学习一元二次方程常见思维误区分析
一元二次函数易错题解析
一元二次函数易错题解析一、标题解析《一元二次函数易错题解析》这个标题主要是针对一元二次函数相关题目中常见错误进行解析，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、易错点分析1. 忽视函数定义域：在一元二次函数的表达式中，必须保证二次项系数不为零，否则函数将无法定义。
例如，表达式x²-2x+3必须保证x不为0，否则会出现定义域错误。
2. 忽视图像性质：一元二次函数的图像是抛物线，具有对称性、开口方向、顶点坐标等性质。
在解题过程中，需要充分考虑这些性质，才能正确解题。
3. 忽视隐含条件：一元二次函数表达式中，常常隐含着一些条件，如判别式Δ>0或Δ=0或Δ<0的情况，需要充分考虑这些条件才能避免错误。
4. 混淆概念：一元二次函数与一元一次函数、反比例函数等其他函数容易混淆，导致解题错误。
三、易错题解析【例题1】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-2x+3在区间[2,3]上的最大值是M，最小值是m，求M+m的值。
【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,2)。
当x=2时，f(x)取最小值m=3；当x=3时，f(x)取最大值M=6。
所以M+m=9。
【解析】上述解法忽视了函数的定义域，导致在求最小值时误将区间端点值代入表达式。
正确解法如下：【解答】由题意得，一元二次函数f(x)的定义域为R。
Δ=(-2)²-4×1×3=-8<0，所以一元二次函数f(x)的图像与x轴无交点。
因此M+m=f(x)在区间[2,3]上的最大值M+最小值m=f(2)+f(3)=5+6=11。
【例题2】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-4x+5在区间[3,4]上的最大值是M，求M的值。
【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=2。
当x=4时，f(x)取最大值M。
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点主要有：
1. 未正确识别方程的形式：有时候题目给出的方程可能不是标
准的一元二次方程形式，容易误以为是其他类型的方程。
因此，要注
意检查方程中是否有二次项、一次项和常数项，确保正确识别方程类型。
2. 错误地标记未知数：在解一元二次方程时，常常用字母表示
未知数，如通常用x表示。
然而，在一些情况下，可能会错误地将其
他字母或符号当作未知数。
因此，应该仔细检查并确保正确标记未知数。
3. 求平方根时忽略正负号：在解一元二次方程时，通常需要使
用平方根。
但容易忽略平方根的正负号，导致忽略了可能存在的另一
个解。
解决这个问题的方法是在解方程时考虑两个解，一个是取正平
方根，另一个是取负平方根。
4. 运算错误导致计算结果出错：在解一元二次方程时，可能会
有繁琐的运算过程，容易出现计算错误。
例如，错误地计算平方项、
未正确对齐等。
为避免这些错误，应该仔细地进行每一步的运算、检
查计算过程和结果。
5. 未检查解是否符合题目条件：解一元二次方程后，得到的解
有时候需要符合题目中给出的条件。
如果未仔细检查解是否满足条件，可能会得到不正确的结果。
因此，在解完方程后，应该将解代入原方
程中检查是否成立。
以上就是一元二次方程易错点的一些常见问题，注意避免这些错误，能够提高解题的准确性。
初中数学专题复习解一元二次方程时一些常见的失误分析(含解答)
解一元二次方程时一些常见的失误分析摘要:一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占重要地位，因此,让学生正确掌握一元二次方程的有关知识是非常必要的。
本文通过我在多年数学教学过程中对学生的作业、观察、分析，发现了解一元二次方程时学生易出现失误的九个方面问题，分别举例分析说明，以便教学时提示学生正确解题。
关键词：方程失误分析一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占有重要的地位，一元二次方程是中考的必考内容，是重点问题，是历年来全国各地中考的热点，也是今后学习各类方程以及不等式、函数等知识的基础。
下面我对一元二次方程经常在作业或考试中常被忽视的问题作一些分析。
一、忽视方程是一元二次方程而造成失误例1、解方程：5x2=4x4误解：方程两边同时除以x，得x＝5分析：误解的根本原因是，忽视了方程同解原理2的条件，方程两边同除以的x也可能为零，因而导致失误。
或者说这是一个一元二次方程它有两个根，正确的解法是：5x24－4x=0 x(5x－4)=0 x1=0 x2=5例2、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
误解：∵原方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋4411－28m＋44＞0m＜7∴ m ＜711时，原方程有两个实数根 分析：本题忽视二次项系数不能为零 m －1≠0 m ≠1 正确的是：∴当m ＜711且m ≠1时，原方程有两个不相等的实数根 说明：在解一元二次方程时，若方程是一元二次方程，那么它有两个实数根，并且二次项系数不能为零。
二、误以为方程是一元二次方程而造成失误例3、m 为何值时，关于x 的方程（m －4）x 2－（2m －1）x ＋m=0有实数根。
误解：∵方程有实数根 ∴Δ≥0且m ≠4Δ＝[－（2m －1）]2－4（m －4）m ＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋16m ＝12m ＋1 12m ＋1≥0且m ≠4，m ≥－121且m －4≠0 正确的解法是：Δ≥0 即：m ≥－121 分析：造成错误的原因是把方程误以为一元二次方程。
学习一元二次方程常见思维误区分析
学习一元二次方程常见思维误区分析在一元二次方程教学中，常常发现学生在解题时，或遗漏答案，或增添一些不合题意的答案，这些都是影响学生良好的思维品质常见的思维误区。
