2015-2017年高考文科数学试题汇编--导数与极值最值
2015最新高考文科数学真题专题分类汇编03导数
（ 2）已知函数 f ( x) 在 [ - 1,1] 上存在零点， 0 b 2a 1 ，求 b 的取值范围 .
17.【 2015 高考重庆，文 19】已知函数 f (x)
ax3
x2 （ a
R ）在 x=
4
处取得极值 .
3
(Ⅰ ) 确定 a 的值，
(Ⅱ ) 若 g( x) f (x)ex ，讨论的单调性 .
（ I ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；
（ II ）证明：当 a 0 时 f x
2 2a a ln .
a
16.【 2015 高考浙江，文 20】（本题满分 15 分）设函数 f (x) x2 ax b,( a, b R) .
（ 1）当 b = a2 +1时，求函数 f ( x) 在 [ - 1,1] 上的最小值 g(a) 的表达式； 4
（ I ）求 f x 的单调区间和极值；
（ II ） 证明：若 f x 存 在零点，则 f x 在区间 1, e 上仅有一个零点．
( x 1)2
9.【 2015 高考福建，文 22】已知函数 f ( x) ln x
．
2
(Ⅰ ) 求函数 f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当 x 1 时， f x x 1；
则a
.
5.【2015 高考天津，文 11】已知函数 f x axln x, x 0,
,其中 a 为实数 , f x 为 f x 的导函数 ,
若 f 1 3 ,则 a 的值为
．
6. 【 2015 高考陕西，文 15】函数 y xex 在其极值点处的切线方程为 ____________.
ax
7.【 2015 高考安徽，文 21】已知函数 f ( x)
专题15：导数中的单调性及极值最值问题高考真题(文科)(解析版)
专题15：导数中的单调性及极值最值问题高考真题（文科）（解析版）1．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性.二、解答题2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【答案】（1）1c ≥-；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间 【分析】（1）不等式()2f x x c ≤+转化为()20f x x c --≤，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()'g x 的分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()'g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x-'=-=，试卷第2页，总9页当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减， 当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增， 所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--， 要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立， 只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-； （2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，所以()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，所以()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间. 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.3．（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】(1) a =212e；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g （x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1exx --，则()e 1'e x g x x =-． 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）34[2,1]e - 【解析】试卷第4页，总9页试题分析：（1）先求函数导数()()()2xxf x e a e a =+-'，再按导函数零点讨论：若0a =，无零点，单调；若0a >，一个零点ln x a =，先减后增；若0a <，一个零点ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若0a =，满足；若0a >，最小值为()2ln ln 0f a a a =-≥，即1a ≤；若0a <，最小值为23ln ln ?0242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-，综合可得a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()2222x x x x f x e ae a e a e a =--=+-'，①若0a =，则()2xf x e =，在(),-∞+∞单调递增.②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增.③若0a <，则由()0f x '=得ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增.（2）①若0a =，则()2xf x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()2ln ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥. ③若0a <，则由（1）得，当ln 2a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，最小值为23ln ln 242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.5．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 设函数2()(1)xf x x e =-. （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）函数()f x 在(,1)-∞-和1,+)∞上单调递减，在(1)上单调递增.（II ）[1,)+∞. 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()()()11e 11xf x x x x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取()()()2000001,11112x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0x =，()()()20000111f x x x ax >-+>+. 试题解析： 解（1）f ’(x )=(1-2x -x 2)e x令f’(x )=0得x ，x当x ∈（-∞，）时，f’(x )<0；当x ∈（，）时，f’(x )>0；当x ∈（f’(x )<0所以f (x )在（-∞，），（，+∞）单调递减，在（，）单调递增(2) f (x )=(1+x )（1-x ）e x试卷第6页，总9页当a ≥1时，设函数h (x )=（1-x ）e x ，h ’(x )= -xe x＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1， 故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x -x -1，g ’（x ）=e x -1＞0（x ＞0），所以g （x ）在在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x≥x +1当0＜x ＜1，()()()211f x x x =-+，()()()221111x x ax x a x x-+--=---，取0x =则()()()()20000000,1,110,1x x x ax f x ax ∈-+-=〉+故 当()()00000011211a x f x x x ax ≤=〉-+=〉+时，取（） 综上，a 的取值范围[1，+∞）点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.6．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1(,)2a -+∞单调递减.（2）证明3()24f x a≤--，即证max3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a =-，所以需证11ln()1022a a-++≤，设g（x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 试题解析：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=.若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当x ∈’)(0f x ＞时，’)(0f x ＞；当x ∈1()2a∞-+，时，’)(0f x <.故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---.所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’1(1)g x x=-.当x ∈（0,1）时，()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时，()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a-++≤，即3()24f x a≤--. 【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.7．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.【答案】(1) 0a ≤时 ()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；0a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）()0,1. 【详解】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当试卷第8页，总9页0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1. 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.8．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) 8[,2)27. 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论a 的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得M m -的取值范围. 【详解】(1)对32()22f x x ax =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若02a <≤，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f .而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .所以332(1)()(4)[2()()2]233327a a a a M m f f a a a -=-=---+=-+，设函数3()227x g x x =-+，求导2'()19x g x =-当02x <≤时)'(0g x <从而()g x 单调递减.而02a <≤，所以38222727a a ≤-+<.即M m -的取值范围是8[,2)27.若23a <<，()f x 在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .所以332(0)()2[2()()2]33327a a a a M m f f a -=-=--+=，而23a <<，所以3812727a <<.即M m -的取值范围是8(,1)27.综上得M m -的取值范围是8[,2)27. 【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.。
近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用一、选择题（在每小题给出的四个选项中¸只有一项是符合题目要求的）1（2017北京文）已知函数1()3()3x xf x =-¸则()f x （ ）.A 是偶函数¸且在R 上是增函数 .B 是奇函数¸且在R 上是增函数 .C 是偶函数¸且在R 上是减函数 .D 是奇函数¸且在R 上是增函数2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ）.A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1,)+∞ .D (4,)+∞З.（2017山东文）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）2.A 4.B 6.C 8.D4.（2017山东文）若函数()e xf x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（ ）x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-¸则（ ）.A )(x f y =在)2,0(单调递增.B )(x f y =在)2,0(单调递减.C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==¸则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b<<8.（2017天津文）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） .A [2,2]- .B [- .C [- .D [-9.（2017新课标Ⅲ文数）函数2sin 1xxx y ++=的部分图像大致为（ ）.A .B .C .D10.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a （ ） 21.-A.B 13.C 121.D11.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a（ ）21.-A31.B 21.C1.D 12.（2017新课标Ⅰ理数）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减¸且为奇函数．若(11)f =-¸则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A [2,2]-.B [1,1]-.C [0,4] .D [1,3]1З.（2017新课标Ⅱ理）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点¸则()f x 的极小值为（ ） 1.-A.B 32e --.C 35e -1.D14.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数¸()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-¸0.8(2)b g =¸(3)c g =¸则c b a ,,的大小关系为（ ）.A a b c << .B c b a << .C b a c <<.D b c a <<15.（2017天津理）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） ]2,1647.[-A ]1639,1647.[-B ]2,32.[-C ]1639,32.[-D1б.（2017山东理）已知当[]0,1x ∈时¸函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点¸则正实数m 的取值范围是（ ）.A (])0,1⎡+∞⎣ .B (][)0,13,+∞.C ()⎡+∞⎣ .D ([)3,+∞17.（2017浙江）若函数b ax x x f ++=2)(在区间]1,0[上的最大值是M ¸最小值是m ¸则m M - （ ）.A 与a 有关¸且与b 有关.B 与a 有关¸但与b 无关.C 与a 无关¸且与b 无关.D 与a 无关¸但与b 有关18.（2017浙江）函数)(x f y =的导函数()y f x '=的图象如图所示¸ 则函数)(x f y =的图象可能是（ ）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）19.（2017山东文）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()4(-=+x f x f .若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则=)919(f .20.（2017天津文）已知a ∈R ¸设函数()ln f x ax x =-的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ¸则l 在y 轴上的截距为 .21.（2017新课标Ⅱ文）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数¸当(,0)x ∈-∞时¸32()2f x x x =+¸则(2)f = .22.（2017新课标Ⅲ文数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.2З.（2017新课标Ⅰ文数）曲线21y x x=+在点)2,1(处的切线方程为_______.24.（2017新课标Ⅲ理数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_____________.25.（2017山东理）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增¸则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+2б.（2017江苏）已知函数31()2e ex x f x x x =-+-．若2(1)(2)0f a f a -+≤¸则实数a 的取值范围是 ．27.（2017江苏）．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数¸在区间[0,1)上¸2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==¸*}n ∈N ¸则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 28.（2017北京文）已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29.（2017新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时¸()1f x ax ≤+¸求a 的取值范围.З0.（2017天津文））设,a b ∈R ¸||1a ≤.已知32()63(4)f x x x a a x b =---+¸()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点),(00y x 处有相同的切线¸ （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立¸求b 的取值范围.З1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数.)12(ln )(2x a ax x x f +++=（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0<a 时¸证明3()24f x a≤--．З2.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数.)()(2x a a e e x f x x --=（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥¸求a 的取值范围．ЗЗ.（2017山东文）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当2=a 时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.З4.（2017新课标Ⅱ理）已知函数2()ln f ax a x x x x =--¸且()0f x ≥．