椭圆的焦点三角形
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D. 1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ace ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.631.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.152.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b29b2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：。
椭圆中焦点三角形的性质
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31 C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ，∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，1F 2|2＋2|2＝1|2，即4c 2＋b 2＝1|2.而1|＋2|＝＋b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2， 所以3b ＝2a .所以＝.∴e 2＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：2。
椭圆焦点三角形的面积公式
椭圆焦点三角形的面积公式
椭圆焦点三角形也叫椭圆酉三角形，三角形一般由椭圆上两个焦
点O1和O2以及椭圆周上一点P构成。
椭圆焦点三角形的面积公式为：S = |OO1 × OO2 × a| / 6，其中OO1和OO2分别表示椭圆上两个焦
点之间的距离，a表示椭圆的长轴半径。
椭圆焦点三角形的形成有很多种情况：
一、当椭圆上的三点共线时，椭圆焦点三角形的面积为零，因为
在此情况下三点重合，没有三角形的形成。
二、当三点不共线时，根据椭圆焦点三角形的面积公式，可以计
算出这三角形的面积。
三、如果椭圆的两个焦点落在三点的延长线上时，椭圆焦点三角
形的面积也为零，因为此时三角形边长小于椭圆两个焦点間的距离，
因此不存在三角形，即三角形面积为零。
四、如果椭圆的两个焦点分别落在三角形的三条边上，则椭圆焦
点三角形的面积等于三角形的面积。
椭圆焦点三角形的面积公式是求解椭圆焦点三角形面积的有效工具，可用于几何分析和图形计算。
该公式既适用于共线的情况，也适
用于不共线的情况，可以让我们准确求得椭圆焦点三角形的面积，这
在几何图形分析中非常有用。
理解椭圆焦点三角形的特性并应用面积
公式可以让我们更好地分析几何图形。
椭圆的性质二 焦点三角形的性质
|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2
专题之八 椭圆的焦点三角形
设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2=600,求椭圆的离心率的取值范围.
点P(x0，y0)为椭圆 (a>b>0)上的一点当焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2为钝角时,求x0的取值范围.
7(1)设P是椭圆 上的任意一点，F1，F2是其两焦点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β
∵ ，
∴ 点M恒在圆x2+y2=a2上．
5.设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则点P为短轴的端点时， 最大.
证明：如图5在 PF1F2中，由余弦定理可得：
cos = =
= =1-2
当且仅当 ，即点P为为短轴的端点时 最大.
6.(1)设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则 .
专题之七椭圆的焦点三角形
椭圆 上任意一点P(非长轴端点)与两个焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三角形 PF1F2.如图1.
1.焦点三角形的周长为定值2(a+c).
证明：∵顶点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a.
故l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2(a+c).
即周长是定值.
2.设F1、F2是椭圆的两焦点，P是平面上的一点，2a是椭圆的长轴长，求证：点P在椭
∵I是 PF1F2的内心，由想一想 (2)知， .由定比分点公式得内心I,即 .∴内心I的轨迹为椭圆.
且 = = = = .
