第35招 数列性质的证明
如何应用数学归纳法证明数列性质
如何应用数学归纳法证明数列性质数学归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，特别适用于证明数列的性质。
通过此方法，我们可以从已知的条件出发，逐步推导出数列的性质，进而得出结论。
本文将探讨如何应用数学归纳法来证明数列的性质。
数学归纳法的基本思想是通过两个步骤来完成证明：基础步骤和归纳步骤。
在基础步骤中，我们证明当n取某个特定值时，结论成立。
而在归纳步骤中，我们假设当n取k时，结论成立，然后通过这个假设证明当n取k+1时，结论也成立。
具体来说，当我们要证明某个数列的性质时，我们可以按照以下步骤进行：第一步：基础步骤首先，我们选择数列中的第一个项（通常是n=1时）作为基础步骤。
然后，我们证明当n取这个特定值时，结论成立。
这通常可以通过直接计算或代入验证的方法得出。
基础步骤的目的是为了让我们确信结论在某个特定情况下是正确的。
第二步：归纳步骤接下来，我们假设当n取k时，结论成立。
也就是说，我们假设数列的第k个项满足所要证明的性质。
然后，我们通过这个假设证明结论在n取k+1时也成立。
在这一步骤中，我们通常需要利用已知的条件对第k+1个项进行推导。
第三步：结论最后，通过基础步骤和归纳步骤，我们证明了数列的性质在n取任意正整数时都成立。
因此，我们可以得出结论：数列的性质在整个定义域内都成立。
举例来说，我们要证明一个数列的性质：对于任意的正整数n，数列的前n项和等于n(n+1)/2。
我们可以按照以下步骤进行证明：基础步骤：当n=1时，数列的前1项和等于1(1+1)/2=1，结论成立。
归纳步骤：假设当n=k时，数列的前k项和等于k(k+1)/2成立。
那么当n=k+1时，数列的前k+1项和等于(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2，也成立。
结论：由基础步骤和归纳步骤可知，数列的前n项和等于n(n+1)/2在整个定义域内都成立。
通过以上的例子，我们可以看到数学归纳法在证明数列性质时的应用。
通过逐步推导的方式，我们可以得到结论的正确性。
数列的性质与通项公式
数列的性质与通项公式在数学的广阔天地中，数列就像是一串有序的数字珍珠，以其独特的规律和性质展现着数学的魅力。
而通项公式，则是打开数列神秘大门的一把关键钥匙。
让我们先来理解一下什么是数列。
简单来说，数列就是按照一定顺序排列的一组数。
例如，1，3，5，7，9 就是一个简单的数列。
数列可以是有限的，像刚才这个例子；也可以是无限的，比如 1，2，4，8，16……数列有着各种各样的性质。
首先是单调性。
一个数列可能是单调递增的，也就是说后面的数总是比前面的数大；也可能是单调递减的，即后面的数比前面的数小。
还有一种情况是数列不具有单调性，数值一会儿大一会儿小，没有明显的规律。
再来说说数列的周期性。
有些数列会按照一定的周期重复出现相同的数值模式。
比如 1，2，3，1，2，3……就是一个周期为 3 的数列。
数列的有界性也是一个重要的性质。
如果存在一个正数 M，使得数列中的所有数的绝对值都小于等于 M，那么这个数列就是有界的；反之，如果不存在这样的 M，数列就是无界的。
了解了数列的这些性质，接下来我们重点探讨通项公式。
通项公式是指能够表示数列中每一项的表达式。
比如说，对于等差数列，通项公式为＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中＼（a_1\）是首项，＼（d\）是公差，＼（n\）表示项数。
如果首项＼（a_1 ＝ 1\），公差＼（d ＝ 2\），那么这个数列就是 1，3，5，7，9…… 第＼（n\）项就是＼（1 ＋（n 1)×2 ＝ 2n 1\）。
再看等比数列，其通项公式为＼（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼），这里＼（a_1\）是首项，＼（q\）是公比。
例如，首项＼（a_1 ＝ 2\），公比＼（q ＝ 3\），那么这个等比数列就是 2，6，18，54…… 第＼（n\）项就是＼（2×3^｛n 1}＼）。
通项公式的作用可大了！它能够让我们快速地求出数列中任意一项的值，而不需要一个一个地去列举。
数列的极限定义证明
数列的极限定义证明好的，以下是为您创作的一篇关于【数列的极限定义证明】的科普文章：在我们的数学世界里，数列的极限定义证明就像是一场精彩的追逐游戏。
想象一下，你有一个数列，就好像是一群正在赛跑的运动员，而极限就是他们最终要奔向的那个终点。
比如说，我们有一个数列 1，0.5，0.25，0.125，…… 这个数列看起来就像是运动员们每次跑的距离越来越短。
那我们怎么知道这个数列最终会不会跑到一个确定的“终点”呢？这就是数列极限要研究的问题。
从数学的角度来说，数列的极限定义是这样的：对于一个数列{an}，如果存在一个确定的数 L，对于任意给定的一个很小很小的正数ε（就像我们给运动员设定的一个极小的误差范围），总存在一个正整数 N （这就像是我们规定的一个比赛阶段），使得当 n > N 时（也就是说，从某个运动员开始），|an - L| < ε（这意味着此时运动员与终点的距离小于我们设定的误差范围），那么我们就说数列 {an} 的极限是 L。
可能这听起来有点复杂，咱们还是用刚才的例子来说明。
对于刚才那个数列，我们很容易能看出来它的极限是 0。
为什么呢？假设我们给定一个很小的正数ε ，比如说 0.001 。
那么只要 n 足够大，比如 n > 10 时，数列中的数和 0 的差距肯定小于 0.001 。
那数列的极限在生活中有什么用呢？比如说，在经济领域，我们考虑一家公司的成本控制。
假设每个月的成本构成一个数列，如果我们能够证明这个数列的极限是一个固定的值，那就意味着公司的成本最终能够稳定在一个可预测的水平，这对于制定预算和规划发展战略非常重要。
再比如，在物理学中，研究物体的自由落体运动。
每次测量物体下落的距离构成一个数列，通过分析这个数列的极限，我们可以更精确地了解物体下落的规律和最终的状态。
