，可以查阅选修课“数列与差分”。 我们要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。这个问题就变成由两 个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就会有区分，例如， 有的学生会做的比较直接，可以从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5，第一 个条件就变成q的一元方程，即 （a1q）q；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、－5； 故 或an = 5(1)n1．
•
•
•
一、“重视基础” ——基本题
• • 第二问需要两步思考. 第一步，等比数列每一项倒数组成的数列仍是等比数列，虽然不 难，会产生区分， • 第二步的思路：或否定以下不等式，或求解不等式，找出满足不 等式的n值 。 • 本题是前者。分两种情况： •
一、“重视基础” ——基本题
1） 、若
1 3 1 是首项为 , 公比为 的等比数列， 5 3 an
则以下结论一定正确的是( A. 数列{bn}为等差数列，公差为 q m C. 数列{cn}为等比数列，公比为 q m
2
) B. 数列{bn}为等比数列，公比为 q 2 m D. 数列{cn}为等比数列，公比为 q m
m
一、“重视基础” ——把关题
• • •
本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列。 首先，需要判断这两个新数列都是由原等比数列的连续m项构成，前一 个是连续m项的和构成，后一个是连续m项的积构成； • 进而，分析两个新数列相邻两项有什么特点和关系，对等比数列连续 m项和、积的认识是基础，等比数列连续m项和仍是等比数列和，仅仅是 首项和项数不同，其和是个分式，很自然会分析数列{bn}相邻两项的比都 不会是常数，不需要做具体计算，这是一种直觉，选项A、B显然错误。
•
ห้องสมุดไป่ตู้
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • • • • • • • • • 例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 1? (Ⅱ)是否存在正整数m，使得 a a a 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由． 例2，(2013年陕西理17). (本小题满分12分) 设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1， 证明数列 {a 1} 不是等比数列. 例3，(2013年陕西文19) 设Sn表示数列{an}的前n项和． (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对 所 有 正 整 数 n， 有 S 11qq , 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
n 3 1 1 n 3 1 1 1 5 9 1 9 1 1. 有 1 a1 a2 an 10 3 10 1 3
2） 、若
1 1 是首项为 , 公比为1 5 an
二、 整体把握高中数学课程
三、抓住数学本质 四、通性通法
五、帮助学生养成好习惯
一、“重视基础”——高考试题趋势
高考试题分类
1、基本题 2、把关题 3、难 题 ——以数列试题为例
一、“重视基础” ——基本题
高考的招生人数已达到70%的前提下，试卷的选拔功能必 然发生变化，至少要能区分70% 以上的考生，淘汰不到30% 的考生．数学优秀的考生会有其他的渠道选拔(如自主招生)， 这样的选拔机制将得到不断的完善，高考不是选拔数学优秀 学生主要渠道。 • 高考的“基本试题”应让全体考生都能入手，这些试题应 该以实现高中数学课程目标的基本内容为载体，这些内容不 仅是基本的，也是重要的 ，同时，在不同水平层面上显示学 生数学学习水平。 • 在今年的试题中，这些“基本试题”在试卷中占有很大比 例，以下选择一些典型的试题，分析其基本、重要，以及学 习、理解时的差异，这些差异自然产生区分。
一、“重视基础” ——把关题
• •
等比数列的连续 项的积仍是指数幂的形式，底数不变，指数是连续m 项等差数列的和，在等差数列日常教学，认识等差数列概念时，应该强调 相邻项差一个公差d，间隔一项的两项差2d，首项与通项an（间隔n-2项 ）差（n－1）d，新数列每一项的指数为项的数列仍是等差数列（公差是 m2），新数列一定是等比数列； • 最后，需要算一下公比，指数的公差m2产生的幂qm2，选前两项算一次 就可以，这是考试技巧。
一、“重视基础” ——基本题
• • 例1和例2的第一问是基本内容不会有异议。
但是，这样问题仍会有区分度，有相当多的学生都不能推导出这 些基本的公式。 • 有一些老师会质疑这不是鼓励“死记硬背”吗？恰恰相反，我们需 要反复、深入理解这些基本内容含义，学好这些不是为了做题，做题 是为了更好理解这些基本的内容，掌握高中数学，数学最重要的思想 都是通过这些基本内容体现的。
问 题
• 高考复习 • 知识梳理——忘了？
• • • • 专题深入 查漏补缺 攻关冲刺 心理疏导
问题
•
不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、 教学效率？ • 如何让学生喜欢您——喜欢数学？ • 如何调动学生学习激情、主动精神？ • “做得快”是数学教育主要价值追求？
•
如何帮助学生学会学习？
目 录
一、“重视基础” ——把关题
(2013 年福建理 9)已知等比数列{an}的公比为 q，记
bn am ( n1)1 am ( n1) 2 am ( n1) m ， cn am ( n1)1 am ( n1) 2 am ( n1) m ， (m, n N *)
• • • • • • • • • 例2，(2013年陕西理17)(本小题满分12分) 设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1， 证明数列 {a 1} 不是等比数列.
