高中物理全国物理竞赛复赛试题解答2018年09月

2GMR 2GM v0 Rh R h 2 R h
⑤
解法（二） 该物体能绕地球做周期运动，其运动轨迹应为椭圆（圆被视为椭圆的特殊情形） ，设其 近或远地点之一与地心的距离和速度大小分别为 r1 和 v1 ， 另一近或远地点与地心的距离和速 度大小分别为 r2 和 v2 。由角动量守恒和能量守恒有 r1v1 r2 v2 ① 1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G m v2 G ② 2 r1 2 r2 式中 m 是小物体的质量。消去 v2 得
④
当物体初速度 v0 低于 v0min 时，其轨道都将与地球表面相交，因此会坠落到地面上。所 以物体绕地球作椭圆或圆形轨道运动，但不会坠落到地球表面的条件是
‐ 1 ‐
显然， r2 R ，且有限，故有 1 1 0 r2 R 由③④式得，当 r1 给定时， v1 必须满足 ④
2GMR 2GM v1 . r1 r1 R r1
由题意知
r1 R h ， v1 v0
故有
2GMR 2GM v0 Rh R h 2 R h
消去
⑫
d 得 dt
2 2
R h v0 2GM 2 2GM dr v0 dt r2 r Rh 物体从开始发射直至落地需要的时间为 Rh dr t R 2 2 R h v0 2GM v2 2GM 0 r2 r Rh Rh rdr R 2 2 2 2GM 2 v0 r 2GMr R h v0 Rh
2GMRh R v Rh 将物体的运动用极坐标 t 、 r t 描写，角动量守恒和能量守恒可分别表为
2 2 0
arccos
v arccos v
R h v0
⑩
r2
和
d R h v0 dt
2 2
⑪
1 dr 1 2 d Mm 1 2 Mm m r mv0 G G 2 dt 2 dt r 2 Rh
⑦
⑧
设物体落地点相对于地心的矢径与物体初始位置相对于地心的矢径之间的夹角为 。 根据角 动量守恒，物体落到地面时的水平速度 v 满足方程
R v R h v0
上式即
Rh v0 R 物体的速度方向与水平面的夹角是
v
⑨
‐ 2 ‐
1 2GM 1 1 2GM 2 2 2 2 v12 2 r2 r1 v1 r2 r1 v1 r1
将 r1 和 v1 视为已知，上式是
0
1 1 满足的一个一元二次方程。 r2 r1 显然满足方程①②，因而 r2 r1 是一元二次方程的解。利用韦达定理，另一解是 1 1 2GM 1 ③ 2 r2 r1 r1 v1
2 2 取参量 a R h v0 ， b 2GM ， c v0 2
⑬
⑭
2wenku.baidu.comM 0 ，有 Rh
b2 4ac
2GM 2 2 2 (2GM ) 2 4 R h v0 v0 Rh 2GM 2 2 4 R h v0 0 Rh

xdx a bx cx 2

a bx cx 2 b 2cx b C arcsin 3/ 2 c 2 c
式中 C 为积分常数。 参考解答： （1）解法（一） 假设小物体初始速度大小为 v0 ，在地球引力场中其能量为
1 2 Mm E mv0 G 2 Rh
第 35 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2018 年 9 月 22 日 一、 （40 分） 假设地球是一个质量分布各向同性的球体， 地球自转及地球大气的影响可忽略。 从地球上空离地面高度为 h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运 动，初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为 R ，质量为 M ，引力常量为 G 。 （1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？ （2）若该物体的初速度大小为 v0 ，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即 速度与其水平分量之间的夹角） 、以及它从开始发射直至落地所需的时间。 已知：对于 c 0 ， b 2 4ac 0 ，有
式中 m 是小物体的质量。小物体相对于地球中心的角动量为
L mv0 R h
该物体能绕地球做周期运动，其能量应 E0 由此条件以及 E 的表达式，得
2GM 2GM ，即 v0 ① Rh Rh 物体能绕地球做持续的周期运动，不能坠落到地球表面。当物体初始速度 v0 降低到某 个值 v0min 时，物体运动的椭圆轨道将与地球表面相切，设这种情况下物体在与地球表面相
2 v0
切时的运动速度为 v ，由角动量守恒定律
mv0min R h mv R ，即 v v0min
Rh R
②
由能量守恒定律有
1 2 Mm 1 2 Mm mv0min G mv G 2 Rh 2 R
将②式代入③式得
③
v0min
2GMR R h 2 R h
（2）如果
⑤
v0
2GMR R h 2 R h
⑥
则物体会落到地球上。根据能量守恒，它落到地面时的速度大小 v 满足方程 1 2 Mm 1 2 Mm mv G mv0 G 2 2 R Rh 由⑦式得 2GM 2GM 2GMh 2 2 v v0 v0 R Rh R R h