教学大纲_测度论

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测度论简要介绍

测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。

测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。

本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。

一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。

测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。

测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。

1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。

对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。

常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。

1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。

二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。

勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。

2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。

概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。

通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。

2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。

测度论

第一章测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。

我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。

更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。

在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。

1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。

我们从最基本的数量开始。

概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。

我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。

由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。

我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。

除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。

测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。

在这本书中，概率测度通常用P 表示。

接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。

在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。

定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则（ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。

测度论前置课程

测度论前置课程1. 引言测度论是数学的一个分支，主要研究如何对集合进行测度的定义和性质。

在实际应用中，测度论被广泛运用于各个领域，如概率论、积分理论、几何学等。

为了更好地理解和应用测度论，掌握一些前置课程是必要的。

本文将介绍一些重要的前置课程，并讨论其与测度论的关系。

2. 集合论基础在学习测度论之前，我们需要对集合论有一定的了解。

集合是数学中最基本的概念之一，在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。

我们需要掌握集合的基本运算、集合之间的关系以及集合上的代数结构等内容。

3. 实数与实数空间实数是测度论中一个重要的概念，因为它是定义测度的基础。

我们需要熟悉实数集及其性质，掌握实数序列和实数列极限等概念。

此外，还需要了解实数空间及其性质，如完备性、紧致性等。

4. 测度的基本概念测度是测度论的核心内容，它用来衡量集合的大小。

我们需要了解测度的基本概念，如可测集、测度空间等。

此外，还需要研究测度的一些性质，如非负性、有限可加性等。

5. 测度空间上的积分积分是测度论中另一个重要的概念，它与测度有密切的关系。

我们需要了解积分的定义和性质，包括可积函数、积分域上的积分等内容。

此外，还需要掌握一些重要的积分定理，如Fubini定理、Lebesgue控制收敛定理等。

6. 流形与微分几何流形和微分几何是测度论在几何学领域中的应用。

我们需要了解流形的定义和性质，熟悉流形上的切空间、切向量场等概念。

此外，还需要学习微分形式、黎曼曲率张量等内容，并了解它们与测度论之间的联系。

7. 概率论基础概率论是应用最广泛的数学分支之一，在统计学、金融学、工程学等领域都有重要的应用。

我们需要学习概率论的基本概念，如随机变量、概率分布、期望等。

此外，还需要了解一些重要的概率分布，如正态分布、泊松分布等。

8. 应用领域测度论在实际应用中有广泛的应用。

我们可以将测度论应用于概率论中的积分理论，从而得到更强大的工具。

此外，测度论还可以应用于几何学中的曲线长度和曲面积分等问题。

测度论简要介绍

测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。

它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。

本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。

一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。

测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。

常见的测度有长度、面积、体积等。

在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。

1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。

给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。

首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。

最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。

2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。

在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。

测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。

二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。

1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。

可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。

可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。

2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。

它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。

这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。

3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。

这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。

三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。

以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。

概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。

教学大纲_测度论

《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。

一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。

其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。

本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。

通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。

（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。

（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。

（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。

三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。

课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。

测度论

此外，测度还可以取值于任何线性空间（通常带有一定拓扑，比如Banach空间），只要满足相应的可数可加性。

在Hilbert空间算子理论中还有所谓谱测度的概念，其中测度的取值为一固定Hilbert空间中投影算子的全体，且满足（在强意义下）的可数可加性。

如果测度空间X是拓扑空间而所考虑的б代数.由全体紧集生成且测度在每个紧集上取有限值，则称为Borel测度。

如果Borel测度限制在所有能写成可数个开集的交的紧集生成的б环上，则称为Baire测度。

如果任何可测集E满足μ(E)=sup{μ(K): K含于E,K紧}=inf{μ(O):O包含E,O开} 则称μ为正则测度。

Riesz-Markov表示定理：设X为局部紧T2空间，则对Cc(X)（即X上有紧支集的连续函数全体）上任何正线性泛函φ，存在正则Borel测度μ使得对任何f，φ(f)等于f关于μ的积分。

可测空间和可测函数: 设φ)是Χ上的σ环，称（Χ，φ)为可测空间，而称φ中的任何集A 为(Χ,φ)中的可测集。

如果Χ是Rn,而φ分别是Rn中L可测集全体（记为L）、由单调增加右连续函数g(x)生成的L-S可测集全体（记为Lg）、波莱尔集全体（记为B）,则相应地称(Χ,φ)是L可测空间、L-S可测空间、波莱尔可测空间。