本文就自己在数学教学中的感受谈一谈。
学生常见的思维误区有以下几方面：1 忽视隐含条件隐含条件通常是指题目中含而不露，没有明确表达出来的条件，要充分揭示出隐含条件，从中找出内在联系，化暗为明，必须具备扎实的数学基础知识和基本技能，以及良好的数学思维能力。
例1：若方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
错解：△=（-6）2-4×k×1=36-4k∵方程有两个不相等的实数根∴△>0，即36-4k>0 ∴k0即2m+■>0 ∴m>-■∴m=-3不合m的取值范围，舍去。
∴m=-12 对数学概念缺乏正确的理解学生对一些数学概念理解较浮浅、片面，未能理解概念的真正涵义。
例3：写出方程6x2=3x+2的二次项，一次项及常数项。
错解1：二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。
错解2：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。
错解3：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0二次项是6，一次项是-3，常数项是-2。
误区分析：上面三种错误是最容易出现的，错解1忽视了二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是在方程为一般形式下定义的，求解时没把方程化为一般形式；导致错解2的原因是漏掉了各项的符号；导致错解3的原因是混淆了二次项与二次项系数、一次项与一次项系数的概念。
本题的正确解法是：先将原方程化为一般形式6x2-3x-2=0，根据二次项、一次项与常数项的定义可知，二次项为6x2、一次项为-3x、常数项为-2。
3 忽视了解法的依据条件一道数学题的解法只能在符合一定的依据条件下，才能够运用。
依据不清与其它理论依据相混淆，容易出现错解。
例4：解方程（x-1）（x-3）=8错解：x-1=0或x-3=0x1=1 x2=3误区分析：用因式分解法解一元二次方程的根据是：ab=0则a=0或b=0，本题中方程的左边虽然是两个因式的积，但右边是8，而不是0，切勿将（x-1）（x-3）=8与（x-1）（x-3）=0相混淆。
解一元二次方程学生易步入的几个误区
解一元二次方程学生易步入的几个误区一、利用“根的判别式”证明方程根的存在，方法不当出现错误例，证明；无论m取何值时，方程x2-(m-2)x-9=0都有两个不相等的实数根？【错解】因为〔-(m-2)〕2-4×1（-9）﹥0，所以m2-4m+40﹥0,所以无论m取何值时，方程x2-(m-2)x-9=0都有两个不相等的实数根。
很明显，首先就说明了根的判别式大于0，还有什么必要来证明呢？这就是解题方法上出现的错误。
二、忽略一元二次方程的一般形式，匆忙求解导致失误例，解方程x2-3x=2，即x1= 1 x2=2【错解】因为a=1,b=-3,c=2,b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1﹥0,所以x=−b±b2−4ac2a点评：出现这类错误，主要是没有将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),而套用公式造成方程解的错误。
三、方程两边同除以一个多项式，出现丢根例，4（x+2）（x-2）=x-2【错解】将方程的两边同时除以（x-2），得4（x+2）=1，解得X= −74点评：在解一元二次方程时，方程的两边不能同时除以含有未知数的代数式，否则，就会丢根。
四、不注重讨论，出现错误例，若一元二次方程（m-2）x2-x+m2-m-2=0的一个根为0，求m的值【错解】因为0是一元二次方程的一个根，所以x=0满足方程（m-2）x2-x+m2-m-2=0，即m2-m-2=0，解得m1=-1 m2=2对于本题来说，显然当m=2时，方程就不是一元二次方程了，学生在解题时，忽略了一元二次方程一般式ax2+bx+c=0，a≠0，因此对于二次项中的系数如果含有字母，一定要参与讨论，这很重要。
五、忽视一元二次方程系数的符号，解题时出现错误在运用公式法解方程以及利用根的判别式解决问题时，也是容易出错的地方，因为往往忽略一元二次方程系数的符号，所以要认识到一元二次方程系数一定包含各自的符号，这样就会避免出现差错。
阐述解一元二次方程应注意的问题
阐述解一元二次方程应注意的问题一元二次方程是历年来全国各地中考的热点,也是学习各类方程以及不等式、函数等知识的基础。
下面我对一元二次方程在中考复习中应注意的问题作一些分析。
1 注意方程是一元二次方程例1:解方程。
误解:方程两边同时除以x,得。
分析:误解的根本原因是,忽视了方程同解原理2的条件,方程两边同除以的x 不能为零,因而导致失误。
或者说这是一元二次方程,它有两个根。
正确的解法是: ,x(7x-4)=0,,。
2 要注意二次项系数不为零例2:已知关于x的方程有两个不相等的实根、,求k的取值范围。
分析:由方程有两个实根可知此方程为一元二次方程,故不能忽视k0这一隐含条件。
根据题意得k0且△=＞0。
解得k＜,所以当k＜且k0时,方程有两个不相等的实根。
3 对根与系数的关系的讨论例3:已知一元二次方程的两根为、,求的值。
误解:∵。
∴===。
正确解法:分析,∵，∴＜0且＜0。
∴===。
4 注意一元二次方程根的情况例4:k为何值时,有实根。
误解:当△＞0时,一元二次方程有实根。
∵△==4k+5。
∴当k＞时,原方程有实根。
分析:一元二次方程有实根包括有不相等的实根和相等的实根两种情况,因而失去了k=这个解。
正解:△≥0,k≥时,方程有实数解。
5 用公式法分解二次三项式时要注意因式分解中的二项系数例5:把分解因式。
误解:∵方程=0的根是=,=-2。
∴=(-)(+2)。
分析:很明显,(-)(+2),其原因是:如果、是方程(a0)的两根,那么,=a(x-)(x-)忽视了等号右端的系数是a。
正确解法:=。
但不少同学容易犯另一种错误:=。
其原因是把二次项系数都分别乘以每一个因式。
说明:在做此类题目时,要清楚a的作用。
6 要认真审题,在未点明方程次数(或根的个数)时要注意a=0与a0的两种情况例6:解关于x的方程=0。
