8.1.2 向量数量积的运算律

8.1.2 向量数量积的运算律
(教师独具内容)
课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.
【知识导学】
知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则
交换律 a ·b ＝□
01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□
02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□
04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】
对向量数量积的运算律的几点说明
(1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a .
(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做
(1)已知|a |＝2，b 在a 上的投影的数量为－2，则a ·(a －b )＝________. (2)已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________.
(3)已知|a |＝6，|b |＝8，〈a ，b 〉＝120°，则|a 2
－b 2
|＝________，|a －b |＝________，|a 2
＋b 2
|＝________.
答案 (1)8 (2)－7 (3)28 237 100
题型一 求向量的夹角
例1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． [解] 设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝12
.
∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2＝e 22－2e 2
1－e 1·e 2＝1－2－12＝
－32
， |a |＝a 2
＝
e 1＋e 2
2
＝|e 1|2＋|e 2|2
＋2e 1·e 2
＝1＋1＋1＝ 3. |b |＝b 2
＝
e 2－2e 1
2
＝ |e 2|2－4e 1·e 2＋4|e 1|2
＝
1＋4－4×1
2
＝ 3.
∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－32
3×3
＝－1
2. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 金版点睛
求向量a ，b 夹角θ的思路
(1)解题流程
求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b
|a ||b |
→结合θ∈[0，π]，求出θ
(2)解题思想：由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．
[跟踪训练1] 已知|a |＝3，|b |＝5，|a ＋b |＝7，求a ·b 及a 与b 的夹角． 解 ∵|a ＋b |＝7，
∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝34＋2a ·b ＝49，∴a ·b ＝152
.
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1523×5＝1
2.
又∵θ∈[0，π]，故a 与b 的夹角θ＝60°. 题型二 求向量的模
例2 已知x ＝1是方程x 2
＋|a |x ＋a ·b ＝0的根，且a 2
＝4，〈a ，b 〉＝120°. 求：(1)向量b 的模；(2)向量λb 的模． [解] (1)∵a 2
＝4，∴|a |2＝4，即|a |＝2. 把x ＝1代入方程x 2
＋|a |x ＋a ·b ＝0，得 1＋|a |＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－3，
则a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2|b |cos120°＝－3， ∴|b |＝3.
(2)由(1)知|b |＝3， ∴|λb |＝|λ||b |＝3|λ|. 金版点睛
极化恒等式求模长
(1)两个结论
①(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
； ②(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
.
证明 ①(a ＋b )2
＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＋b ·a ＋b ·b ＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
. ②(a ＋b )·(a －b )＝a ·a －a ·b ＋b ·a －b ·b ＝a 2
－b 2
. 说明：下列结论也是成立的： (a －b )2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
，
(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d .
(2)由上述结论，我们不难得到4a ·b ＝(a ＋b )2
－(a －b )2
， 即a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2
]．
我们把该恒等式称为“极化恒等式”． (3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法
①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2
＝|a |2
，勿忘记开方．
②一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2
＝a 2
±2a ·b ＋b 2
，(a ＋b )(a －b )＝a 2
－b 2
等． 提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方． [跟踪训练2] (1)已知|a |＝63，|b |＝1，a ·b ＝－9，则〈a ，b 〉＝( ) A ．120° B ．150° C ．60° D ．30°
(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π
3，求|a －b |，|a ＋b |.
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－963×1＝－3
2，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，
b 〉＝150°，故选B.
(2)解法一：|a ＋b |＝
a ＋b
2
＝a 2＋b 2
＋2a·b
＝|a |2
＋|b |2
＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝
52＋52
＋2×5×5×co s π3
＝5 3.
|a －b |＝
a －b
2
＝a 2＋b 2
－2a·b
＝|a |2
＋|b |2
－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝
52＋52
－2×5×5×co s π3
＝5.
解法二：以a ，b 为邻边作▱ABCD ，设AC ，BD 相交于点E ，如图所示．
∵|a |＝|b |且∠DAB ＝π
3，
∴△ABD 为正三角形，
∴|a －b |＝|DB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →
| ＝2
|AB →|2－|BE →|2
＝2
52
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫522＝5 3.
题型三 用向量数量积解决垂直问题
例3 已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a －b )⊥c .
[证明] 证法一：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.
∴(a －b )⊥c .
证法二：如图，
设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，
连接AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，∴OC ⊥AB . 又∵BA →
＝a －b ，∴(a －b )⊥c . 金版点睛
要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．
[跟踪训练3] 若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．A ，B ，C 均不是
答案 C
解析 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得CB →·(AB →＋AC →
)＝0， 又∵CB →＝AB →－AC →，
∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2
＝0. ∴|AB →|＝|AC →
|.∴△ABC 为等腰三角形．
1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于( )
A.32 B ．－3
2
C.23 D ．－23
答案 B
解析 由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－1
2.
∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2
－3a ·b ＝－32
.
2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C
解析 (a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2
－|a |×4×12－6×16＝－72.解得|a |＝
6.
3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
答案 A 解析 |a －b |＝
a －b
2
＝a 2＋b 2
－2a ·b
＝12
＋12
－2·1·cos〈a ，b 〉＝2－2cos60°＝1.
4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π
3，则实数λ
＝________.
答案 －8或5
解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，则49c 2
＝9a 2
＋λ2b 2
＋6λa ·b .由a ，
b ，
c 为单位向量，得a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3
，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ
＝－8或λ＝5.
5．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.
解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4a 2
－4a ·b －3b 2
＝61，
所以4×42－4×4×3cos θ－3×32
＝61，cos θ＝－12，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°. (2)因为|a ＋b |2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，
所以|a ＋b |＝13，同样可求得|a －b |＝37.。