(精品)数学讲义七年级秋季班-第19讲：期末复习(一)
初一数学期末复习讲义
初一数学期末复习讲义初一数学期末复习讲义编写人:古光复习内容:第5章走进图形世界—立体图形.图形的变化一.知识点复习及例题选讲1.知识点1:常见立体图形的认识与分类例 1.如图3.1-1,将下列图形与对应的图形名称用线连接起来:例 2.埃及金字塔类似于几何体( )A.圆锥B.圆柱C.棱锥D.棱柱2.知识点2:点动成线,线动成面,面动成体例1.下列图形绕虚线旋转一周,形成一个几何体,在对应横线上,写出几何体的名称.例 2.点动成线,线动成面,面动成体,请举实例说明.3.知识点3:棱锥.棱柱的棱.侧棱.顶点.底面的概念与统计1).n棱锥有条棱,个顶点,个面.n棱柱有条棱,个顶点,个面.例 1.4棱锥有条棱, 个顶点, 个面.5棱柱有条棱, 个顶点, 个面.例 2.一个棱锥有7个面,这是棱锥,有个侧面.例 3.棱柱的长相等,上下底面是的多边形,侧面是.例 4.下图3.1-8是图(1)的正方体切去一块,得到图(2)_(5)的几何体,它们各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?4.知识点4:欧拉公式的内容例 1.将正方体的面数记为f,边数记为e,顶点数记为v,则f+v-e=( )A.1B.2C.3D.4例 2.有一个几何体,有9个面,16条棱,那么它有个顶点.5.知识点5:图形的变化方式:平移.旋转.翻折例 1.下列图形都是由半圆经过变化而得到的,请说出它们最简单的变化过程.例 2.如图,先将图(1)中的图形平移到图(2)的方格中,然后绕右下角的顶点旋转180°到图(3)的方格中,再翻折到图(4)的方格中.例 3.小明用如下左图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,右边所给的四个图案中符合胶滚的图案的是( )二.练习1．下列图形不是立体图形的是()A．球B．圆柱C．圆锥D．圆2．圆柱的侧面是面,上.下两个底面都是 .3．若一个棱柱的底面是一个七边形,则它的侧面必须有个长方形,它一共有个面.4.想一想会不会有一个多面体,它有10个面,30条棱,20个顶点?5.如图所示的四个图形,既可以通过翻折变换.又可以通过旋转变换得到的图形是( )A．①②③④B．①②③C．①③D．③6.分析图①,②,④中阴影部分的分布规律,按此规律在图③中画出其中的阴影部分.7.．如果你按照下面的步骤做(如下图所示),当你完成到第五步的时候,将纸展开,会得到图形( )8.如图所示,按要求作图:(1)将图形A平移到图形B;(2)将图形B沿图中虚线翻折到图形C;(3)将图形C沿其右下方的顶点旋转180°到图形D.9.下面各图都是只有一条对称轴的图形,请你涂黑图形的一部分,使它成为具有两条或两条以上对称轴的图形.10.矩形绕其一边旋转一周形成的几何体叫,直角三角形绕其中一条直角边旋转一周形成的几何体叫.11．下列现象中是平移的是( )A．将一张纸沿它的中线折叠 B．飞蝶的快速转动C．电梯的上下移动D．翻开书中的每一页纸张12.在同一平面内用游戏棒搭4个大小一样的等边三角形,至少要根游戏棒;在空间搭4个大小一样的等边三角形,至少要根游戏棒;初一数学期末复习讲义编写人:古光复习内容:第5章走进图形世界—展开与折叠.从三个方向看一.知识点复习及例题选讲1.知识点1 :常见立体图形的展开图的识别与画出例1.如图3.3-1在正方体的展开图上编号,请写出相对面(相对面没有公共棱)的号码:1对应( );2对应( );3对应( ).例2.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是( )(A)(B)(C) (A)(B) (C)例2.上列图形中为三棱柱的展开图的是( )例3.在下列图形中(每个小正方形都是相同的正方形),是正方体的表面展开图的是( )(A)(B)(C)(D)例4.如图3.3-6,下面三个正方体的六个面都按相同规律涂有红.黄.蓝.白.黑.绿六种颜色,那么涂黄色.白色.红色的对面分别是( )例5.侧面展开图是扇形的是( )A.圆柱B.棱柱C.圆锥D.棱锥例6.如图是一个正方体的平面展开图,每个面上都标上了字母,请根据要求回答问题:(1)如果A在上面,那么哪一面会在下面?(2)如果F在上面,从右边看是E,那么哪一面会在底部?(3)如果从左边看是D,B在底部,那么哪一面会在上面?2.知识点2 :从三个方向看,主视图:行高;左视图:排高;俯视图:行排;例1.如图3.4-18,是一个由五个小正方体搭成的物体,请画出它的三视图.例2.如图3.4-19,是由几个小正方体木块所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数,请画出这个几何体的主视图.左视图.例3.在桌上摆有一些大小相同的正方体木块,正视图.左视图如图3.4-20,要摆出这样的图形至少需要块正方体木块,至多需要块正方体木块.例4.如图3.5-2的三视图所画的几何体是.二.练习1.正方体的平面展开图可以是下列图形中的( )2.有一块正方体木块,它的六个面上分别标上数字1_6,下图是这个正方体木块从不同面所看到的数字情况,请问5对面的数字是( )A.3 B.4 C.6 D.无法确定3.主视图.左视图和俯视图都是正方形的几何体是.4.一个立体图形的三视图形如图所示,则该立体图形是( )A.圆锥B.球C.圆柱D.圆5.已知某多面体的平面展开图如图所示,其中是三棱柱的有( ) 正视图左视图俯视图A.1个B.2个C.3个D.4个6.如果一个立体图形的三个视图都是正方形,那么关于这个立体图形的以下三种说法正确的有 ( )①这个立体图形是四棱柱;②这个立体图形是正方体;③这个立体图形是四棱锥;A.1个B.2个C.3个D.以上全不对7.画出下图中由几个正方体组成的几何体的三视图.8.画出下列几何体的三视图.9.如下图,在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁,要从侧面爬一圈后,再回到A点,请你结合圆锥的侧面展开图,设计一条最短路线.10.如图,是一个立体图形的三视图,这个立体图形是由一些相同的小正方体构成,这些相同的小正方体的个数是 ( )A.4个 B.5个C.6个D.7个。
第十九讲七年级期末复习(3)
“创新班”个性化教学辅导教案学科 数学 年级 七 任课教师 wang 2020年 秋季班 第19讲课题 七年级上册期末复习（3）教学 目标 重点难点教学过程一、选择题1、如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是（ ） A ．核B ．心C ．素D ．养2、图中几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3、由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙。
如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（ ）A ．9B ．11C ．14D ．18 4、有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＜0C ．a •b ＞0D ．ba ＞0 5、下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）。
那么本周星期几水位最低（ ）星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 0.12－0.02－0.13－0.20－0.08－0.020.32A ．星期二B ．星期四C ．星期六D ．星期五6、下列各组中，不是同类项的是（ ）A ．52与25B ．－ab 与baC ．0.2a 2b 与－51a 2b D ．a 2b 3与－a 3b 2 7、把一副三角尺ABC 与BDE 按如图所示那样拼在一起，其中A 、D 、B 三点在同一直线上，BM 为∠ABC 的平分线，BN 为∠CBE 的平分线，则∠MBN 的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°二、填空题1、已知一个n 棱柱共有12条棱，那么这个n 棱柱共有 个顶点。
2、观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ； 数－201是第 行从左边数第 个数。
3、猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n 个数是 ．4、为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼 条。
新初一衔接讲义期末复习一-教师
学科教师辅导讲义学员学校：年级：初一课时数：2 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题实数专项复习教学内容知识精要一、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及应用二、有理数的运算1、乘法（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。
并把其绝对值相乘。
（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。
（5）乘积为1的两个有理数互为倒数。
乘法运算定律（1）.乘法交换律：乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a（2）.乘法结合律：若干个数相乘，改变他们的运算顺序，积不变。
主要公式为(a×b)×c=a×(b×c), ,它可以改变乘法运算当中的运算顺序.在日常生活中乘法结合律运用的不是很多,主要是在一些较复杂的运算中起到简便的作用.（3）.乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
字母表达是：a×(b+c) =a×b+a×c2、除法（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（注意：0没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。
3．若在一个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等的混合运算则（１）在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行 （２）含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同． （3）．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 总结：有理数混合运算的规律． （1）．先乘方，再乘除，最后加减 （2）．同级运算从左到右按顺序运算；（3）．若有括号，先小再中最后大，依次计算． 三、实数的运算1、平方根的概念及应用2、立方根的概念及应用3、实数的分类定义：有理数和无理数统称实数. 分类：（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数 4、近似数、有效数字、科学记数法热身练习一、选择： 1．16的平方根是A 、4B 、－4C 、±4D 、±2 2．立方根等于3的数是（ ）A 、9B 、9±C 、27D 、27±3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根。