（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ¸且220e ()2f x --<<．З5.（2017北京理）已知函数.cos )(x x e x f x -= （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0¸π2]上的最大值和最小值.Зб.（2017浙江）已知函数).21()12()(≥--=-x e x x x f x（Ⅰ）求)(x f 的导函数；（Ⅱ）求)(x f 在区间1[+)2∞，上的取值范围．З7.（2017山东理）已知函数()22cos f x x x =+¸()()cos sin 22x g x e x x x =-+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈¸讨论()h x 单调性并判断有无极值¸若有求出极值.З8.（2017新课标Ⅰ理数）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点¸求a 的取值范围.()0f x ≥З9.（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值¸且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（1）求b 关于a 的函数关系式¸并写出定义域； （2）证明：23b a >；（З）若()f x ¸()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-¸求a 的取值范围．40.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数.ln 1)(x a x x f --= （1）若 ¸求a 的值；（2）设m 为整数¸且对于任意正整数n ¸21111++1+)222n ()(1)(m <¸求m 的最小值．41.（2017天津理）设a ∈Z ¸已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ¸()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ¸函数0()()()()h x g x m x f m =--¸求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ¸使得对于任意的正整数,p q ¸且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥.201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用1、（201б年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点¸使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直¸则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （Α）sin y x = （Β）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】Α2、（201б年四川高考）已知Α函数f(x)＝x З－12x 的极小值点¸则Α= (Α)-4 (Β) -2 (C)4 (D)2 【答案】DЗ、（201б年四川高考）设直线l 1¸l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1¸P 2处的切线¸l 1与l 2垂直相交于点P ¸且l 1¸l 2分别与y 轴相交于点Α¸Β则则△P ΑΒ的面积的取值范围是(Α)(0,1) (Β) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】Α4、（201б年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增¸则Α的取值范围是（Α）[]1,1-（Β）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（201б年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数¸则(0)f '的值为__________. 【答案】З2、（201б年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数¸当0x ≤ 时¸1()x f x ex --=-¸则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =三、解答题1、（201б年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==¸若函数()f x 有三个不同零点¸求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++¸得()232f x x ax b '=++． 因为()0f c =¸()0f b '=¸所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时¸()3244f x x x x c =+++¸ 所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=¸得23840x x ++=¸解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以¸当0c >且32027c -<时¸存在()14,2x ∈--¸222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭¸ 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭¸使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知¸当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时¸()2320f x x ax b '=++>¸(),x ∈-∞+∞¸ 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增¸所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时¸()232f x x ax b '=++只有一个零点¸记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述¸若函数()f x 有三个不同零点¸则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==¸0c =时¸230a b ->¸()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（201б年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设Α=2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立¸求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞¸函数()()2g x f x =-有且只有1个零点¸求Αb 的值. 解：（1）因为12,2a b ==¸所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =¸即222xx-+=¸亦即2(2)2210x x -⨯+=¸所以2(21)0x-=¸于是21x=¸解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立¸且()0f x >¸所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=¸且2((0))44(0)f f +=¸ 所以4m ≤¸故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点¸而00(0)(0)220g f a b =-=+-=¸ 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+¸又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>¸ 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-.令'()()h x g x =¸则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+¸ 从而对任意x R ∈¸'()0h x >¸所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数¸ 于是当0(,)x x ∈-∞¸''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时¸''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数¸在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <¸则0002x x <<¸于是0()(0)02xg g <=¸ 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=¸且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断¸所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点¸记为1x . 因为01a <<¸所以log 20a <¸又02x <¸所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >¸同理可得¸在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点¸矛盾.因此¸00x =. 于是ln 1ln ab-=¸故ln ln 0a b +=¸所以1ab =.З、（201б年山东高考）设f (x )=x ln x –Αx 2+(2Α–1)x ¸Α∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )¸求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数Α的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞¸ 则()112'2ax g x a x x-=-=¸ 当0a ≤时¸()0,x ∈+∞时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增； 当0a >时¸ 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增¸1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时¸()'0g x <¸函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时¸函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时¸函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭¸单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知¸()'10f =.①当0a ≤时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x >¸()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ②当102a <<时¸112a >¸由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 可得当当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸ 所以()f x 在(0,1)内单调递减¸在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ③当12a =时¸即112a=时¸()'f x 在(0,1)内单调递增¸在 ()1,+∞内单调递减¸ 所以当()0,x ∈+∞时¸()'0f x ≤¸ ()f x 单调递减¸不合题意. ④当12a >时¸即1012a << ¸当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x <¸()f x 单调递减¸ 所以f(x)在x=1处取得极大值¸合题意. 综上可知¸实数Α的取值范围为12a >.4、（201б年四川高考）设函数f(x)=Αx 2－Α－lnx ¸g(x)=1x －ee x ¸其中Α∈R ¸e=2.718…为自然对数的底数。
【高考研究】高考数学试题分类汇编(2015-17文科)-专题05 导数与函数的极值、最值(原卷版)
高考数学试题分类汇编专题5 导数与函数的极值、最值1.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)22.【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)4.【2014辽宁文12】当时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t 的取值范围； a 3()12f x x x =-a (0,)2x π∈sin cos k x x x <1k <[2,1]x ∈-32430ax x x -++≥[5,3]--9[6,]8--[6,2]--[4,3]--3()23f x x x =-()f x [2,1]-(1,)P t ()y f x =（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，． （I ）求的单调区间和极值；（II ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．8.【2014高考陕西版文第21题】设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分)设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R .(Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数=，.证明：（I ）；（II ）. 11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.(1,2),(2,10),(0,2)A B C -()y f x =()2ln 2x f x k x =-0k >()f x ()f x ()fx (()ln ,m f x x m R x=+∈m e =e ()f x ()'()3x g x f x =-()()0,1f b f a b a b a->><-m ()f x 311x x++[0,1]x ∈()f x 21x x ≥-+34<()f x 32≤()33||(0)f x x x a a =+->()f x [1,1]-()g a ()g a [1,1]x ∈-()()4f x g a ≤+12.【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.(Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若，讨论的单调性.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）设函数，其中（I ）讨论在其定义域上的单调性；（II ）当时，求取得最大值和最小值时的的值，14.【2015高考安徽，文21】已知函数 （Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；（Ⅱ）若，求在内的极值. 15. 【2014天津，文19】已知函数 （1） 求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间； （2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.32()f x ax x =+a R ∈43-a ()()x g x f x e =23()1(1)f x a x x x =++--0a >()f x [0,1]x ∈()f x x )0,0()()(2>>+=r a r x ax x f )(x f )(x f 400=ra )(x f ),0(+∞232()(0),3f x x ax a x R =->∈()f x 1(2,)x ∈+∞2(1,)x ∈+∞12()()1f x f x ⋅=a π⋅⋅⋅=71828.2e xx x f ln )(=3e e 3πe e ππ33π3e e 3πe e ππ33π17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知. （I ）讨论的单调性；（II ）当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -。
【配套K12]三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题05 导数与函数的极值、最值 文
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专题05 导数与函数的极值、最值1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，s i n c o s s i n 22kk x x x =，构造函数()s i n 22kf x x x=-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()c o s 210g x x=-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)答案：C解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意； 当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意； 当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a =，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题. 注意区别函数的零点与极值点.4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记2343()x x x f x x--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，故m i n ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--．【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论. 本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想. 5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2=x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x .从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1. 设23()=9t g t t+，则22223227()=99t g t t t -'-=.当()2t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在()2+∞上单调递增.因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】;(2)(3,1)--;(3)详见解析.因为(2)10f -=-，(f =，f =，(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(2f -=. （2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x + 0 0+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>， 所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--. （3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．8.【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当me =（为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.