《从分数到分式》练习题
人教版七年级从分数到分式
-
(−3) 2 − 4 −3+ 2 = −5
x − 4的值为零。 要想分式值零蛋，分子分母都要看； 要想分式值零蛋 分子分母都要看； 零蛋， 的值为零。 光想分式值为零，一不留神掉陷阱。 光想分式值为零 一不留神掉陷阱。 x+2
2
教师警示： 教师警示：
活动4 独立解题， 活动4：独立解题，提高认知
2011-5-25
A B
分子分母上下铺， 分子分母上下铺， 下铺必须含字母。 下铺必须含字母。
合作交流 巩固认知 活动2： 活动 ： 分组讨论 根据分式的概念判断
3x x
1 、π
是分式吗？
下面的式子哪些是分式？请把分式领回家。 小试牛刀：下面的式子哪些是分式？请把分式领回家。
4 5b + c
2 b−s
1 (4)当x ≠ ±1 时, 分式 2 有意义. _____ x −1
2011-5-25
探究2 探究2
A 在什么条件下值为0？ 分式 在什么条件下值为 ？ B
就可以了吗？ 仅仅是 A = 0 就可以了吗？ 归纳： 分式的值要为0，需满足的条件是： 归纳： 分式的值要为 ，需满足的条件是： 分子的值等于0且分母值不为 且分母值不为0． 分子的值等于 且分母值不为 ． 思考： 是什么值时， 值是0？ 应用举例 思考：当 x 是什么值时，分式的 x + 2 值是 ？
3000 300 − a
2 7
V S
S 32
1 2x + 5
2
−5
5x − 7
x 2 − xy + y 2 2x −1
3x − 1
2
分式 之家: 之家:
2011-5-25
活动3 活3：
从分数到分式
(2) 4 ; 3b2 5
(5) x ; x2 y2
(3) 5 ; π
(6) c . 3(a b)
注意：分式分母中必须含有字母.
再探概念
问题4 说说分式与分数的联系与区别.
当分母不为 0 时，分式有意义.
例题解析
例 下列分式中的字母满足什么条件， 分式有意义？
(1) 2 ; 3x
(3) 1 ; 5 - 3b
题15.1 , 第1、2题； 选做题:优化练习 , 第1—3题.
(2) x ; x 1
(4) x y . x y
检测反馈
1.下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
(1) 1 ,(2)x 1,(3) z ,(4) a b ,(5) 2ab ,(6) 3 (x y).
a
xy
15
a b2
4
2.列式表示下列各量：
（1）某村有 n 个人，耕地 40 hm2 则人均耕地面积为
人教版 数学 八年级（上）
第十五章 分 式
15.1.1从分数到分式
引入新课
形成概念
问题1 填空
s
（1）长方形面积为S cm2,长为 a cm，宽为
a
cm.
v
（2）圆柱体体积为Vcm3,底面积为 S cm2,高为 s cm.
（3）船在静水航速为 30 km/h,水的流速为 v km/h
90
①若船顺流航行 90 km，所用时间 30 v h；
60
②若船逆流航行 60 km，所用时间 30 v h.