著名机构七年级数学秋季提升班讲义期末复习之知识点归纳-教师版
教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间2018/1/1学科数学课题名称期末复习之知识点归纳整理期末复习之知识点归纳整理【习题1】 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、253(5)3x x x x -+=-+；B 、2(2)(5)310x x x x -+=+-；C 、22(23)4129x x x +=++；D 、243(1)(3)x x x x -+=--． 【答案】D【习题2】化简ab b a b a b a --++----1111的结果是（ ） A 、0 B 、224b a a - C 、224b a b - D 、222b a a - 【答案】B【习题3】下列说法中正确的是（ ）① 中心对称图形肯定是旋转对称图形② 关于某一直线对称的两个图形叫做轴对称图形③ 圆有无数条对称轴，它的每一条直径都是它的对称轴④ 平行四边形是中心对称图形，它只有一个对称中心，就是两条对角线的交点 ⑤ 等边三角形既是中心对称，又是轴对称A 、①②④B 、③④C 、①③⑤D 、①④【答案】D【习题4】 在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失.已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ C ）A 、顺时针旋转90°，向下平移；B 、逆时针旋转90°，向下平移；C 、顺时针旋转90°，向右平移；D 、逆时针旋转90°，向右平移． 【答案】【答案】解：原式()()()()3322-+-+-=a a a a【习题10】因式分解xy y x 844122+--【答案】 解：原式()()y x y x 221221+--+=【习题11】 如图是某设计师设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）画出四边形OACB 关于直线l 的轴对称图形OA 1C 1B 1；（2）将四边形OACB 绕点O 顺时针．．．旋转ο120，画出旋转后的图形OA 2C 2B 2.【习题12】 如图，已知R t △ABC 中，△C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到'''C B A ∆的位置，若平移距离为3.（1）求△ABC 与'''C B A ∆的重叠部分的面积；（2）若平移距离为x （0≤x ≤4），求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积y ，则y 与x 有怎样关系式.【答案】解：（1）211121=⨯⨯=S（2）()842142122+-=-=x x x y【习题13】 如图，已知等腰直角∆ACB 的边AC=BC=a ，等腰直角∆BED 的边BE=DE=b ，且b a <，点C 、B 、E 在一条直线上，联结AD ．（1）求ABD ∆的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到APD ∆，求APD ∆的面积． (以上结果先用含a 、b 代数式表示，后化简）【答案】解：（1）ab b a b a S ABD =--+=∆2222121)(21 （2）221221)(212b a b b a a b a S APD +⋅-+⋅-+=∆ =22111424a ab b ++【习题14】 如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC =10cm ，现将长方形ABCD 向右平移x cm ,再向下平移)1(+x cm 后到长方形A'B'C'D' 的位置，（1）用x 的代数式表示长方形ABCD 与长方形A'B'C'D' 的重叠部分的面积，这时x 应满足怎样的条件？（2）用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D（阴影部分）的面积．【答案】解：（1）()7-=x-xx（S）x=x+1770)18(≤102≤--重（2）90+++=xxSxxx-)1()118+8=)((+10阴。
著名机构七年级数学秋季班讲义期末复习资料
七年级数学上期末复习资料第九章 整式1. 整式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧数次数：次数最高项的次项数：多项式和次数：所有字母的指数系数：字母因数单项式 2. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．3.整式的加减：先去括号，再合并同类项.4.整式的乘法：（1）幂的运算：n m n m a a a +=⋅；mn n m a a =)(；n n n b a ab =)(（2）乘法公式：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式 平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+-222()2a b a ab b -=-+（2）22222a b a ab b →+=-+（3）常用公式变形：xy y x y x 4)()(22+-=+ 211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 5.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解；（1）提公因式法（2）公式法：22()()a b a b a b -=+-222)(2b a b ab a ±=+±))((2233b ab a b a b a +-+=+))((2233b ab a b a b a ++-=-（3）十字相乘法：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++（4）分组分解法：适合四项及以上的多项式6.整式的除法：（1）幂的运算：m n m n÷=a a a-（2）01(0)=≠a a（3）单项式除以单项式，多项式除以单项式。
著名机构七年级数学秋季提升班讲义分式复习-教师版
（2）列整式方程，求得整式方程的根。
（3）验根：把求得的整式方程的根代入A，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。
（4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。
11.增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。
(2)分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。
2.分式的值为零
分式的值为零
3.有理式的概念
4.分式的基本性质
（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。
【例4】已知 ，求
【答案】
专题三：分式方程
【例5】（1） （2）
（3）
【答案】（1） 是增根，所以无解（2） （3）
专题四：分式方程及应用
【例6】小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
（5）分式的加减法：
同分母：
异分母：
（6）混合运算：做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最后再加减，有括号先算括号内的。
9.分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。
注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。
初一下学期数学期末复习知识点(K12教育文档)
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初一下学期数学期末复习（二）【本讲教育信息】一. 教学内容：初一数学期末复习（二）二. 学习重难点:三角形的全等与判定三。
知识要点讲解：第十章、数据的表示【知识网络】【知识要点】1。
科学记数法把一个数写成a ×10n 的形式,其中1≤｜a|＜10,n 为正整数注：(1）当它表示一个绝对值大于10的数时，n 的值等于这个数的整数部分的位数减去1.(2)当它表示一个绝对值小于101的数时，n 为负数且n 的绝对值等于这个数的第一个非零数前面的零的个数（包括小数点前面的零）。
2。
近似数和有效数字(1)有效数字:对于一个近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位为止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（2）精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.近似数的精确度有两种形式：①精确到某一位；②保留几个有效数字.(3）用科学记数法表示近似数3. 数学中常见的信息统计图常见的统计图有条形统计图、折线统计图、扇形统计图，除此之外，媒体中还常见一些形象的统计图。
（1)如何利用统计图中的信息对统计图的利用，首先应明白统计图所反映的是关于哪个量的信息，并且其基本数量单位是什么,还要懂得统计图是用何种方式来显示数量的大小.从统计图中读出信息，为以后发展提供参考，或者得出一定的归纳性的结论.在这里度量单位应加以重视.（2）如何制作形象的统计图制作统计图的关键是选择什么样的直观形象来反映所统计的数量，并且要在直观图上注明数字，数字单位也要在图中注明。
人教版七年级下册数学课件：第十九章 一次函数 期末总复习 (共40张PPT)
据图中所提供的信息解答下列问题:
s(km)
(1)甲、乙两人的速度 60
各是多少? 20,30 50
(2)写出乙的路程s与时 40
间t的函数关系式. 30
(3)在什么时段内乙比
20 10
甲离A地更近.
O
甲 乙
1
2 2.5
t(h)
y=-30x+60 1<t<2.5
甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶 赴距出发点480千米的灾区．图中的折线、 线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲 （千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之 间的函数关系对应 的图像．请根据图 像所提供的信息， 解决下列问题：
结
合
情A
B
境
选
图
像
C
D
如图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y
与时间x的函数图像, 若用黑点表示韩老师家的
y
位置,则韩老师散步行走的
路线可能是( D )
O
x
A. B. C. D.
三.列解析式
1.某市出租车起步价10元,超过5km的部分每 千米1.5元,则当x>5时,乘车距离xkm与车费 y元之间的函数关系式为__y_=＿1.5＿x+＿2.＿5 .
5.求图象经过点（ 2 ，一 1 )且与直线 y ＝ 2x + 1
平行的一次函数的表达式_y__＝___2_x__- _5__
已知一次函数的图象经过点(3,5)与（－4，
－9）.求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵y=kx+b的图象过点（3，5）与（-4，-9）.