设31()(0)3h x x x x =-+≥，由2()1(1)(1)h x x x x '=-+=--+求出函数()h x 的单调性以及极值，并且求出函数()h x 在0x ≥的零点，画出()h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m 在不同范围的时候，函数y m =和函数()y h x =的交点个数 （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)m h x f x x x x x x =-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3h x x x x =-+≥ 2()1(1)(1)h x x x x '∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 在(0,1)上式增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(1,)+∞上式增函数；∴当1x =时，()h x 取极大值12(1)133h =-+=令()0h x =，即3103x x -+=，解得0x =，或x =∴函数()h x 的图像如图所示：由图知： ① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； ③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴在(0,)+∞上单调递减21()10mh x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立22111()(0)244m x x x x ∴≥-+=--+≥>14m ∴≥当且仅当当12x =时，14m =m ∴的取值范围是1[,)4+∞考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数31()(0)3h x x x x =-+≥，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数()ln (0)m h x x x x x =+->，讨论其导函数21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立问题9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. (Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增,当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论.(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a . （1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解析.试题解析：（1）因为11≤≤-x ， ①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数；若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数； 所以，3)()(a a f a g ==.②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数，所以a f a g 32)1()(+-==，综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g .（2）令)()()(x g x f x h -=， ①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ， 故4)()(+≤a g x f .若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数， 所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-， 令332)(a a a t -+=，则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ， 故4)()(+≤a g x f ，②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ， 故4)()(+≤a g x f ，综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x xe 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性． 试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+ 因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2x x x xe 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a > （I ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（II ）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的的值， 【答案】（I ）()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（II ）所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，【解析】试题分析：（I ）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得12121133x x x x ---+==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，（II ）依据第（I ）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（I ）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值，②当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()fx 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题解析：（I ）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，得12121133x x x x ---+==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出'()f x ，()f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间. 14.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f（Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.15. 【2014天津，文19】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求的取值范围 【答案】(1) ()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ， (2) 33[,].42【解析】极大值213a， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a ≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 试题解析：解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下： (,0)-∞1(0,)a1a1(,)a+∞()f x '()f x213a所以()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a +∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ，(2)由3(0)()02f f a ==及（1）知，当3(0,)2x a∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉.下面分三种情况讨论： 当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集 当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆ 当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集综上，的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题的热点，每年必考，花样繁新.16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即ee πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ，故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中， 由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即eeln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>，由ee ln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <， 综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e 3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数x y ln =、x e y =、xy π=在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a =取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。
高考数学一轮复习 专题15 导数与函数的极值、最值(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题15导数与函数的极值、最值最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).重点难点突破【题型一】用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值【典型例题】函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．【再练一题】已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）＝0，f′（2）＝0 但当x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，x＞2时，f′（x）＜0∴﹣1不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C．命题点2 求函数的极值【典型例题】设f（x）＝x3x2﹣2x+5（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）求极值点与极值．【解答】解：（I）f（x）＝x3x2﹣2x+5，f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＞0即3x2﹣x﹣2＞0解得x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）令f′（x）＜0即3x2﹣x﹣2＜0解得x∈（，1），故函数在，（1，+∞）上为单调递增区间，在上为单调递减区间．（II）由f′（x）＝0，即3x2﹣x﹣2＝0解得x或x＝1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，）（，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑∴当x＝1时，f（x）取得极小值，当x时，f（x）取得极大值．【再练一题】已知函数f（x）＝（x2﹣mx﹣m）e x+2m（m＞﹣2，e是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（）A．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2+2ln2B．4e﹣2或（4+ln2）e2+2ln2C．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2﹣2ln2D．4e﹣2或（4+ln2）e2﹣2ln2【解答】解：由题意知，f′（x）＝[x2+（2﹣m）x﹣2m]e x＝（x+2）（x﹣m）e x．由f′（x）＝0得，x1＝﹣2，x2＝m，因为m＞﹣2，所以函数f（x）在区间（﹣∞m﹣2）和（m，+∞）内单调递增，在区间（﹣2，m）内单调递减．于是函数f（x）的极小值为f（m）＝0，即x2﹣（m2﹣m2﹣m）e x+2m＝0，m（2﹣e x）＝0，解得m＝0或m＝ln2，当m＝0时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝4e﹣2．当m＝ln2时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝（4+ln2）e﹣2+2ln2．故选：A．命题点3 根据极值求参数【典型例题】已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值X围（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a．故选：A．【再练一题】已知x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，则a＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：函数f（x）＝xln（ax）+1，可得f′（x）＝ln（ax）+1，已知x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，可得：ln（a）+1＝0，解得a＝1，经验证a＝1时，x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，故选：B．思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．【题型二】用导数求函数的最值【典型例题】函数f（x）＝e x﹣2x的最小值为．【解答】解：f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＝e x﹣2＝0，解得x＝ln2．可得：函数f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x＝ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）＝2﹣2ln2．故答案为：2﹣2ln2．【再练一题】已知函数，其导函数f′（x）为偶函数，，则函数g（x）＝f′（x）e x在区间[0，2]上的最小值为（）A．﹣3e B．﹣2e C．e D．2e【解答】解：由函数的解析式可得：f′（x）＝x2+2mx+n，导函数为偶函数，则m＝0，故，，∴n＝﹣3．函数的解析式为，故g（x）＝e x（x2﹣3），g′（x）＝e x（x2﹣3+2x）＝e x（x﹣1）（x+3），据此可知函数g（x）在区间[0，1）上单调递减，在区间（1，2]上单调递增，函数g（x）的最小值为g（1）＝e1⋅（12﹣3）＝﹣2e．故选：B．思维升华求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型三】函数极值和最值的综合问题【典型例题】已知函数f（x）＝ax2+bx+clnx（a＞0）在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A．0B．C．2ln2﹣4D．4ln2﹣4【解答】解：函数的导数f′（x）＝2ax+b∵f（x）在x＝1和x＝2处取得极值，∴f′（1）＝2a+b+c＝0 ①f′（2）＝4a+b0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x＝1时，函数取得极大值为，则f（1）＝a+b+cln1＝a+b，③，由①②③得a，b＝﹣3，c＝2，即f（x）x2﹣3x+2lnx，f′（x）＝x﹣3，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x＝1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）＝8﹣12+2ln4＝4ln2﹣4，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2﹣4，故选：D．【再练一题】设函数f（x）＝lnx﹣x+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间上的极值及最值．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，∴f′（x）1，令f′（x）＝0，解得x＝1，当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1，函数f（x）单调递减，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（2）由（1）可知，f（x）在[，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，当x＝1时，函数有极大值，极大值为f（1）＝0，极大值即为最大值，即最大值为0，∵f（）ln2，f（2）＝ln2﹣1，由于ln2﹣ln2+12ln2＞0，∴f（）＞f（2），∴f（x）min＝ln2﹣1．思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规X，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．基础知识训练1．【某某市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】设函数，则（ ）A ．2x =为()f x 的极大值点B ．2x =为()f x 的极小值点C ．2x =-为()f x 的极大值点D ．2x =-为()f x 的极小值点【答案】D 【解析】 因为，所以，由得2x =-，所以，当2x >-时，()0f x '>，故单调递增；当2x <-时，()0f x '<，故单调递减；所以函数在1a =-处取得极小值，无极大值.故选D2．【某某省日照实验高级中学2018-2019学年高二下学期第二次阶段性考试】函数的极值点是（ ） A ．1x = B ．0x =C ．1x =或-1或0D ．1x =-【答案】B 【解析】 函数的导数为；令()0f x '=，解得：11x =-，20x =，x =31，令()0f x '>，解得：0x >，函数的单调增区间为(0,)+∞； 令()0f x '<，解得：0x <，函数的单调减区间为(,0)-∞； 所以当0x =时，函数取极小值。
专题07导数的应用求函数的最值、单调性等—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原
专题07导数的应用求函数的最值、单调性【2017年】1. 【2017课标II ,理11】若x= -2是函数f (x) = (x2+ax—1)e x」的极值点，贝U f (x)的极小值为()- 3 3A. -1B. -2e「C.5e「D.12. 【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数y = f'(x)的图像如图所示，贝U函数y=f(x)的图像可能是⑴求a；2 _ J2⑵证明：f(x)存在唯一的极大值点x0,且e <f(x0)<2 。
4. 【2017课标3,理21】已知函数f (x )= x-1—aln x.(1) 若f (x )芝0，求a的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数n’’1+l |''1十二)*1十上)<^,求m的最小值..2 . 22. 2n15. 【2017浙江，20】(本题满分15分)已知函数f(x)= (x-J2x—1 ) e ( x Z—)2(I )求f(x)的导函数；1 、. 一(口)求f(x)在区间［—,+00)上的取值范围.26. 【2017江办，20】已知函数f(x)=x +ax +bx+1(a》0,b v R)有极值，且导函数f (x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2) 证明：bS-3a；(3) 若f(x) , f f(x)这两个函数的所有极值之和不小于_7，求a的取值范围.2【2016年】1. 【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)已知函数f(x)=a x b x(a 0,b .0,a=1,b = 1).c， 1设a = 2, b =—2 .(1)求方程f(x) = 2的根；(2)若对任意x^R,不等式f (2x)占mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值；(3)若0 <a <1,b>1，函数g(x)= f (x )—2有且只有1个零点，求ab的值。
三年高考(2015-2017)高考数学试题解析07导数的应用求函数的最值、单调性等理