分析:本题应考虑方程为一次方程与二次方程两种情况。
(1)当=0即m=±1时,原方程为一元一次方程。
初学一元二次方程易犯错误论文
初学一元二次方程易犯的错误一元二次方程是初中数学的重点内容之一，又是每年中考出题的热点和重点。
为此，就初学一元二次方程易错之处剖析如下：一、易犯概念上的错误：1、判断方程是否为一元二次方程时，易忽略二次系数a≠0的条件：例①：当m为何值时，方程（m-1）+4mx-1=0是关于x的一元二次方程？错解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，即有m2+1=2，解得m=±1。
因此，当m=±1时，原方程是关于x的一元二次方程。
错解剖析：此解法考虑不全面，没有考虑二次项系数m－1≠0这个隐含条件。
事实上，当m=1时，原方程为一元一次方程，而非一元二次方程。
正解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，且二次项系数不为0，即m2+1=2且m－1≠0，解得m=－1，因此，当m=－1时，原方程是关于x的一元二次方程。
点评：二次系数a≠0是一元二次方程一般式中的一个重要组成部份，因为方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程。
在确定一元二次方程各项系数时，易忘将程化为一般形式或漏写“－”：例②：试确定一元二次方程6x2=5x+2各项的系数。
错解1：二次系数为6，一次项系为5，常数项为2。
错解2：二次系数为6，一次项系为5，常数项为－2。
错解剖析：错解1没有将方程化成一般形式；错解2虽然将将方程化成一般形式，但在确定一次项系时忽略了x前面的“－”，这两个错误都是同学们初一元二次方程易犯的错误，希加以重视，杜绝类似错误。
正解：二次系数为6，一次项系为－5，常数项为－2。
判断方程是否为一元二次方程时，须注意一元二次方程的一般形式，否则易错判：例③：试判断下列方程是否为一元二次方程：a：x2+x=9；b：x2y+ x2+7y-3x=x2y+7y-6错解：a方程是二次方程，b方程不是二次方程。
解剖析：㈠从形式上看，一元二次方程先是整式方程，即组成方程中的各个代数式都为整式。
“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议
“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议作者：柴国栋来源：《广西教育·A版义务教育》 2015年第10期□甘肃省平凉市庄浪县水洛中学柴国栋【关键词】《一元二次方程》常见错解原因分析教学建议【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2015）10A-0084-02《一元二次方程》是初中数学教学中十分重要的内容，也是重要的考点。
但我们经常发现在学习相关知识时，有些学生由于对一元二次方程概念所隐含的条件和实质没有充分认识、理解和把握，导致思维出现偏差，理解错误，进而在运用它来解决实际问题时常会出现一些错误。
现从一元二次方程概念的理解掌握以及解一元二次方程出现的常见错误，并对导致错误的原因进行分析，以期帮助学生提高对相关知识的认识和理解，培养其思维的严谨性、逻辑性和敏捷性，提升其解决实际问题的能力。
从定义上看，一元二次方程必须满足三个基本要点，即“一元”“二次”“整式”，但是在这个定义中其实隐含了一个非常重要的前提——“经过去分母、去括号、合并同类项等一系列化简、整理后”，再充分体现出“一元”“二次”“整式”的三个基本要求，这是我们判断是否为一元二次方程的根本依据，必须予以足够重视。
一、一元二次方程及相关概念理解中常见的错误（一）不能准确认识和理解一元二次方程概念，导致错误出现例1.判断下列方程中，是一元二次方程的是____________.错解：答案中多了⑤⑦⑧，或少了②⑥．错因分析：显然⑦⑧都不符合题意，⑤似是而非，同样⑥似非而是，应注意“整理后”这一前提，再判断是否为一元二次方程，也有部分学生认为②无意义，不是一元二次方程，这又混淆了一元二次方程的概念和方程有无实根的概念。
导致出现错误的根本原因是概念理解不全面、不准确，尤其是忽略了“一个前提”重要限制。
正解：②③⑥。
（二）对含有字母系数的一元二次方程，切不可忽视二次项系数不能为零的限制例2.若（m-3）x｜m-1｜-2mx-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值错解：由题意可得｜m-1｜=2，∴m1=-1，m2=3即m的值为-1和3.错因分析：忽视了一元二次方程概念中，强调未知数的最高次数是2这一要求，事实上当m=3时，已知方程的最高次数是1，显然不是一元二次方程。
一元二次方程的常见错误解法教案
一元二次方程的常见错误解法教案。
一、错误解法一：因式分解错误1、常见错误：将x²+5x-14的分解式写成(x+7)(x-2)，而将x²+5x+6的分解式错误地写成了(x+2)(x+3)。
2、解决办法：学生首先要理解一元二次方程的根的概念，明确根与因式分解之间的联系。
要掌握因式分解的方法，熟记常见公式和技巧。
3、练习：将x²+6x+8和x²+6x+9分别因式分解为(x+m)(x+n)的形式，并求出m和n的值。
二、错误解法二：开平方错误1、常见错误：出现将负数开平方的情况，例如将√-2x-4写成了2√-x-2。
2、解决办法：学生首先要掌握平方根的基本定义和性质，明确在实数范围内平方根的取值。
同时，要学会化简复杂的平方根式，化缩根为整数或分数。
3、练习：化简下列各式，并指出其平方根的大致值：√12，√1800，√0.4。
三、错误解法三：反演问题1、常见错误：将一元二次方程的求根过程反过来，直接将已知的根带入一元二次方程的表达式，并得出错误的答案。
2、解决办法：学生必须深入理解一元二次方程的解题方法，而不仅仅是记住公式和技巧。
必要时，需要创新性地运用已有的知识和技能，将其应用到新问题的探索中。
3、练习：给定x²-6x+9=0和2x²-7x+3=0的两个根a和b，试求出下列各式的准确值：a+b，a²+b²，(a+b)²，a³+b³。
四、错误解法四：代入法误解题目1、常见错误：在代入法解题时，没有正确穷理题目的限制条件，从而得出与题目要求不符的结论。