问题2 下列式子有什么共同特点？
s , v , 90 , 60 . a s 30 v 30 v
共同特点： 都具有分数形式 A ；
B
人教版八年级数学上册15.1.1《从分数到分式》教学设计
人教版八年级数学上册15.1.1《从分数到分式》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.1.1《从分数到分式》是分式单元的第一节内容，主要介绍了分数与分式的关系，分式的概念以及分式的基本性质。
本节内容是学生学习更高级数学的基础，对于学生理解数学的抽象概念具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分数的基本知识，对于分数的加减乘除运算也已经熟练掌握。
但是，学生对于分数背后的数学原理可能理解不够深入，对于数学的抽象概念还处于逐步理解的过程中。
三. 教学目标1.了解分数与分式的关系，理解分式的概念。
2.掌握分式的基本性质，能够进行简单的分式运算。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式概念的理解。
2.分式基本性质的掌握。
3.分式运算的熟练运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考分数与分式的关系，激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考的能力。
同时，运用案例分析法，通过具体的例子让学生理解分式的概念和性质。
六. 教学准备1.准备相关的分数和分式的案例。
2.准备分式运算的练习题。
3.准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾分数的知识，激发学生的学习兴趣。
例如：“你们知道分数是什么吗？分数有什么特点？”2.呈现（10分钟）通过PPT展示分数与分式的关系，引导学生思考并总结出分式的概念。
例如：“分数可以表示一个数与另一个数的比，那么分式可以表示什么呢？”3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例子，练习分式的基本性质。
例如：“请同学们观察这个例子，分式的分子和分母同时乘以一个数，分式的值会发生什么变化？”4.巩固（10分钟）让学生进行分式运算的练习，巩固所学知识。
例如：“请同学们完成这个分式的运算，并解释你的思路。
”5.拓展（10分钟）引导学生思考分式在实际生活中的应用，拓展学生的知识视野。
例如：“你们能想到分式在实际生活中有哪些应用吗？”6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确学习重点。
分式通分练习题及答案
分式通分练习题及答案【篇一：分式的约分、通分专项练习题】t>1.不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。
4.约分6x2y?2xy2(a?b)2?c216a4b2c52b?ab①2 ②③④ 22342①?y?x②??x?yx?2y③?x?y?x?y约分练习：1．根据分数的约分，把下列分式化为最简分式：826?a?b?2a212a =_____;125a2bc326a?b45ab2c=_______13a?b=__________13a2?b2=________ 2、约分⑴3a3b3c12ac2⑵ ?x?y?yxy2 ⑶ x2?xyx2?y2x?y2 ⑷x?y23、约分：；?2?252321?.xx2?5x?2?.a?4a?3a2?a?6(3) ?32abc24a2b3d?15(a?b)2a2?abx2(4) ?25(a?b) (5) a?b； (6) ?x?24?x2；a?2a⑤2a?2b4a2?4b25.约分x2?6x?9x2?92?4x?3x2?x?6x2y?xy22xy1a?b?c⑥m3?2m2?mm2?1 a2?9a2?6a?9 2?7xx2 49?2m?2m?11?m9x?y12abc2y(2y?x)415mn2 ⑦6x(x?2y)3 ⑧?10m2n5mn ?x?y??a?b?3x2?3x?18x?y2a?b x2?9212a3?y?x?27ax?y1?x2x2?3x?26.约分：2.通分：（1）(1)；(2)；(3)；(4)．x12x12x，（2）； ,,,22222(2x?4)6x?3xx?4x?1x?3x?2（1）；（2）； (1)；(2)．7.先化简，再求值：4x3y?12x2y2?9xy34x3?9xy2，其中x=1，y=1通分练习： 1. 通分：（1）y2x,x13y2,4xy；3）；（4）3.通分：(1)x?y;2y2x3x?y (2)x?1;?x2?x?1 （3）1b4a2,2ac（4）29?3a,a?1a2?9（5）111(a?b)(b?c),(b?c)(c?a),(a?c)(a?b)4．通分：（1）y2x,z3y,3x4z；（2）3bc2a1254a3,6ab?3b2c；（3）?8x4y,3x2y3z,6xz2。
《从分数到分式 》优课一等奖课件
应用迁移，巩固提高：
例1、填空：
2
（1）当x 0 时，分式 3x 有意义；
（2）当x
1
时，分式
x 有意义；
x 1
（3）当b 5 时，分式 （4）当x 3y时，分式
1 有意义； 5 3b 有意义。
x y x y
例2. 当m为何值时，下列分式的值 为0.