（1）由于汽车发生故 障，甲组在途中停留了 _________小时；
著名机构七年级数学秋季班讲义整式的运算(教师)
第2课时 整式的运算课时目标1.理解同类项的概念；能判断同类项，且能熟练的合并同类项.2.掌握去括号，添括号的法则，能准确的进行去括号，添括号.3.掌握整式的加减运算,注意要把每一个整式用括号括起来.4.掌握同底数幂的乘法法则，知道法则适用于三个或三个以上的同底数幂相乘.5.能正确，熟练地进行同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及加减的混合运算.知识精要一、同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项.如：8和12是同类项. 二、合并同类项1、意义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.2、合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 合并同类项的两个要点：一是字母和字母的指数不变；二是同类项的系数相加作为和的系数.3、几项式：一个多项式合并后．．．几项，这个多项式就叫做几项式. 如:42422123x x x -+-叫做四次三项式. 三、去添括号法则1、去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号.去括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a +(b -c +d )=a +b -c +d ；a -(b -c +d )=a -b +c -d2、添括号法则：括号前面添上“+”号，括号里各项都不变号；括号前面添上“-”号，括号里各项都要变号.添括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a -b +c =+（a -b +c ）；a -b +c =-（-a +b -c ）四、整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号相连.其运算的一般步骤是：（1）如果有括号，先去括号；（2）合并同类项五、求代数式的值的一般方法先化简已知条件，再化简所求代数式，最后代入求值.六、同底数幂的乘法1、a 的n 次幂a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂，写成n a ，其中a 表示底数，正整数n 表示指数.2、同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用式子表示就是：m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）注:三个或三个以上同底数的幂相乘，也符合上述法则.如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（m ，n ，p 是正整数）如：)()()(q p q p q p n m +⋅+⋅+= 1)(+++n m q p 七、幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即mn n m a a =)(（m ，n 是正整数） 幂的乘方法则也可拓展.如：mnp p n m a a=])[(（m ，n ，p 为正整数） 如：84242)(a aa -=-=-⨯，84242)(a a a ==-⨯2、幂的乘方法则的灵活运用：幂的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：mn n m a a=)(； 二是逆用：mn a =n m a )(=m n a )(，其中m ，n 是正整数.如：已知：32=n x ，求23)3(n x ⋅的值.24327939)(9)(3)3(33223223=⨯=⨯==⋅=⋅n n n x x x本题的关键在于利用了n m a )(=m n a )(的性质，将23)(n x 转化为32)(n x .八 、积的乘方1、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）可以说成：积的乘方等于乘方的积.积的乘方法则可以拓展，如：n n n n c b a abc =)(（n 为正整数）. 2、积的乘方法则的灵活运用：积的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：n n n b a ab =)(；二是逆用： nn b a =n ab )(，其中n 是正整数.如：计算：11)8125.0(8)125.0(8888==⨯=⨯ 计算：2171171719181719181723)61(23)61()2()3()61(++⨯⨯=⨯⨯=-⨯-⨯- 1212)2361()42()33()61(17171717=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 方法提炼本题的关键是逆用积的乘方法则，解决这类问题的一般方法是先认准同底数的最低次幂．．．．，然后转化同底数的较高次幂. 热身练习一、填空题1.写出2a b 的一个同类项： 22a b - .(答案不唯一)2.若212m a b -与313n a b -是同类项，则m n += 6 . 3.多项式2242132x xy y x -+-是 四 次 三 项式. 4.在22221343324x xy x y yx x -+-++ 中，没有同类项的项是 3xy . 5.若单项式23m m x y +与22n x y -的和为2n x y ，则m = 2 ,n = 4 .6.已知222A x xy y =++，2B x xy =+.则2A B +=2234x xy y ++.7.多项式22234x xy y -+减去多项式22x xy y +-的2倍的差是256xy y -+.8.关于x 的多项式135m m x x +++ 是二次三项式，则m = 1 ,这个二次三项式是235x x ++.9.23(2)(2)-⋅-= －32 .10．在括号内填上适当的数83)6(5x x x x ⋅=⋅.11.在括号内填上适当的数9)4(32)()(a a a a =-⋅-⋅-.12.计算：234(2)a b -=81216a b .二、填空13.已知关于x 的多项式22ax bx +合并后的结果为零，则下列说法正确的是（ D ）（A ）0a b == (B) 0a b x ===(C) 0a b -= (D) 0a b +=14．若,A B 都是五次三项式，则 A B - 是（ B ）（A ）常数 (B) 次数不高于五次的多项式(C) 五次多项式 (D) 次数不低于五次的多项式15.在()2[2(3)3]2x y x -+-=+，括号内应填入的代数式是（ A ）.（A ）2x y + (B) 2x y -+(C) 2x y - (D)2x y --16.下列各题的计算，正确的是（ D ）（A ）279()a a = （B ）2714a a a ⋅=(C)1221()n n a a ++= (D)1333()m m a a ++=17.若2,2m n a b ==，则 2m n +等于（ B ）（A ）a b + （B ）ab(C) 2ab (D) 2a b三、简答题18.一个多项式加上32345x x y y -++，得32232x x y y -+.（1）求这个多项式；（2）当12x =-，1y =时，求这个多项式的值 解：（1）（32232x x y y -+）－（32345x x y y -++）= 32232725x x y y y -+-（2）当12x =-，1y =时，原式=-519．如果代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 所取的值无关，求代数式2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++的值.解：原式=22(1)(3)67b x a x y -++-+∴3,1a b =-=∴2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++=223526a ab b a b ---=－14精解名题1.在多项式132132006200720082009m n m n m n n a b x y a b x y -+++-（其中m ,n 为正整数）中，恰有两项为同类项，求m n +的值.解：观察可知322006,2008m n m n a b a b 两项不可能是同类项，故1132007,2009m n n x y x y -+是同类项，∴113m n n =+⎧⎨-=⎩ 解得54m n =⎧⎨=⎩，所以m +n =9.2.下列各项中，合并同类项正确的是（ C ）（A ）22431x x -=(B)220a bc ab c -=(C)332y x x y x ---=-(D)2226x x x x ++=3．下列变形正确的是（ B ）（A ）(1)1x y z x y z --+=--+(B)()4()44a b x y a b x y +--=+-+(C)[23()]233a b c d a b c d --+-=-++-(D)()2()2p q a b p q a b -+--=---+4. 一个多项式，当减去2237x x -+时，因把“减去”误认为“加上”，得2524x x -+，试问这道题的正确答案是什么？解：多项式为22222524(237)52423733x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=+-， ∴22(33)(237)x x x x +---+22233237410.x x x x x x =+--+-=+-5.求代数式的值（1）224[62(32)2]p p p p --+-，其中1p =-.解：原式=462+p ，当1p =-时，原式=10（2）22225(3)(3)x y xy xy x y --+，其中12x =-，13y =- 解：原式=22612xy y x -，当12x =-，13y =-时，原式=23-6.计算（1）23(3)(3)-⋅-解：原式=53-(2)()()()m n p q p q p q +⋅+⋅+解：原式=1()m n p q +++(3)33245a a a a a a ⋅+⋅+⋅解：原式=63a备选例题1.计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）24()a -；（2）24()a -；（3）2()m n a ；（4）2334[()][()]x y x y +⋅+.解：（1）8a - （2）8a （3）2mn a （4）18()x y +2. 计算（1）342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-（2）454)25.0(⨯-解：（1）原式=86a （2）原式=25.0)25.0()425.0(4-=-⨯⨯-方法提炼1、判断同类项注意两点：一是含有相同字母，二是相同字母的指数也相同.2、合并同类项可分为以下几步完成：● 标出同类项● 将同类项写在一起● 合并同类项3、去括号法则尤其注意括号前是负号时，括号里的各项都改变符号.4、注意幂的运算法则的逆用.巩固练习一、选择题1.下列各组代数式中，不是同类项的是（ B ）A.25a b 与213a b -B.415a x 与415ax C.23ab c 与323c b a D.313a b 与33ba2．下列去括号正确的是（ C ）A ．22[3()]3x x y z x x y z ---+=-+-B. 22[()]x a y b x a y b +--+=--+C.22223[2(51)]3251x x x x x x ---+=--+D.[]{}()x y z x y z ----=--3.下列去括号错误的是 （ D ）A ．[()][()]()()a b c a b c a b c a b c ++-+=++--B.()a b c d a b c d --+=-+-C.()b a a b --=-D.2222()()a a b b a b b a +--=--+二、填空题 4.20132013)3()31(-⨯=－1. 5.去括号：(2)()a b x y +---=2a b x y +++.6.计算：2212(35)2(32)xy x xy xy x +--+=2x xy -+.7.计算：232249()(2)x x x ⋅-=87x .8．2(3)2781-⨯⨯=93.（用3的幂表示）.9.2()n m ⋅3m =23n m +.（n 为正整数）.三、简答题10. 计算：23[2(1)](1)x x --解：原式=54(1)x --11.下面计算对不对？应该怎样改正？（1）5552b b b ⋅= 解： 不对，原式=10b（2）33b b b ⋅= 解： 不对，原式=4b（3）527()x y xy ⋅= 解： 不对，原式=25y x自我测试一、选择题1. 下列说法中正确的是（D ）.A. 幂的乘法法则是底数不变，指数相加B. 同底数幂相乘，指数相加C. 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘D. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加2. 下列各式与31m a +相等的是（C ）.A. 31()m a +B.13()m a +C.3()m a a ⋅D.3m a a a ⋅⋅3．下列各项中不是二次三项式的是（D ）A.223x x ++B.23724x x ++ C.2354x x +- D. 25456x x -+ 4.下列计算中，正确的是（ D ）A. 336a a a +=B. 339a a a +=C. 3333a a a +=D. 3332a a a +=二、填空题5.去括号 ()x a b c --+=x a b c -+-.6.去括号 (2)(34)a b x y -+--=234a b x y ---+.7.22(32)x y xy -+（2232x y xy -+）=0 .三、解答题8.如果212(9)3n =，求 n 的值.解：123])3[()9(4222===n n n11 3=∴n9.将下列各式化成()n a b +或()n a b -的形式：232()()()()()a b a b a b b a a b -+--+解：原式=36()()a b a b -+-10.证明：233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.解：化简原式=10∴多项式233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.11.如果“三角”表示3(2x +5y +4z )， “方框” 表示－4［(3a +b )－（c －d ）］.求 的值.解：由已知得：－ -1 x 2 2x zx y12 ＝－4[3(1－x 2) + (x +1)－(2x 2－x )+3]＝20x 2－8x －28，＝3（2x 2+10x －4）＝ 6x 2+30 x －12，－ -1 x 2 2x ＝14x 2－38x －16.-1 x 2 2x。