专题07 导数的应用求函数的最值、单调性等【2017年】1.【2017课标II,理11】若2x =-是函数21()(1)x f x xa x e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为(）A 。
1- B.32e --C.35e - D 。
1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x a x e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-,21()(1)x f x xx e -=--,故21()(2)x fx xx e -'=+-令()0f x '>,解得2x <-或1x >,所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减所以()f x 极小值为()111(111)1f e -=--=-，故选A.【考点】函数的极值；函数的单调性2。
【2017浙江，7】函数y=f （x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D 【解析】试题分析：原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D ．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x ,且图象在0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数)('xf 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3。
【2017课标II ，理】已知函数()2l n fxa xa x x x =--，且()0f x ≥。
（1）求a ；(2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x,且()2202e fx --<<。
【答案】（1）1a =；（2）证明略。
【解析】试题解析：（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
专题02 函数—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
【2017年高考试题】1．【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点】函数图象【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．2.【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）A BD．C D【答案】D【考点】函数图像【名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系3.【2017浙江，5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M –mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】试题分析：因为最值在2(0),(1)1,()24a af b f a b f b==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B．【考点】二次函数的最值【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．4.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.5.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073 （D ）1093 【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN+=，log log log a a aMM N N-=，log log n a a M n M =.6.【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【考点】分段函数求值【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 7.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项. 【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.8.【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(,2)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)+∞D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ .故选D.【考点】复合函数单调区间【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.9.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+．10.【2017山东，文10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A .()2x f x -= B. ()2f x x = C. ()3x f x -= D. ()cos f x x =【答案】A【解析】由A,令()e2xx g x -=⋅,11'()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x x g x ---=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,()f x 具有M 性质,故选A. 【考点】导数的应用【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．11.【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）[2,2]-（B）[-（C）[-（D）[-【答案】A零点是20x a =->，零点右边()()2xg x a f x =+<恒成立，零点左边()2xg x a =--，根据图象分析当0x =时，22a a -≤⇒≥-，即20a -≤< ，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A.【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.12.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________． 【答案】12【考点】函数奇偶性【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 13.【2017北京，文11】已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是__________．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：22222(1)221,[0,1]xy x x x x x +=+-=-+∈ ，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12；因此取值范围为1[,1]2【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22xy +的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.14.【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________. 【答案】1(,)4-+∞【考点】分段函数解不等式【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.15【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f (919)= .【答案】6 【解析】试题分析：由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+= (1)6f =-=.【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法①已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． ②已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式．③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解． ④应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． 16.【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内17.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p= ，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉ 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉ 的部分，且1x = 处11(lg )1ln10ln10x x '==< ，则在1x =附近仅有一个交点因此方程解的个数为8个.【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【2016，2015高考题】1. 【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则（ ） （A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c<bc（D ）c a >c b【答案】B考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2. 【2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.xy e-= B.3y x= C.lny x= D. y x=【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为(0,)+∞；选项D，在(,0)-∞上是减函数，故选B.考点：本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3. 【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c=++（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【答案】B考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 4. 【2014高考北京文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.5. 【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x =D ．2xy -= 【答案】B【考点定位】函数的奇偶性.【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-；偶函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=．6. 【2014高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )A .122x x -B .3sin x x C .2cos 1x + D .22x x +【答案】A【解析】对于A 选项中的函数()12222x x x x f x -=-=-,函数定义域为R ,()()2222x x x x f x -----=-=-()f x =-,故A 选项中的函数为奇函数；对于B 选项中的函数()3sin g x x x =,由于函数31y x =与函数2sin y x =均为奇函数,则函数()3sin g x x x =为偶函数；对于C 选项中的函数()2cos 1hx x =+,定义域为R ,()()()2cos 12cos 1h x x x h x -=-+=+=,故函数()2cos 1h x x =+为偶函数；对于D 选项中的函数()22x x x ϕ=+,()13ϕ=,()312ϕ-=,则()()11ϕϕ-≠±,因此函数()22x x x ϕ=+为非奇非偶函数,故选A .【考点定位】本题考查函数的奇偶性的判定,着重考查利用定义来进行判断,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于中等题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-；偶函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=．7. 【2016高考新课标1文数】函数22xyx e=-在[]2,2-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.8. 【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x=+ B ．2cos y x x=- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．【考点定位】函数的奇偶性．【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-；偶函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=．9. 【 2014湖南文4】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 【答案】A【考点定位】奇偶性 单调性【名师点睛】有关函数的基本性质的判断题目属于平时考试和练习的常见题型，解决问题的关键是根据所给选项对应的函数性质进行逐一发现验证即可.10. 【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y=【答案】D 【解析】试题分析：lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．考点： 函数的定义域、值域，对数的计算.【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解. 11. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑（ ）(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 【解析】试题分析：因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 考点： 函数的奇偶性，对称性.【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.12. 【2014山东.文3】 函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞ 【答案】C考点：函数的定义域，对数函数的性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域.解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性. 13. 【2014山东.文6】已知函数log ()(,a yx c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A.1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<【答案】D【解析】由图可知， log ()a y x c =+的图象是由log a y x =的图象向左平移c 个单位而得到的，其中01c <<，再根据单调性易知01a <<，故选D .考点：对数函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查对数函数的图象. 由于y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，知0＜c ＜1，根据图象从左向右是下降的，知0＜a ＜1. 本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的图象和性质并灵活运用. 14. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知4213332,3,25a b c ===，则（ ）(A) b a c << (B)a b c <<(C) b c a <<(D) c a b <<【答案】A考点：幂函数的单调性．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． 15. 【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D.考点：三角函数图象.【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.16. 【2015高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ） a c b ＜＜ （C ）b a c ＜＜ （D ）b c a ＜＜ 【答案】C【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .【考点定位】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.【名师点睛】本题考查指数函数的性质，主要利用函数的单调性求解，题目看上去简单，但对指数函数底数的两种不同取值情况均做了考查.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，关键是要熟练掌握指数函数的性质. 17. 【2014山东.文5】 已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)xy +>+ D.221111x y >++ 【答案】A对于C ，取1,2,,x y x y ==->此时ln 2ln 5<，22ln(1)ln(1)x y +>+不成立；对于D ，取2,1,,x y x y ==->此时1152<，221111x y >++不成立； 故选A考点：指数函数的性质，不等式的性质.【名师点睛】本题考查指数函数、对数函数、正弦函数及幂函数的单调性.比较函数值大小问题，往往结合函数的单调性，有时通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用.18. 【2016高考浙江文数】已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log >1a b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->【答案】D 【解析】试题分析：log log 1>=a a b a ，当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；当01<<a 时，01∴<<<b a ，10,0∴-<-<a b a ，(1)()0∴-->a b a ．故选D ． 考点：对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．19. 【2015高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( ) （A ）( ) (B)() （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）【答案】C【考点定位】1.函数的奇偶性；2.指数运算.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性及指数函数的性质，解答本题的关键，是利用函数的奇偶性，确定得到a 的取值，并进一步利用指数函数的单调性，求得x 的取值范围. 本题属于小综合题，在考查函数的奇偶性、指数函数的性质等基础知识的同时，较好地考查了考生的运算能力.20. 【2015高考山东，文10】设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( )（A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D【解析】由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D . 【考点定位】1.分段函数；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查了分段函数及函数方程思想，解答本题的关键，是理解分段函数的概念，明确函数值计算层次，准确地加以计算.本题属于小综合题，在考查分段函数及函数方程思想的同时，较好地考查了考生的运算能力及分类讨论思想.21. 