又比如说，在工程设计中，考虑材料的疲劳寿命。
每次对材料进行测试得到的寿命数据构成一个数列，通过研究这个数列的极限，我们能够确定材料在何种情况下能够达到可靠的使用极限，从而保障工程的安全。
推导数列极限存在性的证明
推导数列极限存在性的证明在数学中，数列极限的存在性是一个重要且基础的概念。
在本文中，我们将探讨如何证明一个数列的极限存在。
我们将从定义开始，通过逻辑推理展示证明过程。
1. 极限的定义假设有一个数列 {an}，我们希望证明它的极限存在。
根据极限的定义，对于任意给定的正实数ε，存在一个自然数N，使得当n>N时，|an-L| < ε成立。
其中L为数列的极限。
2. 证明过程我们将通过构造合适的ε，找到对应的N，来证明数列的极限存在。
首先，我们可以利用数列的性质，找到一个递推公式或者通项公式来表示数列的一般形式。
假设数列为 {an}，递推公式为an = f(n)，其中f(n)为一个函数。
接下来，我们利用极限的定义来进行证明。
为了简化证明过程，我们可以假设数列的极限为L。
对于任意给定的正实数ε，我们可以构造一个新的数列 {bn}，其中bn = |an - L|。
我们可以观察到，当数列 {an}的极限存在时，数列 {bn}的极限为0。
根据构造的数列 {bn}和极限的定义，我们可以找到对应的N，使得当n>N时，|bn-0| < ε成立。
然后，我们需要对数列 {bn}进行一些变换。
我们可以利用一些基本的数学性质和运算规则，将数列 {bn}转化为另一个形式。
这个转化过程可能包括绝对值不等式、三角函数性质、序列与极限的运算等等。
最后，我们需要根据转化后的数列 {bn}，找到对应的N'。
当n>N'时，我们可以得出|an-L| < ε的结论。
3. 举例说明为了更好地理解推导数列极限存在性的证明过程，我们举一个具体的例子。
假设数列为{an}，其中an = 1/n。
我们希望证明该数列的极限存在。
根据定义，我们需要找到一个N，使得当n>N时，|an-L| < ε。
假设L=0。
构造数列 {bn}，其中bn = |an-0| = |1/n-0| = 1/n。
我们需要找到对应的N，使得当n>N时，1/n < ε成立。
数列的常用性质及其证明
数列的常用性质及其证明在数学中，数列是非常基础且重要的概念之一。
数列可以看成是按照一定规律排列的数字序列。
它应用广泛，无论是在高中数学中还是在一些高级数学中，数列都是关键的概念。
本文将探讨数列的常用性质及其证明。
一、有界性有界性是指数列中所有项都在一定的区间内。
这意味着所有的数列元素都不会超出指定区间。
这是数列中最基本的概念之一，对于数列的研究十分重要。
证明：设有一个数列{an}，区间定义为【a， b】，a和b是任意两个数，且a小于等于b。
若数列中的每一个元素都小于等于b 且大于等于a，那么这个数列就是有界的。
二、单调性单调性是指在数列中所有项都满足同一规律，可以是递增或递减，也可以是严格单调递增或递减。
单调性同样是数列的一个重要概念。
证明：设有一个数列{an}，如果对于任意的n1和n2，当n1大于n2时，如果an1大于等于an2，那么该数列则呈单调递增，反之，则呈单调递减。
三、收敛性收敛性是指数列某些项随着n的不断增长最终会趋于某个特定的数值。
数列的收敛性是数学分析中最重要的概念之一。
证明：设{an}是一个数列。
如果存在一个数L，使得对于任意的正实数ε，都存在一个正整数N，使得当n大于等于N时，关于ε的条件"|an –L| < ε"成立，那么该数列就是收敛的。
四、极限性数列的极限是指数列中的某些项随着n的增加趋于一个确定的值。
数列的极限是数学中的一个非常重要的概念。
证明：设{an}是一个数列。
如果存在一个数L，在数列中从该项开始的所有项都无限接近L，那么该数列就有一个极限，并且这个极限就是L。
五、等差数列的常用性质及其证明等差数列是一种特殊的数列，其中每项与前一项的差都相等。
当研究等差数列时，我们可以利用以下性质：1、等差数列的和为n项平均数乘n。
证明：设等差数列的首项为a，公差为d，有：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ...... + [a + (n-1)d]2Sn = (a + (n-1)d) + [(a + d) + (a + (n-2)d)] + ...... + [a + 2d + (a + d)]2Sn = (n/2)[2a + (n-1)d]Sn = (n/2)[2a + (n-1)d]2、等差数列的平方和等于n的平均数乘以n项的平方差加n项的平均数的平方。
数列的极限定义证明
摘要：本文旨在通过对数列极限的定义进行证明，阐述数列极限的概念，并展示其数学严谨性。
首先回顾数列极限的定义，然后通过数学归纳法、夹逼定理等方法对数列极限进行证明。
一、引言数列极限是微积分学中的基本概念之一，它描述了数列在无限趋近于某一数值时的行为。
数列极限的定义为：若对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}的项与常数A的差的绝对值小于ε，则称常数A为数列{an}的极限。
本文将对数列极限的定义进行证明，以展示其数学严谨性。
二、数列极限的定义设数列{an}是定义在正整数集N上的函数，常数A是实数。
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an - A| < ε，则称常数A为数列{an}的极限，记作：lim_{n→∞}an = A三、数列极限的证明1. 数学归纳法证明（1）当n=1时，由数列极限的定义，只需证明|a1 - A| < ε即可。
由于ε是任意给定的正数，因此当|a1 - A| < ε时，命题成立。
（2）假设当n=k（k为正整数）时，命题成立，即|ak - A| < ε。
接下来证明当n=k+1时，命题也成立。
由于|ak - A| < ε，根据数列极限的定义，存在一个正整数N1，使得当n>N1时，有|ak - A| < ε。
