概率论与数理统计:各章作业解答

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概率论与数理统计学1至7章课后答案

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解:由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且,361)12()2(====X P X P ;362)11()3(====X P X P ; 363)10()4(====X P X P ;364)9()5(====X P X P ; 365)8()6(====X P X P ;366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解:根据1)(0==∑∞=k k X P ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---eae 。

故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解:分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中,则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为:0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P , 两人各投中一次的概率为:2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为:0784.0)(2121=B B A A P 。

所以:(1)两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ,求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解:(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k,求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解:31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P 41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率:(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解:(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率: (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解:(1) ()!kP X k e k λλ-==,由题意,0.53 1.5,0k λ=⨯==,所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意,0.54 1.5λ=⨯=,所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是,假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解:设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计课后题参考答案

概率论与数理统计课后题参考答案

第一章 基本概念1、试对下列随机试验各写出一个样本空间: (1)掷一颗骰子;(2)一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1、2、3、4、5,从中同时取出3个球; (3)10只产品中有3只是次品,每次从中任取一只(取出后不放回),直到将3只次品全部取出,记录抽取的次数;(4)对某工厂生产的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如果查出2件次品就停止检查,或者查满4件也就停止检查,记录检查结果。

解:(1)}6,5,4,3,2,1{=Ω(2))}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1{(=Ω5个球中选3各球进行组合,有1035=C 种。

(3)}109876543{,,,,,,,=Ω最少抽取的次数是每次取出的都是次品;最多抽取的次数是把10只产品全部取出,总能抽出3个是次品。

(4)用数字1代表正品,数字0代表次品;样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。

)}1,1,1,0(),1,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),0,1,1,0(),0,0,1(),0,1,0(),0,0{(=Ω2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查,用抽样检查方法,约定,从这批产品中任意取出4件产品来做检查,若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂;若有1件次品就再作进一步检查;若有2件次品则将这批产品降级后出厂;若有2件以上次品就不允许出厂。

试写出这一试验的样本空间,并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。

解:用数字1代表正品,数字0代表次品设=“正常出厂”; =“再作检查”; =“降级出厂”;D =“不予出厂”)}1,1,1,1{(=A)}0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0{(=B)}0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0{(=C )}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0{(=D)}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0(),0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0(),1,1,1,1{(=⋃⋃⋃=ΩDC B A3、设A 、B 、C 是三个事件,试用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: (1)A 与B 都发生,但C 不发生;(2)A 发生,但B 与C 可能发生也可能不发生; (3)这三个事件都发生; (4)这三个事件都不发生; (5)这三个事件中至少有一个发生; (6)这三个事件中最多有一个发生; (7)这三个事件中至少有两个发生; (8)这三个事件中最多有两个发生; (9)这三个事件中恰有一个发生; (10)这三个事件中恰有两个发生。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。

8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A{}Y X B >=,则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

第一章 思 考 题1.事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗?为什么?2.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重,在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病,所以你不会死” ,医生的说法对吗?为什么?3.圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答:因为π是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4.你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗?5.两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系?对立事件与互不相容事件又有何区别和联系?6.条件概率是否是概率?为什么?习 题1.写出下列试验下的样本空间: (1)将一枚硬币抛掷两次答:样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正,正反,反正,反反 (2)将两枚骰子抛掷一次答:样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==(3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出答:结果可以用(x ,y )表示,x ,y 分别是烟、酒年支出的元数.这时,样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2.甲,乙,丙三人各射一次靶,记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件: (1) “甲未中靶”: ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”: ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”: ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”: ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”: ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”: ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”: ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”: ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”: ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”: ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”: ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件,化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4.某城市的电话号码由5个数字组成,每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个,求电话号码由五个不同数字组成的概率.解:51050.302410P P ==.5.n 张奖券中含有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,求其中至少有一人中奖的概率。

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;B :两次出现同一面,则= ;C :至少有一次出现正面,则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则(1)=⋃B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ⋃= ,(5)B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ,则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

概率论与数理统计作业与解答

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概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生},则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ;或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二{8只鞋子均不成双}, B={恰有2只鞋子成双}, C 珂恰有4只鞋子成双}.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C :C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P {三位数为偶数} = P {尾数为偶数}=-,9⑵P {三位数为奇数} = P {尾数为奇数} = 5,9或P {三位数为奇数} =1 -P {三位数为偶数} =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A ={最小号码为5}, B={最大号码为5}.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率:A={全红} B ={颜色全同} C ={颜色全不同} D ={颜色不全同} E ={无 黄色球} F ={无红色且无黄色球} G ={全红或全黄}.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生(m^n 1)随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。

