2015-2017年高考文科数学试题汇编--导数与极值最值

1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D

考点：函数导数与极值.

【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，

但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，

2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π

∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的

（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】B

当1k <时，s i n c o s s i n 22

k k x x x =，构造函数()sin 22

k

f x x x =

-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，

故()()022

f x f ππ

<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1

sin 22

x x <，构造

函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π

∈递增，故

()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2

x π

∈，

sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．

【考点定位】导数的应用．

【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，

属于难题．

3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．

A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 答案：C

详细分析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意；

当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，

令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22

x a

=

， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2

x a

=

处取得极小值2241f a a ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，

要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫

> ⎪⎝⎭

，但这时零点x 0一定小于0，不合题

意；

当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，

令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22

x a

=，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2

x a

=

处取得极小值2241f a a ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，

要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫

=-> ⎪⎝⎭

，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，

且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．

名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，

较难题. 注意区别函数的零点与极值点.

4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A ．[5,3]--

B ．9

[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--

【答案】C

2'

44

89(x 9)(x 1)

()0x x f x x x

-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记23

43()x x x

f x x

--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，

故min ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--． 【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．

【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.

本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.

5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()

f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;

（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7

2

-，求的取值范围.

【答案】（1）3a >（2）见解+析（3）36a <≤