初中数学知识点辅导讲座全套共19讲(全套 各版本通用)
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范 1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=nab a -+（n 为大于是 的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
七年级秋季班-第19讲：期末复习(一)-教师版
本学期一共学习了三章内容，分别是整式、分式、图形的运动．通过本讲内容，对本学期所学内容进行全面复习．期末复习（一）内容分析知识结构【练习1】下列各式中，与32x y -是同类项的是（）．A ．33xyB ．312yxC ．3a b -D ．32x yz【难度】★ 【答案】B【解析】同类项是指（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同． 【总结】本题考查了同类项的定义．【练习2】如果分式212x x +-有意义，那么x 应满足的条件是（ ）．A ．12x ≠-B ．2x ≠C ．122x x ≠-≠且D ．122x x >≠且【难度】★ 【答案】B 【解析】分式BA有意义指的是分母0≠B ，即202x x -≠≠，． 【总结】本题考查了分式有意义的条件．【练习3】若()222(2)a b a b x -=+-，则x 等于（）．A ．2abB ．4abC ．8abD ．8ab -【难度】★ 【答案】C【解析】()()ab b a b a x 82222=--+=．【总结】本题考查了完全平方公式的公式变形．选择题【练习4】下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（）．ABCD【难度】★ 【答案】A【解析】中心对称图形是指把一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合；旋转对称图形是 指把一个图形绕一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合． 【总结】本题考查了旋转对称图形和中心对称图形的概念．【练习5】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）．A ．253(5)3x x x x -+=-+B ．()()225310x x x x -+=+-C ．()22234129x x x +=++D ．243(1)(3)x x x x -+=--【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解是指把一个多项式化为几个整式的乘积的形式． 【总结】本题考查了因式分解的概念．【练习6】()()3243a a -÷的计算结果是（）A ．2aB ．6aC ．6a -D ．2a -【难度】★★ 【答案】C【解析】()()32431266a a a a a -÷=-÷=-，同底数幂相除，底数不变，指数相减．【总结】本题考查了幂的乘方及同底数幂相除运算．【练习7】下列格式中，等式成立的是（）．A．x y y xy x x y--=--B．22x y y xy x y x--=--C．x y x yy x y x---=-++D．x y x yy x y x--+=--【难度】★★【答案】A【解析】A中()()yxxyyxxyxyyx--=----=--正确．【总结】本题考查了分式的基本性质的运用．【练习8】如果将分式22x yx y-+中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）．A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍C．缩小到原来的13D．不变【难度】★★【答案】A【解析】x和y都扩大到原来的3倍，即为x3和y3；则()()()()yxyxyxyxyxyxyxyx+-=+-=+-=+-2222222233933993333,所以原分式的值扩大到原来的3倍．【总结】本题考查了分式的基本性质的运用．【练习9】小敏和小明练习打字，小敏比小明每分钟多打25个字，完成1000字文稿小敏比小明少用2分钟，设小明每分钟打x个字，则可列方程（）．A．10001000225x x-=+B．10001000225x x-=+C．10001000225x x-=-D．10001000225x x-=-【难度】★★【答案】A【解析】解：设小明每分钟打x个字，则小敏每分钟打()25+x个字，由题意得：10001000225x x-=+，故选A．【总结】本题考查了列分式方程解应用题．【练习10】二次三项式25166m m -+分解因式的结果如下：①1()(1)6m m --；②11()()23m m --；③11(21)()23m m --；④1(21)(31)6m m --．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】①错；②③④正确．【总结】本题考查了因式分解的十字相乘法．【练习11】如果41()m x y --能被25()m x y +-整除，则m 可取（ ）A ．1、2、3B ．任何整数C ．不小于3的整数D ．大于3的整数【难度】★★★ 【答案】C 【解析】解：()()()625214-+--=-÷-m m m y x y x y x ；则062≥-m ，3≥m ．【总结】本题考查了数的整除及同底数幂的除法．【练习12】若x y 、为实数，则使分式2221x x y -+有意义的是（）．A ．x y =B ．x y 、不同时为零C ．x y ≠D ．x y =但x y 、均不为0【难度】★★★ 【答案】B【解析】使分式有意义，则分母022≠+y x ，即就是x y 、不同时为零． 【总结】本题考查了分式有意义的条件．C【练习13】如图，一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板（其中5BA cm =），在桌面上作无滑动的顺时针方向的翻滚，木板上的点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时被 桌面上一小木块挡住，使木板和桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时共走过路径长 为（）．A ．10cmB ．4cmC ．72cm πD ．52cm π【难度】★★★ 【答案】C【解析】解：点A 以点B 为旋转中心，以1ABA ∠为旋转角，顺时针旋转得到1A ；同理2A 是 由1A 以点C 为旋转中心，以21CA A ∠为旋转角，顺时针旋转得到．Θ1121906053ABA ACA AB cm CA cm ∠=∠===o o，，，∴点A 翻滚到2A 位置时共走过路径长为：()cm l 27180360180590πππ=⋅⋅+⋅⋅=． 【总结】本题考查了旋转的性质及弧长公式的运用．【练习14】将232322x x y xy y -+-按字母x 降幂排列_______________． 【难度】★【答案】322322x y x xy y -++-．【解析】①看清那一个字母；②看清升降幂． 【总结】本题考查了按某以字母的降幂排列．A 2A 1BA填空题【练习15】实验证明：钢轨温度每变化1C ︒，每一米钢轨就伸缩0.0000118米，如果一个月中气温上下相差10C ︒，那么对于100米长的铁路， 最长可伸长_______________米．（用 科学记数法表示） 【难度】★【答案】2-1018.1⨯．【解析】解：2-1018.10118.00000118.010100⨯==⨯⨯（米）；绝对值小于1的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为()10110n a a -⨯≤<． 【总结】本题考查了科学计数法负整数指数幂的表示．【练习16】在线段、角、正三角形、长方形、正方形、等腰梯形和圆中，共有 个为旋转对称图形． 【难度】★ 【答案】5【解析】其中线段、正三角形、长方形、正方形、圆是旋转对称图形． 【总结】本题考查了常见的旋转对称图形．【练习17】当x =___________时，方程22969x x x --+的值为零．【难度】★★ 【答案】-3．【解析】当分子092=-x ，即3±=x 时；当3=x 代入分母0962=+-x x ，分式无意义； 当3-=x 代入分母0962≠+-x x ，分式值为0．所以3-=x 时，原分式方程值为零． 【总结】本题考查了分式值为零的条件．【练习18】计算：222222223242a ab b a b a ab b a b ab -+-÷=-+-_______________．【难度】★★【答案】ba ab2+．【解析】()()()()()()b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a b ab a b ab a 2224223222222222-+-⋅---=--÷+-+-b a ab2+=． 【总结】本题考查了分式的乘除运算及分式的化简．【练习19】当m =________时，方程111x mx x +=--会产生增根． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意得方程的增根是01=-x ，即1=x ；方程111-=+-x mx x 两边同时乘以()1-x ，得m x x =-+1，即12-=x m ． 将1=x 代入，得1=m ，所以，当1=m 时，原方程有增根．【总结】本题考查了分式方程产生增根的条件及对方程的增根的理解．【练习20】因式分解：（1）244m n mn m +--=_______________；（2）214733x x --=________________；（3）222222()4a b c b c ---=________________． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）()()()()()()44444422--=---=-+-=--+m n m n m n m m m n mn m m mn n m ；（2）()()()3731214317343122+-=--=--x x x x x x ；（3）()()()bc c b a bc c b ac b c b a 224222222222222---+--=---()[]()[]2222c b a c b a +---=()()()()c b a c b a c b a c b a --+++--+=．【总结】本题考查了因式分解的方法与技巧．FEDC BAP ‘PCBA【练习21】如图，4个大小一样的正三角形拼在一起，将DEF ∆绕着点F 旋转与ABF ∆重合， 那么最小旋转角度为_________． 【难度】★★ 【答案】ο180．【解析】DEF ∆与ABF ∆重合，即点D 落在点A 上， 点E 落在点B 上，即至少旋转了ο180． 【总结】本题考查了旋转的性质及旋转角的大小判定．【练习22】如图，P 是正三角形ABC 内的一点，将三角形ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与 三角形'CBP 重合，则'_______PBP ∠=． 【难度】★★ 【答案】ο60．【解析】由旋转角都相等可知，ο60=∠='∠ABC P PB ． 【总结】本题考查了旋转的性质和运用．【练习23】若14a b b c -=+=-，，则代数式2ac bc ab a --+的值是________． 