设E是可测空间(Χ，φ))中的可测集，ƒ是定义在E上的有限实值函数。

如果对任何实数с，{Χ│ƒ(x)>с}∈φ，那么称ƒ为E上关于(Χ,φ)的可测函数，也称为E上的φ)可测函数。

这种可测函数是L可测函数、L-S可测函数等概念的直接推广。

它有许多等价定义方式,并且具有L可测涵数所具有的代数性质及极限性质。

定义在E上的复值函数ƒ，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称ƒ为E上的可测函数。

可测空间、可测集、以及可测函数等概念原则上并不涉及测度。

积分和积分平均收敛:同L积分建立过程完全一样，可以建立测度空间上的积分概念,只要将那里的测度m换成现在的μ即可。

第三章_测度论

当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 做出它的体积总和 | I i （可以等于
i 1 i 1
S 也可测。
i i 1
n
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。（6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则 Si ， Si 也是可测集。
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任意集合T总有 m T S1 S 2 m (T S1 ) m (T S 2 )
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si也可测，并且当 Si S j ,
i 1 n
3、勒贝格测度性质（1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理：设有实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每

测度论

测度的扩张摘要：主要讨论了如何将定义在环上的测度扩张成σ-环上的测度。

文中首先介绍了由一个测度可以引出一个外测度 , 由一个外测度也可以引出一个侧度。

然后我们从一个测度μ出发，先建立由它引出的外测度 , 再建立由u *引出的测度μ, 我们要问：u 与μ之间存在什么关系?关健词：测度；外测度；测度的扩张定义1：设u 是定义在环ℜ上的非负广义实值集函数，如果它具有可列可加性，并且()0u φ=，则称为u 测度。

定义2：设u 是一个测度，如果它能满足下列条件：若E R ∈,F E ⊂,且()0u E =,则F R ∈，则称为u 的完全测度。

定义3：设δ是一个非空类，如果它能满足下列条件：E δ∈，F E ⊂，则F δ∈，则称δ是可传的。

定义4：设u *是定义在可传σ-环上的非负广义实值单调集函数，如果它具有部分可加性，并且()0uφ*=外测度，则称u *为外测度。

定义5：设u *是定义可传可传σ-环上的外测度，中的集E 称为u *- 可测的，如果对于中的每一个集A ,有()()()u A u A E u A E ***'=+。

定义6：设是1ℜ和2ℜ是空间X 的某些子集所组成的两个环，1u 与2u 分别是1ℜ和2ℜ上的测度，如果12ℜ⊂ℜ，且在1ℜ上，12u u ≡，则称2u 是1u 由1ℜ扩张到2ℜ的扩张测度。

定义7：设有一个以集为元素的类u ，如果对于u 中之集的每个单调序列n E ，都有limE n n u →∞∈，则称u 是单调的。

定义8：设()E H ∈ℜ，()F S ∈ℜ，E F ∈，如果对于()S ℜ中满足关系式G F E ⊂-的每一个集G ，有()0u G =，则称F 是E 的一个可测覆盖。

2、测度引出的外测度定理1 设u 是环ℜ上的测度，如果对于()ℜ中每一个集E ,定义： ()11inf (E ):E ,n 1,2,...;E E n n n n n u E u R ∞∞*==⎧⎫=∈=⊂⎨⎬⎩⎭∑，则u *是u 扩张到()ℜ上的一个外测度；如果u 是σ-有限的，则u *也一样。

测度论

中国海洋大学本科生课程大纲课程名称测度论基础Introduction to Measure Theory 课程代码0751********课程属性专业知识课时/学分48/3课程性质选修实践学时责任教师张弛课外学时96 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：测度论是现代概率论的基础，是本科阶段初等概率论的严格化、抽象化和延伸。

