控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果
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用于个人学习
十、前馈校正 (一) II 型系统前馈校正
20 / 25
Kq •S
G3 (S )
R(S)
E(S) K p 1S 1 +
-
S
G1(S)
1．前馈环节 的表达式推导 系统闭环传递函数为：
Kn
C(S)
S T1 S 1
G2 (S)
系统误差传递函数为：
假设：
由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零，故这里仅讨论 输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即：文档收集自网络，仅用于个人学习
a． 当
n ；
这是保守的取法。
，有
2 n
；
b． 当
习
n ；
，有
2 n ；这是一般能达到的水平。文档收集自网络，仅用于个人学
c． 当
仅用于个人学习
n ；
，有
2 n ；这是经过努力可能达到的高水平。文档收集自网络，
3、 1 的选择 1 的选择在 I 型系统进行。一般1 小则 KV 大，反之亦然。但不是1 愈
代入 H(S)表达式得到：
3 / 25
仅用于个人学习 仅用于个人学习 学习
文档收集自网络，
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人
迭代公式：
4 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
L(w)(dB)
20lg Ka
-40dB/dec
c ——系统截至频率（rad/s）
2 ——第二转折频率（rad/s）w2=1/T2
3 ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
-20dB/dec
1
2 a
c
a ——加速度折频率（rad/s）
(rad / s)
3
-40dB/dec
根据直线斜率定义，由上图在 范围内得到如下方程：
2
2
(rad / s)
校正后的系统开环传递函数为：
1．I 型系统期望特性
9 / 25
I 型系统特点：系统的正向通道（即主通道）包含 1 个纯积分环节。它
的典型开环传递函数
的形式为：文档收集自网络，仅用于个人学习
式中
——速度常数，即系统开环增益（ ）；
——两个惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。 I 型系统的期望特性如下图：
19 / 25
系统的位置回路的前向通路上，串接一个正割律的校正电位器。而正割律 校正就称为正割函数校正。文档收集自网络，仅用于个人学习
由上图几何关系得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
在天线正常跟踪目标的情况下， 很小， 也很小，则有
，
，于是得到：
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
九、正割函数校正
正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统（俯仰机构叠加
于方位机构式的天线座）。跟踪目标时的几何关系如下图：文档收集自网络，仅用于个
人学习
y
目标 B
C
o x ε β
zA
Dx
ε 由上图看出，在存在俯仰角 时，目标由 B 点移动到 C 点，雷达天线
轴线从 AB 线转动到 AC 线。这时，ABC 平面转过的角度为 。要使天线转
那么 的导数为：
文档收集自网络，仅用于个人学习
那么在
的导数为：
个人学习
文档收集自网络，仅用于
迭代：
这就是以后向等距三点位置表示的导数近似公式，利用该公式代替前馈
G2 (S)
C(S)
系统闭环传递函数为：
系统误差传递函数为：
(4) 输入单位阶跃信号
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=0
(5) 输入等速信号
(6) 输入等加速信号
16 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
过 ，伺服方位支路必须带动天线在 AOD 平面内转过 角度。由于方位角
和横扫角 是在两个不同的平面内，因而存在坐标转换问题。可以证明，
ε 坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益 ，随着俯仰角 的余 ε 弦而变化。为保证在不同俯仰角 跟踪时，方位伺服系统的开环增益 保
持不变，确保不断精确地跟踪目标就必须进行补偿。为此，要在方位伺服
用于个人学习
八、期望特性参数的选择和确定
期望特性设计，就是选择各频段的斜率； 常数的确定及截至频率
和转折频率
的选择。文档收集自网络，仅用于个人学习
期望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差