【难度】★★ 【答案】-3．【解析】()()()()a c b a b a a b a c a ab bc ac ++=-+-=+--2；又由1=-b a ，所以原式c a +=；341-=-=++-=+c b b a c a ，故原式的值为-3． 【总结】本题考查了因式分解的技巧及整体代入求值的思想．【练习24】小杰从镜子中看到电子钟的示数是 ，那么此时实际时间是____________． 【难度】★★ 【答案】21：05．【解析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面垂直的线对称． 【总结】本题考查了镜面对称问题．【练习25】若关于m 的方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【难度】★★【答案】11≠->m m 且【解析】解：原方程整理得：221-=-x m ，则21+=m x ； Θ原方程有解，01≠-∴x ，即121≠+m ，故1≠m ， 又Θ方程的解为正数，021>+∴m ，故1->m ； 所以11≠->m m 且．【总结】本题考查了分式方程的解及分式方程有意义的综合运用．【练习26】如果关于x 的多项式214x k ++是完全平方式，那么_______k =． 【难度】★★★ 【答案】444x x ±；．【解析】分三种情况：①当1和24x 都为平方项时，x k 4±=；②当24x 为中间项时，44x k =； ③当1为中间项时，2161x k =，此时代数式不是多项式，故不满足． 【总结】本题考查了完全平方公式的应用．【练习27】若6556x y ==，，则用x y 、的代数式来表示3030＝________． 【难度】★★★ 【答案】65y x ．【解析】()()()6565563030303065656530y x =⨯=⨯=⨯=．【总结】本题考查了幂的乘方及积的乘方的运用．【练习28】已知117131521⨯=，则3211713152013_______⨯-⨯=． 【难度】★★★ 【答案】169．【解析】322211713152013152113152013169⨯-⨯=⨯-⨯=． 【总结】本题考查了同底数幂运算及乘法分配率的综合运用．【练习29】下图是某同学在沙滩上涌石子摆成的“小房子”观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了__________块石子．【难度】★★★ 【答案】()n n 42+．【解析】解：该小房子用的石子数可以分两部分找规律：屋顶：第一个是1，第二个是3，第三个是5，．．．以此类推，第n 个是12-n ； 下边：第一个是4，第二个是9，第三个是16，．．．以此类推，第n 个是()21+n ．所以共有()n n n n 412122+=-++．【总结】本题考查了用字母表示数观察规律题．【练习30】化简：()()23225x x y -⋅．【难度】★【答案】72200x y -．【解析】()()2323427225825200x x y x x y x y -⋅=-⋅=-．【总结】本题考查了积的乘方及同底数幂的运算．【练习31】因式分解：229446x y y x ---． 【难度】★【答案】()()22323--+y x y x ．【解析】()()()x y y x y x x y y x 3222323644922+--+=---()()22323--+=y x y x ． 【总结】本题考查了因式分解中分组分解法．【练习32】小明今年12岁，小明的妈妈今年36岁．几年后小明的年龄是他妈妈年龄的23？ 【难度】★ 【答案】36．【解析】解：设x 年后小明年龄是他妈妈年龄的32， 由题意得：()x x +=+363212 解得：36=x所以36年后小明年龄是他妈妈年龄的32． 【总结】本题考查了利用列方程解决实际问题．解答题【练习33】先化简，后求值：2112111x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，其中12x =． 【难度】★【答案】47-．【解析】()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+11111111121-1111222x x x x x x x x x x x x x x x x ()()()()()21111222--+⋅+-=x x x x x x x 222-=x x ． 当21=x 时，原式212427122⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了分式的化简求值问题，注意要先化简后求值．【练习34】计算：211x x x ---．【难度】★【答案】11-x ．【解析】()()111111122-=-----=---x x x x x x x x x ． 【总结】本题考查了分式的加减运算，要注意先通分再计算．【练习35】解方程： （1）2215124x x x --=+-；（2）22122563x x xx x x x --=--+-． 【难度】★【答案】（1）47-=x ；（2）1=x ．【解析】解：（1）分式两边同乘24x -，得()415222-=--x x ，化简得：47x -=，解得：47-=x ．经检验：47-=x 是原分式方程的解，所以47-=x 是原分式方程的解；（2）方程两边同乘(2)(3)x x --，得：()()()22132-=---x x x x x 解得：1=x ，经检验：1=x 是原分式方程的解， 所以原分式方程的解是1=x ．【总结】本题考查了分式方程的解法步骤，注意要检验根．【练习36】已知31x y xy +==-，，（1）求22x y +的值；（2）求2()x y -的值． 【难度】★★【答案】（1）11；（2）13．【解析】（1）()()1112322222=-⨯-=-+=+xy y x y x ； （2）()()()131434222=-⨯-=-+=-xy y x y x ．【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．【练习37】计算：()()1112a a b a b b a ----+-． 【难度】★★【答案】aba +【解析】()()()()ab a b a a b a a b a b b a a a b b a b a a +=--=-+-=-+----2221211． 【总结】本题考查了负指数幂及分式的加减运算．【练习38】已知n 为自然数，且23nx =，求()4233143n n x x ⎛⎫⎡⎤-÷ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值． 【难度】★★【答案】121．【解析】Θ32=nx， ∴()()42333126231111144338132432412n n n n n x x x x x ⎛⎫⎡⎤-÷=÷==⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 【总结】本题考查了幂的乘方及积的乘方法则的综合运用．【练习39】已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >． 求下列各式的值：①m n a +；②32m n a -． 【难度】★★ 【答案】①a 3；②274． 【解析】解：①2326m n m a a a +=⋅=⨯=；②()()32323227324m n m n a a a -=÷=÷=． 【总结】本题考查了同底数幂运算法则的运用．【练习40】比较554433345---，，的大小． 【难度】★★【答案】335544-534--<<．【解析】解：()11115115-55-24313133⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==；()11114114-44-25614144⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==； ()11113113-33-12515155⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==；111111125124312561⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ； 335544-534--<<∴．【总结】本题考查了负整数指数幂的大小比较．【练习41】已知：()13200a a -+=≠，把11222a a a --÷-化简后求值． 【难度】★★ 【答案】23-．【解析】解：()aa a a a a a a a a 1222212122121=--=-⋅--=-÷--， 由已知得：123a -=-，即321-=a ；则原式321-==a ．【总结】本题考查了分式的运算及代数求值．【练习42】已知两个分式：A =244x -，B =1122x x++-，其中2x ≠且2x ≠-．下面有三个 结论：①A =B ；②A 、B 互为倒数；③A 、B 互为相反数．请问哪个结论正确？ 为什么？ 【难度】★★ 【答案】③． 【解析】解：()()224442-+=-=x x x A Θ，()()22421212121-+-=--+=-++=x x x x x x B ； 0=+∴B A ，即A 、B 互为相反数． 【总结】本题考查了分式的化简及运算．【练习43】已知412x y xy +=-=-，，求1111y x x y +++++的值． 【难度】★★【答案】1534-【解析】解：原式()()()()()1212111112222++++++++=+++++=y x xy y y x x x y y x()()()12222++++++-+=y x xy y x xy y x ，当412x y xy +=-=-，时，原式24248234124115+-+==---+．【总结】本题考查了分式的混合运算及整体代入求值的思想运用．【练习44】已知115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】解：原式()()xyy x xy y x 232++-+=，511=+y x Θ，5=+∴xyyx ，即xy y x 5=+， ∴原式1777310==-=xyxyxy xy xy ．【总结】本题考查了分式化简运算及代入求值的思想运用．【练习45】某班部分同学同学准备新年期间去博物馆参观，按原预定人数估计，共需费用300元，后因人数增加到原来的2倍，可享受优惠，只需480元，而参加的每位同学所分摊的费用比原来估计所需费用少4元，原来预定人数是多少？ 【难度】★★ 【答案】15人．【解析】解：设原来预定人数为x 人，则48043002=⎪⎭⎫⎝⎛-x x ，解得：15=x ．经检验：15=x 为原分式方程的解． 所以原来预定人数为15人．【总结】本题考查了列分式方程解应用题，注意要进行检验．【练习46】已知230x y z -+=，3260x y z --=，0xyz ≠，求2222222x y z x y z +++-的值．【难度】★★【答案】2013．【解析】将z 看作已知数，求出x 和y ，代入原式计算， 由23032600x y z x y z xyz -+=--=≠，，得到， ⎩⎨⎧=--=-z y x z y x 62332，解得：⎩⎨⎧==z y z x 34，则原式2013932916222222=-+++=zz z z z z ． 【总结】本题考查了分式方程的化简求值．【练习47】（1）如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗？（2）先将方格纸中的图形向右平移3格，然后再向下平移2格．【难度】★★ 【答案】 【解析】（1）所以点O 为所求． （2）【总结】本题考查了中心对称及图形的平移．【练习48】画出三角形ABC 关于直线MN 的轴对称的三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】如图111CB A 为所求．【总结】本题考查了成轴对称图形的画法．【练习49】图B C D 、、是用两个如图A 所示的直角三角形拼得的新图形，其中是中心对称 图形的是______________；是轴对称的图形是______________．（A ） （B ） （C ） （D ） 【难度】★★ 【答案】D ；C ．【解析】中心对称图形是指把一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合；轴对称图形是 在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【总结】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念．【练习50】分解因式：()()()11224x x x x -++-． 【难度】★★★【答案】()()()3242+-++x x x x【解析】()()()()()()2421124211-+-+=-++-x x x x x x x x ()()24222--++=x x x x ()()242222-+-+=x x x x ()()2246x x x x =+++- ()()()2423x x x x =++-+【总结】本题考查了因式分解的整体换元思想，注意分解要彻底．【练习51】已知多项式22642050x x y y -+-+，求此多项式取最小值时x y 、的值，并求出 此最小值． 