2、解决办法：学生必须逐步提高对题目的敏感度和理解力，注意对题目中的各种约束条件进行分析，掌握判断代入答案是否合理的技巧。
3、练习：解方程：2(3x+2)+3(x-1)=x(x+1)，写出该方程的求解步骤，并检验在所求解中是否满足x≠-1？五、错误解法五：未保留精度1、常见错误：在计算过程中，未能保留足够的有效数字，导致最终答案出现较大的误差。
一元二次方程解题常见误区
谨防一元二次方程中的“陷阱”陷阱一：忽视二次项系数不为0.例1 当k 为何值时，关于x 的一元二次方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根？ 错解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即)1)(1(4)12(2+---k k k ＞0，所以45<k . 剖析：此题仍忽视了二次项的系数不能为0， 01≠-k ，即1≠k . 正解：当45<k 且1≠k 时，方程有两个不相等的实数根. 陷阱二：约去方程两边的未知数例2 解方程x x x 3)12(=-.错解：方程两边同时除以未知数x ，得312=-x ，所以2=x .剖析：错在方程两边同时除以未知数x ，因为x 的值不能确定，所以当0=x 时，相当于方程两边同时除以0.正解：03)12(=--x x x ，0)312(=--x x ，所以0=x 或0312=--x ，所以0=x 或2=x ，所以原方程的解为01=x 或22=x .陷阱三：忽视题中的隐含条件例3 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程01)12(22=++++m x m x 的两个实数根.（1）用含有m 的代数式表示2221x x +；（2）当152221=+x x 时，求m 的值.错解：（1）由根与系数的关系知)12(21+-=+m x x ，1221+=⋅m x x ，所以2122122212)(x x x x x x -+=+ 142)1(2)]12([222-+=+-+-=m m m m .（2）因为152221=+x x ，所以151422=-+m m ，解得2,421=-=m m .剖析：错解忽略了方程有两个实数根，即△＞0这一条件.正解：当4-=m 时，方程为01772=+-x x .此时△=19174)7(2-=⨯--＜0，方程无实数根，不合题意舍去.当2=m 时，方程为0552=++x x .此时△=55452=⨯-＞0，方程有两个实数根.所以当152221=+x x 时，2-=m .。
解一元二次方程的常见失误
解一元二次方程的常见失误有关一元二次方程的公共根问题的一般解法是：设公共根为a ，则a 同时满足两个一元二次方程；用加减消元法消去2a 的项，求出公共根或公共根的有关表达式；把公共根代人原方程中的任何一个方程就可以求出字母系数的值或字母系数的关系式．但许多同学在具体的解题过程中常常会出现如下一些失误：一、对字母系数不加讨论而造成失误例1 当k 取何值时，方程032=-+kx x 和方程032=-+k x x 有公共根？并求出公共根．错解 设两个方程的公共根为a ，则有032=-+ka a ，032=-+k a a ．两式相减，并整理得到 )1(3)1(--=-k a k ， （*）∴3-=a ．当3-=a 时，代入其中的任何一个方程求得2=k ．∴当3-=a 时，方程公共根为－3．剖析 由于在解（*）时，未对是01=-k 的情况加以考虑，从而漏掉了1=k ．事实上，当1=k 时，两个方程同为032=-+x x ，它们的解为2131±-=x ，表示此时方程有两个公共根，也符合有公共根的要求．因此正确的结论为：当2=k 时，3-=a ；当1=k 时，2131±-=a ． 二、对解出的字母系数和公共根的关系分不清而造成失误例2 已知关于x 的—元二次方程052=++-m mx x 和方程0715)18(2=+++-m x m x 只有一个公共根，求m 及公共根．错解 设两个方程的公共根为a ，则有052=++-m ma a ，0715)18(2=+++-m a m a ．两式相减并整理得到：)17(2)17(+=+m a m ，即0)2)(17(=-+a m ．∴2,21=-=a m ． 因此21-=m ，公共根2=a ． 剖析 造成失误的原因是没有搞清楚71-=m 和2=a 是不能同时成立的．事实上，当71-=m 时，方程为0734712=++x x ，此方程由于△<0无解，因此无公共根可言．而当2=a 时代入其中的任一个方程解得m = 9．所以正确的结论是：当m = 9时，公共根为2=a ．三、对结论不检验而造成失误例3 k 取何正整数时，方程012)2(2=++-x k x 和方程030)13(22=++-x k x 有一整数公共根．错解 设方程的公共根为a ，则有012)2(2=++-a k a ， ①030)13(22=++-a k a ． ②①× 2－②得到 6)3(=-a k ．∵a 为整数根，∴)3(-k 必为6的约数．∴13±=-k ，±2，±3，±6．解之得到：=k －3，0，1，2，4，5，6，9．又∵k 为大于零的整数．∴=k 1，2，4，5，6，9．剖析 本结论看似符合要求，但经检验当=k 1，2，4时方程无解，当然就不符合要求，当9=k 时，方程虽然有根，但不是整数根，因此只有=k 5、6时符合要求．。
和一元二次方程有关的常见错误分析
文/季学军
【摘要】一元二次方程是九年级上册的内容，学生在学习时由于概念不清经常会发生一些典型的错误，本文例举了作者在实际教学中学生经常出现的和一元二次方程有关的一些错误，剖析了产生这些错误的原因以及正确的解法。
【关键词】一元二次方程；二次项系数；一般形式；根的判别式
一元二次方程是九年级数学上册部分的内容，它在整个初中教材中的地位是非常重要的。
本章内容既是一元一次方程的延伸与拓展，又为后面学习二次函数打下了基础。
有些学生在学习过程中对基本知识和概念没有理解掌握，从而在解题过程中经常会出现一些错误。
现在就一元二次方程有关常见解题的典型错误作一分析。
一、对一元二次方程的概念不清而导致的错误
七、解应用题时没有认真审题导致忘记舍根
例10：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