阶次一致。对于 I 型系统，它反映了速度常数 ，决定了系统的静态误差 和速度误差 ；对于 II 型系统，它反映了加速度常数 ，决定了系统的加 速度误差 。中频段与性能指标的关系有：文档收集自网络，仅用于个人学习
一、凹口网络传递函数：
上式中参数：
：凹口网络中心频率，
；
：二阶微分环节阻尼系数；
：二阶振荡环节阻尼系数； 采用双线性变换公式对上式离散化：
代入 H(S)表达式得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习
1 / 25
个人学习
-20dB/dec
c ——系统截至频率（rad/s） ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
3
3
c
(rad / s)
-40dB/dec
现对其增加串联迟后校正（近似 PI 控制器）环节：
它的波特图如下：
L(w)(dB)
1
-20dB/dec
1 ——一阶惯性环节频率（rad/s） ——一阶微份环节频率（rad/s）
(2) 输入等速信号
=0
文档收集自网络，仅用于个人学习
12 / 25
用于个人学习
文档收集自网络，仅
文档收集自网络，仅用于个人学习
(3) 输入等加速信号
用于个人学习
文档收集自网络，仅
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
同理，在
得到如下方程：
学习
14 / 25
文档收集自网络，仅用于个人
同理，在
得到如下方程：
习
联立上述三个方程得到如下关系式：
文档收集自网络，仅用于个人学
2．II 型系统对各种输入信号的稳态误差 假设 II 型系统的动态结构图如下图：
R(S)
E(S) K p 2 S 1
-
S
G1(S)
Kn
S T 3 S 1
小则 KV 愈大。建议1 的最小值取在对应 KV 在 500~1000 处。文档收集自网络，仅用
于个人学习
4、 3 的选择
A、 根据c 选择： B、 根据如下关系式：
3c 。这种选择能保证 (c ) 至少为 45°。
18 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
1) 截至频率 的大小反映了伺服带宽 n 的宽窄； 2) 相角裕量 (c ) 由中频段的长度和对称度确定； 3) 当 一定时，转折频率2 的大小反映了 Ka 常数的大小。 高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而，
实际系统最后确定的高频段转折频率 ，以及斜率应由闭环速度回路和反 谐振回路的传递函数确定。这样，期望特性就将系统的位置回路和速度回
-20dB/dec L(w)(dB)
20lg Kv
-40
c ——系统截至频率（rad/s）
1 ——第一转折频率（rad/s）w1=1/T1 2 ——第二转折频率（rad/s）w2=1/T2
3 ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
1 1
-20
2 a
c
v ——速度频率（rad/s） a ——加速度折频率（rad/s）
用于个人学习
五、PID 调节器（形式 2）
采用双线性变换公式对上式离散化：
6 / 25
代入 H(S)表达式得到：
络，仅用于个人学习 网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网
文档收集自
7 / 25
迭代公式：
；
；
用于个人学习
七、II 型系统期望特性 1．II 型系统期望特性
II 型系统的结构特点：系统的正向通道包含 2 个积分环节。典型开环传
递函数
的形式为：
13 / 25
式中
——加速度常数，即系统开环增益（ ）；
——惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。 II 型系统的期望特性如下图：
2 / 25
文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
三、滞后－超前 调节器
采用双线性变换公式对上式离散化：
(rad / s)
3 v
-40dB/dec
根据直线斜率定义，由上图在 范围内得到如下方程：
同理，在
得到如下方程：
10 / 25
文档收集自网络，仅用于个人学
习
同理，在
得到如下方程：
文档收集自网络，仅用于个人学习
同理，在
得到如下方程：
习
联立上述四个方程得到如下关系式：
文档收集自网络，仅用于个人学
文 档收集自网络，仅用于个人学习
根据 Barton 公式：
2．I 型系统对各种输入信号的稳态误差
假设 I 型系统的动态结构图如下图：
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R(S)
E(S) K p 2 S 1
-
T1S 1
G1(S)
Kn
S T 3 S 1
G2 (S)
C(S)
系统闭环传递函数为：
系统误差传递函数为：
(1) 输入单位阶跃信号
习
文档收集自网络，仅用于个人学
用于个人学习
四、PID 调节器（形式 1）