(4)设点M为旁切圆的圆心，T1、T2、T3分别为切点，
AT3=x，如图9所示.∵|F1T1|=|PF1|+|PT1|=|PF1|+|PT2|
椭圆焦点三角形的几个性质
学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学 山东 招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。
焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。
性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。
在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。
当且仅当1r =2r 时取得等号。
即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。
由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。
即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。
点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。
椭圆的焦点三角形专题
椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中，（1）.c F F a PF PF 2||,2||||2121==+.（2）.焦点三角形的周长为.22c a L +=（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=.（4）.焦点三角形的面积为：2tansin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=.①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）.假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，进一步，有222212,PF PF a ex b a ⎡⎤∙=-∈⎣⎦推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,122220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=.同理可证得01||ex a PF -=.（7）.设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[20a x ∈,故我们有222222212,PF PF b c e x b c b ⎡⎤∙=-+∈-⎣⎦（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e （9）若λ=⋅21PF PF ，对椭圆有221b b S PF F -=∆λ，若21PF PF λ=，对于椭圆，有222)11(21λλ+--=∆a c b S PF F ，若λ=OP ，对椭圆，有2221λ-=∆a b S PF F .（10）对椭圆焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0(1)(222222≠=++y cb yc a c x .三．典例分析例1．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122π3F PF ∠=，若12PF F △的面积为，则b =（）A．9B．3C．4D．8解析：由焦点三角形面积公式得122πtantan323F PFSb b b θ===⇒=，故选：B 例2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A．221129x y +=B．2211612x y +=C．2212418x y +=D．2213224x y +=解析：所以122121πsin 234F PF S PF PF a =⋅⋅=△，而()121212113(22)222F PF S PF PF F F r a c r a c a =++⋅=+⋅=+=△，所以可得2342a a =，解得a =，c =222a b c =+，得3b =，所以该椭圆的方程为221129x y +=．故选：A．例3．已知12(,0),(,0)F c F c -是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）2563C．2232解析：又1221212F PF S PF PF c =⋅=，所以222a c c -=，即222a c =，故E 的离心率为22c a =.故选：C.例4.椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则12cos F PF ∠的最小值为______.解析：如图，由题意，1222F F =1PF m =，2PF n =，由椭圆定义，3m n +=，在12PF F 中，由余弦定理，22222121212128cos 22PF PF F F m n F PF PF PF mn+-+-∠==⋅()2228222111232m n mn mn mnmn mn m n +---===-≥-=-+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当m n =时取等号，此时P 为椭圆的短轴端点，所以12cos F PF ∠的最小值为13-.例4图例5图例5.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.解析：椭圆C 上存在点P ，使1260F PF ∠=︒等价于最大张角大于等于60°，如图，11211116030sin 2OF c F PF F PO F PO PF a ∠≥︒⇒∠≥︒⇒∠==≥，即12e ≥，又01e <<，所以112e ≤<.例6.（2019全国1卷）已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F -，，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1|||AB BF =|，则C 的方程为A．2212x y +=B．22132x y +=C．22143x y +=D．22154x y +=解：如图所示：设),(),,(2211y x B y x A ，由||3|||||||,|2||21122BF BF BF AB B F AF =⇒==，代入焦半径公式到||3||21BF BF =可得：)1.(21)(32222a x ex a ex a =⇒-=+.再由⇒=||3||22BF AF )2.(2)(221221a x x ex a ex a =-⇒-=-.结合（1），（2）式可得，01=x ，故a AF AF ==||||21，2||,23||21aBF a BF ==，这样在三角形1ABF 与三角形21F AF 中分别使用余弦定理可得:222,312a b a c =∴=-=-=.小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例7.（2019全国三卷）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.