2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。
①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。
2017年全国高中数学联合竞赛试题和解答(A卷)
2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3) f(x_4) = -1 .又当0辽X ::： 7时，f (x) =log2(9 —x)，则f(—100)的值为______________2•若实数x, y满足x2+2cosy =1，贝U x — cosy的取值范围是___________2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:x y 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 _____________ . 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5•正三棱锥P - ABC中，AB =1 , AP =2，过AB的平面:将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6•在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1】在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为J5的概率为______________7•在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A ABC的面积为3J3，则AM AN的最小值为______________ •8•设两个严格递增的正整数数列也Jb n 1满足：a®：：：2017，对任意正整数n，有a n^ =a n* +a n,b n+ =2b n，则a 的所有可能值为___________ •二、解答题9•设k,m为实数，不等式x2—kx —m兰1对所有la,b】成立证明：b—a兰2应.10•设/必必是非负实数，满足x1 x2 X3 =1，求(x1 3x2 5X3)(X1 •—-)的最3 5小值和最大值•11.设复数Z1,Z2满足Re(z1) 0, ReZ) 0,且Re(才)=Re(z；) = 2(其中Re(z)表示复数z的实部)•(1)求Re⑵Z2)的最小值；(2)求N +2 + Z2 + 2 —乙—Z2的最小值•2017年全国高中数学联赛 A 卷二试.如图，在:ABC 中，AB=AC , I 为:ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆 M , 以I 为圆心，IB 为半径作圆 『2，过点B , I 的圆r 3与】1,丨2分别交于点P,Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于 点R .证明：BR_CR 二.设数列^aj 定义为 Q =1 ，a + nQ 兰 n,a n + = Jn =1,2，….求满足an- n,a n A n,a r ::: r < 32的正整数r 的个数•三•将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 •若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”•试求分隔边条数的最小值•四•设m,n 均是大于1的整数，m_n , a 1,a 2/' ,a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数, 且a 「a 2,…，a .互素•证明：对任意实数x ，均存在一个i （1 一 i 一 n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.答案：丄解：由黃件知*广（工+[4） = _—-——=r 所以dA-100）= <（-100 + 14x7）= === ~/（5） log-422a i x2 m(m 1)II X ，这里| y 表示实数y到与它最近的整数的距离答案：［-1*若+1］ *解：由于 v'-1-2cosr^［-1. 3J* 故［-点间.由cw r --— 可知» v -cos v-x --------------- ----- -(.V - U : - 1.阖此当 r =［时，1- 7 'A g 和有最小值|(这时$可以S1-)：当V - V'时 * A cos r 有最大值Jj I (这时F 可以取 2由于+的值域是［7 巧+ 1］・从而x-eosy 的取值范围是［-1, V3 + IL3.答第芈.£r解：易知卫⑶0)｝ F(0, 1). i 殳P 的坐标是(3cos<9, J?6审询,W 0冷・则盈>S — s 叫州F 屮 」辺神|——(vTOcosf/ I .sin//)= —^―sin(^ + ip) *2 2arctati ^1" 当/y-ardanVlO 时・四边形Oz 尸尸面积的最大值为芒叵. 10 24.答案：75. _解；考虑平稳数赢*若b = 0,则□ = ), c 怎｛01｝「有2个平稳数.若B=l ・JWX 仏2｝,虫｛0丄2"有2x3 = 6个平稳数・， ^r2<6<8,则口,匚€少一1",占+ 1八 有7x3x3 = 63个平稳数.若b = 9、则｛8,9｝ 1有2x2 = 4个平稳数.综上可知，平橈数的个数是2 + 6 +利+ 4=方・5.-丄 j.Jiihim 11WTT …答案:看解：设血PC 的中点分別为H ,则易证平而卫&灯就是平面口.由中线 长公式知5 I gg 」"土 ％—； 2KMMC 石 故棱PC 与平面任所戒角的余弦值为婕.106.解：易知K 中有9个点，故在K 中粗机取出三个点的 方式数为C ： = 84种.将K 中的点按右图标记为其中有8 对点之问的葩奥为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况.则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对每个4G = U,--S 8）. K中恰有4宀4乜两点与之距證为｛这里下标按模8理解）.因而恰有 卩，心/』（心kN …⑻这$个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个 数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.S4 77.答案土 C 卜I 解：由条件知f AMACt AN故2'?斗 4I ，-?—-1' ][ ( I —' I TAM AN - -{Jfi + ^C]*| -.4B + - JC - - 3|AB^ +|^C| -4JS-Jtj.由于 ^3 = S 曲北=|jC | ■ sin J = |^45||/1C| r 所以 AB AC — 4* 进2 4步可得 AH AC — .4( I €0> .4 — 2* 从而IV/r所以 KM = JIC')- -PC --(2^= ---- T2文易知直线/＜在平滴。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f 。
又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为__________.2。
若实数y x ,满足1cos 22=+y x ,则y x cos -的取值范围是__________。
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF 的面积的最大值为__________。
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数".平稳数的个数是 。
5。
正三棱锥P —ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________。
7。
在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。
若3π=∠A ,ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8。
设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值。
2017年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案
.