【难度】★★★ 【答案】532x y ==，；此时最小值为16． 【解析】Θ1625204965020462222++-++-=+-+-y y x x y y x x()()1652322+-+-=y x ，且 ()()2230250x y -≥-≥，，∴()()161652322≥+-+-y x ，原多项式的最小值为16，此时532x y ==，． 【总结】本题考查了完全平方公式的运用，注意配方思想的运用．【练习52】解方程：232133648x x -+-+-=． 【难度】★★★【答案】23-=x ．【解析】解：648331232-=-+-+x x ，即()648133212-=-+x ，所以412-3813==+x ，所以214x -+= ，解得：23-=x ．【总结】本题考查了同底数幂的运用．【练习53】已知1998a b c +=+=+，求代数式222()()()b a c b c a -+-+-的值． 【难度】★★★ 【答案】222．【解析】解：由8919+=+=+c b a ，得：10111b a c b c a -=-=-=，，， 所以原式22211110222=++=．【总结】本题考查了等式的变形及整体代入求值的运用．【练习54】试判断22221111(1)(1)(1)(1)234n ----L L 的值与12的大小关系，并证明你的结论． 【难度】★★★【答案】见解析． 【解析】解：222211111111 (12342)n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111********* (112233442)n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2111......454334322321-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n 2121-+=n n 021212121>=-+=nn ； 所以222211111111 (12342)n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----> ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题考查了作差法比较大小及平方差公式的运用．【练习55】阅读下列材料：（1）用作差可以比较两数的大小，即：若0A B ->，则A B >；（2）平方式具有非负性，即()20a b ±≥． 请根据材料信息，比较2231A a b a =+++，225912B a b a =+-+的大小． 【难度】★★★【答案】B A <．【解析】解：Θ()()1295132222+-+-+++=-a b a a b a B A111242-+-=a a ()2322---=a ；∵()0322≥-a ， ()0322≤--∴a ，即()223220a ---≤-<； 0<-∴B A ，即B A <．【总结】本题考查了利用作差法比较两数的大小以及配完全平方的运用．【练习56】如图，将六个正方形无缝拼接在一起构成一个长方形，其中最小的一个正方形边 长为1，求拼成的长方形面积．【难度】★★★【答案】143．【解析】解：设右下角两个相等的小正方形边长为x ．由题意得：3212+++=++x x x x解得：4=x即长方形长为13，宽为11，所以面积为1431113=⨯．【总结】 本题考查了字母表示数的应用．【练习57】用四块如图1所示正方形瓷砖拼成一个新的正方形,请你在图2、图3、图4中各画一种拼法．要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．【难度】★★【答案】见解析【解析】【总结】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的性质．图4 图3 图2 图1B Aa【练习58】如图，在a 上找到M 、N 两点，且10MN =，M 在N 的左边，使四边形ABMN的周长最短．【难度】★★★【答案】见解析【解析】过点A 作关于直线a 的对称点A '，过点B 作 a BD 直线//，使得10=BD ，连接D A '交直线a 于N 在直线a 上截取10=NM，则四边形ABMN 的周长最短．【总结】本题考查了点的对称及两点之间线段最短的应用．。
(word完整版)初一数学培训班讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初一数学期末复习知识点
初一数学期末复习知识点一1. 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆;②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则;③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式;④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2.单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同;②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号;③在混合运算时，要注意运算顺序。
3.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积;②多项式相乘的结果应注意合并同类项;③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
二合并同类项就是逆用乘法分配律把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项combining like terms。
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
如2ab与-3ab，㎡n与㎡n都是同类项。
特别地，所有的常数项也都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并或合并同类项。
同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
初中七年级下册数学讲义第19讲-期末备考复习(一)X48L888Z242J
学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题第19讲——期末备考复习（一）学习目标巩固复习本学期的知识，针对重点知识点进行查缺补漏．教学内容1．在直角坐标平面内，已知点A（0，5）和点B（–2，–4），BC= 4，且BC//x轴．（1）在图中画点C的位置，并写出点C的坐标；（2）联结AB、AC、BC，判断△ABC的形状，并求出它的面积．知识一、等腰三角形【知识梳理1】1.等腰三角形的性质有哪些？2.等腰三角形的判定定理及推论？x yO图形 等腰三角形（腰与底边不等） 等边三角形 定义 特 征关系【例题精讲】 例1：（1）已知ABC ∆中，AB ＝AC ，AD BC ⊥于D ，ABC ∆的周长为32cm ，ADC ∆的周长为24cm ，那么底边BC 上的中线为_____________cm .（2）已知：如图，在△ABC 中，ACD ∠是△ABC 的外角，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，如果2A m ︒∠=，那么∠A ＝_________°（用含m 的代数式表示）.（3）如上右图，已知AB //CD ，︒=∠︒=∠12021001，，则∠=α_____________.（4）已知长方形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，并且AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（－2，4），则点C 的坐标为__________________________．（5）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9【试一试】如图，已知△ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上各取一点D 、E ，使AD =CE ，AE ，BD 相交于O .求∠BOE 的度数.第2题图DA 2A 1CBA知识二、平面直角坐标系【知识梳理2】各个象限内点的特征：第一象限：（＋，＋）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0； 第二象限：（－，＋）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＞0； 第三象限：（－，－）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＜0； 第四象限：（＋，－）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＜0；在x 轴上：（x ，0）点P （x ，y ），则y ＝0； 在x 轴的正半轴：（＋，0）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＝0； 在x 轴的负半轴：（－，0）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＝0；在y 轴上：（0，y ）点P （x ，y ），则x ＝0； 在y 轴的正半轴：（0，＋）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＞0； 在y 轴的负半轴：（0，－）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＜0；坐标原点：（0，0）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＝0； 【例题精讲】例2：如图，在直角坐标平面内，已知点A 的坐标（－5，0）． （1）图中B 点的坐标是 ；（2）点B 关于原点对称的点C 的坐标是 ； 点A 关于y 轴对称的点D 的坐标是 ； （3）△ABC 的面积是 ；（4）在直角坐标平面上找一点E ，能满足ADE S ∆＝ABC S ∆的点E 有 个； （5）在y 轴上找一点F ，使ADF S ∆＝ABC S ∆，那么点F 的所有可能位置是 （用坐标表示，并在图中画出）．【试一试】点A 的坐标是)2,2(--，点C 的坐标)1,2(-，将点A 向右平移3个单位得到点B . （1）求A 、C 两点的距离．（2）请在如图所示的直角坐标平面内，标出点B 的位置，并写出点B 的坐标． （3）判断ABC ∆的形状．（4）若保持点C 、点B 的位置不变，允许点A 的坐标发生变化，在如图所示的直角坐标平面内，你是否还能够找到其他的点A ，使ABC ∆具备题（3）所判断出的形状，直接写出点A 的坐标（找到2个点，即可获得满分）．例3：例题2.如图，已知AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ．65 4 3 21O 1 -62 3 4 5 6xy-5 -4 -3 -2-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 A C ••（1） 找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； （2） 如果BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，BD AC 54，求CFBE的值．例4：如图，已知等边△ABC 和等边△CDE ，P 、Q 分别是AD 、BE 的中点。
著名机构七年级数学暑假班讲义19-整式单元复习-课后作业-教师版