当n=k+1时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A|根据数列极限的定义，存在一个正整数N2，使得当n>N2时，有|ak+1 - ak| <ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A| < ε/2 + ε/2 = ε因此，当n=k+1时，命题也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数n，都有|an - A| < ε。
因此，根据数列极限的定义，lim_{n→∞}an = A。
数列的性质与应用知识点总结
数列的性质与应用知识点总结数列是数学中常见且重要的概念之一。
通过对数列的性质与应用进行总结和学习，我们可以更好地理解和运用数学知识。
本文将对数列的性质和应用进行详细的总结和讨论。
一、数列的定义和常见性质数列是按照一定规律排列的一组数。
一般用a1, a2, a3, …, an表示。
其中，a1是数列的首项，an是数列的第n项。
1. 等差数列：数列中相邻的两项之差保持不变，这个差值称为公差。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：数列中相邻的两项之比保持不变，这个比值称为公比。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：数列中每一项都等于前两项之和，可以表示为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
数列的性质：1. 数列的奇偶性：若数列中每一项都是整数，可以根据首项的奇偶性判断所有项的奇偶性。
2. 数列的有界性：数列可能有上界（最大值）和下界（最小值），也可能无界。
3. 数列的单调性：根据相邻两项的大小关系，可以判断数列是递增还是递减。
4. 数列的极限：数列可能会趋向于某个值，这个值就是数列的极限。
二、数列的应用1. 数列的求和数列的求和是数列中常见的应用之一。
对于等差数列，可以利用求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2进行求和。
对于等比数列，可以利用求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)进行求和。
2. 数列在几何问题中的应用等差数列可以应用于一些几何问题中。
例如，等差数列可以用来计算等差数列中的项数，或者确定某一项的值。
此外，等差数列还可以应用于计算等差数列中的中项，用于解决一些与长度、面积相关的问题。
3. 数列在金融领域的应用数列在金融领域中有广泛的应用。
在复利计算中，等比数列可以用来计算未来某一时刻的资金价值。
而在投资组合管理中，数列可以用于计算投资组合的价值变化，以及对未来的投资进行预测。
数列性质总结
等差、等比数列性质总结数列知识灵活多变，为便于同学们期末复习，现总结如下：一、等差数列的性质：1.定义式:=-=-2312a a a a … d a a n n =-=-1(常数)。
2.通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广型通项公式：d m n a a m n )(-+=， 变形：mn a a n a a d mn n --=--=11。
3.若a,A,b 成等差数列，则称A 为a ，b 的等差中项，且A=2ba +。
4.等差数列中，已知 p,q,m,n ∈N *,若p+q=m+n ，则 m n q p a a a a +=+，若2m=p+q ，则 q p m a a a +=2。
5.若 {}n a ，{}n b 均为等差数列，且公差分别为d 1,d 2，则数列{}{}{}n n n n kb a q a pa ++,, 也为等差数列，且公差分别为2111,,kd d d pd +。
6. 在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列， 即m n m n m n n a a a a 32,,,+++，…,为等差数列，公差为md 。
7. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则,,,232n n n n n S S S S S --…为等差数列，公差为n 2d 。
8.若等差数列的项数为2n ，则有1,+==-n na a S S nd S S 偶奇奇偶。
等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n -=+=，11-+=n n S S 偶奇。
9. ①{}n a 为等差数列中， n n a n S )12(12-=-。
②若 {}n a ，{}n b 均为等差数列,前n 项和分别为n n B A ,，则nnn n b a B A =--1212。
10. 等差数列{}n a 通项公式是：B An a n +=(A ≠0)是一次函数的形式； 前n 项和公式Bn An S n +=2(A ≠0) 是不含常数项的二次函数的形式。
初中数学数列与等差数列的性质知识点总结
初中数学数列与等差数列的性质知识点总结数列是数学中非常重要的一种数学对象，在初中数学中，我们学习了数列的概念以及数列中的一种特殊类型——等差数列。
本文将对初中数学中关于数列和等差数列的性质进行总结和归纳。
一、数列的定义与表示方式数列是按照一定顺序排列的一列数，用字母表示的话通常用An表示第n个数。
数列可以用两种方法表示：一种是数列的通项公式表示，即An=f(n)，其中f(n)是与整数n有关的函数；另一种是递归公式表示，即An与前面的若干项有关。
二、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式可以表示为An=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的递归公式为An=An-1+d。