(1)、 m m 1
(2)、m 2
m3
课堂跟踪反馈：
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
7, x
9 y, 20
m
5
4
,
8y y2
3
,
1 x9
2. 当x取何值时，下列分式有意义？
(1)、 3 x2
(2)、 x 5
3 2x
(3)ห้องสมุดไป่ตู้2
x
x
2
5 4
3
x≠-2
x≠ 2
x ≠±2
3. 当x为何值时，下列分式的值为0？
(1)、x 7
2、当分式的分母为零时，分式无意义。
3、当分式的分母不等于零时，分式有意义。
4、当分式的分子是零而分母不等于零时， 分式的值等于零。
课后反思: 今天学会了什么？
5x
(2)、 7x
21 3x
(3)、xx22
1 x
(1)解:当分式 值为零时 x+2=0且5x≠0. 所以x=-7
(2)解:当分式 值为零时7x=0 且21-3x ≠0.所 以x=0
(3)解:当分式值 为零时x2-1=0 且x2-x ≠0，所 以x=-1
归纳小结:
A
1、一般地，形如 B 的式子叫做分式，其 中A和B均为整式，B中含有字母。分式 的分子和分母都是整式，分子可以含有 字母，也可以不含有字母，而分母中必 须含有字母，这是分式与整式的根本区 别。
(一)从分数到分式专题训练
此人 于 Ｊ长 途 电 １ 古明 Ｈ 日是 （ 可１ Ｊ
） ．
Ａ ．
Ｄ
分钟 分钟
Ｂ ．
＋ Ｄ
Ｃ 墨 ．
Ｄ
分钟 分 钟
的值 为负数 ，则 的取
） ．
Ｄ 量 ．
Ｄ
１． ２ 如果 分式
上 一 ＺＸ
值范 围是 （
≤ ｝
ｃ≥ ． 争
（） １ ｖ的值是正 数 ：
（） １ ；
（ ）△ Ｂ 的 面 积 为 Ｓ Ｂ ２ Ｃ ， Ｃ边 长 为 。 则 高 ，
ＡＤ 为 ：
（） ３ 一辆 汽车 行驶 。千米用 ｂ小 时 ， 的平 它 均车速 为 千 米／ 时：一列 火车 行
６ 下列 各式 中 ， ． 无论 取 何值 ， 式都 有 意义 分
的是 （
Ａ．
） ．
Ｂ．
驶 。千 米 比 这 辆 汽 车 少 用 １ 时 ． 小 它 的 平 均 车 速 为 千 米 ／， Ｈ． １ －
２ 示 ． 一 手表
÷… 一 商那 （＋ … 一的 ， ２ 一 么Ⅱ
Ｃ．
Ｄ ． 蠢
ｂ ÷（ ＋ｎ 可 以 表 示 为 ） ｍ ）
７ 当 ： ．
３ 甲种 水 果 每干 克价 格 为 口元 ．乙种水 果 每 ．
千 克 价 格 为 ｂ元 ．取 甲 种 水 果 ｍ 千 克 ． 乙 种 水 果 ｎ千 克 ， 合 后 ， 均 每 千 克 价 格 混 平 是 元． ，
＋ １
时分 宝 ｝ 意 ． ， ｊ辞 义 式 ± ｌ无 一
有 意义 ？ （ ）２ ； １ １ （）
ｒ 。 上
（） ５
；
（） ６
一
16.1.1从分数到分式 (人教版)
A B的形式.
B
其中，A叫做分式的 分子，B叫做分式的 分母 。
整式和分式 统称有理式。
关于分式的几点说明
A 【分式】如果整式A除以整式B, 可以表示 成的形式. B
且除式B中含有字母，那么称式子 其中，A叫做分式的 分子 ，B叫做分式的 分母 。
2a
思考：
A 1、分式 B 的分母有什么条件限制？ A 无意义。 当B=0时，分式 B A 当B≠0时，分式 有意义。 B
A B
A 2、当 B =0时分子和分母应满足什
么条件？
A 当A=0而 B≠0时，分式 B 的值为零。
x 4 例1. 已知分式 x 2,
2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
华 师 大 • 师 大• 八 年 学 ( 下 ) 》 学 北 八 年 级 《 数 级《 数
课首
(下)》
1
问题 :一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/ 时,它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时 间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间 相等.江水的流速是多少?