参数： ：一阶微分环节时间常数（第二转折频率）； ：一阶微分环节时间常数； ：一阶惯性环节时间常数；
K：PID 调节器放大系数。 采用双线性变换公式对上式离散化：
代入 H(S)表达式得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于 文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
；
；
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
二、PI 调节器
采用双线性变换公式对上式离散化： 代入 H(S)表达式得到：
5 / 25
文 档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
来自百度文库
；
；
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
路联系起来。文档收集自网络，仅用于个人学习 当系统的无静差阶次确定后，低频段的斜率是固定的，可变部分在中
频段和高频段。这样，就形成了两类不同型式的期望特性。文档收集自网络，仅用于
个人学习
1、 的选择 的选择受伺服带宽 n 的限制。一般取：
17 / 25
2、 2 的选择
保证rms 必须对加速度常数 Ka 提出要求。一般取：
C(S)
那么离散化后的迭代方程为：
(2) 向后三点位置二阶逼近 这是基于拉格朗日 n 次插值多项式得到的数值微分公式。拉格朗日 n 次
插值多项式公式如下：
假设三个等距节点
，
，则有如下关系：
那么通过这三点得拉格朗日 2 次插值多项式是：
用于个人学习 自网络，仅用于个人学习
23 / 25
文档收集自网络，仅 文档收集
那么系统的稳态误差为：
21 / 25
文档收集自网络，仅用于个人学习
如果使
文档收集自网络，仅用于个人学习
，即系统对等加速信号跟踪误差为 0，则需要的条件是：
所以前馈环节传递函数形式为：
2．前馈环节 的表达式中的微分环节离散化形式讨论
R(S)
(1) 向后差商变换
1 •S Kn
G3 (S )
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*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
六、I 型系统期望特性
假设一系统的原始开环传递函数为：
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它的波特图如下图： L(w)(dB)
十、前馈校正 (一) II 型系统前馈校正
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Kq •S
G3 (S )
R(S)
E(S) K p 1S 1 +
-
S
G1(S)
1．前馈环节 的表达式推导 系统闭环传递函数为：
Kn
C(S)
S T1 S 1
G2 (S)
系统误差传递函数为：
假设：
由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零，故这里仅讨论 输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即：文档收集自网络，仅用于个人学习
a． 当
n ；
这是保守的取法。
，有
2 n
；
b． 当
习
n ；
，有
2 n ；这是一般能达到的水平。文档收集自网络，仅用于个人学
c． 当
仅用于个人学习
n ；
，有
2 n ；这是经过努力可能达到的高水平。文档收集自网络，
3、 1 的选择 1 的选择在 I 型系统进行。一般1 小则 KV 大，反之亦然。但不是1 愈
代入 H(S)表达式得到：
3 / 25
仅用于个人学习 仅用于个人学习 学习
文档收集自网络，
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人
迭代公式：
4 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
L(w)(dB)
20lg Ka
-40dB/dec
c ——系统截至频率（rad/s）
2 ——第二转折频率（rad/s）w2=1/T2
3 ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
-20dB/dec
1
2 a
c
a ——加速度折频率（rad/s）
(rad / s)
3
-40dB/dec
根据直线斜率定义，由上图在 范围内得到如下方程：
2
2
(rad / s)
校正后的系统开环传递函数为：
1．I 型系统期望特性
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I 型系统特点：系统的正向通道（即主通道）包含 1 个纯积分环节。它
的典型开环传递函数
的形式为：文档收集自网络，仅用于个人学习
式中
——速度常数，即系统开环增益（ ）；
——两个惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。 I 型系统的期望特性如下图：
