2020届一轮复习(理)通用版专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用测试

专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用

一、选择题

1．若f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)＝()

A．1

2B．－

1

2C．－

3

2D．

3

2

答案C

解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－

3

2．故选C．

2．点P从(2，0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动4π

3弧长到达点Q，

则点Q的坐标为()

A．(－1，3) B．(－3，－1)

C．(－1，－3) D．(－3，1)

答案A

解析4π

3弧长所对的圆心角为α＝

4π

3

2＝

2π

3，设点Q的坐标为(x，y)，∴x＝

2cos 2π

3＝－1，y＝2sin

2π

3＝3．故选A．

3．有四个关于三角函数的命题：

p1：∃x0∈R，sin2

x0

2＋cos

2

x0

2＝

1

2；

p2：∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；

p3：∀x∈[0，π]，

1－cos2x

2＝sin x；

p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝

π

2．

其中是假命题的是()

A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4

答案A

解析p1是假命题，∵∀x∈R，sin2

x

2＋cos

2

x

2＝1；p2是真命题，如x＝y＝0

时成立；p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos2x

2＝sin

2x＝|sin x|

＝sin x；p4是假命题，x＝π

2，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠π

2．故选A．

4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－3)，q ＝(cos B，sin B)，p∥q且b cos C＋c cos B＝2a sin A，则C＝()

A．30°B．60°C．120°D．150°

答案A

解析∵p∥q，∴－3cos B＝sin B，即得tan B＝－3，

∴B＝120°，∵b cos C＋c cos B＝2a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B

＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，sin A≠0得sin A＝1

2，∴A＝30°，C＝180°

－A－B＝30°．故选A．

5．(2018·福州五校联考二)已知a＝2－1

3，b＝(2log23)－

1

2，c＝cos50°cos10°

＋cos140°·sin170°，则实数a，b，c的大小关系是() A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a

答案C

解析因为a＝2－1

3＝

1

2

1

3＝

1

4

1

6，b＝(2log23)－

1

2＝3－

1

2＝

1

3

1

2＝

1

27

1

6，所以a>b，

排除B，D；c＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝

sin30°＝1

2＝

1

4

1

2，所以b>c，所以a>b>c．选C．

6．(2018·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中

较小的锐角为θ，则sinθ＋π

2－cosθ＋

π

3＝()

A ．4＋3310

B ．4－33

10

C ．

－4＋3310 D ．－4－33

10

答案 A

解析 设直角三角形中较小的直角边长为a ，则a 2＋(a ＋2)2＝102，解得a ＝6，所以sin θ＝610＝35，cos θ＝810＝45，sin θ＋π2－cos θ＋π3＝cos θ－12cos θ＋3

2sin θ＝12cos θ＋32sin θ＝12×45＋32×35＝4＋33

10．故选A ．

7．(2018·河南十所名校测试)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋π

3的两个极值点为α，β，且|α－β|min ＝π2，则函数f (x )在0，π

2上的最大值为( )

A ．－ 3

B ．1

C ． 3

D ．2 答案 D

解析 由题意得f (x )的最小正周期为T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin2x ＋π

3，因为x ∈0，π2，所以2x ＋π3∈π3，4π

3，所以f (x )的最大值为2．故选D ．

8．(2018·江西吉安模拟)已知函数f (x )＝

⎩⎨⎧

πcos x ，x <0，f (x －π)，x ≥0，

则函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的一个单调递增区间为( )

A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2

B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π

C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4

D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

3π4，5π4

答案 A

解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π·cos －π3＝π2，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝

sin2x －π2＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π，求得k π≤x ≤k π＋π

2，可得g (x )的增区