错解：设每件衬衫应降价x元。
(40-x)(20+2x)=1200
800+80x-20x-2x2-1200=0
x2-30x+200=0
(x-10)(x-20)=0
x1=10，x2=20
答：每件衬衫应降价10元或20元时，商场平均每天要赢利1200元。
分析：由于没有认真审题，题中要求尽快减少库存，而降价20元比降价10元每天的销量多，库存减少快，故本题应舍去x1=10，所以每件衬衫应降价20元时商场每天的盈利为1200元。
启东教育一元二次方程陷阱
当心一元二次方程中的陷阱一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。
许多同学在解題时，由于对题目中的隐含条件重视不够，往往出现错解，掉入其“陷阱”之中。
现将一元二次方程中常见“陷阱”公布于众，以期引起同学们的注意。
陷阱之一 忽视二次项系数不能为0例 关于x 的一元二次方程(k 2－1)x 2+(2k －1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k 值.。
(2000年北京市崇文区中考题)误解 ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ≥0，即（2k －1）2－4（k 2－1）×1≥0 解之 k ＜45 分析 当k 2－1=0，即k=±1时，原方程为一元一次方程。
所以，正确的答案应为k ＜45且k ≠±1。
陷阱之二 忽视结论的多解情况例 已知：a 、b 满足a 2－2a －1=0、b 2－2b －1=0，则b a a b +=＿＿＿。
（1999年无锡市中考题）误解 由题意可知a 、b 是方程x 2－2x －1=0的两根，则a+b=2，ab=－1，∴b a a b +=ab b a 22+=ab ab b a 2)(2-+=－6。
分析 在a ≠b 时有上述结论存在，而当a=b 时，b aa b +=2。
∴本題正确的解应为－6或2陷阱之三 忽视的Δ的取值例1 方程2x 2－mx －2m+1=0的两实数根平方和为11，求m 的值。
误解 设方程的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=212+-m ，∵x 12+x 22=11，即（x 1+x 2）2－2x 1x 2=11，∴42m －2×212+-m =11。
解之 m 1=4，m 2=－12分析 解題时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件，而当m=－12时Δ＜0，故m=－12应当舍去。
∴正解应为m=4。
例2 x 1、x 2是x 2－（2m －1）x+（m 2+2m －4）=0的两实根，求x 12+x 22的最小值。
一元二次方程解题误区
一元二次方程解题误区云南省红河县第一中学（654400）杨万春 在初学一元二次方程时，常常会出现种种错误，应引起重视。
一、 忽视分母例1.一元二次方程032=-x x 的解是 。
（2010年云南西双版纳中考题）错解：方程两边同时除以x ，得x =3。
正解：032=-x x ，。
解得3,0,0)3(21===-x x x x评注：在解整式方程时，若方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根。
二、 忽视使用条件 例2.关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则满足（ ）。
（2010年安徽省芜湖市中考题）A 、a ≥1B 、a>1且a ≠5C 、a ≥1且a ≠5D 、a ≠5错解：ac b 42-=(-4)2-4()1()5-⨯-a ≥0,解得a ≥1，且a ≠5，故选C 。
正解：由方程有实数根，于是要分类讨论。
当a-5=0时，方程是一元二次方程，解得x=-41，有实数根； 当a-5≠0时，方程是一元二次方程，因为有实数根，所以△≥0，解得a ≥1.综上，a ≥1，故选A 。
评注：本题由于二次项系数含有待定字母a ，题设未表明是n 次方程，因而应分a-5=0和a-5≠0分类求解。
三、 忽视前提条件例3、若方程2)12(22-+++k k x 0=的两实数根的平方和等于11，求k 的值。
错解 设原方程为21x x ，，由韦达定理得()12221+-=+k x x ，2221-=⋅k x x 。
因为()112,11212212221=-+=+x x x x x x 所以 ()[](),112212222=--+-k k 解得： 1,321=-=k k 。
正解：以上同，还要考虑，因为原方程有两实数根，所以△≥0，即()()241222--+k k ≥0，解得k ≥49-，故k =1。
例4、的两个实数根是方程，设02m 3m 2mx 422221=-++-x x x ，当m 为何值时，2221x x +有最小值？求出这个最小值。
一元二次方程错解分析
一元二次方程错解分析一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点.许多同学在解题时由于受思维定势的影响，往往会对题目中的隐含条件重视不够，因而出现错解.下面举例说明，希望引起同学们注意.一、忽视方程解的定义例1 若关于x 的方程240x x c -+=有一个根是2，则c 的值是 . 错解 有的同学一看到一元二次方程有一个根，就想到0∆=，于是， 224(4)411640b ac c c -=--⨯⨯=-=，解得4c =.剖析 这种错误是由于审题不仔细造成的.解此题的依据是方程解的定义，解题方法是将2x =直接代入，求得未知字母的值. 22420c -⨯+=，解得4c =-.二、忽视将一元二次方程化成一般形式例2 用公式法解方程: 226x x -+=.错解 ∵2,1,6a b c ==-=∴24b ac ∆=-2(1)426=--⨯⨯ 14847=-=- 0<.∴此方程没有实数根.剖析 错解中没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误.应该先移项得到 2260x x --=则2,1,6a b c ==-=-.∴24b ac ∆=-2(1)42(6)=--⨯⨯-14849=+=.