19 / 25
系统的位置回路的前向通路上，串接一个正割律的校正电位器。而正割律 校正就称为正割函数校正。文档收集自网络，仅用于个人学习
由上图几何关系得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
在天线正常跟踪目标的情况下， 很小， 也很小，则有
，
，于是得到：
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
九、正割函数校正
正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统（俯仰机构叠加
于方位机构式的天线座）。跟踪目标时的几何关系如下图：文档收集自网络，仅用于个
人学习
y
目标 B
C
o x ε β
zA
Dx
ε 由上图看出，在存在俯仰角 时，目标由 B 点移动到 C 点，雷达天线
轴线从 AB 线转动到 AC 线。这时，ABC 平面转过的角度为 。要使天线转
那么 的导数为：
文档收集自网络，仅用于个人学习
那么在
的导数为：
个人学习
文档收集自网络，仅用于
迭代：
这就是以后向等距三点位置表示的导数近似公式，利用该公式代替前馈
G2 (S)
C(S)
系统闭环传递函数为：
系统误差传递函数为：
(4) 输入单位阶跃信号
15 / 25
=0
(5) 输入等速信号
(6) 输入等加速信号
16 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
过 ，伺服方位支路必须带动天线在 AOD 平面内转过 角度。由于方位角
和横扫角 是在两个不同的平面内，因而存在坐标转换问题。可以证明，
ε 坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益 ，随着俯仰角 的余 ε 弦而变化。为保证在不同俯仰角 跟踪时，方位伺服系统的开环增益 保
持不变，确保不断精确地跟踪目标就必须进行补偿。为此，要在方位伺服
用于个人学习
八、期望特性参数的选择和确定
期望特性设计，就是选择各频段的斜率； 常数的确定及截至频率
和转折频率
的选择。文档收集自网络，仅用于个人学习
期望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差
阶次一致。对于 I 型系统，它反映了速度常数 ，决定了系统的静态误差 和速度误差 ；对于 II 型系统，它反映了加速度常数 ，决定了系统的加 速度误差 。中频段与性能指标的关系有：文档收集自网络，仅用于个人学习
一、凹口网络传递函数：
上式中参数：
：凹口网络中心频率，
；
：二阶微分环节阻尼系数；
：二阶振荡环节阻尼系数； 采用双线性变换公式对上式离散化：
代入 H(S)表达式得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习
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个人学习
-20dB/dec
c ——系统截至频率（rad/s） ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
3
3
c
(rad / s)
-40dB/dec
现对其增加串联迟后校正（近似 PI 控制器）环节：
它的波特图如下：
L(w)(dB)
1
-20dB/dec
1 ——一阶惯性环节频率（rad/s） ——一阶微份环节频率（rad/s）
(2) 输入等速信号
=0
文档收集自网络，仅用于个人学习
12 / 25
用于个人学习
文档收集自网络，仅
文档收集自网络，仅用于个人学习
(3) 输入等加速信号
用于个人学习
文档收集自网络，仅
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
同理，在
得到如下方程：
学习
14 / 25
文档收集自网络，仅用于个人
同理，在
得到如下方程：
习
联立上述三个方程得到如下关系式：
文档收集自网络，仅用于个人学
2．II 型系统对各种输入信号的稳态误差 假设 II 型系统的动态结构图如下图：
R(S)
E(S) K p 2 S 1
-
S
G1(S)
Kn
S T 3 S 1
小则 KV 愈大。建议1 的最小值取在对应 KV 在 500~1000 处。文档收集自网络，仅用
于个人学习
4、 3 的选择
A、 根据c 选择： B、 根据如下关系式：
3c 。这种选择能保证 (c ) 至少为 45°。
18 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
1) 截至频率 的大小反映了伺服带宽 n 的宽窄； 2) 相角裕量 (c ) 由中频段的长度和对称度确定； 3) 当 一定时，转折频率2 的大小反映了 Ka 常数的大小。 高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而，
实际系统最后确定的高频段转折频率 ，以及斜率应由闭环速度回路和反 谐振回路的传递函数确定。这样，期望特性就将系统的位置回路和速度回