1. 等差数列的差值在等差数列中，任意两个相邻项之间的差值都等于公差d。
这意味着相邻两项之间的关系是稳定的，每一项都是前一项加上公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以用公式表示为Sn=(n/2)(a1+an)，其中n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
该公式的推导可以通过求和公式或使用数列中的递归关系推导得出。
3. 等差数列的性质（1）等差数列的项数与首项、末项和公差之间的关系：an=a1+(n-1)d。
（2）等差数列的中项：若项数n为奇数，则中项为an=a[(n+1)/2]；若项数n为偶数，则中项是前中项与后中项的平均值，即an=(a[n/2]+a[(n/2)+1])/2。
（3）等差数列的前后项之和相等：a1+an=a2+(n-1)d+a1+(n-2)d=2a1+(2n-1)d。
三、数列的进一步推广在初中数学中，我们还学习了一些数列的进一步推广，例如等比数列和斐波那契数列。
1. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式可以表示为An=a1*r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
数列的性质与规律的总结与应用
数列的性质与规律的总结与应用数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
数列的性质与规律的总结与应用是数学学习中的基础内容之一。
本文将从数列的定义、性质和应用三个方面进行探讨。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
数列中的每个数字被称为数列的项，用a1、a2、a3……表示。
数列的规律可以用递推公式或通项公式来表示。
递推公式是通过前一项或前几项来推导后一项的公式，而通项公式是通过项数n来表示第n项的公式。
二、数列的性质数列具有许多重要的性质，其中包括等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
等差数列的应用非常广泛，例如在物理学中，我们可以利用等差数列的性质来描述物体的运动轨迹；在经济学中，我们可以利用等差数列的性质来分析经济增长的趋势。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
等比数列在自然界中也有许多应用，例如在生物学中，我们可以利用等比数列的性质来描述生物种群的增长规律；在金融学中，我们可以利用等比数列的性质来计算复利的利息。
三、数列的应用数列的应用非常广泛，不仅在数学学科中有着重要的地位，还在其他学科中有着广泛的应用。
1. 数列在几何学中的应用在几何学中，数列可以用来描述各种图形的性质和规律。
例如，斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和，被广泛应用于自然界和艺术领域。
2. 数列在统计学中的应用在统计学中，数列可以用来描述数据的分布和趋势。
例如，等差数列可以用来描述一组数据的增长或减少的速度，等比数列可以用来描述一组数据的倍数关系。
高中数学数列不等式证明的几种方法学法指导
高中数学数列不等式证明的几种方法数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。
这类交汇题充分体现了“以能力立意”的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。
下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。
一、巧妙构造，利用数列的单调性例1. 对任意自然数n ，求证：1n 2)1n 211()311)(11(+>-+⋅⋅++ 。
证明：构造数列)3n 2)(1n 2(2n 2a a ,1n 21)1n 211()311)(11(a n1n n +++=+⋅-+⋅⋅++=+则 12n 22n 21)2n 2(2n 22=++>-++=。
所以n 1n a a >+，即}a {n 为单调递增数列。
所以132a a 1n >=≥，即1n 2)1n 211()311)(11(+>-+⋅++ 。
点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。
二、放缩自然，顺理成章例2. 已知函数23x x )x (f +=，数列)0x }(x {n n >的首项1x 1=，以后每项按如下方式取定：曲线))x (f ,x ()x (f y 1n 1n ++=在点处的切线与经过（0，0）和))x (f ,x (n n 两点的直线平行。
求证：当*N n ∈时：（1）1n 21n n 2n x 2x 3x x +++=+；（2）2n n 1n )21(x )21(--≤≤。
证明：（1）因为x 2x 3)x ('f 2+=，所以曲线))x (f ,x ()x (f y 1n 1n ++=在处的切线斜率为1n 21n x 2x 3k +++=。
又因为过点（0，0）和))x (f ,x (n n 两点的斜率为n 2n x x k +=，所以结论成立。
（2）因为函数≤+=+>+=++1n 21n n 2n 2x 2x 3x x ,0x ,x x )x (h 则有时单调递增当)2()x 2(x 2x 41n 21n 1n 21n +++++=+，所以1n n 2x +≤，即21x x n 1n ≥+，因此1n 1n n 23121n )21(x x x x x x x x --≥⋅⋅= ；又因为)x x (2x 2x 2x 2x 3x x 1n 21n 1n 21n 1n 21n n 2n +++++++==≥+=+。
1.3.3-5数列极限的性质
n→ ∞
的等价命题是: 无界， 发散. 注：①性质 2 的等价命题是:若 {xn } 无界，则 {xn } 发散.