本课程针对高年级数学与应用数学专业概率统计模块的学生开设。

课程包括集类与测度、随机变量与可测函数、数学期望与积分、乘积测度空间等基本内容。

通过课程学习，要求学生掌握严格公理化体系下概率论的基本理论和方法，为随机过程理论乃至研究生阶段的学习打下坚实基础。

2.设计思路：本课程引导高年级数学与应用数学专业概率统计模块的学生由对初等概率论的直观认识转为对严格公理化概率论体系的深入理解。

课程内容的选取基于学生“掌握了数学分析、初等概率论及实变函数等相关课程知识”。

课程内容包括三个方面：概率空间、随机变量、数学期望、乘积测度空间这四个方面依次展开，构成概率论的最基本内容。

概率空间是概率论的最基本的概念。

课程内容包括概率可测集的定义（集类），概率可测集的构造（单调类定理），概率测度的构造（测度扩张定理）。

这三部分完成了概率空间的构造，是概率理论建立的基础。

- 1 -随机变量是概率论的核心概念。

课程内容包括随机变量的定义、运算性质、分布函数、独立性、收敛性（几乎处处收敛、依测度收敛和依分布收敛）。

此内容是引入随机变量的数学期望的基础。

数学期望是概率论中重要且应用广泛的概念。

课程内容包括数学期望的定义和性质、收敛定理（单调收敛定理、Fatou-Lebesgue定理、控制收敛定理）、积分变换定理。

乘积概率空间是构造高维和无穷维随机变量的基础。

课程内容包括Fubini定理、无穷乘积概率空间、转移概率。

3. 课程与其他课程的关系：先修课程：数学分析、概率论基础、实变函数；并行课程：泛函分析、数理统计、多元统计分析等；后置课程：随机过程、随机微分方程等。

数学中的测度论

数学中的测度论测度论是数学中的一个重要分支，它研究了如何对集合进行度量和测量。

在数学中，我们常常需要衡量集合的大小、长度、面积或体积，而测度论提供了一套严谨而精确的方法来解决这些问题。

一、引言测度是度量集合大小的一种数学概念。

在测度论中，我们关注的是如何定义并研究一种满足一定条件的测度。

测度通常具有以下性质：非负性、空集的测度为0、可数可加性等。

二、基本概念在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。

常见的测度包括长度测度、面积测度和体积测度等。

对于一维空间，我们可以使用实数轴上的长度来度量集合的大小；对于二维空间，我们可以使用平面上的面积；对于三维空间，我们可以使用立体的体积。

测度可以是有限的，也可以是无限的。

三、测度的性质在测度论中，我们希望测度具有一些良好的性质。

常见的性质包括非负性、空集的测度为0、单调性、可数可加性等。

这些性质使得测度在数学中有着广泛的应用。

四、测度的构造方法在实际问题中，我们常常需要构造满足一定条件的测度。

测度的构造方法有很多种，常见的方法包括外测度、内测度、Lebesgue测度等。

这些方法可以帮助我们精确地计算出集合的测度。

五、测度的应用测度论在数学中有着广泛的应用。

在几何学中，测度论可以帮助我们计算图形的面积和体积；在概率论中，测度论可以帮助我们定义概率测度；在函数分析中，测度论可以帮助我们研究函数的积分等。

测度论在数学的许多分支中都起到了重要的作用。

六、总结测度论作为数学中的一个重要分支，研究了如何对集合进行度量和测量。

通过定义测度并研究其性质，我们可以精确地计算集合的大小、长度、面积或体积等。

测度论在数学中有着广泛的应用，对数学的发展起到了重要的推动作用。

这就是关于数学中的测度论的文章内容。

通过测度论，我们可以对集合进行精确的度量和测量，解决了许多实际问题。

希望本文对您对测度论有了更深入的了解。

测度论(梁勇).-安徽工程大学学生处

6
5
10.5
习题课
2
7
6
10.8
课堂讨论
2
8
6
10.12
测度扩张定理（掌握测度扩张定理）
2.1
2
9
7
10.15
数学期望（掌握广义实值随机变量关于概率测度的积分的定义过程）
2.2
2
10
7
10.19
积分收敛定理（掌握积分收敛定理）
2.4
2
11
8
10.22
两维乘积空间上的测度（掌握两维乘积空间上的测度的生成方法）
集类与 -域（掌握半域、 -域和域等概念）
1.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
3
9.21
集合形式的单调类定理（掌握两种集合形式的单调类定理定理）
1.2
2
3
4
9.24
乘积可测空间（掌握乘积 -域的生成方式）
1.3
2
4
4
9.28
可测映照（掌握可测映照的定义与性质）
1.4
2
5
5
10.1
单调类定理（掌握函数形式的单调类定理）
1.5
2
4.3
2
28
16
12.21
条件期望（掌握条件期望的性质。）
4.4
2
29
17
12.24
课堂讨论
2
30
17
12.28
课堂讨论
2
说明：1、本表一式三份，任课教师及所在学院各留一份，一份送研究生部；
2、本表经分管学院院长批准执行，教师不得任意更改，如有必要更改须办理审批手续；
3、各项目均需认真填写。“讲次”一栏填讲课顺序。

测度论教学大纲

《测度论》教学大纲Measure and Integration第一部分课程基本概况一、基本信息课程编号ZX110318 课程学分 2 课程学时32 课程类别专业任选课开课学期8 讲授学时32 实践学时适用专业统计学二、课程目的《测度论》是本专业的专业选修课。

