平面向量与三角函数、解三角形的综合习题

三角函数与平面向量、解三角形综合题

题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合

【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.

（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B

2的最大值.

题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】

已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π

2

，2π)，且→a ⊥→b ．

（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π

3)的值．

题型三. 三角函数与平面向量的模的综合

【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2

5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)

若－π2＜β＜0＜α＜π

2，且sinβ＝－513，求sinα的值.

题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】

设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．

（1）求cos C ；（2）若5

2

CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．

题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例6】()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r

，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，

且函数()y f x =的图象经过点(

,2)4

π

．

（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例7】设向量(sin ,cos ),

(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈r r

，函数()()f x a a b =⋅+r r r .

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3

()2

f x ≥成立的x 的取值集.

题型八：三角函数平移与向量平移的综合

【例8】把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π

6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A

＞0，ω＞0，|ϕ|＝π

2

)的图象，则ϕ和B 的值依次为

（ ）

A ．π

12，－3

B ．π3

，3

C ．π

3

，－3

D ．－π12

，3

题型九：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

【例9】已知04

πα<<

，β为()cos(2)8

f x x π

=+

的最小正周期，

(tan(),1),(cos ,2),4

a b a b m βαα=+-=⋅=r r

r r ，求

22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．

题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例10】如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02

π

ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，

1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；

（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM u u u u r 与PN u u u

r 的夹角。