则对 ε =1 ， ∃N ∈ N + ， ∀n> N ，恒有 xn − a < ε =1 ， 收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛. ②收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛. 从而 ∀n> N , 有 xn = xn − a + a ≤ xn − a + a <1+ a ， 有界，但不收敛. 例如 {(−1)n } 有界，但不收敛.
即1 < n n < 1 + 2 2 ( n > 1), 但 lim (1 + ) = 1, n n n→∞
n→ ∞
故由夹逼定理得 lim n n = 1.
为一数列， 设 {x n } 为一数列，
，则称 若 ∀n∈ N + ，都有 x n ≤ x n+1 （或 x n ≥ x n+1 ） 则称 ，
几何解释： 几何解释
x1 x2 x3
xn xn+1
a M
x
1 n . 证明数列{xn} = (1 + ) 收敛 n
( 1 ) 先证 xn }是单调增加数列 { .
1 n 1 n( n−1) 1 2 xn = (1+ ) =1+ n⋅ + ( ) n n 2! n
n( n−1)(n− 2) 1 3 n( n−1)L[n− ( n−1)] 1 n + ( ) +L+ ( ) 3! n n! n
n→∞ n→∞
收敛， （3） { y n } 收敛，且 lim yn = a .
数列极限的推导及应用
数列极限的推导及应用数列是数学中的重要概念，它是一列有序的数按一定规律排列而成。
数列极限是研究数列性质以及数列在某个方向无限趋近的值的重要概念。
数列极限的推导过程可以通过数学的严谨推理来完成。
首先，我们需要明确数列的定义和性质。
数列的一般形式可以表示为{an}，其中an表示数列中的第n个数。
数列可以是有界数列或无界数列。
有界数列是指数列中的所有数都在某个区间内，而无界数列则是指数列中的数没有上界或下界。
要推导数列极限，我们需要首先观察数列的趋势和规律。
通过观察数列中前几项的值，我们可以猜测数列是否有极限。
如果数列无法通过观察得到明确的极限值，我们还可以利用数学定理和方法来推导。
最常用的推导数列极限的方法是利用数列收敛的定义。
数列{an}收敛于一个实数L，可以用以下等价定义来描述：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|an-L|<ε。
这个定义说明了当数列中的项超过某个位置n>N时，数列的值与极限值L之间的误差可以被任意小的正数ε所限制。
通过找到满足这个条件的极限值L和对应的N，我们可以推导出数列的极限。
另外一种常用的方法是利用数列的递推关系式来推导数列极限。
递推关系式是指通过前一项或前几项的数来定义后一项的数的关系。
通过递推关系式，我们可以用逐渐逼近的方式推导出数列的极限。
数列极限的应用非常广泛。
在实际问题中，数列常常用于描述一些具有规律变化的量。
例如，天文学中的周期性天体运动、物理学中的振动和波动、经济学中的市场价格波动等等都可以用数列来进行建模和分析。
数列极限的应用也涉及到数学中的其他概念和工具。
例如，数列极限与函数极限有密切的联系。
数列极限可以看作是函数在自然数序列上的极限，而函数极限则是在实数集上进行定义。
通过数列极限的研究，我们可以更好地理解函数极限的概念。
另外，数列极限还与微积分中的导数和积分密切相关。
通过研究数列的极限性质，我们可以推导出函数的导数和积分的性质，从而进一步研究函数的变化规律和面积计算。
数列型不等式的证明
数列型不等式证明的常用方法一．放缩法数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多省试题中常常作为压轴题出现。
放缩法是数列不等式证明的一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧，仅供参考.1 归一技巧归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或假设干项全部转化为同一项，或是将和式的通项中的一局部转化为同一个式子〔或数值〕，既到达放缩的目的，使新的和式容易求和. 归一技巧有整体归一、分段归一。
例如 设n 是正整数，求证121211121<+++++≤nn n ． 【证明】111122n n n +++++1211112222n nn n n n ≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个12=.另外：111122n n n+++++11111n nn n n n <++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个1=. 【说明】在这个证明中，第一次我们把11n +、12n +、12n这些含n的式子都“归一〞为12n，此时式子同时变小，顺利把不易求和的111122n n n+++++变成了n个12n的和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，这就是“归一〞所到达的效果。
而不等式右边的证明也类似.1.1整体归一放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而到达放缩目的的，称之为“整体归一〞.例 1.数列{}na的各项均为正数，n S为其前n项和，对于任意*Nn∈，总有2,,n n na S a成等差数列.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ) 设数列{}n b的前n项和为n T，且2lnnnn axb=，求证:对任意实数(]ex,1∈〔e是常数，e＝⋅⋅⋅〕和任意正整数n，总有n T< 2；〔Ⅰ〕解：由：对于*Nn∈，总有22n n nS a a=+①成立∴21112n n nS a a---=+〔n ≥ 2〕②①--②得21122----+=nnnnnaaaaa∴()()111----+=+nnnnnnaaaaaa∵1,-nnaa均为正数，∴11=--nnaa〔n ≥ 2〕∴数列{}na是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1∴n a n =.(*N n ∈)〔Ⅱ〕证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2ln nn n a x b =≤21n. 〔放缩通项，整体归一〕 ∴()nn n T n 11321211112111222-++⋅+⋅+<+++≤ 〔放缩通项，裂项求和〕21211131212111<-=--++-+-+=nn n例2.数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．〔I 〕求1a ，2a ，3a ，7a ； 〔II 〕求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；〔Ⅲ〕记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤ 【分析】〔1〕略. 12a =；34a =；58a =时；712a =． 