第5章 抽样分布与参数估计

(1 5.5) 2 (2 5.5) 2 (10 5.5) 2 /10 2.87228
E(X) 5.5
x

n
2.87228 / 2 2.0310
5-22
【例】160 件电子元器件重量的均值为 5.02 克， 标准差为 0.30 克， 从中采用不放回方式随机抽取 64 件， 试求： （1）样本平均数的期望值与方差； （2）总重量在 4.96 克与 5.00 克之间的概率。 解： （1） E(X) 5.02克 ；
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
统计学
毛春元主讲
第五章 抽样分布与参数估计

第一节 抽样的基本概念与数学原理


第二节 抽样分布
第三节 参数估计
第四节 样本容量的确定
第五节 EXCEL在参数估计中的应用
5-20
中心极限定理


正态分布的再生定理 ：相互独立的两个正态 随机变量相加之和仍服从正态分布。 中心极限定理：
2 X ~ N , n

大样本的平均数近似服从正态分布。
5-21
【例】计算例 5-2 中 10 名推销员平均的任职年限及其 标准差， 并与例 5-2 求得的样本平均数的期望值与方差作比 较。 解： (1 2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
N1 p x N
n1 P n
E ( P) p

P也是一个随机变量，利用样本平均数的分布性质结论，即有：
p 1 p p 1 p P n n n
5-17
不放回抽样分布

样本均值的分布性质：
E( X )
(X ) X

2 N n
X
n
E ( X ) X Xf 42(元) f
( X X )2 f 16(元2 ) (X ) f
2
5-15
放回抽样分布--样本平均数的分布

由概率论知，如果总体是正态分布的，则样 本平均数的抽样分布是如下正态分布
N ( ,


2
n
)
这是一个非常重要的结论，有广泛的应用。 （请参见中心极限定理。）
样本平 均数 X 34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本 46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平 均数 X 40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
5-14
放回抽样分布--样本平均数的分布
样本平均数 X 34 36 38 40 42 44 46 48 50 合计 频数 1 2 3 4 5 4 3 2 1 25

验证了以下两个结论：
E( X )
2 2( X )
n

抽样平均数的标准差反 映所有的样本平均数与 总体平均数的平均误差， 称为抽样平均误差，用 表示。 X

放回抽样分布--样本平均数的分布


某班组5个工人的日工 资为34、38、42、46、 50元。 = 42 2 = 32 现用放回抽样的方法从 5人中随机抽2个构成样 本。共有52=25个样本。 如右图。
样本 34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
n N 1
样本成数的分布性质
E ( P) p
P
p 1 p N n n N 1
5-18
抽样分布总结
样本平均数的分布 样本成数的分布
放回抽 样
E( X )
X )
n
E ( P) p
p 1 p P n

(5.19)
式中被 1 和 2 框定的区间叫做置信区间。 i = 叫做抽
样极限误差，它可以反映抽样估计误差的最大范围。
5-28
X p P 2 s 2
X X
n 1
2
5-29

（三）估计量的优良标准
ˆ 1．无偏性。 的数学期望值等于θ 。即有： E (5.17)
2. 有效性。又称最小方差性。
5-30
3. 一致性，一致性是指随着样本容量不断增大，样本统计 量接近总体参数的可能性就越来越大，或者，对于任意给定的偏 差控制水平，两者间偏差高于此控制水平的可能性越来越小，接 近于 0。用公式表示就是：
5-6
总体
样本

参数

统计量 平均数 标准差、方差
X
、2
P
N
S、 S2
成数
单位数
P
n
( x x )2 s2 n 1 ( x x )2 f s2 f 1
5-7

（三）概率抽样及其组织形式 所谓概率抽样，就是要求对总体的 每一次观察（每一次抽取）都是一次随 机试验，并且有和总体相同的分布。按 这样的要求对总体观测（抽取）n次， 可得到容量为n的样本。
Nn 。 样本可能的个数是
5-11
2.不放回抽样。 特点： 第一，n 个单位的样本由 n 次试验结果构成。 第二，每次试验结果不是独立的，上次中选情况影 响下次抽选结果。 第三，每个单位在多次(轮)试验中中选的机会是不 等的。 N! 如果考虑顺序，其样本可能个数为 ； ( N n)! 如果不考虑顺序，其样本可能个数为
320 80% 400
(1 ) N n p
n N 1
P (1 P ) n 1 N N
80% 20% 400 1 1.932 400 6000
5-25
第三节 参数估计
一、参数估计概述 二、总体均值的估计 三、总体比例的估计 四、总体方差的估计
x
N n
2
0.3 （ 160-64) 0.02914克 = n N 1 64 (160-1)
5-23
（2） 该问题可化为求样本平均数的观测值在 4.96 克 -5.0 克之间的概率。 因为 X ~ N (5.02, 0.3 ) ,所以， 可先 将其进行标准变换，并利用上一章介绍的标准正态分布 求解概率。即有：
N! 。 ( N n)! n!
5-12
二、抽样分布


抽样分布的概念：由样本统计量的全部可能 取值和与之相应的概率（频率）组成的分配 数列。（主要求出样本平均数的期望与方差） 包括以下内容

放回抽样分布

样本平均数的分布 样本成数的分布 样本平均数的分布 样本成数的分布
5-13

不放回抽样分布
5-2
第一节 抽样的基本概念与数学原理

一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-3
一、有关抽样的基本概念

（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分 单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。 一般地，样本单位数大于30个的样本称 为大样本，不超过30个的样本称为小样本。 2.样本个数。样本个数又称样本可能数目， 它是指从一个总体中可能抽取多少个样本。
5-27

（二）点估计 点估计，主要有矩估计法和最大似然估计法。 矩估计法是用样本矩去估计总体矩（或是用样 本矩的函数去估计总体矩的相应函数）的一种估计 方法，由此获得的估计量称作矩估计量； 最大似然估计法是把待估计的总体参数看作一个 可以取不同数值的变量，计算当总体参数取上述不 同数值的时候，发生我们当前所得到的样本观测值 的不同概率，总体参数取哪一个数值的时候这种概 率最大，便把这个数值作为对总体参数的估计结果。
5-8
【例 5-1】 有 10 个同样的球，分别标 有从 1 至 10 的号码。 （1）从中有目的地抽出 5 号球； （2）从中随便地取一个球； （3）把 10 个球放在袋中，充分混匀，从中抽出一个 球，抽取时，要求袋中各个球有相等的被抽 中的概率。上述抽样方式是否属于概率抽 样？
5-9
显然， （1）和（2）的抽取行为都不是随机试验。因而不属于概 率抽样。只有（3）的抽取行为是随机试验。总体的分布可用表 5-1 的 分布列来描述，而（3）的随机试验中所观测的随机变量也有与表 5-1 有相同的分布。所以， （3）的抽取行为是概率抽样。
当样本容量n 充分大时，可以用 样本平均估计总体平均。
m lim p p 1 n n
当试验次数n充分大时，可以用 频率代替概率。
大数定理的意义：个别现象受偶然因素影响，但是，对 总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的影响相 互抵消，从而使总体平均数稳定下来，反映出事物变化 的一般规律，这就是大数定理的意义。
5-16
放回抽样分布--样本成数的分布

总体成数p是指具有某种特征的单位在总体中的比重。成数是一个特殊平 均数，设总体单位总数目是N，总体中有该特征的单位数是N1。设x是0、 1变量（总体单位有该特征，则x取1，否则取0），则有：

现从总体中抽出n个单位，如果其中有相应特征的单位数是n1，则样本成 数是：
E( X )