如果设江水的流速为u千米/时。
最大船速顺流航行100千米所用时间=以最大 航速逆流航行60千米所用的时间
S 32
2
1 2x 5
2
5
5x 7
x xy y 2x 1
3x 1
2
分式:
1、分数 5 ， 有意义吗？
类比 分数 来 学习 分式
0 0
2、分式
a1 成立有条件吗？ 2a
有什么条件？ 3、分式a 1中 ，a 可取多少值？
15.1.1从分数到分式(优秀教案)
15.1.1从分数到分式教案分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。
通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。
教学目标1，知识与技能理解分式的概念.能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2，过程与方法从具体到抽象，从特殊到一般，体会类比的方法；能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程。
3，情感态度价值观经历与分数类比学习分式的过程，养成缜密的思维习惯，形成类比思想，体验数学的价值；教学重点和难点重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件。
难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件。
教学过程设计演示课件幻灯片问题欣赏：一艘船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。
江水的流速是多少？在数学中，应用类比推理的地方有很多。
今天我们就通过类比分数来学习分式。
那么什么是分式呢？通过以下的学习我们就很明白了。
（一）知识回顾什么叫做整式？单项式和多项式统称为整式（二）新课导入填空1、长方形的面积为10cm 2，长为7cm ，宽应为__________cm ；长方形的面积为S ，长为a ，宽应为__________；2、把体积为200cm 3的水倒入底面积为33cm 2的圆柱形容器中，水面高度为__________cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为__________。
学生分组讨论得出答案，并指出书写形式：同5÷3可以写成53一样，式子A÷B 可以写成A B。
答案： ， ， ，学生讨论（1） 式子 ， ， 它们与分数有什么相同点和不同点？让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，归纳总结出这些式子的特点。
（三）知识讲解总结出分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式。
《15.1.1从分数到分式》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《从分数到分式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《从分数到分式》的学习，使学生能够：1. 理解分数与分式的基本概念及区别；2. 掌握分式的读写方法；3. 学会分式的基本性质和运算规则；4. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
二、作业内容本课时作业内容主要围绕分式的概念及基本运算进行设计，具体包括：1. 概念理解：（1）复习分数的概念，理解分式是分数的扩展形式；（2）掌握分式的定义，了解分式中分子、分母的构成及意义。
2. 读写训练：（1）练习分式的正确读写，包括分式符号的书写规范；（2）通过例题掌握分式与分数之间的转换。
3. 基本运算：（1）练习分式的加减法运算，包括同分母和异分母分式的加减；（2）掌握分式乘除法的基本规则，并能够进行简单的运算。
4. 实际应用：（1）通过实际问题，应用分式运算解决生活中的数学问题；（2）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，掌握分式的基本概念和运算规则；2. 完成教材中的相关练习题，并保证答案的准确性和解题过程的规范性；3. 针对实际应用部分，学生需独立思考，尝试用所学知识解决实际问题，并记录解题过程和答案；4. 作业需按时提交，字迹工整，格式规范；5. 作业中如有疑问或困难，可向老师或同学请教，共同探讨解决问题。
四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导；2. 对学生的解题过程和答案进行批改，指出错误并给出正确答案及解题思路；3. 针对学生在作业中表现出的优点和不足，给出鼓励和建议，帮助学生更好地掌握数学知识；4. 将学生的作业情况及时反馈给家长，与家长共同关注孩子的学习进步。
五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，总结学生在学习过程中存在的共性问题，并在课堂上进行讲解和指导；2. 对学生在实际应用部分的表现进行点评，引导学生更好地将数学知识应用于实际生活中；3. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，促进同学之间的互助和学习氛围的形成；4. 根据学生的学习进度和掌握情况，适时调整教学计划和作业设计，以更好地满足学生的学习需求。
从分数到分式
有意义，只需要（ C ） B. x ≠ 3 x= -1时分母为零 D. x≠-1 或 x≠3 只取一个不行
A .x ≠－1 x=3时分母为零 C. x≠-1且x≠3
2.在下列各分式中，当 x 等于什么数时，分式 的值为0？当 x 等于什么数时，分式没有意义？ 2x 1 2 x 0.5 ． （ 1） ； （2） 2 x 3x 1
当x=1时x+1≠0 当 x = - 1 时 x + 1 = 0 分式无意义。 ∴当 x = 1 时原分式的值为零。
解：由分子|x| - 1 =0 得 x = ±1
若使分式的值为零，需满足两个条件：
①分子值等于零； ②分母值不等于零．
巩固性练习(二)
1、要使分式
( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3)
巩固性练习(三) x3 ⑴分式 2 的值能等于0吗？说明理由． x x 12 ⑵有一个分式，字母的取值范围是 x 1 ，若 分子为“x 2 ”，你能写出一个符合上面条 件的分式吗？试试看．
xa 3．x=2时，分式 的值为0，则a= xb
，b≠
．