〔II 〕略. 2nS 2133222n n n ++=+-．〔III 〕此题应注意到以下三点，①(){1,2}f n ∈，且()f n 具有周期性. (){1,2}f n ∈，这就有()(1){1,1}f n -∈-，()f n 虽有周期性，可周期为2π. 这就使当n 很大时，和式通项(1)212(1)f n n na a +--的符号增加了不确定性.②很显然，当4n ≥时，213n a n -=，22nn a =；当3n ≤时，212n n a -=，23n a n =.纵然没有符号的问题，通项132n n ⋅如何求和？也需要解决.③112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=，此题相当于证明12()n T T T n ∈*N ≤≤．基于以上三点，我们可以看到：1n T T ≤等价于从第二项开场的项之和为非负数，可否考虑将第三项开场的项缩小，此时可以做两方面的“归一〞，一是符号“归一〞，二是分母的局部“归一〞，两者都是要到达容易求和的目的. 【解答】 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥从第三项起“归一〞为负=)2312431921(6416143nn ⋅+⋅⋅+⋅-⋅+ =)21241231(6164161132-⋅+⋅+⋅-⋅+n n 2341111116626222n ⎛⎫>+-++⎪⋅⎝⎭ (3,4,5,…,n “归一〞为2)11662n =+⋅ 16>， 至于不等式右边原理一样：(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5678212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤(从第四项起“归一〞为正34551111249234235232n n =-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅34511112492922n ⎛⎫<-+++ ⎪⋅⎝⎭(4,5,…,n “归一〞为3)512492n =-⋅524<．又112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=，原结论成立 1.2 分段归一放缩法中，如果我们把和式分为假设干段，每一段中的各个项都转化为同一项而到达放缩并容易求和的目的的，称之为“分段归一〞.例 3 数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S .〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕求证：对任意的n N *∈有21122n n S n +≤≤+成立．分析：〔1〕略. 1n b n=． 〔2〕此问可以用数学归纳法证明，也可以用“分段归一〞的放缩法解答. 【解答】左边证明21111232n n S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1111111111111()()()()2345678916212n n -=+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++11128162111111111111()()()()2448888161622n nn n -≥+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+个个12111112222n =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+个=1+2n这里我们以12，212，312，412，……，12n 为界，将和式111232n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+分为n 段，每段1121i -++1122i -++ (1)2i +〔1,2,3,,i n =⋅⋅⋅〕，每段中的数对缩小归一为12i ，这就使每一段的数缩小后和为12，从而得证.至于不等号右边，原理类似：21111232n n S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1111111111111111()()()()2345678915221212n n n n--=+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++-111111128816211111*********()()()()()224444881616222n n n n n----≤++++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++个个16个 11111112nn =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个 12nn =+12n ≤+【说明】此题我们需要关注到不等号两边的性质：一方面，12111+1222n n =++⋅⋅⋅+个，接着我们把不等式中间的和式除1外的局部拆分成n 段，每段都不小于12；另一方面，1111122n n +=++⋅⋅⋅++个1，接着我们把不等式中间的和式除12n外的局部拆分成n 段，每段都不大于1；在归一放缩时，我们需要注意到题设的条件和式子的性质，它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键. 2 抓大放小在将和式通项中，我们保存式子主要的、数值较大的局部，去掉次要的、数值相对较小的局部，以便到达放缩和容易求和的目的，这种放缩技巧，我们称之为“抓大放小〞技巧.例如求证:2232322212132<++++++++nnn通项放缩为 nnn nn 22<+， 求和即证。
数列与不等式证明方法归纳
数列与不等式证明方法归纳一、数列证明方法的归纳法数列的归纳法证明主要有以下几个步骤：1、证明初值成立：首先要证明当$n=1$时，数列的性质成立。
也就是证明$a_1$的性质成立。
2、假设$n=k$时数列的性质成立：假设当$n=k$时，数列的性质成立，即假设$a_k$的性质成立。
3、证明当$n=k+1$时数列的性质也成立：通过假设的$a_k$的性质，证明$a_{k+1}$的性质也成立。
4、结论：由于初值成立，且从$k$到$k+1$时性质成立，所以根据数学归纳原理，数列的性质对所有自然数成立。
二、不等式证明方法的归纳法不等式的归纳法证明与数列的归纳法类似，主要有以下几个步骤：1、证明初值成立：首先要证明当$n=1$时，不等式的性质成立。
也就是证明当$x=1$时，不等式的性质成立。
2、假设$n=k$时不等式的性质成立：假设当$n=k$时，不等式的性质成立，即假设当$x=k$时，不等式的性质成立。