概率论与数理统计习习题解答

概率论与数理统计习习题解答

欢迎阅读第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,(6)A、B、C至少有一个发生;(7)A、B、C不多于一个发生;(8)A、B、C至少有两个发生.解所求的事件表示如下欢迎阅读3.在某小学的学生中任选一名,若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生,事件C 表示该学生是运动员,则 (1)事件AB 表示什么?(2)在什么条件下ABC =C 成立?(3)在什么条件下关系式C B ⊂是正确的? (4)在什么条件下A B =成立? 解(1(2(3(4立.4.设解 所以 5. 解 则–6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率:A ={两球颜色相同},B ={两球颜色不同}.解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为22a b A A +,有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则2211222()()a b a b a ba bA A A AP A P B A A +++==欢迎阅读7. 若10件产品中有件正品,3件次品,(1)不放回地每次从中任取一件,共取三次,求取到三件次品的概率;(2)每次从中任取一件,有放回地取三次,求取到三次次品的概率.解 (1)设A={取得三件次品} 则33人颗,(2) 取到两颗白子,一颗黑子的概率; (3) 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率; (4) 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则欢迎阅读3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .(4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384+C C 10. (年按(2解(1) (2)11. 将成解 因此有12. 从解 要共有45C 13. 解 设A i = {第i 个零件不合格},i=1,2,3, 则()1i i P A p i==+ 所以()11i i i P A p i=-=+ 由于零件制造相互独立,有:123123()()()()P A A A P A P A P A =,123123()()()()P A A A P A P A P A =欢迎阅读14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内},B={射击击中目标},B i ={第i次击中目标}, i=1,2.则P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外B=B1+B2,由全概率公式,件C={产品中次品不超两件}, 由题意由于A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式由Bayes公式故欢迎阅读16.由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%和90%的概率分别为0.8,0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率).解设B={三件都是好的},A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏P(A2由为17.和(1(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设H i={箱中实际有的次品数}, 0,1,2i, A={通过验收}则P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有:(1)由全概率公式(2)由Bayes公式得欢迎阅读18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻(1)恰有两台设备被使用的概率是多少?(2)至少有三台设备被使用的概率是多少?解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品,其中正品8件,次品两件,现从中任取两件,求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示:律?解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即解得:1(1)C e λ=-7. 已知X的分布律 X -112P162636求:(1)X 的分布函数;(2)12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭;(3)312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.解 (1) X 的分布函数为()()k k x xF x P X x p ≤=≤=∑(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=- 12. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求: 13. (1)每分钟恰有6次呼唤的概率; 14. (2)每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) = !kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大,p 比较小,np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此 (1) P(X=2)2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑17. 设连续型随机变量X 的分布函数为18.20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩1/21/1/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数 21. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时,以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时),它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时,求供电量不够需要的概率是多少?如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的?解 如果供电量只有80万千瓦,供电量不够用的概率为: P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰如果供电量只有80万千瓦,供电量不够用的概率为:P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得,2a=1.65即 a = 3.325.设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05,0.062),规定X在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品,求螺栓不合格的概率.解由题意,设P为合格的概率,则则不合格的概率=1?P = 0.045626.设随机变量X服从正态分布N(60,9),求分点x1,x2,使X分别落在(-∞,x1)、(x1,x2)、(x2,+∞)的概率之试求:(1)2X的分布列;(2)x2的分布列.解(1) 2X的分布列如下2X -4 0 4 6(2) x 2的分布列 29. 设X 服从N(0,1)分布,Y =|X |的密度函数.解 的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩, 从而可得Y=|X|的密度函数为:当y>0时,222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==解 由于ln y x =严格单调,其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且, 则 32. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布,求Y =x e 的分布密度. 解 由于x y e =严格单调,其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0,则 当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩33. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布,证明:Y =21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数,其反函数为:1()ln(1),01,2h y y y =--<<35. 在10件产品中有2件一级品,7件二级品和1件次品,从10件产品中无放回抽取3件,用X 表示其中一级品件数,Y 表示其中二级品件数,求: 36. (1)X 与Y 的联合概率分布; (2)X 、Y 的边缘概率分布;(3)X 与Y 相互独立吗?解 根据题意,X 只能取0,1,2,Y 可取的值有:0,1,2,3,由古典概型公式得:(1) 271310(,),i j k ijC C C p P X i Y j C====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.38. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求:(1)系数A 、B 及C ; (2)(X, Y)的联合概率密度; (3)X ,Y 的边缘分布函数及边缘概率密度;(4)求:(1)常数A ;(2)X ,Y 的边缘概率密度;(3)(01,02)P X Y <≤<≤.解 (1) 由联合概率密度的性质,可得解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为:(3) (01,02)P x y <≤<≤41. 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为 求 P(X +Y ≥1).解 由题意,所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则 42. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布,试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.12153101434求二维随机变量(X ,Y )的联合分布律. 解 由独立性,计算如下表46. 设X123Y函数为 求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ,并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时,113331222()1y y X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时,11132121()1y y y Y f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立49. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ,并判断随机变量X 与Y因此, 得Z 的密度函数为: 51. 设随机变量X 和Y 独立,X ~2()N μ,σ,Y 服从[-b ,b ](b>0)上的均匀分布,求随机变量Z =X +Y 的分布密度. 解 解法一 由题意,令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则 解法二 52. 设X 服从参数为12的指数分布,Y 服从参数为13的指数分布,且X 与Y 独立,求Z =X +Y 的密度函数. 解 由题设,X ~12120,0(),0X xx f x e x -≤⎧⎪=⎨>, Y ~13130,0(),0Y xx f y e x -≤⎧⎪=⎨> P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12U∈{0,1,2,3}同理,V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X -1 0 1212P13161611214求E(X),E(-X +1),E(X 2) 解111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5. 设随机变量X 的密度函数为 求E(2X),E(2x e -). 解(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰6. 对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间[a ,b ]上,求球的体积的数学期望.解 由题意,球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此,341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 7. 设随机变量X ,Y 的密度函数分别为 求E(X +Y),E(2X -3Y 2). 解()()()E X Y E X E Y +=+8. 设随机函数X 和Y 相互独立,其密度函数为E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球(1~n 号)随机地放进n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球,将一只球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记X 为配对的个数,求E(X), D(X).解 (1)直接求X 的分布律有些困难,我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子,则有:1nkk X X ==∑,X k 服0-1分布因此:11(0)11,(1),kk P X p P X p n n==-=-===解 由切比雪夫不等式, 取27.5, 2.5==εσ, 得 22.52(()7.5)7.545P X E X -≥≤=.16. 在每次试验中,事件A 发生的概率为0.5,如果作100次独立试验,设事件A 发生的次数为X ,试利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率解由题意,X~B(100,0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25根据切比雪夫不等式, 有253=-=.1100417.设连续型随机变量X的一切可能值在区间[a,b]内,其密度函数为()f x,证明:(1)a≤E(X)≤b;XY矩阵.解由题设,E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02协方差矩阵为19.设二维随机变量(X,Y)的分布律为X-1 01Y-1 18 1818 0 18 01821. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=16,D(Y)=25,cov(X,Y)=12,求(X, Y)的密度函数.解 由题意, 123205===ρ则密度函数为22.设随机变量X和Y相互独立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1,试求E((X+Y)2).解()()22222+=++=++E X Y E X Y XY E X E Y E XY()2()()(2)由于()()222222-=-=D(X)=E(X)E(X)E(X)=1,D(Y)=E(Y)E(Y)E(Y)=1因此有23.设随机变量X和Y的方差分别为25,36,相关系数为0.4,试求D(X+Y),D(X-Y).第四章 大数定律与中心极限定理1. 设X i ,i =1,2,…,50是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为?=0.02的泊松分布. 记X =X 1+X 2+…+X 50,试利用中心限定理计算P(X ≥2). 解 由题意,E(X i ) = D(X i ) = ????????,501ii X X ==∑????????由中心极限定理???1X ==-近似服从标准正态分布解 设X i 表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X 1, X 2, …, X 10相互独立, 且E(X i ) =2, D(X i )=0.052, 根据独立同分布中心极限定理,随机变量1011(2)(20)0.158kkX X=-=-近似地服从标准正态分布.于是4.计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.查表得=1.645,解得:n=443即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率5.为了确定事件A的概率,进行了一系列试验. 在100次试验中,事件A发生了36次,如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值,求误差小于0.05的概率.解(删除)6.一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成,在系统运行期间,每个部件损坏的概率为0.1,又知为使系统正常运行,至少有89%的部件工作.(1)求系统的可靠度(系统正常运行的概率);(2)上述系统由n个相互独立的部件组成,而且要求至问该单位总机要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证分机使用外线时不等待?解设X为某时刻需要使用外线的户数(分机数),显然X~(200, 0.05),E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5.设k是为要设置的外线的条数,要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线,必须有k≥X. 根据题意应有:这里n=200,较大,可使用中心极限定理,近似地有X~N(10, 9.5):1.29,13.97k ≥≥, 取k = 14即至少14条外线时,才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8. 设μn 为n 重伯努利试验中成功的次数,p 为每次成功的概率,当n 充分大时,试用棣莫弗-拉普拉斯定律证明6的概率保证其中良种的比例与16相差多少?这时相应的良种粒数落在哪个范围?解 设X 为6000粒种子中良种粒数,设所求的差异为p, 则所求的概率为:因为,X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理,有因此0.995Φ=查表可得 2.575,=解得0.0124p==由于0.0124600074⨯=所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.第五章 数理统计的基本概念1. 在总体N(52,632)中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率. 解 由题意,由定理1 (1),~(0,1)N = 2. 在总体N(80,202)中随机抽取一容量为100的样本,求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少? 解 这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理1(1)1936,1697,3030,2424,2020,2909,1815,2020,2310.采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换2000i i y x =-,再计算y 与2y S ,然后利用第5题中的公式获得x 和2x S 的数值.解做变换后,得到的样本值为:-61,-303,1030,424,20,-91,-185,20,3107.某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据,试画出它们的直方图,然后利用组中间值给出经验分布函数.440 444 556 430 380 420 500 430 420 384合计:30 1由于第6组与第9组频数为0,可将其与下一组合并。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解:设每毫升血液中含白细胞数为,依题意得,7300)(==X E μ,700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式,得)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P982100700112222=-=-≥εσ.5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1{02}P X λλλ-<<≥. 解:因为)(~λP X ,所以λμ==)(X E 。

