第35招 数列性质的证明
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【知识要点】
一、数列性质的证明一般有两种方法：
方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.
1
(2,)
n n
a a d n n N*
-
-=≥∈⇔{}n a是等差数列
1
(2,)
n
n
a
q n n N
a
*
-
=≥∈⇔数列{}n a是等比数列
方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明.
11(2,)
2
n n
n
a a
a n n N*
+-
+
=≥∈{
n
a
⇔}是等差数列
2
11
(2,)
n n n
a a a n n N*
-+
=≥∈⇔数列{}n a是等比数列
【方法讲评】
方法一定义法
使用情景绝大部分情况下，都是用这种方法.
解题步骤把已知条件代到1
n n
a a或
1
n
n
a
a
中化简，证明化简结果是一个常数.
【例1】已知数列{}n a满足
4
4
4
,3
1
1+
+
=
=
+
n
n
n a
a
a
a
（1）求证：数列
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
+
2
2
n
n
a
a
为等比数列；
（2）设p
n
m
N
p
n
m<
<
∈,
,
,*，问：数列{}n a中是否存在三项p
n
m
a
a
a,
,，使
p
n
m
a
a
a,
,成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.
而0
5
2
2
1
1≠
=
-
+
a
a
，
∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
+
2
2
n
n
a
a
是以5为首项，3为公比的等比数列.
【点评】利用定义证明数列{}
n
a等比，只要把已知条件代入
1
n
n
a
a
化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.
【反馈检测1】已知数列{}
n
a，2
n
a≠，
1
58
23
n
n
n
a
a
a
+
-
=
-
，
1
3
a=
（1）证明：数列
1
{}
2
n
a-
是等差数列．
（2）设2
n n
b a
=-，数列
1
{}
n n
b b
+
的前n项和为n S，求使2
(21)2n
n
n S
+
+⋅⋅1
(23)2192
n
n+
>-⋅+成立的最小正整数n．
【反馈检测2】已知数列{}n a满足：12n n
a a a n a
+++=-，其中*
n N
∈.
（
1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.
方法二 中项公式法 使用情景 少数情况下用这种方法.
解题步骤
把已知条件化简，找到相邻三项的关系.
【例2】已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和(1)(1)12
n n S n a =++-. ①求数列{}n a 的通项公式； ②设数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存
在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．
（2） 由（1）知21n a n =+ ∴ 111(21)(23)n n a a n n +=++111
()22123
n n =-++
∴ 111111111()23557
21212123
n T n n n n =
-+-++
-+--+++111()2323n =-
+1
6< 则要使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要1
6M ≥
∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，且M 的最小值为1
6