解答
√
依题意，A
=
π 3 , S△ABC
=
1bc sin A 2
=
3 bc
=
√ 3
⇒
bc
=
4.
4
A# M» = 1(A# B» + A# C»), B# N» = 1B# C» ⇒ A# N» = 3A# B» + 1A# C»，
2
4
4
4
于是
#» AM
·
#» AN
=
1#» (AB
+
#» #» AC )(3AB
1 4− =
33 .
2
3
33
cos ∠P CB = 1 ⇒ BD2 = 1 + 1 − 2 × 1 = 3
√4
√
42
⇒ BD =
6 ⇒ DE =
5.
2
2
在 △CDE 中，作 CF ⊥ DE，P O ⊥ 平面 ABC
⇒ AB ⊥ 平面 CDE ⇒ CF ⊥ 平面 ABD.
由
S△CDE
=
1 CE ·
2√
数 n，有 an+2 = an+1 + an, bn+1 = 2bn，则 a1 + b1 的所有可能值为
.
解答
a10 = a9 + a8 = 2a8 + a7 = 3a7 + 2a6 = 5a6 + 3a5 = 8a5 + 5a4 = 13a4 + 8a3
= 21a3 + 13a2 = 34a2 + 21a1，
.
解答
1 f (x + 3) = −
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)R e()R e(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.感恩和爱是亲姐妹。
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案-(1838)
2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1.设f ( x)是定义在 R 上的函数，对任意实数x 有 f ( x 3) f ( x 4)1.又当0x 7时， f (x)log 2 (9x) ，则 f (100) 的值为__________ .2.若实数x, y满足x2 2 cos y 1 ，则x cos y 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系x 2y2xOy 中，椭圆C的方程为 :1，F为C的上焦点，A为C的910右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P ABC中，AB1， AP 2 ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为 __________ .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集K( x, y) x, y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________.7.在ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点.若 A， ABC 的面积为33 ，则 AM AN 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列a n , b n满足： a10b102017 ，对任意正整数n ，有a n 2a n1a n ，b n 12b n，则a1b1的所有可能值为__________.二、解答题9.设k, m为实数，不等式x 2kx m 1对所有x a, b 成立.证明： b a 2 2 .10.设x1, x2, x3是非负实数，满足x1x2x3 1，求 ( x1 3x2 5x3 )( x1x2x3 ) 的最35小值和最大值 .11.设复数z1, z2满足Re( z1)0， Re(z2 ) 0 ，且 Re(z12 ) Re(z22 ) 2（其中 Re(z) 表示复数 z 的实部）.（1）求Re( z1z2)的最小值；（2）求z1 2 z2 2 z1z2的最小值 .2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一.如图，在ABC 中， AB AC ， I 为ABC 的内心，以A为圆心， AB 为半径作圆 1 ，以I为圆心，IB为半径作圆 2 ，过点 B, I 的圆 3 与1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP 与BQ交于点 R .证明： BR CR二 .设数列a n定义为 a1 1 ，a n 1a n n, a n n,2017 a n n, a nn 1,2, .求满足a r r 3n,的正整数 r 的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n均是大于 1 的整数，m n，a1, a2, , a n是n个不超过m的互不相同的正整数，且 a1 , a2 , , a n互素 . 证明：对任意实数x，均存在一个i (1 i n) ，使得2x ，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.a i xm(m 1)2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6. 7.8. 9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一.二.三.四.。
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2017年全国高中数学联赛A 卷一试
一、填空题
1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.
2.若实数y x ,满足1cos 22
=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110
9:2
2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的
右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{
1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.
7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3
π
=
∠A ，ABC ∆的面积为
3，则⋅的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有
n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设m k ,为实数，不等式12
≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5
3)(53(3
21321x x x x x x ++++的最小值和最大值.
11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2
221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.
（1）求)Re(21z z 的最小值；
（2）求212122z z z z --+++的最小值.
2017年全国高中数学联赛A 卷二试
一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与
1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于
点R .证明：CR BR ⊥
二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,
,,,1=⎩⎨
⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足2017
3≤<r a r 的正整数r 的个数.。