λσ==)(2X Var 故由切比雪夫不等式,得)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλλεσ111222-=-=-≥不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解:设第i 袋大米的重量为X i ,(i =1,2,…,100),则100袋大米的总重量为∑==1001i i X X 。

因为 10)(=i X E ,1.0)(=i X Var ,所以 100010100)(=⨯=X E ,101.0100)(=⨯=X Var 由中心极限定理知,101000-X 近似服从)1,0(N故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P1)10(2)10|101000(|-Φ≈<-=X P998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)i V i = ,设它们是相互独立的随机变量,并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。

记201k k V V ==∑,求(105)P V >的近似值。

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一,通过学习这门课程,我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法,从而分析和解决实际问题。

本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。

2. 习题答案第一章:概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。

b.从一副有 52 张牌的扑克牌中,任意取一张牌,其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。

1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件,已知 P(A) = 0.5,P(B) = 0.4,且P(A ∪ B) = 0.7,求P(A ∩ B)。

【解答】根据概率的加法定理可知,P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据,得到:0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。

所以,P(A ∩ B) = 【答案】0.2。

b.有两个相互独立的事件 A 和 B,且 P(A) = 0.3,P(A∪ B) = 0.5,求 P(B)。

【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的,所以根据概率的乘法定理可知,P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据,得到:0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。

所以,P(B) = 【答案】1.67。

第二章:随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量,其概率密度函数为:$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。

b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0,下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。