【作业1】代数式22()a b -表示（）． A ．a 的2倍与b 平方的差B ．a 与b 平方的差的2倍C ．a 与b 平方的2倍的差D ．a 与b 的平方差的2倍 【答案】B【作业2】若x 表示一个三位数，y 也表示一个三位数，小王想用x y 、来组成一个六位数且 把x 放在y 的左边，你认为下列表达式中（ ）是正确的．A ．xyB ．x y +C ．1000x y +D ．1000y x +【答案】C 【作业3】在下列式子中，属于代数式的是（）． ①23x -；②3-；③1x y +；④2c r π=；⑤1x x+；⑥21x = A ．①②③④B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．③④⑤⑥【答案】C 【作业4】对于代数式①12abc ，②322x xy y -+，③1m ，④52-，⑤34x y -，其中判断正确 的是（ ）．A ．①、⑤是整式B ．①、③是三项式C ．②是二次三项式D ．②、④、⑤是一次式【答案】A【作业5】计算()()()()421111x x x x +++-的结果是（ ）．A ．81x +B ．41x +C ．()81x +D ．81x -【答案】D【作业6】若代数式743x a b +与代数式42y a b -是同类项，则y x 的值是（ ）．整式单元复习A ．9B ．9-C ．4D ．4-【答案】A 【作业7】计算()2003200420022 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ）．A ．23B ．32C ．23-D ．32- 【答案】A【作业8】如果()p m n -与()p n m -相等，那么p 应为（）． A ．奇数B ．偶数C ．整数D ．有理数【答案】B 【作业9】当_____a =时，252(1)a -+的值最大？【答案】-1【作业10】当_____m =时，多项式12223434m x y x y --+-是四次多项式． 【答案】8【作业11】把多项式322253x y x y xy --+按字母x 升幂排列___________________．【答案】222335y xy x y x -+-+．【作业12】已知3x y -=，则()4335________x y x y --++=．【答案】8【作业13】一张长、宽分别为a 厘米、b 厘米的长方形硬纸片，四个角剪去边长均为x 厘米的小正方形，折成一个无盖的盒子．这个盒子的底面面积是_________平方厘米；当 40a =，30b =，4x =时，盒子的底面面积是___________平方厘米．【答案】()()22704a x b x --；． 【作业14】由若干盆花组成的三角形图案，每条边（包括顶点）有n （n 为大于1的整数） 盆花，每个三角形图案花盆总数为S ，则用含n 的式子表示S 为__________．【答案】33S n =-．【作业15】一项工程甲独做需m 天完成，乙独做需n 天完成，甲、乙合作一天完成工程的 ________；若甲、乙两人合作需_______天完成．【答案】11mn m n m n++；． 【作业16】如果234a b c ==，则代数式2________3a b c a b c +-=-+． 【答案】47． 【作业17】观察下列单项式：0，23x ，38x ，415x ，524x ，···，按此规律写出第13个单项 式是___________．【答案】13168x ．【作业18】计算：（1）2()()_______b b b ---=； （2）()()232_______a a a -⋅-⋅-=； （3）()()221_______n n a b b a +-⋅-=．【答案】（1）4b ；（2）7a ；（3）()41n b a +-．【作业19】n 为正整数，且22n x =，计算()()222234______n n x x -=．【答案】20【作业20】已知52m =，257n =，则325______m n +=．【答案】56。
著名机构七年级数学秋季班讲义分式复习(学生)
分式专题复习课时目标1. 理解分式的相关概念，掌握分式有意义和值为零的条件;2. 能熟练地进行分式的四则运算；3. 会解分式方程，能根据分式方程的根求字母系数的值；4. 能运用分式方程解决一些实际问题.知识精要1、分式定义：形如AB（A 、B 都是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式，整式和分式统称有理式.2、分式有意义的条件：分母0≠时，分式有意义.分母= 0时，分式无意义.3、分式的值为0的条件：00=≠，分子分母.4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以一个不为零的整式，分式的值不变.这一性质用式子表示为：B A =M B M A ⨯⨯，B A =MB M A ÷÷(M ≠0). 5、分式、分子、分母的符号，任意改变其中两个的符号，分式的值不变. 6、分式四则运算（1）分式加减：关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算． ★找公因式的具体方法是：①当分子、分母都是单项式时，先找出分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂.②当分子、分母是多项式时，先对分子、分母进行因式分解，把分子、分母分别转为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式.（2）分式乘除：先把除法转化为乘法，分子分母是多项式的要先因式分解，然后约去公因式，再运用乘法法则进行计算. 用式子表示为：b d bda c ac•=.（3）分式的混合运算：注意运算顺序及符号的变化，分式混合运算的顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先算括号内的．同级运算按从左到右的顺序. 7、分式方程（1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母． （2）解分式方程的步骤： ①化分式方程为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根，通过检验去掉增根. （3）解分式方程要注意：①去分母时，等式两边的每一项都要同乘以最简公分母，不要漏乘整数项；②分式方程必须要验根，看方程的根是否令最简公分母为零，对实际问题还要注意是 否有实际意义.（4）解有关应用题的步骤：审、设、列、解、验、答.精讲名题例1 有理式（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x - （5）11－x （6）π1中，属于整式的有： ；属于分式的有： .例2 （1）当x 时，分式11－x x +有意义． （2）当x 时，分式11－x x +无意义．（3）当x 时，分式112－x x -值为0．例3 下列变形正确的是（ ）A 、a b a b c c -++=- B 、a ab c b c -=--- C 、a b a b a b a b -++=--- D 、a b a ba b a b--+=-+-例4 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍，那么分式的值一定 ( ) A 、扩大3倍 B.、扩大9倍C 、扩大6倍D 、.不变例5 约分：（1）4322016xy y x -＝ ；（2）44422+--x x x ＝ . 例6 计算：（1）()212242-⨯-÷+-a a a a （2）222---x x x（3）x x x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+．例7 解方程32421132+-=---x x x x例8 （1）如果分式方程：13743x x x-+=--有增根，则增根是 ． （2）方程2111+-=-x x m 如果有增根，那么m 的值是 ．例9 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？例10 负指数幂的计算3－2＝ ； =⎪⎭⎫ ⎝⎛-221 ； 101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛= ．例11 用科学记数法表示：（1）0.00013= ； （2）－0.111026= ； （3）2014000= ．巩固练习一、填空题1.在代数式132x +，x x ，1()2m n +，33a +，11x -，x y x -中，分式的个数有 个.2.若代数式31-x 在实数范围内无意义，则x .3.使分式13x x -+有意义的x 的取值范围是 .4.当x = 时，分式2233x x x ---的值为零．5.若分式 ，则2005a= ．6．若 与 互为倒数，则x = ．7.已知当x =－2时，分式a x bx -+无意义；x =4时，分式值为0．则a +b = ． 8.若去分母解方程777x x x-=++时，出现增根，则增根为 . 45x x --424x x --2102aa a -=+-9.若关于x 的分式方程2344mx x=+--有增根，则m 的值为 . 二、选择题1. 下列分式运算，结果正确的是( )A 、 n m m n n m =⋅3454B 、 bc add c b a =⋅C 、 22224)2(b a a b a a -=- D 、 33343)43(yx y x = 2.要使分式22222)(y x ayax y a x a y x ++⋅--的值等于5，则a 的值是( ) A 、5 B 、5- C 、 51 D 、51- 3.分式325x yxy-中的字母x ，y 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、扩大为原来的4倍 C 、扩大为原来的8倍 D 、缩小为原来的144.若分式x -51与x322-的值互为相反数，则x =（ ） A 、－2.4 B 、125C 、－8D 、2.45.下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A 、122122x yx y x y x y --=++ B 、0.220.22a b a b a b a b ++=++ C 、11x x x y x y +--=-- D 、a b a ba b a b+-=-+ 6.已知两个分式：244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，则A 与B （ ） A 、相等 B 、互为倒数 C 、互为相反数 D 、A 大于B 三、计算 1.计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--ab b a b a b a 22222 （2）()2211n m m n m n -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+（3）2222a b a b ab --÷（1+222a b ab +） （4）2222222323b a aba b ab a b a b a ab --÷+++-4.先化简再求值：（1）22293x x x x --÷--，其中2x = （2）22111x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中x =（3）222222x xy y x xy x y x y +++÷--．其中1x =，2005y =5.计算：（1）(3103124π--⎛⎫⎛⎫-⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）2200820102009⨯-（3）x x x x x x 13632+-+-- （4）224()()2a b ab b a ⎛⎫-⋅-÷- ⎪⎝⎭6.解下列分式方程： （1）x x 522=- （2）114112=---+x x x（3）11322x x x -=--- （4）26143x x x x -=--四、应用题1. 胜利大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成．如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙独自去做，恰好在规定日期内完成，求甲队独做需要几天？2. 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的速度.。
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本学期一共学习了三章内容，分别是整式、分式、图形的运动．通过本讲内容，对本学期所学内容进行全面复习．期末复习（一）内容分析知识结构2 / 16【练习1】下列各式中，与32x y -是同类项的是（）．A ．33xyB ．312yxC ．3a b -D ．32x yz【难度】★ 【答案】 【解析】【练习2】如果分式212x x +-有意义，那么x 应满足的条件是（ ）．A ．12x ≠-B ．2x ≠C ．122x x ≠-≠且D ．122x x >≠且【难度】★ 【答案】 【解析】【练习3】若()222(2)a b a b x -=+-，则x 等于（）．A ．2abB ．4abC ．8abD ．8ab -【难度】★ 【答案】 【解析】【练习4】下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（）．A B CD【难度】★ 【答案】 【解析】选择题【练习5】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）．A ．253(5)3x x x x -+=-+B ．()()225310x x x x -+=+-C ．()22234129x x x +=++D ．243(1)(3)x x x x -+=--【难度】★ 【答案】 【解析】【练习6】()()3243a a -÷的计算结果是（）A ．2aB ．6aC ．6a -D ．2a -【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习7】下列格式中，等式成立的是（ ）．A ．x y y xy x x y --=-- B ．22x y y x y x y x --=-- C ．x y x yy x y x---=-++ D ．x y x yy x y x--+=--【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习8】如果将分式22x y x y-+中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）．