根据公式法有，2b x a-=(1)917224--±==⨯ ∴1232,2x x ==-. 三、忽视一元二次方程的解的个数例3 一元二次方程(1)x x x -=的解是 .错解(1)方程两边同除以x ，得10x -=，即1x =.(2)方程两边同除以x ，得11x -=，即2x =.剖析错解(1)中，方程两边同除以因式x 时，误认为既然右边没有了未知数，即右边为0.而错解(2)中，方程两边同除以因式x ，忽视了因式0x =的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解.因为方程(1)x x x -=是一元二次方程，因此若有解，则有两个解.正确解法应该先将方程变形为(1)0x x x --=，则(11)0x x --=，即120,2x x ==.四、忽视一元二次方程的二次项系数例4已知关于x 的方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) (A)34m >(B)34m ≥ (C)34m >且2m ≠ (D)34m ≥且2m ≠ 错解24b ac ∆=-22(21)4(2)m m =+--224414(44)m m m m =++--+0> 解得34m >∴当34m >时，方程有两个不相等的实数根. 剖析 注意已知条件中的关键词是，方程有两个不相等的实数根，显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数2(2)0m -≠即2m ≠.因此错解中漏掉了2m ≠.正确答案为34m >且2m ≠. 五、忽视对题中关键词的理解例5 已知关于x 的方程2(5)410a x x ---=有解，那么a 的取值范围是( )(A)1a ≥ (B)1a >且5a ≠(C)1a ≥且5a ≠ (D)5a ≠错解 由于方程为一元二次方程，故5a ≠，且24b ac ∆=-2(4)4(5)(1)a =--⨯-⨯-0≥.得1a ≥且5a ≠.剖析 错解中忽视了关键词“关于x 的方程”，这里并未指明方程的类型.事实上，此方程2(5)410a x x ---=有两种可能:若方程为一元二次方程，则“有解”与“有两个实数根”是等同的，则1a ≥且5a ≠; 若方程为一元一次方程，则5a =，解得14x =-，即5a =也符合题意. 所以本题的正确答案是1a ≥. 例6 已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .错解 ∵一元二次方程有两个负数根，∴24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，即15m ≥.剖析 错解中忽视了关键词“两个负数根”的条件.事实上，一元二次方程有两个负数根需要满足以下条件:(1)24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，(2)12108m x x ++=-<; (3 )12708m x x -=>g . ∴7m ≥. 六、忽略判别式24b ac ∆=-存在的条件例7 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m ++++=的两个实数根.当221215x x +=时，求m 的值. 错解 由根与系数的关系，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+.∵222121212()2x x x x x x +=+-22[(21)]2(1)m m =-+-+2241m m =+-又221215x x +=， ∴224115m m +-=∴14m =-，22m =.剖析 一元二次方程的根与系数的关系是以判别式240b ac -≥为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根.错解中忽略了原方程有两根的条件0∆≥，未将求出的m 的值代入判别式中检验而造成错误.因为当4m =-时，方程为27170x x -+=，此时， 2(7)4171∆=--⨯⨯190=-<，方程无实数根，不符合题意.故只有一个解2m =.七、忽视题中隐含条件例8 已知22222()()60a b a b +-+-=，则22a b +的值为_.错解2222(3)(2)0a b a b +-++=，2230a b +-=，或2220a b ++=，即223a b +=，或2-.剖析 此题大部分学生都会用整体的思想进行因式分解来解一元二次方程，但忽略了220a b +≥是非负数，故而出错.正确答案是223a b +=.通过以上几例错解剖析，提醒同学们在运用一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路解题的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性.要学会反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.。
一元二次方程的典型误解与剖析
一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a,b,c 是常数。
一元二次方程有两个解，可以使用求根公式解决。
但是，在学习一元二次方程时，学生往往会有一些误解。
其中常见的误解如下：
1、一元二次方程只有两种解法。
实际上，一元二次方程有三种解法，包括求根公式、判别式法和平方和公式法。
学生需要掌握这三种解法，并能灵活运用。
2、一元二次方程只有实数解。
实际上，一元二次方程也可能有复数解。
如果判别式为负数，则一元二次方程就会有两个复数解。
3、一元二次方程的解一定是两个不同的数。
实际上，一元二次方程的解可能是两个相同的数，这种情况下称为重根。
4、一元二次方程的解一定是两个实数。
实际上，如果一元二次方程有复数解，那么它的解就是两个复数。
为了避免这些误解，学生在学习一元二次方程时需要注意以下几点：
1、要掌握一元二次方程的三种解法，并能灵活运用。
2、要明白一元二次方程可能有复数解，需要通过判别式来判断。
3、要注意一元二次方程可能存在重根的情况。
