《从分数到分式》练习题

A ．

B ．

x - 2

（2） 例 4． x + 3

与 是同一个分式吗？

1 ( a - b - c 1 ( 1 - x )； ； ； ； π - 3)； x

2 - y 2 ； （1） x + 1

；

（2） ；

（3）

( ； （4） 5

《从分数到分式》典型例题

例 1．下列各式中不是分式的是（ ）

2x

x + y

1

π 2

C ．

1

x 2

D ．

x 3

x - 1

例 2．分式 x - 1

( x - 2)( x - 3)

有意义，则 x 应满足条件（ ）

A ． x ≠ 1

B ． x ≠ 2

C ． x ≠ 2 且 x ≠ 3

D ． x ≠ 2 或 x ≠ 3

例 3．当 x 取何值时，下列分式的值为零？

（1） 2 x + 1 ；

x - 3

x + 3

1 x

2 - 9 x - 3

例 5．若分式 3x + 2 1 - 2 x

的值为非负数，求 x 的取值范围

例 6. 判断下列有理式中，哪些是分式？

3 y 2 + 1 a + b 1 1 5 y 2 a + b + c x 2 2 3

例 7. 求使下列分式有意义的 x 的取值范围：

3x + 4

2 x - 5

2 - x

1

x 2 - 2 x - 3

x - 2)(

x + 3)

x 2 + 0.5

例 8. 当 x 是什么数时，下列分式的值是零：

2 x 2 - 3x - 2

x - 3 （1）

； （2）

。

x + 2

x - 3

。

解 （1）由分子 2 x + 1 = 0 ，得 x = -

.又当 x = - 时，分母 x - 2 ≠ 0 . 所以当 x = - 时，分式

的值为零。 有意义的条件是 x 2 - 9 ≠ 0 ，即 x ≠ 3 和 - 3 .而

有 意义的条件是 x ≠ 3 ，而当 x = -3 时， 是有意义的.

与 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.

参考答案

例 1．解答 B

说明

①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母;

② π 是一个常

数，不是一个字母

例 2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为 0，即

( x - 2)( x - 3) ≠ 0 ，所以 x ≠ 2 且 x ≠ 3

解 C

说明

当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要

特别注意的一点

例 3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不

等于零

1 1

2 2

1 2 x + 1

2 x - 2

（2）由分式 x - 3 = 0 ，得 x = ±3 .当 x = 3 时，分母 x + 3 = 6 ≠ 0 ；当 x = -3 时，

分母 x + 3 = 0 .所以当 x = 3 时，分式

x - 3

x + 3 的值为零.

例 4．分析 分式 x + 3 1

x 2 - 9 x - 3

1

x - 3

解 由于

x + 3 1

x 2 - 9 x - 3

说明

在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，

然后再考虑其他问题.

例 5．分析 ab > 0 可转化为 a > 0 ， b > 0 或 a < 0 ， b < 0 ；

a

b

≥ 0 可转化为 a ≥ 0 ， b > 0 或 a ≤ 0 ， b < 0

解 根据题意，得 3x + 2

≥ 0 ，可转化为

1 -

2 x

⎧3x + 2 ≥ 0, ⎧3x + 2 ≤ 0,

（Ⅰ） ⎨ 和（Ⅱ） ⎨

⎩1 - 2 x > 0 ⎩1 - 2 x < 0.

⎪⎪ 3

由（Ⅰ）得 - ≤ x < ，由（Ⅱ）得 ⎨ 无解.

综上， x 取值范围是： - 2

1 (

π - 3)中分母均含有字母，故它

3 y 2 + 1 a - b - c

⎩有意义的 x 的取范围是不等于 的一切有理数。 即 x = 2 或 x = - 。

5

所以使

( 有意义的 x 的取值范围是不等于 2 且不等于 - 的一切

5

⎧

2 x ≤- ,

2 1

3 2 ⎪x > 1 .

⎪ 2

1

≤ x < 3 2

例 6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。也就是说，有理

式不仅应在形式上是 A

，更重点的是 B 中要有字母，才可判定为分式。

B

解：根据分式定义， ； ， y a + b + c x 2

们是分式。

说明 分母中只要含有字母即可，至于字母的个数和次数不受限制；而分子

中字母则可有可无。

例 7. 分析 要使分式有意义，只需分母不为零。可以假定分母等于零，求

出相应的 x 的值，在 x 的取值范围内去掉这些值就为所求。

解：（1）令 2 x - 5 = 0 ，有 x = 5 2

。

所以使分式

x + 1 5

2 x - 5 2

（2）令 2 - x = 0 ，有 x = 2 ，即 x = 2 或 x = -2 。

所以使 3x + 4

有意义的 x 的取值范围是不等于 2 和－2 的一切有理数。

2 - x

（3）令 (x - 2)( x + 3)= 0 ，则有 x - 2 = 0 或 5 x + 3 = 0 ，

3

5

1

x - 2)( x + 3)

3 5

有理数。

（4）由于 x 2 ≥ 0 ，那么 x 2 + 0.5 > 0 。

所以使 x 2 - 2 x - 3 x 2 + 0.5

有意义 x 的取值范围是一切有理数。