【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A当0<b 时，(())f f x 的最小值为24-b ，所以“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0=b 时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ． 考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．22. 【2015高考陕西，文4】设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C【解析】因为21(2)24f --==，所以111((2))()11422f f f -===-=，故答案选C【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求(2)f -的值，继而去求((2))f f -的值；2.若求函数[()]f f a 的值，需要先求()f a 的值，再去求[()]f f a 的值；若是解方程[()]f f x a =的根，则需先令()f x t =，即()f t a =，再解方程()f t a =求出t 的值，最后在解方程()f x t =；3.本题属于基础题，注意运算的准确性. 23. 【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2bf a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B考点：函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．24. 【2014高考陕西版文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B . 考点：函数求值；函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是函数求值；函数的单调性等知识，属于容易题；在解本题时可以首先由单调性排除D 选项， 再验证A ，,C 选项是否满足“()()()f x y f x f y +=”即可.在解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可， 25. 【2015高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B【考点定位】函数的性质.【名师点睛】1.本题考查函数的性质，判断函数的奇偶性时，应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再判断()f x 和()f x -的关系，函数的单调性可以通过导函数判断.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.26. 【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 【答案】C【解析】1ln 2p f ab ===；()ln22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b +>，由()ln f x x =是个递增函数，()2a b f f +>所以q p r >=，故答案选C 【考点定位】函数单调性的应用.【名师点睛】1.本题考查函数单调性，因为函数()ln f x x =是个递增函数，所以只需判断2a b+ 2.本题属于中档题，注意运算的准确性. 27. 【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ）A.−1B.3C.7D.8 【答案】C考点： 函数最值【名师点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．28. 【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. 29. 【2014四川，文7】已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ） A 、B 、C 、D 、【答案】B 【解析】试题分析：5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.选B. 【考点定位】指数运算与对数运算.【名师点睛】解题的关键是求得已知，求的最大值，接下来就线性规划问题了，利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.30. 【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π)。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.若函数在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，+∞)D．【答案】D 【解析】∵，且f(x)在(0，1)内有极小值． ∴．5. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于( ) A ．B ．C ．D ．1【答案】D ． 【解析】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．，当，即时，，在上单调递增；当，即时，，在上单调递减．当时，取最大值，故选D ．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．6. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角α． 【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分 （2）W． 设，则． 11分令得，即，得．列表+0所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.7.已知函数.（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数，通过列表分析其单调性，进而寻找极大值点；(2) 本小题结合（1）中的分析可知参数的取值范围影响函数在区间上的单调性，于是对参数的取值范围进行分段讨论，从而求得函数在区间上的单调性，进而求得该区间上的最大值.试题解析：（1）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：↗↘↗(2)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值0. 14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值0当时，在取得最大值.【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.分类讨论.8.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系9.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.10.已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.试题解析：（1）当时，1分变化如下表+00+极大值， 4分（2）令则 6分∴在上为增函数。
【中小学资料】三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题05 导数与函数的极值、最值 文
专题05 导数与函数的极值、最值1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，s i n c o s s i n 22kk x x x =，构造函数()s i n 22kf x x x=-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()c o s 210g x x=-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)答案：C解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意； 当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意； 当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a =，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题. 注意区别函数的零点与极值点.4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记2343()x x x f x x--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，故m i n ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--．【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论. 本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想. 5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2=x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x .从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1. 设23()=9t g t t+，则22223227()=99t g t t t -'-=.当()2t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在()2+∞上单调递增.因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】;(2)(3,1)--;(3)详见解析.因为(2)10f -=-，(f =，f =，(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(2f -=. （2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x + 0 0+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>， 所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--. （3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．8.【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当me =（为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.设31()(0)3h x x x x =-+≥，由2()1(1)(1)h x x x x '=-+=--+求出函数()h x 的单调性以及极值，并且求出函数()h x 在0x ≥的零点，画出()h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m 在不同范围的时候，函数y m =和函数()y h x =的交点个数 （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)m h x f x x x x x x =-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3h x x x x =-+≥ 2()1(1)(1)h x x x x '∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 在(0,1)上式增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(1,)+∞上式增函数；∴当1x =时，()h x 取极大值12(1)133h =-+=令()0h x =，即3103x x -+=，解得0x =，或x =∴函数()h x 的图像如图所示：由图知： ① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； ③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴在(0,)+∞上单调递减21()10mh x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立22111()(0)244m x x x x ∴≥-+=--+≥>14m ∴≥当且仅当当12x =时，14m =m ∴的取值范围是1[,)4+∞考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数31()(0)3h x x x x =-+≥，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数()ln (0)m h x x x x x =+->，讨论其导函数21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立问题9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. (Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增,当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论.(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a . （1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解析.试题解析：（1）因为11≤≤-x ， ①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数；若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数； 所以，3)()(a a f a g ==.②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数，所以a f a g 32)1()(+-==，综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g .（2）令)()()(x g x f x h -=， ①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ， 故4)()(+≤a g x f .若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数， 所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-， 令332)(a a a t -+=，则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ， 故4)()(+≤a g x f ，②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ， 故4)()(+≤a g x f ，综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x xe 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性． 试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+ 因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2x x x xe 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a > （I ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（II ）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的的值， 【答案】（I ）()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（II ）所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，【解析】试题分析：（I ）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得12121133x x x x ---+==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，（II ）依据第（I ）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（I ）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值，②当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()fx 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题解析：（I ）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，得12121133x x x x ---+==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出'()f x ，()f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间. 14.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f（Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.15. 【2014天津，文19】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求的取值范围 【答案】(1) ()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ， (2) 33[,].42【解析】极大值213a， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a ≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 试题解析：解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下： (,0)-∞1(0,)a1a1(,)a+∞()f x '()f x213a所以()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a +∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ，(2)由3(0)()02f f a ==及（1）知，当3(0,)2x a∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉.下面分三种情况讨论： 当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集 当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆ 当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集综上，的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题的热点，每年必考，花样繁新.16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即ee πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ，故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中， 由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即eeln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>，由ee ln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <， 综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e 3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数x y ln =、x e y =、xy π=在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.中小学最新教育资料中小学最新教育资料时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a =取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题05导数与函数的极值最值文20171101124
