教学大纲_测度论

《测度论》教学大纲

课程编号：120502B

课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课

□专业必修课□√专业选修课

□学科基础课

总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2

适用对象：经济统计学、统计学

先修课程：数学分析、概率论

毕业要求：

1.应用专业知识，解决数据分析问题；

2.可以建立统计模型，获得有效结论；

3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；

4.关注国际统计应用的新进展；

5.基于数据结论，提出决策咨询建议；

6.具有不断学习的意识；

7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；

8.计算机编程技能与经济学基本常识。

一、教学目标

测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。通过本课

程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

（一）教学内容

可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。

（二）教学方法和手段

教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。

（三）考核方式

开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。

（四）学习要求

课上听讲，并独立完成课后作业。

三、各教学环节学时分配

教学课时分配

四、教学内容

第一节集类

1.集合代数

2.集合代数的结构

第二节可测空间

1.西格玛代数

2.可测空间的结构

第三节单调类定理

1.单调类

2.单调类定理

教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。

课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。

复习思考题：

1.可列可加性在可测空间的定义中起什么作用？

2.如何应用单调类定理？

第二章测度空间

第一节测度空间的定义与性质

1.测度空间定义

2.测度空间性质

第二节外测度与测度扩张

1.外测度

2.测度扩张定理

第三节测度空间的完备化

1.完备测度空间

2.测度空间的完备化

1.Borel代数

2.实可测空间上的L-S测度

教学重点、难点：测度空间的定义与性质、测度扩张定理、实可测空间上的测度。

课程的考核要求：理解测度空间的定义与性质、掌握测度空间的构造方法、了解测度的逼近与完备化。

复习思考题：

1.复习在可测空间上构造测度的一般方法。

2.从分析学的角度，该如何把握任意可测集的测度？

第三章可测函数的积分

第一节可测映射与可测函数

1.可测函数的定义与结构

2.可测函数的性质与运算

3.函数形式的单调类定理

第二节积分的定义与性质

1.可测函数的积分定义

2.可测函数的积分性质

第三节积分收敛定理

1.单调收敛定理

2.Fatou引理

3.控制收敛定理

第四节积分变换公式

1.积分变换公式

2.随机变量数字特征的L-S积分表示

教学重点、难点：可测函数定义与性质、积分定义与性质、积分收敛定理、

积分变换公式。

课程的考核要求：掌握积分定义与性质、掌握积分收敛定理和变换公式。

复习思考题：

1.思考勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系？

2.为什么要研究积分收敛定理？

第四章符号测度与R-N导数

第一节符号测度

1.符号测度

2.不定积分

第二节 Hahn分解Jordan分解

1.Hahn分解

2.Jordan分解

第三节 Lebesgue分解与R-N导数

1.Lebesgue分解定理

2.R-N导数

第四节条件期望与条件概率

1.条件期望

2.条件概率

教学重点、难点：符号测度、Hahn分解、Jordan分解、R-N导数、Lebesgue 分解定理、条件期望。

课程的考核要求：掌握符号测度的定义与性质、R-N导数、理解Hahn分解与Jordan分解、Lebesgue分解定理、理解条件期望的定义和性质。

复习思考题：

1.思考条件期望的直观涵义。

2.利用Lebesgue分解来解释概率论中随机变量的分类问题。

第五章乘积空间

第一节有限维乘积空间

1.二维乘积空间

2.Fubini定理

第二节无穷维乘积空间

1.无限维乘积空间

2.Kolmogorov相容性定理。

教学重点、难点：二维乘积空间、Fubini定理、无限维乘积空间、Kolmogorov 相容性定理。

课程的考核要求：掌握二维乘积空间上测度的构造、Fubini定理，了解无限维乘积空间、Kolmogorov相容性定理。

复习思考题：

1.比较测度论与实分析的联系与区别。

2.用测度论语言构建概率论的公理化体系。

五、考核方式、成绩评定

开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%

六、主要参考书及其他内容

[1]程士宏. 测度论与概率论. 北京：北京大学出版社. 2004

[2]缪柏其,胡太忠. 概率论教程. 北京：中科大出版社. 2009

[3]严士健,刘秀芳. 测度与概率. 北京：北师大出版社. 2003

[4]严加安.《测度论讲义》（第二版）.北京：科学出版社. 2004

[5]P.R.Halmos. Measure Theory. Springer-Verlag. 1974

执笔人：刘智聪教研室主任：系教学主任审核签名：