4、要认识到一元二次方程可能有复数解，需要熟练掌握复数的运算方法。
通过加强对一元二次方程的学习，学生可以避免这些误解，更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
初二年级《一元二次方程》误解知识的原因分析与教学对策
《一元二次方程》错误知识分析与反思众所周知，初中学生的心理正从依赖向独立过度，因此这正是培养学生自信心和自我调节能力的时机。
在新课程教学的要求下，数学教学变得更加强调学生的自主学习和自主探究。
因此，在这个过程中，出现认知上的偏差也是正常的。
作为教师，就应该深刻认识到这个时期的学生的心理特征以及从提高学生数学素质的根本点出发，对学生出现的错题进行深刻分析和反思。
而一元二次方程是初中数学中方程的最后一个部分，也是整式方程中最难的一个部分。
一元二次方程在初中数学中来说是非常重要的。
在刚刚接触一元二次方程的时候，学生不免会犯这类或者那类的错误。
所以，学生出现的错误比较多，在此，我仅提出部分易错题目进行分析，并现将因各种原因所造成的错误归纳剖析如下：一、忽视化成一元二次方程的一般形式.例1 用公式法解方程2274x x +=．错解：剖析：错解中没有将方程化成“一般形式”，造成系数中常数项c 的错误．应该先移项得到22740x x +-=，则．进一步用求根公式：,即． 二、忽视一元二次方程的二次项系数. 例2．已知关于x 的方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 错解：根据题意，得，解得14k <．∴当14k <时，方程有两个不相等的实数根．剖析：注意已知条件中的“关键词”方程有两个不相等的实数根，显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数20k ≠即0k ≠．因此错解中漏掉了0k ≠，故而正确答案为14k <，且0k ≠．因此解题要注意题中的关键词.三．忽视对题中关键词的理解例3．已知关于x 的方程2(2)210m x x --+=有解，那么m 的取值范围是（ ） Ａ．3m < Ｂ．3m ≤Ｃ．3m ≤且2m ≠ Ｄ．3m <且2m ≠ 错解：由于方程2(2)210m x x --+=，∴此方程为一元二次方程，故2m ≠，且224(2)4(2)0b ac m -=---≥，得3m ≤且2m ≠．剖析：错解中忽视了“关于x 的方程2(2)210m x x --+=有解”中的关键词“关于x 的方程”（未指明方程的类型）；关键词“有解”（不能来判断该方程是一元二次方程）．因此，此方程2(2)210m x x --+=有两种可能：若方程为一元二次方程，则“有解”与“有两个实数根”是等同的，则3m ≤且2m ≠；若方程为一元一次方程，则2m =，解得12x =，即解2m =也符合题意．所以本题的正确答案是3m ≤．因此要注意题中信息所包含的隐含条件.四、忽视题中隐含条件.例4．已知关于x 的方程2240x a a -++=有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．错解：∵关于x 的方程2240x a a -++=有两个不相等的实数根，∴，得2a <．诊治：此题注意到信息“关于x 的方程2240x a a -++=有两个不相等的实数根”，进而直接得到，得2a <；但却忽视了隐含条件二次根式的被开方数240a +≥是非负数，即2a -≥，故而出错.所以a 的取值范围是22a -<≤．因此，再解一元二次方程有关问题时，特别注意的判别式的确定.五、忽略判别式的条件 例5.已知关于x 的方程2(1)10x k x k --++=的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值．错解：设方程的两根为12x x ，，由根与系数的关系得， 121211x x k x x k ∙+=-=+，.又22124x x +=∵，即()2121224x x x x +-=， ∴()()21214k k --+=，即2450k k --=， ∴5k =且1k =-．剖析：一元二次方程的根与系数的关系是以判别式为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根．错解中忽略了原方程有两根的条件0∆≥，未将求出的k 的值代入判别式中检验而造成错误．当5k =时，[]2(1)4(1)80k k ∆=---+=-<，不符合题意舍去．当1k =-时[]2(1)4(1)40k ∆=---+=>，∴k 的值为1-．因此要注意，要由来判断一元二次方程的解.六、忽视了一元二次方程的解的个数例6．方程2(3)5(3)x x x -=-的根是（ ） Ａ．52x = Ｂ．3x = Ｃ．3x =或52x = Ｄ．52x =- 错解：方程两边同除以(3)x -，得52x =．选Ａ． 剖析：错解中，方程两边同除以因式(3)x -，忽视了因式的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解．因为方程2(3)5(3)x x x -=-是一元二次方程，因此若有解，则有两个解.因此正确答案选Ｃ．【典型错题】选择题：一元二次方程（k-1）x 2+kx+1=0有根，则k 的取值范围是（）。
1一元二次方程常见错误4例
华九版，第4期错例分析 栏目一元二次方程常犯的4种错误作者：王玉娇 E-mail 地址：yujiaowang@一元二次方程是中考必考的重点内容之一，由于这部分知识容易忽略的知识点很多，所以很容易出现错误，让同学们有防不胜防之感，下面我们列举4例常见错误供同学们参考。
一、 忽视定义的严谨性例1、 一元二次方程kx 2+2x-1=0有实数根，则k 的取值范围为_____错解：k ≥-1分析：一元二次方程有实数根，则△≥0，解得k ≥-1，根据一元二次方程的定义，同学们容易忽视二次项系数不为0，所以k ≠0。
所以正确答案：k ≥-1且k ≠0二、 忽略方程的分类讨论例2、方程0122=-+x kx 有实根，则k 的取值范围是______。
