第4讲 二次根式及其运算【2021中考数学一轮复习考点真题集训】答案版
中考数学一轮基础考点一遍过第四节 二次根式
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考点 2 二次根式的运算
1. 加减运算：二次根式加减时，先将各二次根式化成_最__简__二__次__根___式___，再将被开
方数相同的二次根式进行合并．
2. 乘除运算：
(1) a · b ＝____a_b___(a≥0，b≥0)；
a
a
(2) b ＝____b____(a≥0，b＞0)．,
1
(2) 3 2＝__3____2__．
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考点 3 二次根式的估值
1. 确定二次根式的值在两个整数之间的方法： (1)先将根式平方； (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； (4)确定这个根式的值在这两个整数之间． 【提分要点】熟记常见二次根式的值也能快速解题，如
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提分必练 4. 计算： (1) 8 － 2 ＝_____2___； (2) 27 ＋ 3 － 12 ＝__2__3__； (3) 4 × 9＝_____6___； (4) 12 ÷ 3＝_____2___； (5) 5 × 10－ 8＝____3__2__．
5. 化简：(1)
3 3
＝____3____；
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提分必练 8. 若 x 1＋(4－2y)2＝0，则x＋y＝___1___． 9. 若|3x－6|与 x y 3互为相反数，则xy＝___3_2____.
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加减运算 乘除运算
二次根式 的运算
二次根式的估值
考点 1 二次根式及其性质
1. 概念：一般地，我们把形如 a (a__≥___0)的式子叫做二次根式． 二次根式的双重非负性：a≥0， a≥0. 2. 二次根式有意义的条件：被开方数___大__于__等__于__0_____． 3. 最简二次根式： 同时满足两个条件： (1)被开方数不含_分__母_____； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2021年中考数学一轮复习二次根式(含答案)
2021年中考数学一轮复习二次根式一、单选题1有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x=3B ．x≥3C ．x＜3D ．x＜3 2．如果31a ，那么代数式21(1)11a a a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 23．下列计算不正确的是（ ）A 2=B 2=-C =D 5=- 4．下列运算结果是无理数的是（ ）A ．BC D5．计算(⎛÷ ⎝的结果为（ ）A ．7B ．-5C ．5D ．-76．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）A B CD7 ） A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间8．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）A B．C D+ 29n是（）A．3B．2C．48D．610199+++的整数部分是()A．3B．5C．9D．6二、填空题113a=--，则a的取值范围________．12．一个长方形的面积为+，其中一边长为_________．13．比较大小：-________-14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．三、解答题15．计算：（1（2（3（416．先化简，再求值：236(1)693x x x x -÷-+++，其中3x ．17之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：3==；==；2(31)2(31)31231(31)(31)以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1；（2（3111 3153752121n n．18．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC BC，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．答案1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B7．C 8．A 9．A 10．C 11．a≤-312．3+ 13．< 14．15．（1）（2；（3）（4）1816．-13x+，．17．（1）3；（2-（3）18．（1）4；（2）；（3）3。
2021年中考数学一轮复习专题突破训练：二次根式的性质与化简计算(附答案)
2021年九年级中考数学小专题复习：二次根式的性质与化简计算（附答案）1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b2．下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③3．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞54．已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为（）A．B．C．D．5．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣16．下列等式成立的是（）A．（）2＝3B．＝﹣3C．＝3D．（﹣）2＝﹣3 7．化简二次根式的结果是（）A．B．C．D．8．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（）A．﹣1B．1C．2a﹣3D．3﹣2a9．下列运算正确的是（）A．＝B．2×＝C．＝a D．|a|＝a（a≥0）10．已知ab＜0，则化简后为（）A．﹣a B．﹣a C．a D．a11．化简﹣a的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．12．将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．﹣C．﹣D．13．化简二次根式（a＜0）得（）A．B．﹣C．D．﹣14．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n15．把二次根式化简为（）A．B．C．D．16．已知+2＝b+8，则的值是．17．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．18．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+＝．19．化简二次根式的正确结果是．20．若＝2﹣x，则x的取值范围是．21．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝．那么12※4＝．22．已知a，b，c为三角形的三边，则＝．23．＝．24．若＝2﹣a，则a的取值范围是．25．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．26．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+＝．27．化简：＝．28．计算＝．29．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．30．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．31．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）32．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣﹣．33．a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣的值．34．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．35．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．36．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．37．有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn ＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．