3、证明当$n=k+1$时不等式的性质也成立：通过假设的$x=k$时不等式的性质，证明当$x=k+1$时，不等式的性质也成立。
4、结论：由于初值成立，且从$k$到$k+1$时性质成立，所以根据数学归纳原理，不等式的性质对所有自然数成立。
三、数列与不等式证明的综合例题为了更好地理解数列与不等式的证明方法的归纳法，下面我们通过一个综合例题进行说明。
例题：证明数列$\{a_n\}$，其中$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$对于$n\geq1$时，$0 \leq a_n < 1$。
解题步骤：1、证明初值成立：当$n=1$时，$a_1=2$，显然有$0 \leq a_1 <1$成立。
2、假设$n=k$时不等式的性质成立：假设当$n=k$时，有$0 \leq a_k <1$成立。
3、证明当$n=k+1$时不等式的性质也成立：根据已知条件，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，代入假设的$a_k<1$，得到$a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k}$。
数列极限的证明方法介绍
数列极限的证明方法介绍数列极限的证明方法介绍数列极限是数学中的知识，拿这个知识是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的数列极限的证明内容，希望大家喜欢。
数列极限的证明方法一X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|<|Xn-A|/A以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
数列极限的证明方法二证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为0数列极限的证明方法三根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题：n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1 =0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1 /n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/( 1/n)=0*1=0数列的极限知识点归纳一、间断点求极限1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列极限，听起来有点高大上，其实并不难理解。
在数学世界中，数列是由一系列按照一定顺序排列的数字组成的序列。
而数列的极限，则是描述数列中的元素随着序号无限增加时趋近的某个值或者无穷大的概念。
什么是数列极限？数列极限的定义相对简单，直白地说，就是随着数列中的项越来越多，这些项逐渐靠近某个值的过程。
当这个靠近的过程达到一定程度后，我们可以说数列趋向于某个确定的值，这个值就是数列的极限值。
举个简单的例子来帮助理解：考虑一个数列(a_n=)，当n取不同的自然数时，(a_n)的值逐渐趋近于0。
这里0就是这个数列的极限。
数列极限的性质数列极限有一些重要的性质，以下是其中几点值得关注的：唯一性：数列的极限值是唯一的，即数列极限只有一个确定的值。
保号性：如果数列中的每一项都大于（或小于）一个确定的值，那么数列的极限也会大于（或小于）这个确定的值。
夹逼定理：如果一个数列被夹在两个收敛的数列之间，并且这两个数列的极限相等，那么这个数列也会收敛，并且极限等于这个共同的极限值。
比较定理：如果一个数列始终小于（或大于）另一个数列，并且这两个数列都收敛到同一个极限值，那么这两个数列的极限值的大小关系也会保持不变。
数列极限的性质可以帮助我们更好地理解数列的发散与收敛，以及数列中元素之间的趋势和关系。
数列极限的定义及其性质其实是数学中非常基础且重要的概念，它在分析数列时帮助我们理解数列中元素的变化规律和趋势。
掌握好数列极限的定义和性质，有助于我们更深入地理解数学领域中的许多问题，并在解决数学难题时提供新的思路和方法。
因此，数列极限不仅在数学学科中具有重要地位，也在实际生活和工作中有着广泛的应用和意义。
希望通过本文的介绍，读者能对数列极限的定义和性质有更清晰的认识，为深入学习数学相关知识打下坚实的基础。
数列极限是数学中重要而基础的概念，通过对数列极限的定义和性质的学习，有助于提升数学分析能力和解决实际问题的能力。
数列的性质与通项公式
数列的性质与通项公式在数学的广袤天地中，数列就如同繁星般璀璨而神秘。
它既是数学研究的重要对象，也是解决众多实际问题的有力工具。
要深入理解数列，掌握其性质和通项公式是关键所在。
先来聊聊数列的性质。
数列可以分为等差数列和等比数列这两大类，它们各自有着独特的性质。
等差数列，简单来说，就是相邻两项的差值相等的数列。
比如 1，3，5，7，9 就是一个等差数列，相邻两项的差值都是 2 。
对于等差数列，有一个非常重要的性质，那就是如果有三个数 a，b，c 成等差数列，那么 2b ＝ a ＋ c 。
这个性质在解题中经常会用到。
另外，等差数列的前 n 项和也有特定的公式，即 Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2 ，其中 a₁是首项，aₙ 是第 n 项。
等比数列则是相邻两项的比值相等的数列。
例如 2，4，8，16 就是一个等比数列，相邻两项的比值都是 2 。
等比数列也有其重要性质，若 a，b，c 成等比数列，那么 b²＝ ac 。
等比数列的前 n 项和公式稍微复杂一些，当公比q ≠ 1 时，Sₙ ＝ a₁(1 qⁿ) ／（1 q) 。
数列还有一些其他的性质。
比如单调性，一个数列可能是单调递增的，也可能是单调递减的，还可能是不单调的。
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，那这个数列就是单调递增的；反之，如果每一项都小于它前面的一项，就是单调递减的。
数列的周期性也是一个有趣的性质。
有些数列会按照一定的规律重复出现，这就是周期性。
例如，1，2，3，1，2，3，1，2，3……这个数列就是以 3 为周期的。
了解了数列的性质，接下来我们重点探讨一下通项公式。
通项公式就像是数列的“身份证”，它能够准确地告诉我们数列中每一项的具体值。
对于等差数列，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d ，其中 a₁是首项，d 是公差。
比如在等差数列 1，3，5，7，9 中，首项 a₁＝ 1 ，公差 d ＝ 2 ，那么第 n 项 aₙ ＝ 1 ＋（n 1)×2 ＝ 2n 1 。
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【知识要点】
一、数列性质的证明一般有两种方法：
方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.