概率统计作业解答

概率统计作业解答

《概率论与数理统计》作业解答第一章 概率论的基本概念习题(P24-28)1. 写出下列随机试验的样本空间S :(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分). (2) 生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数.(3) 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品,就停止检查,或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果.(4) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.分析 要写出随机试验的样本空间,就要明确所有的样本点,即随机试验时直接产生的所有可能的结果.解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此,我们先明确平均分的计算:全班的总分除以班级学生数.设该班有n 个学生,则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故,所求样本空间为::1,2,,100i S i n n ⎧⎫==⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭. (2) 由已知,生产的件数至少为10(刚开始生产的10件均为正品),此后,可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为:{}10,11,12,S =⋅⋅⋅. (3) 若记0=“检查的产品为次品”,1=“检查的产品正品”,0,1从左到右按检查的顺序排列,则所求样本空间为:{}00,100,0100,0101,0110,0111,1010,1011,1100,1101,1110,1111S =(5) 所求样本空间为:{}22(,):1S x y x y =+<2. 设,,A B C 为三个事件,用,,A B C 的运算关系表示下列各事件: (1) A 发生,B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生,而C 不发生. (3) ,,A B C 至少有一个发生. (4) ,,A B C 都发生.(5) ,,A B C 都不发生. (6) ,,A B C 不多于一个发生. (7) ,,A B C 不多于两个发生. (8) ,,A B C 至少有两个发生.分析 本题只要掌握事件运算的概念即可解决.解 (1) “A 发生,B 与C 不发生”=A B C --(或ABC )(2) “A 与B 都发生,而C 不发生.”=AB C -(或ABC ) (3) “,,A B C 至少有一个发生”=A B C ++. (4) “,,A B C 都发生”=ABC (5) “,,A B C 都不发生”=ABC(6) “,,A B C 不多于一个发生”=ABC ABC ABC ABC +++ (7) “,,A B C 不多于两个发生”=ABC(8) “,,A B C 至少有两个发生”=AB AC BC ++.第二章随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布分析 本题只要掌握随机变量独立性概念及公式:,)~ (,)X Y f x y Z X Y ⇒=+(的密度为:()(,)d (,)d Z f z f x z x x f z y y y +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰解 由已知,112()e e e ,,1,,)~ (,)0,x y x y x y X Y f x y ---+⎧⋅=>=⎨⎩其它(故2(())21111()(,)d e d e d x z x z Z x x z x x z f z f x z x x x x +∞-+---∞><-><-=-==⎰⎰⎰12210,12e d e (2),12z zzz z x z z z ----⎧⎪=⎨=--⎪⎩⎰即即≤1,≤>1,>第四章 随机变量的数字特征(P110-115)分析 本题只要掌握下列有关公式:XY ρ=(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y ±=+± 22()()()D X E X E X =-2[(,)](,) (,)d d R E g X Y g x y f x y x y =⎰⎰可见,要先求,X Y 的一阶矩和二阶矩. 为此,可以先求,X Y 的边缘密度.解 2011()d (1),02, () (,)d 840,X x y y x x f x f x y y +∞-∞⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它2011()d (1),02,() (,)d 840,Y x y x y y f y f x y x +∞-∞⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它222232000111117() ()d d ()d 444326x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222223243000111115() ()d d ()d 444433x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故2225711()()()3636D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理,由对称性得,7()6E Y =,25()3E Y =,11()36D Y =. 202022200() (,)d d d d 814=d ()d 83x R y x yE XY xy f x y x y xy x yx xy x y y +==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤故4771(,)()()()=36636Cov X Y E XY E X E Y =-⋅-⨯=-1111XY ρ-===-111115()()()2(,)23636369D X Y D X D Y Cov X Y ⎛⎫+=++=++⨯-= ⎪⎝⎭.注 本题中,由于 () ()(,)X Y f x f y f x y ⋅=,故,X Y 不相互独立.注 本题中,若联合密度改为联合分布律:XY 0101/61/311/31/6,重算结果.第五章 大数定律及中心极限定理知识点复习1. 若12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,2(),()i i E X D X μσ==,则当n 充分大时,12n X X X +++近似服从正态分布2(,)N n n μσ.2. 由于~(,)X B n p ⇒12n X X X X =+++其中~(1,),1,i X B p i n =且相互独立,(),(),(1)i i E X p D X pq q p ===-. 故由如上中心极限定理得:当n 充分大时,~(,)X B n p ⇒X 近似服从正态分布(,)N np npq .第六章 样本及抽样分布知识点复习3. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,则其样本均值2~(,)X N nσμ.4. 若12,,,n X X X 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本,则称统计量222212n X X X χ=++⋅⋅⋅+为自由度为n 的2χ统计量,记为2222212~()n X X X n χχ=++⋅⋅⋅+5. 若12,,,,n X X X Y 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本,则称统计量T =为自由度为n 的t 统计量,记为~()T t n第七章 参数估计2. 设总体X概率密度为1,01,()0,x f x =⎪⎩其它,≤≤其中(0)θ>为未知参数,12,,,n x x x 是来自总体X 的样本12,,,n X X X 的观察值,试求未知参数θ的(1)矩估计量;(2)极大似然估计值.解:(1)由矩估计法,令111112() ()d d 111XE X x f x x x xX XXX X θ+∞-∞======⇒=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝= -⎭⇒⎪⎝⎭⎰⎰比例性质:两边分母同减去分子 即得参数θ的矩估计量.(2)由已知,观察值:120,,,n x x x ≤≤1,故似然函数为12() () () ()n L f x f x f x θ=⋅⋅⋅111))=⋅⋅⋅112(n n x x x =⋅⋅⋅达最大,即取自然对数后:()ln ()g L θθ=12ln 1)ln()2n nx x x θ=+-⋅⋅⋅达最大121())02n n g x x x θθ'=⋅+得唯一驻点2212ˆln ()n n x x x θ=(即最值点)即为参数θ的0极大似然估计值.。

《概率论与数理统计》科学课后习题答案

《概率论与数理统计》科学课后习题答案

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解:根据1)(0==∑∞=k k XP ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解:用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=解:(1)P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解:(1)P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- (2)P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解:设i A 表示第i 次取出的是次品,X 的所有可能取值为0,1,212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解:(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数,则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 (1)X ~P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -(2)X ~P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解:设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计习题答案1-19章

概率论与数理统计习题答案1-19章
解:设表示“在两次调整之间生产的合格品数”,且设,则的概率分布为
0
1
2 ……
……
…… ……
3、 已知一批产品共20个,其中有4个次品. (1)不放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布; (2)放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布. 解:(1)设表示“取出的样本中的次品数”,则服从超几何分布,即的 概率函数为 从而的概率分布为
格品” (1)
(2)
四、猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果 第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离 变为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时 距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人三次 之内击中动物的概率. 解:设表示“第次击中”,则由题设,有,得,从
0
1
2
3
(1)的分布律为 1
(2)的分布律为
0
1
1
0

0
1
五、设随机变量的概率密度为 求随机变量函数的概率密度.
解:因为 所以随机变量函数的概率密度为 ,即 .
8 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次.设随机变量表示第一次出现的点 数,随机变量表示
两次出现点数的最大值,求二维随机变量的联合概率分布及的边缘 概率分布. 解:二维随机变量的联合概率分布为