本课程理论严谨、系统性强。

通过本课程的学习，要使学生在一般测度的基础上，掌握积分的基本概念、基本性质，并以概率论作为理论应用，为提高学生的抽象思维能力、深刻理解现代积分理论及后继研究生专业方向的学习或研究打下坚实的基础。

三、课程要求通过本课程的讲授与作业练习使学生1.在没有学习实变函数情况下，掌握测度论基本知识和积分理论。

2.在已经学习了实变函数情况下，要求学生牢固掌握近代概率论与数理统计所必需的测度论内容，近代概率论的基本概念及其性质。

3.课程教学过程中，要始终把概率论内容作为理解抽象理论的应用。

4.以课堂教学为主, 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。

四、本课程与其它课程的联系和分工本课程是本专业选修课程之一，初等概率论和数理统计为其必要前修课程。

在没有学习实变函数情况下，讲第一章至第六章；在已经学习了实变函数情况下，讲第三章、第五章至第九章。

五、教学方法与手段主讲教师可根据教学实际及学生的实际情况采取适当的讲授方法。

教学中主要以讲授为主，贯穿启发式、讨论式。

六、考核方式本课程的考核分平时成绩+期中考试+期末考试等，其中三部分占总评成绩比例如下：总评成绩= 平时成绩（20%）+ 期中考试（20%）+ 期末考试（60%）七、使用教材及参考书目1、使用教材严士健，刘秀芳《测度与概率》第二版，北京师范大学出版社,2003.2、参考书目（1）严加安《测度与积分》，陕西师范大学出版社，1988（2）汪嘉冈《现代概率论基础》，复旦大学出版社，1988八、课程章节内容和学时安排第二部分章节内容与学时分配第1章集合、映射与势(4学时)一、教学目标1. 理解集合有关概念及其运算、运算性质.2. 掌握映射的各种定义及集合势的概念，会利用映射及已知势的集合讨论一般集合的势.3. 深刻常用集合势及其证明方法。

《实变函数》第三章_测度论

《实变函数》第三章_测度论第三章测度论（总授课时数 14学时）教学⽬的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学⽣注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如⾯积体积等概念进⾏⽐较.§1、外测度教学⽬的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明⽅法.本节要点外测度的定义及其基本性质. 本节难点外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————⼀、引⾔(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==?∑?，1ii i xx x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法⽆关。

⼏何意义（⾮负函数）：函数图象下⽅图形的⾯积。

（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域⼊⼿）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑?问题：如何把长度,⾯积,体积概念推⼴? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==?∑?下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==?∑?⼆、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ?，称⾮负⼴义实数*({})R R ?±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。

下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ?∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最⼤下界，即0,,x S ε?>?∈使得x ξε≤+ 11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}0,ε?>?开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=??且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：⽤⼀开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =?=0,ε?>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=??且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从⽽*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平⾯上的有理点全体，则E 的外测度为0提⽰：找⼀列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =?-∈?=2.平⾯上的x 轴的外测度为0提⽰：找⼀列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+?-∈= ，3. 对Lebesgue 外测度，我们⽤可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不⼀定有从左到右的⼀个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）⾮负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *=（2）单调性：若A B ?，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也⼀定能覆盖A ，从⽽能覆盖B 的开区间列⽐能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反⽽⼤。

测度论讲义课程设计

测度论讲义课程设计一、课程背景测度论是数学中的一门重要课程，涉及测度的定义、性质和应用等方面。

在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。

本课程是为数学、应用数学等专业的本科生开设的必修课程。

二、教学目标1.熟悉测度的基本概念，掌握测度的重要性和应用价值；2.掌握测度的相关知识和方法，包括测度的定义、性质和测度空间的构造方法等；3.能够熟练应用测度论中的相关方法和技巧解决实际问题；4.能够理解测度论的研究进展和未来发展方向。

三、教学内容1. 测度的概念测度的定义与例子、可数加性和可列加性、测度的连续性等方面的内容。

2. 测度空间测度空间的定义与例子，测度空间的完备性和紧致性，可分性等方面的内容。

3. 测度论中的集函数测度论中的集函数的定义与例子，Lv函数和卡特罗得里数列等方面的内容。

4. 测度论中的测度集函数测度集函数的定义与例子，单调类与连续类等方面的内容。

5. 测度收敛定理测度收敛定理的定义与例子，测度的绝对连续性和积分等方面的内容。

四、教学方法该课程采取讲授与实例讲解相结合的教学方法。

在讲解理论知识的同时，配合实际问题进行分析和解答。

在教学过程中，鼓励学生参与讨论和提问，发挥想象力和创造力，培养独立思考和解决问题的能力。

五、教学考核该课程采取笔试与论文相结合的方式进行考核。

笔试考核主要测试学生的理论基础和分析能力；论文考核主要测试学生的实际应用能力，要求学生根据实际问题进行分析和解答，并给出合理的结论和建议。

六、教学资源1.《测度论导论》王婉中著2.《实变函数与测度论》杨乐著3.《测度论与实分析》杨震著七、教学评价本课程重点突出理论与实践的结合，以问题为导向，注重学生的参与与思考，培养学生的分析和解决问题的能力。

