差分方程模型

105 是平衡点，不稳定.
若 a 0 = 100000 ⇒ c = 0 , 则 ∀ n , a n = 100000
5 若 a0 > 10 ,
5 若 a 0 < 10 ,
c > 0,
c < 0,
则 an → +∞ 则 an → −∞
2. 二阶方程的平衡点及稳定性 只 须 讨 论 齐 次 方 程 a n − aa n −1 + ban − 2 = 0 ; 对 非 齐 次 方 程
Fn = Fn−1 + Fn −2 F1 = F2 = 1
F1 1 F2 1 F3 F4 F1 + F2 = 2 F3 + F2
(二阶线性差分方程初值问题)
F 4≠ 2 F3
注意上月新生的小兔不产兔
(因第 n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为 Fn−1 ， 另一 部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)
a( n) + a(n − 1) = 0 ， 平衡点 O 稳定的条件是 A 的所有特征根 | λ i |< 1 。
4.求解 n 阶齐次线性差分方程组方法: 仿照线性微分方程组解的
dx = λx d t 法,注意二者的区别 a n = λ a n −1 x = ce λ t an = cλ
| x2 |< 1 才是稳定的。
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3. n 阶齐次次方程组平衡点 O 的稳定性.
a ( n) 为 n 维列向 量 , A 为 n × n 阵 。齐次线性差分方程 组
Fn = Fn−1 + Fn−2 例 1 求解兔子问题 F = F = 1 2 1
2 解：差分方程的特征方程为 x − x − 1 = 0
特征根 x1 =
n
1+ 5 1− 5 , x2 = 2 2
n
通解为
1+ 5 + c2 1 − 5 , 由初始条件 F1 = F2 = 1 得: Fn = c1 2 2
n 故 a n = c (1.01) + 100000 .
n 例 4 求非齐次差分方程 a n − 4a n −1 + 4 a n − 2 = 2 的通解.
解法 1
2 齐次特征方程 λ − 4λ + 4 = 0 , 二重根 λ = 2 ,
* n n 对应齐次方程的通解为 a n = c 1 2 + c 2 n ⋅ 2 .
4．车出租问题 A，B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个 城市还车。 A， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需 要，以便估算成本。分析历史记录数据得出：
x n ： 第 n 天营业结束时 A 公司的车辆数 y n ：第 n 天营业结束时 B 公司的车辆数
xn +1 = 0.6 xn + 0.3 y n 则 y = 0.4 x + 0.7 y n n n+1
λ − 0 .5 = 0 ,
设特解为 a n = D , 代入 D = 0.5D + 0.1 得 D = 0.2 ， 于是所求通解
n 为 a n = c (0.5) + 0.2
例 3 (养老金问题)解法 1
an +1 = 1.01a n − 1000
* n 齐次特征方程 λ − 1 . 01 = 0 , 齐次方程通解 a n = c (1.01) .
因 f ( n ) = 2 中, 2 是 2 重根,故设特解为 a n
n
= A ⋅ n 2 ⋅ 2n
n n 2 n −1 代入得 A = 1 2 , 故通解为 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + n ⋅ 2
n −1 n 方法 2(化齐) an − 4an −1 + 4a n− 2 = 2 , 2( a n −1 − 4a n− 2 + 4a n −3 ) = 2 ⋅ 2
设特解为 an = D , 代入代入原方程得 D = 100000 . 通解为 a n = c (1 . 01 ) n + 100000 . 解法 2(化齐) a n +1 − 1.01a n = −1000 , a n − 1 . 01 a n −1 = − 1000 . 相减得 an+1 − 2.01an + 1.01an −1 = 0 ,
an − aan−1 + ban−2 = d (d 为常 数) 可 作线性变换 bn = a n − e 化 成
齐次方程，稳定性相同.
n n 齐次方程通解 a n = c1 x1 + c 2 x 2 ，平衡点为 0, x1 , x2 是互异特征
根(或重根)，当 n → ∞ 仅当 | x1 |< 1,
3 2 相减得 an − 6an−1 + 12an− 2 − 8an −3 = 0 ,特征方程 λ − 6λ + 12λ − 8 = 0 n n 2 n 特征根 λ = 2 为三重根,通解为 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + c3 n ⋅ 2 .