解：由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．由焦半径公式可知设),(00y x M ，由焦半径公式可知34326||0002=⇒=-=-=x x ex a MF再代入椭圆方程可解得M ∴的坐标为(．例8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为()A．12解析：∵O 是12F F 的中点，G 是12PF F △的重心，∴P G O 、、三点共线，延长PI 交x 轴于点Q ，则由IG 平行于x 轴知，2PI PGIQ GO==，则121233PF F IF F S PQ IQ S =⇒=,设12PF F △内切圆半径为r ，则()12121212121212121233212F F PF PF r F F PF PF PF PF F F F F F F r ⋅+++++=⇒=⇒=⋅⋅21222a c c a ⇒=⇒=，∴椭圆的离心率为12．故选：A﹒四．习题演练1．设椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅的值是（）A．14B．17C．20D．23解析：由前述结论可知，选D.2．已知点1F 、2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定选B.3．设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠= ,则C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析：()3330sin 90sin 3090sin =︒+︒︒+︒=e ，选D 3．设P 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ∠=︒，2115PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（）C．2解析：由于()1212sin15sin 751545sin 90PF PF F F +︒+︒==︒+︒=︒22a c =即e =.故选：A.4.已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆1:2222=+by a x E 的焦点，P 为E 上一点且221c PF PF =⋅→→,求此椭圆离心率的取值范围.解析：由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①.由212PF PF c ⋅= ，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③，③得()22121221cos 44PF PF F PF a c+∠=-④由②④，得21222cos 123c F PF a c∠=<-， 12F PF ∠是锐角，2220123c a c<<-，即22230a c ->且22223c a c <-∴2e <.由②③可知222126PF PF c +=⑤由①⑤可得221223PF PF a c =-，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎫⎪⎪⎣⎭.。
高中数学椭圆的焦点三角形
则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
7
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
3
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
4
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2
椭圆的焦点三角形
1
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
9
例题、若 P 在椭圆
x2 9
椭圆中焦点三角形的面积公式
椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的焦点三角形，是由椭圆的两个焦点和椭圆上的任意一点构成的三角形。
我们可以通过椭圆的长轴、短轴和焦距来推导出该三角形的面积公式。
首先，我们需要知道椭圆的两个焦点的坐标。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，椭圆的中心点为O，则左右焦点的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。
接下来，设椭圆上任意一点的坐标为(x,y)，则该点到两个焦点的距离分别为：d1 = √((x+c)² + y²) 和d2 = √((x-c)² + y²)。
由于椭圆上的点满足椭圆方程，即(x²/a²) + (y²/b²) = 1，我们可以将其转化为：y = b√(1 - x²/a²)。
将上述两个方程代入三角形面积公式S = (1/2)×b×h，其中h为三角形的高，我们有：S = (1/2)×b×(2y) = b²√(1 - (x²/a²)) (①)根据椭圆的性质，我们可以发现椭圆的长轴与短轴满足a² = b² + c²，因此，将上述公式中的b代入为√(a² - c²)后，我们有：S = a²√(1 - (x²/a²)) - c²√(1 - (x²/a²)) = a²√(1 -(x²/a²))(1 - (c²/a²)) (②)上述公式(②) 即为椭圆中焦点三角形的面积公式。
注意到其中的(1 - (c²/a²))是一个小于1的系数，因此面积公式中的主要因素是椭圆的长轴和短轴，也就是椭圆的大小。
当椭圆是一个圆形时，也就是长轴等于短轴，面积公式中的系数即为1。
椭圆中焦点三角形的最大顶角
椭圆中焦点三角形的最大顶角
在椭圆中，焦点三角形是一个三角形，三个顶点分别是椭圆的两个焦
点和长轴的一个顶点。
对于给定的椭圆，其最大顶角取决于椭圆的离
心率和半焦距。
当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a>b>0。
此时焦点三角形的最大顶角为角 A，其正切值可以表示为：
tan(A) = b^2 (1 - e^4)/(a^2 e^2) （其中e为离心率）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 (x^2/b^2) + (y^2/a^2) = 1 + e^2，此时同样可以计算最大顶角的正切值。
最大顶角的大小取决于离心率 e 的值。
当 e 越接近于 1（即越远离
原点），则角 A 越大。
另外，焦点三角形的面积也可以根据其边长和
焦距进行计算，进而得到最大面积。
需要注意的是，以上讨论基于了一些假设和前提条件，如焦点在 x 轴
或 y 轴上，以及椭圆方程的形式等。
在实际应用中，可能需要根据具
体问题进行调整和考虑。
椭圆焦点三角形的面积
椭圆焦点三角形的面积椭圆焦点三角形的面积是数学中比较复杂的概念，需要一定的几何基础和计算技巧才能理解和运用。
下面将介绍有关椭圆焦点三角形面积的概念、定义、性质及其计算方法。
一、椭圆焦点三角形的定义和性质1. 椭圆焦点三角形是指在椭圆上任取三点，分别作为一个焦点和两个椭圆上的点，连接这两个点与另一个焦点所在的直线的三角形称为椭圆焦点三角形。
2. 椭圆焦点三角形的三条边与椭圆的三条轴互相垂直。
