线性系统的时变线性系统

第六章

时变线性系统

从工程应用角度，可用时变线性系统近似描述的典型系统是：

•飞机在标称高度和速度附近变化时的动态特性；•空间站的运动。空间站的运动可用非线性微分方程组描述，线性化之后，线性模型的参数仍会在一个大范围内变化，难以用定常线性系统来描述；•化工过程中热传导速度的控制、一些化学反映的动态过程等都是高度非线性的，其工作点和参数变化态过程等都是高度非线性的其工作点和参数变化剧烈，即使线性化后也要用时变线性系统来近似。

参考文献：Linear Time-Varying Systems:Control •Linear Time-Varying Systems: Control and Adaptation. K. S. Tsakalis and P.A. Ioannou.

本章所考虑的n 维线性时变系统的方程为

()()()x

t x t u y t x =+=A B C （6—1）

式中u 是p 维输入向量，y 是q 维输出向量，并假定状态方程满足解存在和唯一性条件。

假定状态方程满足解存在和唯性条件。首先，时变系统的分析和设计中会遇到哪第二章已清楚时变线性系统的一些重要性质些问题？时变系统的特点是什么？

1)第二章已清楚，时变线性系统的些重要性质，如可控性、可达性、可观测性、可重构性等均有关因此就提出这些性质和所研究的时刻t 0 有关，因此就提出这些性质对t 是否具有一致性的问题。在时变系统的设计中，一致性常常是设计问题有解的条件。

对于时不变系统特征值对应于系统运动的模式2)对于时不变系统：特征值对应于系统运动的模式，

特征值的分析可以对系统的稳定性给出完整的回答。而时变系统的主要困难是，没有一个方法能答而时变系统的主要困难是没有一个方法能在给定矩阵A(t)后就能判断系统的稳定性；求

状态转移矩阵则是项十分困难的工作。

状态转移矩阵则是一项十分困难的工作

3)在研究方法上，显然复数域的方法一般不再适

用，所采取的完全是时域的方法。

用所采取的完全是时域的方法

本章仅介绍一致完全可控性、一致完全可观

测性及相关的知识。

一、一致完全可控性的定义和判据

1. 定义@p15@p20@p21

定义6-1（一致完全可控性）线性时变系统（6-1)为一致完全可控的，如果σ>0以及与σ有关的致完控如果存在与有关正数αi (σ)(i =1,2,3,4)，使得对所有t ∈(−∞,+∞),

120()(,)()(62)t t <≤+≤−I W I

ασσασ340()(,)(,)Φ(,)()T t t t t t t <≤Φ+++≤I W I

ασσσσασ (63)−这里可控性Gram 这里，可控性

矩阵

t T T

σ

+注意(,):(,)()()(,)W B B t t t t t d στττττ+=ΦΦ∫注意：

对n ×n 实对称阵A , B ，A >B ⇔x T A －B x >0，即A −B 正定；

()A ≥B ⇔A －B 为半正定。

讨论：

1)由第二章：(A (t ),B (t ))在t 0时刻可控的充分必要非奇异条件是存在有限的t 1>t 0，使得W (t 0,t 1)非奇异。注意到W (t 0,t 1)至少半正定，故非奇异意味其正定易见满足上述矩阵不等式正定定。易见，满足上述矩阵不等式，W 正定。

2）条件(6-3)等价为如下的可达性条件(p .46)：

340()(,)()(64)

I Y I t t ασσασ<≤−≤−这里，

(,)(,)()()(,)B B Y t T T t t d t t στττττ−Φ=Φ−t σ∫

事实上，

(,)(,)(,)

ΦW ΦT t t t t t t σσσ+++(,)()()(,)ΦB B Φt T T t t d t σ

στττσττ

+=++∫(,)(())(),ΦB B Φs

T T

s t s s s d σστττττ+=−⎯⎯⎯→∫

)

3)一致可控性保证任何时刻的状态转移均可在时间

间隔σ内完成，与时间的起点无关。这里所说的状态转移，包括了

¾从t t时刻的任何状态转移到t+σ时刻的零状态（可控）

¾t−σ时刻的零状态转移到t 时刻的任意状态从t

（可达）

这两点分别由（6-2）式与（6-3）式所保证。

−+

tσt t+ σ

采用第二章（习题）中的方法，可以证明，控制01()()(,)(,)[(,)]1

B ΦW ΦT T u t t t x t t x τττσσ−=−+−+可在时间段σ中将时刻x (t )的任意状态转移到时刻x (t + σ)的任意状态x 1。若系统仅仅是可控的，则完成状态转移可能需要很长的时间，或者要求控制的幅度极大。然而，若其是一致完全可控的，则总能σ的一段时间完成；此外，控制输入的幅在长度为的段时间完成；此外，控制输入的幅

度不会是任意大的（正比于W −1≤1/α1(σ))。

在最优控制及时变系统理论中，为了保证系统的稳定性，有时需要一致完全可控这一条件的稳定性，有时需要致完全可控这条件。

一致完全可控一定可推得在t 0 时刻的可控性，但反之一般不成立6-1考虑一维线性系统但反之一般不成立。

例61考虑维线性系统

||−= t x e u

系统是可控的，因为对任意的t 0，W (t 0, t 1)>0。但不是一致完全可控的。事实上，因Φ=I ，对任何t >0，

222W(,)0.5(1)

t t t t e d e e σ

τσστ+−−−+==−t ∫当t 充分大时，因子e −2t 可任意地小, 故使

221(,)0.5(1)()

W t t t e e σσασ−−+=−>时刻可控不一成立的α1(σ)不存在。这说明在任意t 0时刻可控不定有一致完全可控。