代入原方程得 c3 = 1 2 ,故 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + n ⋅ 2
a n+1 = 0.5an + 0.1 (一阶非齐次线性差分方程) ∆an = an+1 − an = −0.5an
2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提 尽为止。月利息为1℅，月提款额为 1000 元，则可建模型如下： 设第 n 月的存款额为 a n ，则
a n+1 = 1.01an − 1000 (一阶非齐次线性差分方程)
形如 a n + b1a n −1 + b2 a n− 2 + L + bk an − k = f (n)
an + b1 an −1 + L + bk a n −k = 0
为其对应的齐次方程。 定理 4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解
加上非齐次方程的特解,即
* an = an + an ,
=
b (相当于 ∀ n , a n = x 0 的 1+ a
那种点).当初始条件 a0 = x0 , 则 ∀n, a n = x0 . 若对任何初始条件， 都有 k → ∞ 时， a n → x 0 ， 则称平衡点 x0 是稳定的，否则称为不稳定的。
n 一阶方程的通解 a n = c ( − a ) +
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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定 理 2 ( 重根情形 ) 若特征方程的 相异特征根为 x1 , x2 ,L , xt , 重数依次为 m1 , m2 ,L, mt , 其中 m1 + m2 + L mt = k ,则差分方程的通 解为：
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差分方程模型
数学建模讲座
一、关于差分方程模型简单的例子
1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。 考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能 使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。 假定开 了每日 0 .1 毫克的剂量处方， 且知道在每个剂量周期(每日)末还剩 留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第 n 天后血流中地高辛剩余量为 a n ， 则
其中 a n 为通解,
*
a n 为特解.
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例 2(地高辛问题)解 齐次 特征 方程
a n+1 = 0.5a n + 0.1
齐次方程通解
* an = c ( 0 . 5) n .
2 特征方程 λ − 2.01λ + 1.01 = 0 .
(λ − 1.01)(λ − 1) = 0 ,通解为 a n = c1 + c (1 .0 1) n ，代入原方程得
c1 + c ⋅1.01n +1 − 1.01c1 − (1.01) n +1 c = −1000 , c1 = 1000 .
an = (c11 + c12 n + L c1m1 n m1 −1 ) x1n + (c21 + c22 n + L c2 m2 n m2 −1 ) x2 n
+ L + (ct1 + ct 2 n + L ctmt n mt −1 ) xt n
(定理 1 包含在定理 2 之中) 定理 3 若差分方程的特征方程的特征根出现一对共轭虚根，
n
.
汽车出租问题
全类完似的问题：选民下一次选举的投票趋势
xn +1 = 0.6 xn + 0.3 yn yn +1 = 0.4 xn + 0.7 yn
0.6 0.3 X n +1 = 0.4 0.7 X n
0.6 0.3 A= 0.4 0.7
x1 = u + iv 和相异的 k − 2 个根 x3 , L, x k , 则差分方程的通解 x = u − iv 2
为： an = c1 ρ cos nθ + c2 ρ sin nθ + c3 x3 + L + ck xk .
n n n n
定义 2
( b1 , b2 ,L, bk 为常数， bk ≠ 0 , f ( n) ≠ 0 , n ≥ k ) 的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程。称
k k −1 k −2 n ≥ k . x + b1 x + b2 x + L + bk = 0 称 为 差 分 方 程 的 特 征 方
程，其根称为特征根。
定 理 1 （ 单根情形 ） 若特征 方程 恰 有 k 个 相异 的 特征根
n n n x1 , x 2 ,L, x k ， 则差分方程的通解为 a n = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c k x k .
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3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同 时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也 按此规律繁殖，设第 n 月末共有 Fn 对兔子，则建模如下：
b ,因此 | a |< 1 时才是稳定的. 1+ a
n 地高辛问题 a n = 0.5an −1 + 0.1 ,通解 a n = c(0.5) + 0.2 , 0.2 是平衡
点，且是稳定的。 就是说，不管初始值如何，若干天以后，血中 地高辛剩留量接近 0.2 .
n 养老金问题 an = 1.01an −1 − 1000 ，通解 a n = c (1 . 01 ) + 100000 ,
n n 2
n −1
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三 差分方程的平衡点及稳定性
1.一阶线性方程 a n + aa n−1 = b 的平衡点及稳定性 平衡点可由 x + a
x = b 解得 x 0
1+ 5 1− 5 + c2 =1 (1) c1 2 2 2 2 1− 5 1 + 5 c1 2 + c2 2 = 1 (2)
1 c = 1 5 解得 1 c 2 = − 5
故
n n 1 5 + 1 1 − 5 − Fn = 2 2 5
(问题模型可进一步推广) (一阶线性差分方程组)
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二 差分方程的解法
类比: 差分方程是数列间关系; 微分方程是函数间关系 定义 1. 形如 an + b1an −1 + b2 an −2 + L + bk an −k = 0 的差分方程，称 为 {an } 的 k 阶常系数线性齐次差分方程，其中 bi 为常数， bk ≠ 0 且