专题05 导数与函数的极值、最值1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点， 2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，s i n c o s s i n 22k k x xx =，构造函数()s i n 22kf x x x =-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()c o s 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则s i nc o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 答案：C解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意； 当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意； 当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a =，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题. 注意区别函数的零点与极值点.4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记2343()x x xf x x--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，故m i n ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--．【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论. 本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想. 5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+.因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a -=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2x .列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t -'-=.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分） 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】(3,1)--;(3)详见解析.因为(2)10f -=-，()2f -=(2f =(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x+ 0 0+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>， 所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--. （3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．8.【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.设31()(0)3h x x x x =-+≥，由2()1(1)(1)h x x x x '=-+=--+求出函数()h x 的单调性以及极值，并且求出函数()h x 在0x ≥的零点，画出()h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m 在不同范围的时候，函数y m =和函数()y h x =的交点个数 （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)m h x f x x x x x x =-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=-->令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>设31()(0)3h x x x x =-+≥ 2()1(1)(1)h x x x x '∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 在(0,1)上式增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(1,)+∞上式增函数；∴当1x =时，()h x 取极大值12(1)133h =-+=令()0h x =，即3103x x -+=，解得0x =，或x =∴函数()h x 的图像如图所示：由图知： ① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； ③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴在(0,)+∞上单调递减21()10mh x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立22111()(0)244m x x x x ∴≥-+=--+≥>14m ∴≥当且仅当当12x =时，14m =m ∴的取值范围是1[,)4+∞考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数31()(0)3h x x x x =-+≥，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数()ln (0)m h x x x x x =+->，讨论其导函数21()10m h x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立问题9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间.(Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论.(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >，综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a . （1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解析.试题解析：（1）因为11≤≤-x ， ①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数； 若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数； 所以，3)()(a a f a g ==.②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数，所以a f a g 32)1()(+-==，综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g .（2）令)()()(x g x f x h -=， ①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ， 故4)()(+≤a g x f .若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数， 所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-， 令332)(a a a t -+=，则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ，故4)()(+≤a g x f ，②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ， 故4)()(+≤a g x f ，综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )． (2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 12.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性．试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =. (2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（I ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（II ）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的的值， 【答案】（I ）()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（II ）所以当01a<<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取【解析】试题分析：（I ）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得121211,,33x x x x --+==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，（II ）依据第（I ）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（I ）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值，②当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题解析：（I ）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，得121211,,33x x x x --+==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，递减，因此()f x 在213x x -==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出'()f x ，()f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间. 14.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f（Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减. 因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.15. 【2014天津，文19】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求的取值范围 【答案】(1) ()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ， (2) 33[,].42【解析】极大值213a ， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a ≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 试题解析：解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下： (,0)-∞1(0,)a 1a 1(,)a+∞(f x ' ()f x213a所以()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ，(2)由3(0)()02f f a ==及（1）知，当3(0,)2x a∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉.下面分三种情况讨论： 当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集 当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆ 当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集 综上，的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题的热点，每年必考，花样繁新.16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数.（1）求函数xx x f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即e e πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、xy π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ， 故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中，由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即ee ln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>， 由e e ln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <， 综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e 3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a =取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。
三年高考(2015_2017)高考数学试题分项版解析专题07导数的应用求函数的最值、单调性等理
专题07 导数的应用求函数的最值、单调性等【2017年】1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减所以()f x 极小值为()111(111)1f e-=--=-，故选A 。
【考点】函数的极值；函数的单调性2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D 【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【答案】(1)1a =；(2)证明略。
【解析】试题解析：（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
专题112导数的极值最值问题(新高考地区专用)(原卷版)
专题1.12 导数的极值、最值问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； (2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．2．函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．(2)求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ①求导函数()f x '． ①求方程()0f x '=的根．①检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．3．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法(1)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：(1)若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．(2)极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．x2−2x．1．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数f(x)=me x−32(1)当m≥3时，证明：f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增；(2)若函数g(x)=f(x)−cosx存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围．+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数. 2．（2023·陕西·联考一模）已知函数f(x)=xa(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为2，求a的值.x2+(1−a)x+(a−2)lnx，其中a∈R．3．（2023·吉林·校考二模）已知函数f(x)=12(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．4．（2023·海南省·统考模拟预测）已知函数f(x)=(x−1)e x−ax．(1)当x>−1时，x0是y=f(x)的一个极值点且f(x0)=−1，求x0及a的值；(2)已知g(x)=x2lnx，设ℎ(x)=e x[f′(x)+a]，若x1>1，x2>0，且g(x1)=ℎ(x2)，求x1−2x2的最小值．5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数f(x)=e x(lnx+1)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤0，若函数F(x)=f′(x)⋅e−x+a(x−1)−1在(0,2)上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．6．（2023·甘肃武威·统考一模）已知函数f(x)=e x．x+3(1)求f(x)在(−3,+∞)上的极值；−3≤ax2−2x，求a的最小值．(2)若∀x∈(−3,+∞),1f(x)x3+(a+1)x2−7．（2023春·四川成都·高二阶段练习）已知x=1是函数f(x)=13(a2+a−3)x的极值点，则：(1)求实数a的值．(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最值．(t∈R)．8．（2023春·安徽·高二阶段练习）已知函数f(x)=lnx+tx(1)求f(x)的极值；(2)若t>0，求f(x)在[e,e2]上的最大值g(t)．x3−ax2+(a2−1)x+b（a，b∈R），9．（2023春·天津和平·高二阶段练习）已知函数f(x)=13其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y−3=0．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值；(3)求函数f(x)在区间[−2,5]上的最大值．x3−4x+2.10．（2022秋·上海宝山·高二期末）已知函数f(x)=13(1)求函数f(x)在x=3处的切线方程；(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值与最小值.11．（2023春·天津河东·高二阶段练习）若函数f(x)=x3+ax2+bx−1，在x=1处切线方程为：8x+y−1=0.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[−1,4]上的最大值、最小值.12．（2023春·山东·高二阶段练习）已知函数f(x)=x3−6x2+9x−2．(1)求f(x)的极值；(2)求f(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值.x2+lnx. 13．（2022春·山西大同·高二期中）已知函数f(x)=(1−b)x+12(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(2)设x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点，若b≥7，求f(x1)−f(x2)的最小值.214．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数f(x)=x3−x2−8x+9．(1)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在[−1,3]上的最值．15．（2023春·河北承德·高三阶段练习）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处有极值10，求b的值；(2)在（1）的条件下，求f(x)在区间[0,2]上的最值．16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(2x+3)ln(x+1)−ax2−3x(a∈R)．(1)当a=0时，证明：x=0为函数f(x)的极小值点；(2)若x=0为函数f(x)的极大值点，求实数a的值．17．（2023春·山东·高二阶段练习）已知函数f(x)=x−a．e x(1)若f(x)在x=2处取得极大值，求实数a的值；(2)若f(x)在(−1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．18．（2023春·云南昆明·高三阶段练习）已知函数f(x)=lnx．x(1)求f(x)的极值和单调区间；(2)求曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．(a≠0) 19．（2023·陕西咸阳·陕西模拟预测）已知函数f(x)=lnx+x+2ax(1)当a=1时，求f(x)的极值；(2)若对∀x∈(e−1,e)，f(x)<x+2，求实数a的取值范围.20．（2023·吉林·校考二模）已知函数f(x)=e ax⋅cosx，其中a∈R．(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)已知f(x)在区间(0,π)上存在唯一的极小值点．（①）求实数a的取值范围；（①）记f(x)在区间(0,π)上的极小值为g(a)，讨论函数g(a)的单调性．。