1
(2,)
n n
a a d n n N*
-
-=≥∈⇔{}n a是等差数列
1
(2,)
n
n
a
q n n N
a
*
-
=≥∈⇔数列{}n a是等比数列
方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明.
11(2,)
2
n n
n
a a
a n n N*
+-
+
=≥∈{
n
a
⇔}是等差数列
2
11
(2,)
n n n
a a a n n N*
-+
=≥∈⇔数列{}n a是等比数列
【方法讲评】
方法一定义法
使用情景绝大部分情况下，都是用这种方法.
解题步骤把已知条件代到1
n n
a a或
1
n
n
a
a
中化简，证明化简结果是一个常数.
【例1】已知数列{}n a满足
4
4
4
,3
1
1+
+
=
=
+
n
n
n a
a
a
a
（1）求证：数列
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
+
2
2
n
n
a
a
为等比数列；
（2）设p
n
m
N
p
n
m<
<
∈,
,
,*，问：数列{}n a中是否存在三项p
n
m
a
a
a,
,，使
p
n
m
a
a
a,
,成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.
而0
5
2
2
1
1≠
=
-
+
a
a
，
∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
+
2
2
n
n
a
a
是以5为首项，3为公比的等比数列.
【点评】利用定义证明数列{}
n
a等比，只要把已知条件代入
1
n
n
a
a
化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.
【反馈检测1】已知数列{}
n
a，2
n
a≠，
1
58
23
n
n
n
a
a
a
+
-
=
-
，
1
3
a=
（1）证明：数列
1
{}
2
n
a-
是等差数列．
（2）设2
n n
b a
=-，数列
1
{}
n n
b b
+
的前n项和为n S，求使2
(21)2n
n
n S
+
+⋅⋅1
(23)2192
n
n+
>-⋅+成立的最小正整数n．
【反馈检测2】已知数列{}n a满足：12n n
a a a n a
+++=-，其中*
n N
∈.
（
1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.
方法二 中项公式法 使用情景 少数情况下用这种方法.
解题步骤
把已知条件化简，找到相邻三项的关系.
【例2】已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和(1)(1)12
n n S n a =++-. ①求数列{}n a 的通项公式； ②设数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存
在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．
（2） 由（1）知21n a n =+ ∴ 111(21)(23)n n a a n n +=++111
()22123
n n =-++
∴ 111111111()23557
21212123
n T n n n n =
-+-++
-+--+++111()2323n =-
+1
6< 则要使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要1
6M ≥
∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，且M 的最小值为1
6
【点评】已知n S 、n 和n a 的关系，一般利用公式11(1)
(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求数列的通项. 学.科.网
【反馈检测3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A B ，为常数.
(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列； (Ⅲ)
1>对任何正整数m n ，都成立.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：
数列性质的证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）6n =.
【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列{}n b 的最大项为431
8
b b ==. 【反馈检测2详细解析】（1）当1n =时，111a a =-，∴11
2
a =， 又∵12111n n a a a n a ++++
+=+-，
∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴11
1(1)2
n n a a +-=
-. 又∵1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为12-，公比为1
2
的等比数列；
（2）由（1）知，1111
1()()()222
n n n a --=-⨯=-，
∴2
(2)(1)2
n n n n b n a -=-⋅-=， ∴11
11223222n n n n n n n n b b ++++----=-= ， 当3n <时，10n n b b +->，即123b b b <<，
当3n =时，43b b =， 当3n >时，10n n b b +-<，即456b b b >>>，
∴数列{}n b 的最大项为431
8
b b ==
. 【反馈检测3答案】(Ⅰ) 20A =-，8B =-；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析. 【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=. 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知 213
2372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨
+=-⎩，
， 解得 20A =-，8B =-.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-.
51mn m n a a a ，只要证512mn m n m n a a a a a >++因为54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++， 故只要证5(54)12520()162m n mn mn m n a a ->+-+++ 即只要证2020372m n m n a a +->因为2558m n m n a a a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-， 所以命题得证.。