A ， k ≥1B ， k ≥-1C ， k ≥-1且k ≠0D ， k ≤-1错解：C本题没有指明，方程是一元一次方程，还是一元二次方程，所以解的情况需要分类讨论，当方程是一元二次方程式时，△≥0且k ≠0，结论是答案C ， k ≥-1且k ≠0，；当方程是一元一次方程式时，k=0，方程有实数根12，所以正确答案选B三、 忽略隐含的根的判别式的情况例3、已知方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0，其两个根的平方和比两根的积大21，求m 的值．错解： 设已知方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1x 2＝m 2＋4 依题意，得即 (x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝21∴[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21解这个方程，得m 1＝17，m 2＝－1．（以上解法忽略了“方程有两实数根”的条件，正确解法还需检验m 的取值对判别式的影响，所以正确解法如下：）又∵方程有两个实数根，∴△＝[2(m －2)]2－4×1×(m 2＋4)≥0 解得m ≤0∴m ＝17不合题意，舍去．∴m ＝－1．四、 忽略隐含的根的取值范围例4、例3、在Rt △ABC ，∠C ＝90°，斜边c ＝5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －2＝0两个根，求m 的值．错解：∵ a 、b 是方程 x 2－x ＋2m －2＝0 的两个根，∴ a ＋b ＝m ，ab ＝2m －2．在Rt △ABC 中，由勾股定理得a 2＋b 2＝c 2．而a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，c ＝5，∴ （a ＋b ）2－2ab ＝52．即 m 2－2（2m －2）＝25．解关于m 的方程，得m 1＝7，m 2＝－3．以上解法忽略了“边b 和a 的非负性”，正确解法还需检验k 的取值对根的正负性的影响。
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学习一元二次方程常见思维误区分析
在一元二次方程教学中，常常发现学生在解题时，或遗漏答案，或增添一些不合题意的答案，这些都是影响学生良好的思维品质常见的思维误区。
本文就自己在数学教学中的感受谈一谈。
学生常见的思维误区有以下几方面：
1 忽视隐含条件
隐含条件通常是指题目中含而不露，没有明确表达出来的条件，要充分揭示出隐含条件，从中找出内在联系，化暗为明，必须具备扎实的数学基础知识和基本技能，以及良好的数学思维能力。
例1：若方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
错解：△=（-6）2-4×k×1=36-4k
∵方程有两个不相等的实数根
∴△>0，即36-4k>0 ∴k0
即2m+■>0 ∴m>-■
∴m=-3不合m的取值范围，舍去。
∴m=-1
2 对数学概念缺乏正确的理解
学生对一些数学概念理解较浮浅、片面，未能理解概念的真正涵义。
例3：写出方程6x2=3x+2的二次项，一次项及常数项。
错解1：二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。
错解2：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0
二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。
错解3：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0
二次项是6，一次项是-3，常数项是-2。
误区分析：上面三种错误是最容易出现的，错解1忽视了二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是在方程为一般形式下定义的，求解时没把方程化为一般形式；导致错解2的原因是漏掉了各项的符号；导致错解3的原因是混淆了二次项与二次项系数、一次项与一次项系数的概念。
本题的正确解法是：先将原方程化为一般形式6x2-3x-2=0，根据二次项、一次项与常数项的定义可知，二次项为6x2、一次项为-3x、常数项为-2。
3 忽视了解法的依据条件
一道数学题的解法只能在符合一定的依据条件下，才能够运用。
依据不清与其它理论依据相混淆，容易出现错解。
例4：解方程（x-1）（x-3）=8
错解：x-1=0或x-3=0
x1=1 x2=3
误区分析：用因式分解法解一元二次方程的根据是：ab=0则a=0或b=0，本题中方程的左边虽然是两个因式的积，但右边是8，而不是0，切勿将（x-1）（x-3）=8与（x-1）（x-3）=0相混淆。
正解：原方程化为一般式x2-4x-5=0
（x-5）（x+1）=0 ∴x1=5，x2=-1
例5：解方程（3x-2）2=2（3x-2）
错解：方程两边都除以3x-2得3x-2=2 ∴x=■
误区分析：上述解法的第一步变形是方程两边都除以（3x-2）所得方程与原方程不是同解方程，不符合方程变形原理，因而导致错误。
正解：移项，提公因式（3x-2）得（3x-2）（3x-2-2）=0
∴x1=■，x2=■
4 忽视了定理的完整性
对一个数学定理的运用，应注意其完整性，切勿断章取义，盲目运用，以免导致错误。
例6：当k是何值时，方程2x2+（k2-2k-15）x+k=0的两根互为相反数？
错解：由x1+x2=0，得-■=0
解得：k=5或k=-3
误区分析：根据韦达定理，方程两根互为相反数的条件是x1+x2=0且x1·x2≤0，上述解题过程中缺少条件x1·x2≤0，因此导致混入了k=5的错误。
正解：要使方程2x2+（k2-2k-15）x+k=0的两根互为相反数，只需满足：
x1+x2=-■=0x1·x2=■≤0？圯k=5或k=-3k≤0？圯k=-3
∴当k=-3时，方程的两根互为相反数。
5 忽视特殊解
例7：k为何值时，（k-1）x2-（k-1）x+1>0对于任何实数x恒成立？
错解：要使原不等式对任何实数x恒成立，须
k-1>0△=（k-1）2-4（k-1）<0
解得1<k<5，此时原不等式对任何实数x恒成立。
这里学生忽视了特例k=1的情况，正确答案1≤k<5。