三、三个人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别 为、、,求能将此密码
译出的概率. 解:设表示“甲能译出”;表示“乙能译出”;表示“丙能译出”, 则
设表示“此密码能被译出”,则,从而有
. (另解),从而有
四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的命中概率分 别为.飞机被一

概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)

概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)

第一章习题解答1.解:(1) Ω={0,1,…,10}; (2) Ω={=i ni|0,1,…,100n },其中n 为小班人数; (3) Ω={√,×√, ××√, ×××√,…},其中√表示击中,×表示未击中; (4) Ω={(y x ,)|22y x +<1}。

2.解:(1)事件C AB 表示该生是三年级男生,但不是运动员; (2)当全学院运动员都是三年级学生时,关系式C ⊂B 是正确的; (3)全学院运动员都是三年级的男生,ABC=C 成立;(4)当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时,A =B 成立。

3.解:(1)ABC ;(2)AB C ;(3)C B A ;(4)C B A )(⋃;(5)C B A ⋃⋃; (6)C B C A B A ⋃⋃;(7)C B A ⋃⋃;(8)BC A C B A C AB ⋃⋃ 4.解:因ABC ⊂AB ,则P (ABC )≤P (AB )可知P (ABC )=0 所以A 、B 、C 至少有一个发生的概率为P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC ) =3×1/4-1/8+0 =5/85.解:(1)P (A ∪B )= P (A )+P (B )-P (AB )=0.3+0.8-0.2=0.9)(B A P =P (A )-P (AB )=0.3-0.2=0.1(2)因为P (A ∪B )= P (A )+P (B )-P (AB )≤P (A )+P (B )=α+β, 所以最大值maxP (A ∪B )=min(α+β,1);又P (A )≤P (A ∪B ),P (B )≤P (A ∪B ),故最小值min P (A ∪B )=max(α,β) 6.解:设A 表示事件“最小号码为5”,B 表示事件“最大号码为5”。

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃-)(B A P ⋃= 0.97-0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3-0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)-P(A + B) = 0.5 + 0.65-0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1-0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)-P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9-0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1-0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二.单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A -B)P(B -A)≤P(A)P(B)-P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)-P(A)P(B) = (P(A) + P(B)-P(AB))P(AB)-P(A)P(B) =-P(A)(P(B)-P(AB)) + P(AB)(P(B)-P(AB) =-(P(B)-P(AB))(P(A)-P(AB)) =-P(B -A)P(A -B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1-P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324. 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ~B(2, p), Y ~B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)-P(X < a) = F(a)-F(a -0) P(X > a) = 1-F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)-F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤-1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X -Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y -2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ~N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X -Y 解. X ~⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ~⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)~⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1-[1-)(z F X ][1-)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X -Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X -Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ~ N(1, 2), X -Y ~ N(-1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i -1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当-1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, -∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, -∞ < x < +∞, 所以X ~N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1-P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1-31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0-1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ~⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ~⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)~⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X -Y) = _______. 解. D(2X -Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ~N(-3, 1), Y ~N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X -2Y + 7, 则Z ~____. 解. 因为Z = X -2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)-2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X -2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ~N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ~⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ~N(0, 1), Y 在[-1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1-2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X -Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)-E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)-E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ~N(μ, 42), Y ~N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ-4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ-4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X -Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)-E 2(X) = E(Y 2)-E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)-E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ~⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ~⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X -Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ~B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (-2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1-011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X -Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X -Y) = E(X)-E(Y) = 2-2 = 0 D(X -Y) = D(X) + D(Y)-)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4-2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ~B(400, 0.02) 由棣莫佛-拉普拉斯定理:。

《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正,, ,记不合格为次,则,,,,,,,,,)()()(){(1913121次正正正正正正正 ,,,,,,,,,)()()()(2924232次正正正正正正正 ,,,,,,,)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正,,,,,, A ){(1次正,,,,)(2次正)}(9次正,,(2)记2个白球分别为1 ,2 ,3个黑球分别为1b ,2b ,3b ,4个红球分别为1r ,2r ,3r ,4r 。

则 {1 ,2 ,1b ,2b ,3b ,1r ,2r ,3r ,4r }(ⅰ) A {1 ,2 } (ⅱ) B {1r ,2r ,3r ,4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示被选学生是三年级学生,事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC 成立? (3)什么时候关系式B C 是正确的? (4) 什么时候B A 成立?解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生,但不是运动员。

(2) C ABC 等价于AB C ,表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品(n i 1)。

用i A 表示下列事件: (1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品; (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)ni i A 1; (2) n i i n i i A A 11; (3) n i ni j j j i A A 11)]([ ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为 nji j i jiAA 1,;1.4 证明下列各式:(1)A B B A ; (2)A B B A (3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A(5) C B A )( )(C A )(C B (6)ni i ni i A A 11证明 (1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页(1.5)式和(1.6)式的证法。