2 3x 4．使分式 2 的值为负数，则x取值范围是 2x 5
学习分式概念中应注意的问题． (1) 分式是两个整式相除的商，分数线可以理解 为除号，并含有括号的作用． x 1 如： x 3 可表示为（x -1) ÷ (x -3) . (2) 分式的分子可以含有字母，也可以不含有
字母，但分母必须含有字母． (3) 分式分母的值不能为0，否则分式无意义．
A 思考 2 分式 在什么条件下值为0？ B 仅仅是 A 0 就可以了吗？
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就
不一定是整式了． 有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种
《从分数到分式》导学案
第十五章 分 式15.1 分 式15.1.1 从分数到分式1.知道分式的概念,能用分式表示数量关系.2.能写出分式有意义的条件,会求分式的值为零时字母的取值范围.3.在学习过程中体会从分数到分式的类比方法在代数学习中的作用.4.重点:分式的概念,分式有意义的条件.阅读教材第十五章章首至“思考:填空(1)……”的内容,解决下列问题: 思考:式子v +3090, v -3060, a s , sv 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同 【归纳总结】一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有 ,那么式子 叫作分式,其中A 叫作 ,B 叫作【预习自测】在式子①2; ②y x + ; ③1 ④x 中, 是分式的有 问题探究二阅读教材“思考:式子……”至“练习”上面的内容,解决下列问题.1.一般对表达式B A 的分母B 有什么取值限定?为什 思考:对于分式 B A , 分式的值能等于零吗? 此时分式需要什么条件? 【归纳总结】对于分式B A ,当 时,分式B A 有意义;当 时,分式BA 无意义. 当 时,分式B A =0【预习自测】当x 取何值时,下列分式有意义或等于0?(1)x x 235-+ (2)0622=--x x互动探究1:当x 为何值时112+-x x 分式有意义?小明的答案是x ≠0时分式112+-x x 有意义;小红的答案是无论x 为何值,分式都有意义.你认为这两位同学的答案谁的正确?为什么?互动探究2:当分式 21+-x x 的值为0时, x 的值是 （ )A.0B.1C.-1D.-2[变式训练] 当分式 33--x x 的值为0 ,则x 的值为 . 【方法归纳交流】分式值为零的条件有两个 ,两者缺一不可.因此,在求解未知数的值时,一定不要漏掉分母不等于零的条件.互动探究3:(1)当x 时,分式21+x 的值为正; (2)当x 时, 分式 11+-x x 的值为负. *[变式训练]当x 为何值时,分式 42-+x x 的值为正?【方法归纳交流】解决分式值为正或负的问题时,首先要看清已知分式中的分子和分母的值,然后再根据两数相除, ,从而建立关于未知数的不等式,求出未知数的范围。
15.1.1《从分数到分式》典型例题
《从分数到分式》典型例题例1．下列各式中不是分式的是（ ）A ．y x x +2B ．21πC ．21xD ．13-x x 例2．分式)3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足条件（ ） A ．1≠xB ．2≠xC ．2≠x 且3≠xD ．2≠x 或3≠x例3．当x 取何值时，下列分式的值为零？（1）212-+x x ； （2）33+-x x例4．932-+x x 与31-x 是同一个分式吗？ 例5．若分式x x 2123-+的值为非负数，求x 的取值范围例6. 判断下列有理式中，哪些是分式？()x -151；y y 132+；2b a +；c b a c b a ++--；()312-πx ；223121y x -；例7. 求使下列分式有意义的x 的取值范围：（1）521-+x x ； （2）x x -+243； （3）()()3521+-x x ； （4）5.03222+--x x x 。
例8. 当x 是什么数时，下列分式的值是零：（1）22322+--x x x ； （2）33--x x 。
参考答案例1．解答 B说明 ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ②π是一个常数，不是一个字母例2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即 0)3)(2(≠--x x ，所以2≠x 且3≠x解 C说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点例3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零解 （1）由分子012=+x ，得21-=x .又当21-=x 时，分母02≠-x . 所以当21-=x 时，分式212-+x x 的值为零。
（2）由分式03=-x ，得3±=x .当3=x 时，分母063≠=+x ；当3-=x 时，分母03=+x .所以当3=x 时，分式33+-x x 的值为零. 例4．分析 分式932-+x x 有意义的条件是092≠-x ，即3≠x 和3-.而31-x 有意义的条件是3≠x ，而当3-=x 时，31-x 是有意义的. 解 由于932-+x x 与31-x 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式. 说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑其他问题.例5．分析 0>ab 可转化为0>a ，0>b 或0<a ，0<b ；0≥ba 可转化为0≥a ，0>b 或0≤a ，0<b解 根据题意，得xx 2123-+0≥，可转化为 （Ⅰ）⎩⎨⎧>-≥+021,023x x 和（Ⅱ）⎩⎨⎧<-≤+.021,023x x由（Ⅰ）得2132<≤-x ，由（Ⅱ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤.21,32x x 无解. 综上，x 取值范围是：2132<≤-x 例6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。
第十五章 从分数到分式2
(3) 当b______时，分式
分式
1 5 3b
有 意义；
1 5 3b 无意义；当b
时，
(4) 当x、y满足关系
x y 时，分式 有意义； x y
1.分式
的分母有什么条件限制 无意义.