A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的9倍C ．缩小到原来的13D ．不变【难度】★★ 【答案 【解析】4 / 16【练习9】小敏和小明练习打字，小敏比小明每分钟多打25个字，完成1000字文稿小敏比小明少用2分钟，设小明每分钟打x 个字，则可列方程（ ）．A ．10001000225x x -=+ B ．10001000225x x-=+ C ．10001000225x x -=- D ．10001000225x x -=-【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习10】二次三项式25166m m -+分解因式的结果如下：①1()(1)6m m --；②11()()23m m --；③11(21)()23m m --；④1(21)(31)6m m --．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习11】如果41()m x y --能被25()m x y +-整除，则m 可取（ ）A ．1、2、3B ．任何整数C ．不小于3的整数D ．大于3的整数 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习12】若x y 、为实数，则使分式2221x x y -+有意义的是（）．A ．x y =B ．x y 、不同时为零C ．x y ≠D ．x y =但x y 、均不为0【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习13】如图，一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板（其中5BA cm =），在桌面上作无滑 动的顺时针方向的翻滚，木板上的点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时 被桌面上一小木块挡住，使木板和桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时共走过路径 长为（ ）．A ．10cmB ．4cmC ．72cm πD ．52cm π【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习14】将232322x x y xy y -+-按字母x 降价幂排列_______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习15】实验证明：钢轨温度每变化1C ︒，每一米钢轨就伸缩0.0000118米，如果一个月中气温上下相差10C ︒，那么对于100米长的铁路， 最长可伸长_______________米．（用 科学记数法表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】A 2A 1BA填空题6 / 16【练习16】在线段、角、正三角形、长方形、正方形、等腰梯形和圆中，共有 个为旋转对称图形． 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习17】当x =___________时，方程22969x x x --+的值为零．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习18】计算：222222223242a ab b a b a ab b a b ab -+-÷=-+-_______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习19】当m =________时，方程111x mx x +=--会产生增根． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习20】因式分解：（1）244m n mn m +--=_______________； （2）214733x x --=________________； （3）222222()4a b c b c ---=________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】FEDC BAP ‘PCBA【练习21】如图，4个大小一样的正三角形拼在一起，将DEF ∆绕着点F 旋转与ABF ∆重合，那么最小旋转角度为_________．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习22】如图，P 是正三角形ABC 内的一点，将三角形ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与三角形'CBP 重合，则'_______PBP ∠=．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习23】若14a b b c -=+=-，，则代数式2ac bc ab a --+的值是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习24】小杰从镜子中看到电子钟的示数是 ，那么此时实际时间是____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习25】若关于m 的方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】8 / 16【练习26】如果关于x 的多项式214x k ++是完全平方式，那么_______k =． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习27】若6556x y ==，，则用x y 、的代数式来表示3030＝________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习28】已知117131521⨯=，则3211713152013_______⨯-⨯=． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习29】下图是某同学在沙滩上涌石子摆成的“小房子”观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了__________块石子．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习30】化简：()()23225x x y -⋅．【难度】★ 【答案】 【解析】【练习31】因式分解：229446x y y x ---． 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习32】小明今年12岁，小明的妈妈今年36岁．几年后小明的年龄是他妈妈年龄的23？ 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习33】先化简，后求值：2112111x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，其中12x =． 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习34】计算：211x x x ---．【难度】★ 【答案】 【解析】解答题10 / 16【练习35】解方程：（1）2215124x x x --=+-；（2）22122563x x xx x x x --=--+-． 【难度】★ 【答案】 【解析】【练习36】已知31x y xy +==-，，（1）求22x y +的值；（2）求2()x y -的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习37】计算：()()1112a a b a b b a ----+-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习38】已知n 为自然数，且23nx =，求()4233143n n x x ⎛⎫⎡⎤-÷ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习39】已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >． 求下列各式的值：①m n a +；②32m n a -． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习40】比较554433345---，，的大小． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习41】已知：()13200a a -+=≠，把11222a a a --÷-化简后求值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习42】已知两个分式：A =244x -，B =1122x x++-，其中2x ≠且2x ≠-．下面有三个 结论：①A =B ；②A 、B 互为倒数；③A 、B 互为相反数．请问哪个结论正确？ 为什么？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习43】已知412x y xy +=-=-，，求1111y x x y +++++的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习44】已知115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】12 / 16【练习45】某班部分同学同学准备新年期间去博物馆参观，按原预定人数估计，共需费用300元，后因人数增加到原来的2倍，可享受优惠，只需480元，而参加的每位同学所分摊的费用比原来估计所需费用少4元，原来预定人数是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习46】已知230x y z -+=，3260x y z --=，0xyz ≠，求2222222x y z x y z +++-的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习47】（1）如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗？（2）先将方格纸中的图形向右平移3格，然后再向下平移2格．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABC MN【练习48】画出三角形ABC关于直线MN的轴对称的三角形．【难度】★★【答案】【解析】【练习49】图B C D、、是用两个如图A所示的直角三角形拼得的新图形，其中是中心对称图形的是______________；是轴对称的图形是______________．（A）（B）（C）（D）【难度】★★【答案】【解析】14 / 16【练习50】分解因式：()()()11224x x x x -++-． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习51】已知多项式22642050x x y y -+-+，求此多项式取最小值时x y 、的值，并求出 此最小值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习52】解方程：232133648x x -+-+-=． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习53】已知1998a b c +=+=+，求代数式222()()()b a c b c a -+-+-的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习54】试判断22221111(1)(1)(1)(1)234n ----的值与12的大小关系，并证明你的结论． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习55】阅读下列材料： （1）用作差可以比较两数的大小，即：若0A B ->，则A B >； （2）平方式具有非负性，即()20a b ±≥．请根据材料信息，比较2231A a b a =+++，225912B a b a =+-+的大小．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习56】如图，将六个正方形无缝拼接在一起构成一个长方形，其中最小的一个正方形边 长为1，求拼成的长方形面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习57】用四块如图1所示正方形瓷砖拼成一个新的正方形,请你在图2、图3、图4中各画一种拼法．要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴 对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．【难度】★★ 【答案】 【解析】图4图3图2图116/ 16BAa【练习58】如图，在a上找到M、N两点，且10MN ，M在N的左边，使四边形ABMN 的周长最短．【难度】★★★【答案】【解析】。