学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数的概念

§2 导数的概念及其几何意义

2.1 导数的概念

课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．

设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x

的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0

＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，

通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10

lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 一、选择题

1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32

处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2

2．下列各式正确的是( )

A.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)x B.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)

C ．f ′(x 0)

D ．2f ′(x 0)

4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．以上都不对

5．曲线y ＝－1x

在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1

6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )

A ．－1

B .12

C .13

D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6

答 案

二、填空题

7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．

8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0

lim

x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.

三、解答题

10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x

在x ＝1处的导数．

11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．

能力提升

12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，

则f (1)f ′(0)

的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．

1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：

(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；

(2)求平均变化率Δy Δx

； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx

2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．

§2 导数的概念及其几何意义

2.1 导数的概念

作业设计

1．B

2．C

3.A [0

lim

x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =0

lim x ∆→－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx =－0

lim x ∆→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C

5.A

6．D

7．4 m /s

解析 s ′(2) =0

lim x ∆→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝4.

解析 0

lim

x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =－0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx

＝－f ′(x 0)＝－11.

9．2 解析 ∵f ′(1)=0lim

x ∆→a (1＋Δx )－a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.

10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝

11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx·(1＋

1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－1

1＋Δx·(1＋1＋Δx )

， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－1

1＋Δx·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12

. 11．解 G ′(10)=0

lim x ∆→G (10＋Δx )－G (10)Δx =0

lim x ∆→0.1(10＋Δx )2＋2.6(10＋Δx )－0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.

12．2

解析 由导数的定义，

得f ′(0)=0

lim x ∆→f (Δx )－f (0)Δx ＝0

lim x ∆→a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝0

lim x ∆→＝b. 又⎩⎨⎧

Δ＝b 2－4ac ≤0a>0

，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴

f (1)f ′(0)

＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0

lim x ∆→4(0＋Δt )2＋2Δt －3－(4×02＋2×0－3)Δt ＝2；