当B=0时，分式
(2)由(1)得 当x ≠-2时，分式有意义. (3)当分子等于零且分母不等于零，分式的值等于0 即x-4=0且2x+4≠0, ∴x=4
通过本课时的学习，需要我们了解些什么呢？
1.知道分式的概念，会辨别分式与整式.
2.会求分式有意义时字母的取值范围. 3.会求分式值为零时的字母的取值.
【拓展应用】
【试一试】
1.列式表示下列各量。 40 (1) 某村有n个人，耕地40 hm2 ,则人均耕地面积为______ n
2s （2）∆ABC的面积为S，BC边的长为a,则高AD为_______. a
（3）一辆汽车行驶了 b h ,一列火车 比这辆汽车少用1h行 a 驶a km,则它的平均速度为 ________ km/h. b 1
【解析】整式有（2）（4）（9）（10） 分式有（1）（3）（5）（6）（7）（8）
整式与分式的区别是____________________
从-5,0,8这三个数中任意抽取两个数代入到分式 中， 则得到的分式的值有多少个？请写出该分式的所有值。
a b
【探究活动二】分式有意义的条件
练一练 由分数的特点，我们联想、类比回答问题： 2 2 （1）当x____时，分式 3 x无意义； 当x___ 时，分式 3 x 有意义；
它们与分数 相同点
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A ．
B ．
x - 2
（2） 例 4． x + 3
与 是同一个分式吗？
1 ( a - b - c 1 ( 1 - x )； ； ； ； π - 3)； x
2 - y 2 ； （1） x + 1
；
（2） ；
（3）
( ； （4） 5
《从分数到分式》典型例题
例 1．下列各式中不是分式的是（ ）
2x
x + y
1
π 2
C ．
1
x 2
D ．
x 3
x - 1
例 2．分式 x - 1
( x - 2)( x - 3)
有意义，则 x 应满足条件（ ）
A ． x ≠ 1
B ． x ≠ 2
C ． x ≠ 2 且 x ≠ 3
D ． x ≠ 2 或 x ≠ 3
例 3．当 x 取何值时，下列分式的值为零？
（1） 2 x + 1 ；
x - 3
x + 3
1 x
2 - 9 x - 3
例 5．若分式 3x + 2 1 - 2 x
的值为非负数，求 x 的取值范围
例 6. 判断下列有理式中，哪些是分式？
3 y 2 + 1 a + b 1 1 5 y 2 a + b + c x 2 2 3
例 7. 求使下列分式有意义的 x 的取值范围：
3x + 4
2 x - 5
2 - x
1
x 2 - 2 x - 3
x - 2)(
x + 3)
x 2 + 0.5
例 8. 当 x 是什么数时，下列分式的值是零：
2 x 2 - 3x - 2
x - 3 （1）
； （2）。
x + 2
x - 3。
解 （1）由分子 2 x + 1 = 0 ，得 x = -
.又当 x = - 时，分母 x - 2 ≠ 0 . 所以当 x = - 时，分式
的值为零。
有意义的条件是 x 2 - 9 ≠ 0 ，即 x ≠ 3 和 - 3 .而
有 意义的条件是 x ≠ 3 ，而当 x = -3 时， 是有意义的.
与 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.
参考答案
例 1．解答 B
说明
①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母;
② π 是一个常
数，不是一个字母
例 2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为 0，即
( x - 2)( x - 3) ≠ 0 ，所以 x ≠ 2 且 x ≠ 3
解 C
说明
当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要
特别注意的一点
例 3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不
等于零
1 1
2 2
1 2 x + 1
2 x - 2
（2）由分式 x - 3 = 0 ，得 x = ±3 .当 x = 3 时，分母 x + 3 = 6 ≠ 0 ；当 x = -3 时，
分母 x + 3 = 0 .所以当 x = 3 时，分式
x - 3
x + 3 的值为零.