同时，教材选用了较为系统和全面的资源，有利于提高学生的理论水平和应用水平。

在教学过程中，鼓励学生充分发挥个人才能和创造力，培养学生的交流合作能力。

测度论概要教学设计

测度论概要教学设计教学目标本次测度论的教学旨在使学生了解跨学科测量方法学的基本概念和理论，并掌握现代测量方法的基本原理和技能。

学生将学到测量方法的各种定义，度量尺度的类型、优劣特征、测量误差及相关问题，并熟悉测量数据分析、统计推理和信度检验的基本知识。

教学的目标是使学生能够理解测量结果的意义和局限性，掌握一些基本测量工具的运用方法和步骤，知道如何评估测量工具的好坏，并能进行必要的测量数据分析和标准化。

教学内容本次测度论的教学内容涵盖以下几个方面：第一部分：测量方法学的基础概念在这一部分，我们将学习测量方法学的基本概念和理论。

这将包括测量和测量方法的定义，度量尺度的类型和特点，测量误差及其来源和影响等。

我们还将讨论测量方法的可靠性和有效性，以及测量方法的发展和应用前沿。

第二部分：现代测量方法学在这一部分，我们将学习现代测量方法的基本原理和技能。

这将包括测量数据的收集和处理、描述性统计和推断统计、信度和效度的检验、标准化和标准分数的计算等。

我们还将研究一些常见的测量方法，如问卷调查、试验研究和观察法等，并掌握其优势和局限性。

第三部分：测量数据分析和研究应用在这一部分，我们将学习测量数据分析的基本知识和技能。

这将包括数据的描述性分析、相关分析和回归分析、因素分析和信度检验等。

我们还将研究一些测量数据的应用和研究，如心理学、教育学和医学等领域中的测量问题。

教学方法本次教学以谈话、讲解、展示、讨论、案例分析和实践等多种形式进行。

我们将采用多媒体教学手段，如 PPT 演示、多媒体课件、互动讨论和小组合作等，以便更加生动、形象、有趣地完成教学任务，提高学生的自主学习能力和创造思维能力。

评估方式针对学生的学习成果，本次测度论的评估方式主要采用考试、作业、小组讨论和个人报告等形式。

具体如下：考试考试占课程总成绩的 50%，考试内容包括全部教学内容，主要测试学生对测量方法学的理论和实践的理解和掌握程度。

作业作业占课程总成绩的 20%，作业内容主要包括阅读、练习、分析测量数据和解决测量问题等任务，旨在考察学生对测量方法学的理论和实践的应用能力。

测度论教学大纲

第二章测度（一共8学时）
§1测度的定义与基本性质（2学时）
§2外测度（2学时）
§3测度的延拓（2学时）
§4测度的逼近与完全化（2学时）
本章教学要求：
掌握测度、外测度的概念与基本性质。能熟练地掌握测度的延拓方法及其完全化。
第三章可测函数与可测映射（一共8学时）
§1可测函数的定义与基本性质（2学时）
§2可测函数列的两种收敛性（3学时）
《Real and abstract analysis》
(GTM 25)Springer-Verlag
1975年
教学内容安排：
第一章集与类（一共6学时）
§1几个重要的集类（3学时）
§2最小σ-代数，λ-π类方法（3学时）
本章教学要求：
掌握几个重要的集类：环、代数、σ-代数、π类、λ类（以及半环与单调类）；熟练地掌握λ-π类方法（外延法）。
*第七章测度的收敛（一共4学时；时间不够，可选择不讲）
本章教学要求：
介绍测度的收敛与弱收敛以及相关定理。
作业和考核方式：闭卷笔试
测度论教学大纲
(Measure Theory)
课程代码
MATH130070
编写时间
2007.1
课程名称
测度论
英文名称
Measure Theory
学分数
3
周学时
3
任课教师*
应坚刚，谢践生等
开课院系
数学学院
预修课程
微积分
课程性质：
本课程是数学学院基础课/专业选修/限选课，为数学学院本科二、三年级学生第一/二学期专业选修。
本章教学要求：
掌握Lebesgue积分的定义与基本性质。掌握积分号下取极限的条件以及L^p-空间的基本性质。