立体几何综合训练(一)答案

C D

O

x

E

'A

向量法图

y

z

B

C

D O

B

E

'A

H

立体几何综合训练（一）答案

1．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是

,AC AB 上的点,2CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所

示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；

(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

1.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD ===

连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得

222cos455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=

由翻折不变性可知22A D '=,

所以2

2

2

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD

OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.

结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =

,从而22

30A H OH OA ''=+= 所以15

cos OH A HO A H '∠==', 所以二面角A CD B '--的平面角

.

C

O B

D

E

C

D

O

B

E

'

A 图1

图2

的余弦值为

155

. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系

O xyz

-如图所示, 则

(

3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -

所以(3CA '=,(1,3DA '=-

设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨

'⋅=⎪⎩,即330230

y z x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y x z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,(3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以15

cos ,35n OA n OA n OA '⋅'=

==⋅'

,

即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15

5

. 2.解: (1)证明:连接,BD AC 交于O 点

PB PD = PO BD ∴⊥

又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥

而AC PO O ⋂=BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC (2) 由(1)BD ⊥面PAC

︒⨯⨯⨯==

45sin 3262121PAC PEC S S △△=32

236=⨯⨯ 1111

32322

P BEC B PEC PEC V V S BO --∆==

⋅⋅=⨯⨯= 3.【答案】

4.解: （1）因为1B B ⊥平面ABCD ，所以BD 为1B D 在平面ABCD 内的投影；

因为AC BD ⊥，由三垂线定理可知1AC B D ⊥；

（2）以A 为原点，AB 所在边为x 轴，AD 所在边为y 轴，AA1所在边为z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(,1,0),(0,3,3)A C m D ，所以1(0,3,3)AD =，(,1,0)AC m =； 因为1(,0,3)B m =，(0,3,0)D =，所以1(,3,3)B D m =--， 因为1AC B D ⊥，所以10AC B D =，故3m =

(3,1,0)AC =，

设(,,)n x y z =为1ACD 平面的法向量，则10

n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，

令1x =，所以(1,3,n =-为1ACD 平面的一个法向量；

因为1B ，1,3)C ，所以11(0,1,0)B C =

所以直线

111B C ACD 与平面所成角的正弦值sin 7θ=

=. .