初中数学专题讲义-数据的收集与整理

初中数学专题讲义-数据的收集与整理

一、课标下复习指南 (一)数据的收集和整理 1．全面调查与抽样调查

统计调查分全面调查和抽样调查两种，实际中常采用抽样调查的方式． (1)考察全体对象的调查属于全面调查．

(2)从总体中抽取样本进行调查，属于抽样调查．抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查，简称抽查．抽查体现了用样本估计总体的思想．

(3)总体、个体及样本

总体：所要考察对象的全体，称为总体； 个体：总体中的每一个考察对象，称为个体；

样本：从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本． 样本中个体的数目称为样本容量．

说明 抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式，它是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查；常采用问卷调查等调查方式．

用划记法记录数据，通过表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律． 说明 对于不同的抽样，可能得到不同的结果． 2．频数与频率

(1)频数：落在不同小组中的数据个数称为该组的频数．

(2)频数与数据总数的比称为频率．频率反映了各组频数在总数中所占的百分比． 3．几种常见的统计图表

(1)条形图

将数据按要求分成若干小组，并用“划记”的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图．

(2)扇形图

将数据按要求分成若干小组，统计出各小组的频数，并算出各组的频数占数据总数的百分比；画一个圆，并规定圆的面积表示100％；算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数，用量角器画出各扇形，并标出各百分数．

(3)折线图

以横轴表示统计的时间，纵轴表示数据，建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次连接起来．

(4)频数分布直方图

用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；决定分点；列数频分布表；画频数分布直方图．

①把数据按一定的规律分成组的个数为组数，每一组两个端点的差称为组距．

1+-=的整数部分组距最小值

最大值组数；

②数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则，既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象，也不能有一个数据不在任何组内的遗漏现象；

③频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别． (5)频数折线图

频数折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来．取频数分布直方图中每一个矩形上边的中点，然后在横轴上取两个频数为0的点，即在直方图的左边和右边各取一个频数为0

的点，再用线段从左到右将这些点依次连接起来．

说明 利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律． (1)条形图：能显示具体数据，易于比较数据差别；

(2)扇形图：用扇形的面积占圆的面积的百分比表示部分在总体中所占百分比，易于显示每组数据相对于总体的大小；

(3)折线图：易于显示数据的变化趋势；

(4)直方图：能显示各组频数分布的情况，易于显示各组之间频数的差别． (二)数据的分析

1．平均数、众数与中位数

(1)算术平均数

).(1

21n x x x n

x +++=

Λ (2)加权平均数

如果一组数据中，x 1，x 2，x 3，…，x k 出现的次数分别是f 1，f 2，f 3，…，f k ，那么这组数

据的加权平均数⋅++++++++=k

k

k f f f f f x f x f x f x x ΛΛ321332211

(3)众数与中位数

①在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时不止一个)；

②将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数；

③众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (4)平均数、中位数、众数的特征

①平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平； ②平均数容易受极端值的影响，而中位数则不能充分利用所有数据的信息，众数在各个数据的重复次数大致相等时往往没有特别的意义． 2．极差和方差、标准差

(1)极差：一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差．

①极差用来反映一组数据变化范围的大小，是刻画数据离散程度的最简单的统计量； ②极差受极端值的影响较大，不能反映中间数据的离散情况．

(2)方差：在一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 中，各数据与它的平均数x 的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差，即

].)()()[(1

222212x x x x x x n

s n -++-+-=Λ

①方差是用来反映一组数据波动情况的特征数，常常用来比较两组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；

②方差的单位是原数据单位的平方．

(3)标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即.2s s =

*标准差的计算公式： ⋅-++-+-=

])()()[(1

22221x x x x x x n

s n Λ 说明 (1)一组数据的众数可以不唯一，但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他

统计量都是唯一的，但未必出现在这组数据中；

(2)一组数据都在常数a 上下波动，即x'1＝x 1＋a ，x 2'＝x 2＋a ，…，x n '＝x n ＋a 时，平均数a x x ++'；方差s'2＝s 2．

二、例题分析

例1 下列调查方式，合适的是( )．

A ．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式

B ．要了解甘肃电视台“陇原风貌”栏目的收视率，采用普查方式

C ．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式

D ．要了解人们对环境的保护意识，采用抽查方式 解 D ．

说明 当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难(或没有必要)进行普查时，就选择抽查，对像“神舟六号”重要零部件的检查这类调查则必须选择普查．

例2 某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63(单位：m)这一小组的频率为0.25，则该组的人数为( )．

A ．150人

B ．300个

C ．600人

D ．900人

分析 1200名女生就有1200个身高，故数据总数为1200．同理，该组的人数即为落在该组的数据个数，即该组的频数．由频率＝频数÷数据总数得，频数＝频率×数据总数＝0.25×1200＝300．故该组的人数为300人．故选B ．

说明 对频数与频率的考查大多数放置于数据处理的背景之下，侧重于对概念的理解与运用，单独考查时一般以填空和选择的题型出现，但更多的是与统计图等结合考查．

例3

A ．27℃，28℃

B ．27.5℃，28℃

C ．28℃，27℃

D ．26.5℃，27℃

分析 由上表可知，一共统计了7个数据，将它们按从小到大排列为25，26，27，27，28，28，28，第4个数据是27，故这组数据的中位数是27(℃)．又数据28出现的次数最多，所以众数是28(℃)．故选A ．

说明 (1)求中位数时，先看这组数据的个数是奇数还是偶数，然后将这组数据按从小到大的顺序排列．若有奇数个数据，则最中间那个数据就是这组数据的中位数；若有偶数个数据，则最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数；(2)求众数时，先数出各数据在这组数据中出现的次数，出现次数最多的数据就是这组数据的众数．有时一组数据的众数不只一个．

例4 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试，3