《概率论与数理统计》课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题答案

第一章: 10.从0,1,2,,9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:1A =‘三个数字中不含0和5’,2A =‘三个数字中不含0或5’,3A =‘三个数字中含0但不含5’.解3813107()15C P A C ==.333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=,或182231014()1()115C P A P A C =-=-=,2833107()30C P A C ==.16.设事件A 与B 互不相容,()0.4,()0.3P A P B ==,求()P AB 与()P A B解()1()1()()0.3P AB P AB P A P B =-=--=因为,A B 不相容,所以A B ⊃,于是 ()()0.6P A B P A ==20.设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=,求()P AB 与()P AB . 解0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-,所以()0.4P AB =,故()0.6P AB =;0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以 ()0.6P B =()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+= 22.设AB C ⊂,试证明()()()1P A P B P C +-≤[证] 因为AB C ⊂,所以()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-故()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.19.设,,A B C 是三个事件,且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====,1()8P AC =,求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 因为0()()0P ABC P AB ≤≤=,所以()0P ABC =,于是315()488P A B C =-= 22.随机地取两个正数x 和y ,这两个数中的每一个都不超过1,试求x 与y 之和不超过1,积不小于0.09的概率.解,不等式确定平面域S .A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不 等式确定了S 的子域A ,故0.90.10.9()(1)A P A x dx x==--⎰的面积S 的面积0.40.18ln 30.2=-=第二章4.从52张朴克牌中任意抽取5张,求在至少有3张黑桃的条件下,5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’,i B =‘5张中恰有i 张黑桃’,3,4,5i =, 则345A B B B =++,所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5.设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解()()()() 1.1()(|) 1.10.40.7P A B P A P B P AB P A P B A =+-=-=-=()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6.甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率。

概率论与数理统计学1至7章课后答案解析

概率论与数理统计学1至7章课后答案解析

第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解:由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且,361)12()2(====X P X P ;362)11()3(====X P X P ; 363)10()4(====X P X P ;364)9()5(====X P X P ; 365)8()6(====X P X P ;366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解:根据1)(0==∑∞=k k X P ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解:分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中,则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为:0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P , 两人各投中一次的概率为:2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为:0784.0)(2121=B B A A P 。

所以:(1)两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ,求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解:(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{Λ===k k X P k,求 };6,4,2{)1(Λ=X P }3{)2(≥X P解:31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++==ΛΛΛX P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率:(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解:(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率: (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解:(1) ()!kP X k e k λλ-==,由题意,0.53 1.5,0k λ=⨯==,所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意,0.54 1.5λ=⨯=,所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01,假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99?解:设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社