n
例3，(2013年陕西文19) (本小题满分14分) 设Sn表示数列{an}的前n项和． (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； 1 qn , (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有 Sn 1 q 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
一、“重视基础” ——难题
• 高考试卷中必然会有难题，用来区分高 端考生．2013年多数高考试卷中都有好的 、严格遵循课程标准和考试大纲的难题． 以数学的核心内容、核心方法、核心思想 可以命制不超纲区分高端考生的难题．
一、“重视基础” ——难题
(2013 年北京理 20)(本小题共 13 分) 已知 {a n } 是由非负整数组成的无穷数列． 该数列前 n 项的最大值记为 A n ， 第 n 项之后各项 a n 1 , a n 2 , 的最小值记为 B n ， d n A n B n ． (Ⅰ)若 {a n } 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3, ，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n N* ， a n 4 a n )，写出 d 1 ， d 2 ， d 3 ，
1 2 n
n
n
n
一、“重视基础” ——基本题
• 在高中课程中，“函数内容”是主线 之一，数列是最基本函数形式，其中，数 列核心内容是对等差、等比数列认识。 • 以上三道数列的试题都是考察数列基本 内容。（包括：知识认识、技能使用、思 想渗透）
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • 例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比数列{an}满足： │a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)是否存在正整数m，使得
的等比数列，
1 1 1 1 , n为偶数, 1 1 1 从而 5 1. a1 a2 an a1 a2 an n为奇数. 0,
综上，对任何正整数 m，总有 1
a1
1 1 1. a2 an
一、“重视基础” ——基本题
•
一、“重视基础” ——基本题
• • • 例3第一问是基本要求 在日常教学中，一定要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。一般 我们称为“知三求二”，即在首项、等比值、项数n、通项、前n项和“知三 求二” 。 这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和 q，就具有区分度。例如，有的学生会做的好一些，例如，可以先求出a1q， 从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5； 再由第一个条件，求解q的一元绝对值方程；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、 －5。
一、“重视基础” ——基本题
• 高考一个重要方向——考察基本结果
• • 余弦定理 向量基本定理
一、“重视基础” ——把关题
• 每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，能 否用基础内容设计好的数学试卷的把关题，是反映命题者命题水平高 低的试金石． • 有些试卷把课程中一些非主干、次要的内容，超越一般性“理解” 的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高．这样做导向不好， 应该导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、 核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法． • 因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比 例还是分数权重上都应该是重点．即便是把关题，也最好是尽量难在 基础和核心内容的考查上． • 数学试题难度可以反映在技巧上，也可以反映在思想理解上，希望 命题者在后者下些功夫，这很具挑战。今年不少高考数学试卷中，都 有一些很好的把关题．我们选了一道数列题进行分析。
整体把握数学课程 提高日常教学效率
——从高考视角说起
首都师范大学 王尚志
问 题
• 1、新课标卷的变化及应对。 • 2、数学教师应该具备什么样的素质，采取哪些教学策略，带出更多 的数学高分学生？ • 3、湖南卷最后一道题如何分解难度？ • 4、文科学生要学习到什么程度才能突破填空题最后一题的最后一问 和最后一个解答题？ • 5、怎样调节文科学生在感性思维和理性思维培养之间的矛盾? • 6、数学课是学校开课最多的科目，怎样才能从繁重的工作中解脱出 来？ • 7、在高考题中解答题有可能出现哪些变化？ • 8、新课标中对数列、不等式、圆锥曲线中的双曲线等内容的要求明 显降低，针对这些内容高考在命题方式上可能做哪些调整？