高考数学分类汇总导数求极值最值
1.（2012陕西文）设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点2．(2001江西理)函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3（C ）极小值－2，极大值2 （D ）极小值－1，极大值33．下列函数存在极值的是（ ）A ．y =x1 B ．y =32x C ．y =2 D ．y =x 34．函数x xe y -=的极值点为 ， 5.(2011安徽文) 设2()1x e f x ax =+，其中a 为正实数，（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点 6.（2005全国Ⅰ）93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57.（2009辽宁文）若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7. 求函数2()4f x x x =-极值7. 求函数31()443f x x x =-+极值 7. 求函数3()f x x =极值7. 求函数32()23124f x x x x =--+在区间[]2,4-上的最值 7. 求函数32()31f x x x =-+在区间[]2,4-上的最值 7. 求函数3()128f x x x =-+在区间[]3,3-上的最值 7. 求函数32()39f x x x x =--+在区间[]2,4-上的最值7. 求函数323()62f x x x x =-++在区间[]2,4-上的最值 8．（2007江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=____________9．（2006浙江文）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)410.（2004江苏）函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911．（2007湖南理）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是12 .函数y =x 3+x 3在(0，+∞)上的最小值为 A.4 B.5 C.3 D.113．函数y =f (x )=ln x －x ,在区间(0,e ］上的最大值为 A.1－e B.－1C.－eD.014．223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a =（ ） A.32-B. 12C. 12-D. 12或32- 15．（2004浙江文）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[-2，2] 上的最大值和最小值；16．函数y =f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2，在x =1时，有极值10，那么a ，b 的值为_______.17．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝（ ）A ．9B ．－9C ．1D ．－118．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为（ ） A -37 B -29 C -5 D -1119．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有极小值，则a 的取值范围为（ ）A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜1220．(2003年烟台统考)已知函数f (x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是21．.若函数y =x 3－3bx +3b 在(0，1)内有极小值，则A.0<b <1B.b <1C.b >0D.b <2122.（2009宁夏文）函数3223()39f x x ax a x a =--+.（1）设1a =，求函数()f x 的极值；23．已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1.(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.24.（2012江苏）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在上的最大值为2，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于等于2，即，解得：，故选D.【考点】函数最值的应用.2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝________.【答案】1或2【解析】易知当2≤x≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x≤2时，2≤2x≤4，从而由条件得f(x)＝f(2x)＝(1－|2x－3|)．因为c>0，故极大值点为；当2≤x≤4时，4≤2x≤8，从上述步骤得f(2x)＝cf(x)＝c(1－|4x－3|)．因为c>0，故极大值点为(6，c)；上述三点在同一直线上，所以＝，解得c＝2或1.4.已知函数，，其中.(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数的值；（2）问题等价于对任意的时，都有，分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性，由单调性求出函数的最小值及的最大值，根据它们之间的关系求出实数的取值范围．试题解析：(1)∵，其定义域为，∴．∵是函数的极值点，∴，即.∵，∴．经检验当时，是函数的极值点，∴．(2)对任意的都有成立等价于对任意的，都有．当时，．∴函数在上是增函数，∴.∵，且，．①当且时，，∴函数在上是增函数，∴．由，得a≥，又，∴不合题意．②当时，若，则，若，则．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴.由，得．又，∴．③当且时，，函数在上是减函数．∴.由，得．又，∴.综上所述，的取值范围为．【考点】1、函数在某点取得极值的条件；2、利用导数求闭区间上函数的最值．5.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.6.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.7.设函数f(x)＝＋ln x，则()．A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝＋ln x(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．8.已知函数在时有极值0，则．【答案】11【解析】对函数求导得,由题意得 ,即解得: 或,当时,故,【考点】函数的极值9.已知函数在处有极值，则等于( )A．或B．C．或18D．【答案】A【解析】，依题意，解得故当时，；当时，.故答案为11或18.【考点】函数的极值.10.已知函数在处取得极大值，则的值为 .【答案】.【解析】，，依题意知，于是有，，整理得，解得或.①当时，，此时，此时函数在处取得极小值，不合乎题意！②当时，，此时，此时函数在处取得极大值，合乎题意！故.【考点】函数的极值11.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率12.设函数，其中为实常数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论在定义域上的极值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单减区间是；（Ⅱ）当时，无极值；当时，在点处取得极大值，且为，无极小值.【解析】（Ⅰ）先把代入，对函数求导，令导数大于0，求出函数的单调递增区间，令导数小于0，求出函数的单调递减区间（Ⅱ）对参数进行讨论，分和两种情况.试题解析：（Ⅰ）由得，；由得，.所以函数的单调递增区间为，单减区间是. 6分（Ⅱ）当时, ,在上始终单增,无极值.当时，，. 9分当时，；当时，.此时，在点处取得极大值，且为，无极小值. 12分【考点】1.利用导数求单调区间；2.利用导数求极值.13.函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为【答案】10【解析】因为函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为10.14.已知函数在点x=1处连续，则a的值是（）A．2B．3C．－2D．－4【答案】B【解析】解：因为函数在店x=1处连续，因此该点的函数值等于该点的极限值。
(完整)2015-2017年高考文科数学试题汇编-导数与极值最值,推荐文档
1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ． 【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 答案：C详细分析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意；当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意；当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题. 注意区别函数的零点与极值点.4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【答案】C2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记2343()x x xf x x--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，故min ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--． 【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围. 【答案】（1）3a >（2）见解+析（3）36a <≤所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213a a b x ---，223a a bx -+-列表如下x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()f x '+0 –0 +()f xZ极大值]极小值Z故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞. （2）由（129a a a a a. 设23()=9t g t t+，则22223227()=99t g t t t -'-=. 当36)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在36)+∞上单调递增. 因为3a >，所以33a a >()>(33)=3g a a g 3a因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++ 2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分） 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围； （3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】;(2)(3,1)--;(3)详见解+析.因为(2)10f -=-，2()22f -=2()22f =-，(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为2(22f -=. （2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x + 0 0+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>， 所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点． 【答案】（I ）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )()2k k f k -=；（II ）证明详见解+析.取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知)f k 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试题详细分析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x k =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是)k ，单调递增区间是,)k +∞；()f x 在x k =(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间)e 上单调递减，且)0f e =， 所以x e =()f x 在区间]e 上的唯一零点. 当k e >时，()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<，所以()f x 在区间]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 8.【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.设31()(0)3h x x x x =-+≥，由2()1(1)(1)h x x x x '=-+=--+求出函数()h x 的单调性以及极值，并且求出函数()h x 在0x ≥的零点，画出()h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m 在不同范围的时候，函数y m =和函数()y h x =的交点个数（3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题详细分析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+= (2)Q 函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>设31()(0)3h x x x x =-+≥2()1(1)(1)h x x x x '∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 在(0,1)上式增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(1,)+∞上式增函数；∴当1x =时，()h x 取极大值12(1)133h =-+=令()0h x =，即3103x x -+=，解得0x =，或3x =∴函数()h x 的图像如图所示：由图知：① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点；③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x'∴=--≤在(0,)+∞恒成立 22111()(0)244m x x x x ∴≥-+=--+≥> 14m ∴≥ 当且仅当当12x =时，14m = m ∴的取值范围是1[,)4+∞ 考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数31()(0)3h x x x x =-+≥，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数()ln (0)m h x x x x x =+->，讨论其导函数21()10m h x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立问题 学…9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分)设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R .(Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)12a >.讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间.(Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题详细分析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2ax g x a x x -=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.【答案】（Ⅰ）证明见解+析；（Ⅱ）证明见解+析.试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论.(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤ . 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤．11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a .（1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解+析.试题详细分析：（1）因为11≤≤-x ，①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数；若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数；所以，3)()(a a f a g ==.②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数，所以a f a g 32)1()(+-==，综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g . （2）令)()()(x g x f x h -=，①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ， 故4)()(+≤a g x f .若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数，所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-，令332)(a a a t -+=，则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ，故4)()(+≤a g x f ，②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ， 故4)()(+≤a g x f ，综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值.(Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性.【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性． 