3. 椭圆焦点三角形的三个顶点在椭圆上，其中有一个顶点位于凸部，另外两个顶点位于凹部。
二、椭圆焦点三角形面积的求解方法1. 利用两个焦点和椭圆上的一个点，求出椭圆离心率e的值。
2. 根据椭圆的半长轴a和半短轴b以及离心率e的值，求出椭圆的焦距c和焦点的坐标。
3. 利用椭圆的焦距和焦点的坐标，求出椭圆的方程。
4. 求出椭圆焦点三角形的三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * e。
5. 根据已知的椭圆焦点三角形上的两个点和一个焦点的坐标，求出三角形的边长公式。
6. 利用得到的椭圆焦点三角形的边长和三角形面积公式，求出三角形的面积。
三、椭圆焦点三角形面积计算实例1. 已知椭圆的半长轴a = 3，半短轴b = 2，一个焦点坐标为(-2,0)，另一个焦点坐标为(2,0)，并且椭圆上的一个点坐标为(0,2)。
求椭圆焦点三角形的面积。
解：根据公式，可计算出椭圆的离心率为e = 0.866。
然后，可以求出椭圆的焦距c = 2.449，焦点坐标为(-2.449,0)和(2.449,0)，椭圆的方程为(x^2/9) + (y^2/4) = 1。
接着，可以求出椭圆焦点三角形边长：AB = 5.303，AC = 3.606，BC = 4.043。
最后，利用面积公式S = 1/2 * a * b * e = 2.598 ，可得出椭圆焦点三角形的面积为2.598。
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦半径，焦点三角形焦半径：椭圆上任意一点和焦点的连线称为焦半径：焦半径公式：椭圆的焦点在x 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(左加右减)椭圆的焦点在y 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(下加上减)焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则=∆21PF F S ____________性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率=e ________________例1：设),(y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点，21,F F 为它的左，右焦点，求21PF PF ⋅的最值。
例2、已知P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是两个焦点，且3021=∠PF F ,求21F PF ∆的面积。
例3、设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上，上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形。
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使,22QB PB ⊥求直线l 的方程。
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为椭圆上
一点，且 F1PF2 600 ，则点 P 到 x 轴的距离是 4 15 ．
PF1 . PF2 =？
15
变式
2、（2003
北京）点
F1
、
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的两个焦点，
点 P 在椭圆上，△POF2 是面积为 3 的正三角形，
则 b2 的值是 2 3
3 焦点三角形的顶角问题
已知
，3
5 5
．
链接1 链接2
例题、若 P 在椭圆
x2 9
y2 b2
1(0 b
3) 上的一点， F1, F2 为左右焦点，
若
F1PF2
的最大值为
2
，则
b
的值为
32 2
.
变式
1、（2004
湖南）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2
89
y2 4
1上的两个焦点，
椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 。则满足要求的 P 点有 2 个
作业：完成导学案《基础训练》
探究、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 是椭圆
· 的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值;
y
.
F1
O
x2 y2 1
y
94
.x F2
.F1OFra bibliotek.x F2
返回
y
x2 y2 1
y
94
F1
O
y
x F2
F1
O
x2 y2 1
84
变式
2、（2000
全国）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个
焦点，P 为椭圆上一点，当 F1PF2 为钝角时，P 点的横坐标
的取值范围是
-
3
5 5
，3
5 5
．
课堂小结
1.本节课学习了关于椭圆焦点三角形的周长，面积， 顶角等问题。要学会相关公式，定理的应用。
2.椭圆焦点三角形的问题经常综合了椭圆的定义， 正（余）弦定理，勾股定理，面积公式， 向量（数量积），三角函数等内容。
x2 y2 1
95
变式 2、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，已知直线
过 F1 ，且交椭圆于 A, B 两点，求△ABF2 的周长。
y B
周长为4a
.
A F1 0
.
F2 x
2 焦点三角形的面积问题
已知
F1，F2是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1 a
b 0的两个焦点，
. P是椭圆上一点 (长轴端点除外)
y
F2
x
..
F1 O F2
x
..
F1 O
F2
返回
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
求 △PF1F2 的周长
y
.
F1 0
周长：2a 2c
P
.
F2 x
变式 1、
设椭圆 x2
a2
y2 b2
1
(a b 0) 的焦点为 F1 （-2,0）
和 F2 （2,0），点 P 在椭圆上，且 △PF1F2 的周长为 10，
求椭圆的方程。
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
例题、若 P 在椭圆
x2 9
y2 b2
1(0 b 3) 上的一点， F1, F2 为左右焦点，
若
F1PF2
的最大值为
2
，则
b
的值为
32 2
.
变式
1、（2004
湖南）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2
89
y2 4
1上的两个焦点，
4 椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 。则满足要求的 P 点有
个
变式
2、（2000
全国）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个
焦点，P 为椭圆上一点，当 F1PF2 为钝角时，P 点的横坐标
的取值范围是
-
3
5 5
椭圆的焦点三角形
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2