一、“重视基础” ——基本题
• 例1和例2的第二问也都是考察等比数列的概念，要求学生会使用 等差、等比数列的定义进行判断。 • 例1的第二问容易一些，需要了解比的基本性质，两个数比值不为 1时，两个分别加一个数，它们和的比值与原比值不等，这是分数不 等性质一个推广。 • 例2的第二问要难一些，首先需要理解通项an与前n项和Sn的关系 ，即an＝Sn－Sn－1；前者反映了后者的变化，后者是前者的积累，用 分析的术语，后者是前者的积分，前者是后者的“导数”。 • 在日常教学时，不是形式地介绍这些术语，而是用学生可以理解语 言解释其意义；求解第二问还需要用到一个推理常识，否定一个结论 ，只需要举出一个反例，讨论一下：a2：a1 和a3：a2 就可以了，通 过简单因式分解就可以得到结果。这些要求应该是高中数学的基本要 求。
1 1 1 1? a1 a2 an
• 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • • • • • 例3第一问是基本要求 问题的条件是等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125，进而讨论 等比数列的其他结果。 什么是反映等比数列的本质？ 等比数列首项a1和公比q是最本质条件。为什么？ 等比数列的定义 ：an =q an-1 （n>2）。 这个式子又称为迭代公式，只要知道首项，就可求出任意一项的值，这个 思想是求解绝大多数微分方程和差分方程基本思路。 在某些特定条件下，可以求出通项an的解析表达式，例如，等差、等比。 哪些数列能求出通项公式，可以查阅选修课“数列与差分”。 我们要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。这个问题就变成由两 个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就会有区分，例如， 有的学生会做的比较直接，可以从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5，第一 个条件就变成q的一元方程，即 （a1q）q；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、－5； 故 或an = 5(1)n1．
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•
•
一、“重视基础” ——基本题
• • 第二问需要两步思考. 第一步，等比数列每一项倒数组成的数列仍是等比数列，虽然不 难，会产生区分， • 第二步的思路：或否定以下不等式，或求解不等式，找出满足不 等式的n值 。 • 本题是前者。分两种情况： •
一、“重视基础” ——基本题
1） 、若
1 3 1 是首项为 , 公比为 的等比数列， 5 3 an
则以下结论一定正确的是( A. 数列{bn}为等差数列，公差为 q m C. 数列{cn}为等比数列，公比为 q m
2
) B. 数列{bn}为等比数列，公比为 q 2 m D. 数列{cn}为等比数列，公比为 q m
m
一、“重视基础” ——把关题
• • •
本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列。 首先，需要判断这两个新数列都是由原等比数列的连续m项构成，前一 个是连续m项的和构成，后一个是连续m项的积构成； • 进而，分析两个新数列相邻两项有什么特点和关系，对等比数列连续 m项和、积的认识是基础，等比数列连续m项和仍是等比数列和，仅仅是 首项和项数不同，其和是个分式，很自然会分析数列{bn}相邻两项的比都 不会是常数，不需要做具体计算，这是一种直觉，选项A、B显然错误。
•
ห้องสมุดไป่ตู้
一、“重视基础” ——基本题
• • • • • • • • • • • • • 例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 1? (Ⅱ)是否存在正整数m，使得 a a a 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由． 例2，(2013年陕西理17). (本小题满分12分) 设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1， 证明数列 {a 1} 不是等比数列. 例3，(2013年陕西文19) 设Sn表示数列{an}的前n项和． (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对 所 有 正 整 数 n， 有 S 11qq , 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
n 3 1 1 n 3 1 1 1 5 9 1 9 1 1. 有 1 a1 a2 an 10 3 10 1 3
2） 、若
1 1 是首项为 , 公比为1 5 an