-20dB/dec L(w)(dB)
20lg Kv
-40
c ——系统截至频率（rad/s）
1 ——第一转折频率（rad/s）w1=1/T1 2 ——第二转折频率（rad/s）w2=1/T2
3 ——第三转折频率（rad/s）w3=1/T3
1 1
-20
2 a
c
v ——速度频率（rad/s） a ——加速度折频率（rad/s）
用于个人学习
五、PID 调节器（形式 2）
采用双线性变换公式对上式离散化：
6 / 25
代入 H(S)表达式得到：
络，仅用于个人学习 网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网络，仅用于个人学习 文档收集自网
文档收集自
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迭代公式：
；
；
用于个人学习
七、II 型系统期望特性 1．II 型系统期望特性
II 型系统的结构特点：系统的正向通道包含 2 个积分环节。典型开环传
递函数
的形式为：
13 / 25
式中
——加速度常数，即系统开环增益（ ）；
——惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。 II 型系统的期望特性如下图：
2 / 25
文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
三、滞后－超前 调节器
采用双线性变换公式对上式离散化：
(rad / s)
3 v
-40dB/dec
根据直线斜率定义，由上图在 范围内得到如下方程：
同理，在
得到如下方程：
10 / 25
文档收集自网络，仅用于个人学
习
同理，在
得到如下方程：
文档收集自网络，仅用于个人学习
同理，在
得到如下方程：
习
联立上述四个方程得到如下关系式：
文档收集自网络，仅用于个人学
文 档收集自网络，仅用于个人学习
根据 Barton 公式：
2．I 型系统对各种输入信号的稳态误差
假设 I 型系统的动态结构图如下图：
11 / 25
R(S)
E(S) K p 2 S 1
-
T1S 1
G1(S)
Kn
S T 3 S 1
G2 (S)
C(S)
系统闭环传递函数为：
系统误差传递函数为：
(1) 输入单位阶跃信号
习
文档收集自网络，仅用于个人学
用于个人学习
四、PID 调节器（形式 1）
参数： ：一阶微分环节时间常数（第二转折频率）； ：一阶微分环节时间常数； ：一阶惯性环节时间常数；
K：PID 调节器放大系数。 采用双线性变换公式对上式离散化：
代入 H(S)表达式得到：
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于 文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
；
；
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
二、PI 调节器
采用双线性变换公式对上式离散化： 代入 H(S)表达式得到：
5 / 25
文 档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
文档收集自网络，仅用于个人学习
迭代公式：
来自百度文库
；
；
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
路联系起来。文档收集自网络，仅用于个人学习 当系统的无静差阶次确定后，低频段的斜率是固定的，可变部分在中
频段和高频段。这样，就形成了两类不同型式的期望特性。文档收集自网络，仅用于
个人学习
1、 的选择 的选择受伺服带宽 n 的限制。一般取：
17 / 25
2、 2 的选择
保证rms 必须对加速度常数 Ka 提出要求。一般取：
C(S)
那么离散化后的迭代方程为：
(2) 向后三点位置二阶逼近 这是基于拉格朗日 n 次插值多项式得到的数值微分公式。拉格朗日 n 次
插值多项式公式如下：
假设三个等距节点
，
，则有如下关系：
那么通过这三点得拉格朗日 2 次插值多项式是：
用于个人学习 自网络，仅用于个人学习
23 / 25
文档收集自网络，仅 文档收集
那么系统的稳态误差为：
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文档收集自网络，仅用于个人学习
如果使
文档收集自网络，仅用于个人学习
，即系统对等加速信号跟踪误差为 0，则需要的条件是：
所以前馈环节传递函数形式为：
2．前馈环节 的表达式中的微分环节离散化形式讨论
R(S)
(1) 向后差商变换
1 •S Kn
G3 (S )
22 / 25
*************************************************************************************文档收集自网络，仅
用于个人学习
六、I 型系统期望特性
假设一系统的原始开环传递函数为：
8 / 25
它的波特图如下图： L(w)(dB)