概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社

(1) A1, , An 互不相容;(2) A1, , An 相互独立;(3)一般情形。
解:(1) 由概率的有限可加性可得
p= P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An)
(2)
P = P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An )
= 1 − P( A1 A2 An )
= 1 − P( A1 )P(A2 ) P( An )
解:1) P{X = k} = Cnk pk (1 − )p n−k , k = 0,1,2..., n 或 X ~ B(n, p)
2) P{Y = k} = ( Cnk+k −1 pn 1 − p)k , k = 0,1,2...
22. 设事件 A,B,C 相互独立,且 P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求: (1) 三个事件都不发生的概率; (2) 三个事件至少有一个发生的概率; (3) 三个事件恰好有一个发生的概率; (4) 至多有两个事件发生的概率。 解:
23. 设有事件 A1, , An ,在下列各种条件下怎样求 A1, , An 至少有一个发生的概率。
第一章
(本章计算概率的习题除 3~6 以外, 其余均需写出事件假设及概率公式, 不能只有算式) 1. 写出下列随机试验的样本空间。 (1)同时抛三颗色子,记录三颗色子的点数之和; (2)将一枚硬币抛三次,(i)观察各次正反面出现的结果;(ii)观察正面总共出现的次数; (3)对一目标进行射击,直到命中 5 次为止,记录射击次数; (4)将一单位长的线段分成 3 段,观察各段的长度; (5)袋中装有 4 个白球和 5 个红球,不放回地依次从袋中每次取一球,直到首次取到红球 为止,记录取球情况。
=
1 21
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C93C63 C132C132
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P27例1.5.4 (1) 直到第k轮才决出胜负的概率 注意:每轮有两次机会决出胜负,甲胜 或 乙胜 而第一轮决出胜负的概率是1/6+5/36=11/36, 分不出概率是25/36 题意指的是 前k-1轮决不出胜负,第k轮决出胜负,所以
P ( 25)k1 11 36 36
10
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i0
1 ( 1 ... 11) 6 11 11 11 11
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第三次作业 1.设某厂产品的合格率为0.96,现采用新方法测试,一 件合格产品经检查而获准出厂的概率为0.95,而一件废 品经检查而获准出厂的概率为0.05,试求使用这种方法 后,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂 许可的产品是废品的概率.
10! 210
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2. n双相异的鞋(共2n只)随机地分成n堆,每堆2只 . 求事件A=“各堆都自成一双鞋” 的概率。 方法1: 2n只全排列=(2n)!
配对的n双全排列=n!,每双中2只全排列=2!
则P(A)= n!2n 1 (2n)! (2n 1)!!
方法2: 从2n只任取1只,再从剩余的2n-1只
中取到配对的概率为 1 ,以此类推 2n-1
则P(A)= 1
1
1= 1
(2n 1) (2n 3) 1 (2n 1)!!
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3. 某人将四封写好的信随机装入四个写好地址的信 封中(一个信封装一封信),问: a.四封信恰好都装对的概率? b.没有一封信装对地址的概率是多少? c.恰好有几封信装对的概率最大?
解:相交问题可以浓缩到一个正方格与一枚硬币 设 硬币圆心坐标为(x,y),A表示相交 则不相交的区域位于内侧小正方形中
{(x, y) | 2 x 2, 2 y 2} A {(x, y) | 1 x 1, 1 y 1} P( A) 1 P( A) 1 22 3
43 4
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设Ai表示恰好装对i封信,i 0,1, 2,3, 4
P( A4 )
1 4!
1 24
P( A1)
C41 4!
2
8 24
( A2 )
C42 4!
பைடு நூலகம்
6 24
P( A3) 0
33 9
P( A0 )
24
24
所以都装错的概率最大,即装对0封信概率最大
LWL&LSL 制作 4.在一张画满边长为4厘米的方格的纸上,随机地投掷 一枚半径为1厘米的硬币,求硬币与方格线相交的概率。
0.99经查表得m 8
i0 i!
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第5次作业
29. 2 (cx2 x)dx 8 c 2 1 得c=- 3
0
3
8
P( X 1) 2 ( 3 x2 x)dx 5
18
8
30.已知X ~ E(0.2) 则F (x) 1 e0.2x , x 0
(1)P( X 5 10 | X 5) P( X 10) e0.210 e2
3 3 8 3 8 10 24 或1-P( A1A2 A3 )=1-P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
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基本题36 设Ai表示有i个正品,i=0,1,…,10,B表示取出正品
1
i 1
P( Ai ) 11, P(B | Ai ) 11 ,i 0,1,...,10
设Ai第一次取出的新球个数为i个,i=0,1,2,3
B表示第二次取出3个新球。注:取出新球用后为旧球
P( A3 | B)
P( A3)P(B | A3)
3
P( Ai )P(B | Ai )
i0
C93C63
C33C93 C132C132
C91C32C83 C132C132
C132C132
C92C31C73 C132C132
(2)P( X 8) 1 P( X 8) 1 8 e4 4i 0.0214
i0 i! 24.设有故障的机器的数量为X ,维修人员为m人
X ~ B(300,0.01),由题可知X 近似服从P(3)
P( X m) 1 P( X m) 1 m e3 3i 0.01
i0 i!
m

e3 3i
第二次:证明题34
P(A | C) P(B | C) P(AC) P(BC)
P(A | C) P(B | C) P(AC) P(BC)
P(AC) P(AC) P(A), P(BC) P(BC) P(B) 联立得P(A) P(B)
基本题35 设Ai表示第i次调好i=1,2,3,则所求概率为 P( A1 A1A2 A1A2 A3 ) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3 ) 1 2 3 2 5 9 23
(2)P( X 10) e2 0.1353 设Y为一周得不到服务的次数,则Y ~ B(3, e2 ) P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2 )3 0.3535
设A表示合格品,B表示许可出厂
(1)P( A | B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
(2)P( A | B) P( A)P(B | A) 1 P(B)
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2. 12个乒乓球中有9个新的,3个旧的,第一次比赛取出了3个, 用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求在已知第二次比赛取 到的3个球全是新球的条件下,第一次比赛所取3个球全都是新球 的概率。
P27例1.5.4 (2) 至少需要k轮才决出胜负的概率 题意指的是 前k-1轮决不出胜负,所以
P ( 25)k1 36
按照第二章的观点是轮数X服从G(11/36), 求P(X>=k)
第二章
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第四次作业
21. X ~ P(4) (查表技巧)
(1)P( X 6) e4 46 0.1042 6!
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作业答案集
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作业1 1 习题一:19
10本书全排列=10! 2套+剩余的3本形成5个元素,全排列=5! 3卷全排列=3! 4卷全排列=4! 则P(A)= 5!3!4! 1
10! 210
第一章
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作业1 1 习题一:19
10本书全排列=10! 2套+剩余的3本形成5个元素,全排列=5! 3卷全排列=3! 4卷全排列=4! 则P(A)= 5!3!4! 1
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