试题详细分析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+ 因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =. (2)由(1)得，321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫, 故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数，当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数，当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（I ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（II ）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的的值，【答案】（I ）()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（II ）所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题分析：（I ）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得1212x x x x ==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，（II ）依据第（I ）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（I ）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值，②当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题详细分析：（I ）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，得1212143143,,33a a x x x x --+-++==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，递减，因此()f x 在2143a x x -++==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值， 考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出'()f x ，()f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间.14.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x ax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400=ra ，求)(x f 在),0(+∞内的极值.【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.15. 【2014天津，文19】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求的取值范围【答案】(1) ()f x 的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a=时，()f x 取极大值213a， (2) 33[,].42极大值213a ， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 试题详细分析：解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下：(,0)-∞1(0,)a 1a 1(,)a+∞()f x '()f x ]Z213a ]所以()f x 的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a=时，()f x 取极大值213a，(2)由3(0)()02f f a==及（1）知，当3(0,)2x a ∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉. 下面分三种情况讨论： 当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆ 当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集综上，的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题的热点，每年必考，花样繁新. 16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即e e πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ，故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中， 由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即eeln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>，由eeln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <， 综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e 3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小. 【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题详细分析：（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。
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1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B当1k <时，s i n c o s s i n 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 答案：C详细分析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意；当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意；当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a=处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题. 注意区别函数的零点与极值点.4.【2014辽宁文12】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【答案】C2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x-++--+==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记2343()x x xf x x--=，令'()0f x =，得x 1=-或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈--时，'()0f x <；当(1,0)x ∈-时，'()0f x >，故min ()(1)2f x f =-=-，则a 2≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]--． 【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.5.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解+析（3）36a <≤所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+.因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a -=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -.列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（12=9设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t-'-=.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分） 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围； （3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】(3,1)--;(3)详见解+析.因为(2)10f -=-，(2f -=(2f =(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =. （2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x+ 0 0+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>， 所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解+析.取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试题详细分析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 8.【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.设31()(0)3h x x x x =-+≥，由2()1(1)(1)h x x x x '=-+=--+求出函数()h x 的单调性以及极值，并且求出函数()h x 在0x ≥的零点，画出()h x 的大致图像，并从图像中，可以得知，当m 在不同范围的时候，函数y m =和函数()y h x =的交点个数（3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题详细分析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=-->令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>设31()(0)3h x x x x =-+≥2()1(1)(1)h x x x x '∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 在(0,1)上式增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(1,)+∞上式增函数；∴当1x =时，()h x 取极大值12(1)133h =-+=令()0h x =，即3103x x -+=，解得0x =，或x =∴函数()h x 的图像如图所示：由图知： ① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； ③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 22111()(0)244m x x x x ∴≥-+=--+≥> 14m ∴≥ 当且仅当当12x =时，14m = m ∴的取值范围是1[,)4+∞ 考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数31()(0)3h x x x x =-+≥，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数()ln (0)m h x x x x x =+->，讨论其导函数21()10m h x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立问题 学…9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分)设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R .(Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)12a >.讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间.(Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题详细分析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2ax g x a x x -=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.【答案】（Ⅰ）证明见解+析；（Ⅱ）证明见解+析.试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论.(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤ . 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤．11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a .（1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解+析.试题详细分析：（1）因为11≤≤-x ，①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数；若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数；所以，3)()(a a f a g ==.②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数，所以a f a g 32)1()(+-==，综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g .（2）令)()()(x g x f x h -=，①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ， 故4)()(+≤a g x f .若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数，所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-，令332)(a a a t -+=，则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ，故4)()(+≤a g x f ，②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ， 故4)()(+≤a g x f ，综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值.(Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性.【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性． 试题详细分析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =. (2)由(1)得，321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫, 故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数，当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数，当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（I ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（II ）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的的值，【答案】（I ）()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（II ）所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题分析：（I ）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得1212x x x x ==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，（II ）依据第（I ）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（I ）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值，②当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值，试题详细分析：（I ）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，得1212x x x x ==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增，递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值， 考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出'()f x ，()f x 随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间.14.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x ax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra ，求)(x f 在),0(+∞内的极值.【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.15. 【2014天津，文19】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求的取值范围【答案】(1) ()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ， (2) 33[,].42极大值213a ， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 试题详细分析：解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下：(,0)-∞1(0,)a 1a 1(,)a +∞(f x' ()f x213a 所以()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x =时，()f x 取极小值，当1x a =时，()f x 取极大值213a ，(2)由3(0)()02f f a==及（1）知，当3(0,)2x a ∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉.下面分三种情况讨论： 当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆ 当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集 综上，的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命题的热点，每年必考，花样繁新.16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数.（1）求函数xx x f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（2）因为π<<3e ，所以πln 3ln e e <，3ln ln ππ<e ，即e e πln 3ln <，ππ3ln ln <e ，于是根据函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调递增，所以33ππ<<e e ，ππ33<<e e ，故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中，由π<<3e 及（1）的结论得)()3()(e f f f <<π，即e e ln 33ln ln <<ππ， 由33ln ln <ππ得ππ3ln ln 3<，所以33ππ>， 由e e ln 33ln <得3ln 3ln e e <，所以33e e <， 综上，6个数中的最大数为π3，最小数为e 3.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问运用函数x y ln =、x e y =、x y π=在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题详细分析：（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a =取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122l n 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。