例 4．分析 分式 x + 3 1
x 2 - 9 x - 3
1
x - 3
解 由于
x + 3 1
x 2 - 9 x - 3
说明
在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，
然后再考虑其他问题.
例 5．分析 ab > 0 可转化为 a > 0 ， b > 0 或 a < 0 ， b < 0 ；
a
b
≥ 0 可转化为 a ≥ 0 ， b > 0 或 a ≤ 0 ， b < 0
解 根据题意，得 3x + 2
≥ 0 ，可转化为
1 -
2 x
⎧3x + 2 ≥ 0, ⎧3x + 2 ≤ 0,
（Ⅰ） ⎨ 和（Ⅱ） ⎨
⎩1 - 2 x > 0 ⎩1 - 2 x < 0.
⎪⎪ 3
由（Ⅰ）得 - ≤ x < ，由（Ⅱ）得 ⎨ 无解.
综上， x 取值范围是： - 2
1 (
π - 3)中分母均含有字母，故它
3 y 2 + 1 a - b - c
⎩有意义的 x 的取范围是不等于 的一切有理数。
即 x = 2 或 x = - 。
5
所以使
( 有意义的 x 的取值范围是不等于 2 且不等于 - 的一切
5
⎧
2 x ≤- ,
2 1
3 2 ⎪x > 1 .
⎪ 2
1
≤ x < 3 2
例 6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。
也就是说，有理
式不仅应在形式上是 A
，更重点的是 B 中要有字母，才可判定为分式。
B
解：根据分式定义， ； ， y a + b + c x 2
们是分式。
说明 分母中只要含有字母即可，至于字母的个数和次数不受限制；而分子
中字母则可有可无。
例 7. 分析 要使分式有意义，只需分母不为零。
可以假定分母等于零，求
出相应的 x 的值，在 x 的取值范围内去掉这些值就为所求。
解：（1）令 2 x - 5 = 0 ，有 x = 5 2。
所以使分式
x + 1 5
2 x - 5 2
（2）令 2 - x = 0 ，有 x = 2 ，即 x = 2 或 x = -2 。
所以使 3x + 4
有意义的 x 的取值范围是不等于 2 和－2 的一切有理数。
2 - x
（3）令 (x - 2)( x + 3)= 0 ，则有 x - 2 = 0 或 5 x + 3 = 0 ，
3
5
1
x - 2)( x + 3)
3 5
有理数。
（4）由于 x 2 ≥ 0 ，那么 x 2 + 0.5 > 0 。
所以使 x 2 - 2 x - 3 x 2 + 0.5
有意义 x 的取值范围是一切有理数。
而 x = 2 或 x = - 均使分母不为零。
∴当 x = 2 或 x = - 时，都能使分式 的值为零。
x - 3 的值是零。
2
说明 1. 到目前为止，分式的字母取值是在有理数范围内，今后，随着扩
充新的数，字母的取值范围将跟着扩大。
2. 如果分母是二次三项式的形式，则首先考虑分解成两个一次式的乘积，
再令分母为零。
3. 对于分式，弄清其字母的取值范围，对今后分式的进一步学习有着重要
的意义。
例 8. 分析 要使分式值为零，则首先要使分式有意义，也就是要求的 x 必
须满足使分子为零的同时，使分母不为零。
解：
（1） x 应满足 x + 2 ≠ 0
①
同时满足
2 x 2 - 3x - 2 = 0
②
由①得 x ≠ -2 ；
由②得
(x - 2)( x + 1)= 0 ，
∴
x - 2 = 0 或 2 x + 1 = 0 ，
1
2
1 2 x 2 - 3x - 2
2 x + 2
（2） x 应满足 x - 3 ≠ 0 ①并且 x - 3 = 0 ②。
由①得 x ≠ 3 ；
由②得 x = 3 ，则 x = 3 或 x = -3 。
而 x = 3 不是分母的取值范围，应当舍去。
∴当 x = -3 时，分式 x - 3
说明 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的。
如果令分子为零，求出的
数，使分母也为零时，必须舍去，所以使分式 A
B
⎧B ≠ 0 为零的条件是： ⎨
⎩ A = 0.。