参考答案1．解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．故选：A．2．解：①＝＝4，正确；②＝（﹣1）2＝1×4＝4≠16，不正确；③＝4符合二次根式的意义，正确；④＝＝4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D．3．解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．4．解：∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，又∵x有意义，∴y＜0，∴x＞0，y＜0，当x＞0，y＜0时，x＝，故选：B．5．解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．6．解：（）2＝3，A正确；＝3，B错误；＝＝3，C错误；（﹣）2＝3，D错误；故选：A．7．解：若二次根式有意义，则﹣≥0，﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，∴原式＝＝．故选：B．8．解：∵1＜a＜2，∴+|1﹣a|＝2﹣a+a﹣1＝1．故选：B．9．解：A、无法化简，故此选项错误；B、2×＝，故此选项错误；C、＝|a|，故此选项错误；D、|a|＝a（a≥0），正确．故选：D．10．解：∵ab＜0，﹣a2b≥0，∴a＞0，∴b＜0∴原式＝|a|，＝a，故选：D．11．解：∵≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a＝﹣，故选：B．12．解：a＝﹣＝﹣．故选：B．13．解：当a＜0时，b≤0，∴＝＝＝＝．故选：A．14．解：＝3，＝15，＝6，可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n．故选：D．15．解：∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝a×＝a×＝﹣．故选：A．16．解：由题可得，解得，即a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故答案为：5．17．解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|＝5﹣a+a﹣2＝3．故答案为：3．18．解：由数轴可得：0＜a＜2，则a+＝a+＝a+（2﹣a）＝2．故答案为：2．19．解：由二次根式的性质得﹣a3b≥0∵a＜b∴a＜0，b＞0∴原式＝＝﹣a．20．解：∵＝2﹣x，∴x﹣2≤0，x≤2则x的取值范围是x≤2故答案为：x≤2．21．解：12※4＝＝＝．故答案为：．22．解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴＝|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c ﹣b+b+c﹣a＝a+b+c．故答案为：a+b+c．23．解：原式＝|2﹣|＝﹣（2﹣）＝﹣2．故答案为﹣2．24．解：∵＝2﹣a，∴a﹣2≤0．即a≤2．25．解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，则原式＝﹣a﹣（a﹣b）＝b﹣2a．故答案为：b﹣2a．26．解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+＝a﹣1+2﹣a＝1．故答案为：1．27．解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．28．解：＝＝2，故答案为：2．29．解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．30．解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．31．解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．32．解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1，∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a．33．解：由数轴可知，a＜c＜0＜b，|c|＜|b|，则a﹣b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，∴|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣＝b﹣a+c﹣a﹣c﹣b﹣c+a＝﹣a﹣c．34．解：（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝35．解：由数轴可知：a＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝a+a+b﹣（c﹣a）﹣b﹣c＝a+a+b﹣c+a﹣b﹣c＝3a﹣2c．36．解：由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）＝2a+b+1．37．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝。
专题04 二次根式的运算(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
中考数学一轮复习第4讲二次根式专题精练及答案.doc
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】第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5 B．43－27＝1 C ．18÷2＝9 D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________． 7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y＝__________. 9．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －13 12、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 13、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1b= 。
四、中考链接14．（乳山）计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.15．（福州）计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案一、夯实基础1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62. 4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间． 二、能力提升6．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 7．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．三、课外拓展8．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.9．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 10．x ＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接14．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 15．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
第04章 二次根式-2021年中考数学一轮复习(考点梳理+重难点讲解+过关演练)(通用版)(含答案)
2021年中考数学一轮复习(通用版)第04章二次根式考点梳理考点一二次根式的相关概念及性质1．二次根式(a)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式最简二次根式必须同时满足以下条件：(1)被开方数的因数是，因式是；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式几个二次根式化成后，如果被开方数，这几个二次根式称为同类二次根式．是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．4. 二次根式的性质)2＝a(a≥0)．|a|＝(0)(0).a aa a≥⎧⎨⎩，－＜a≥0，b≥0)．(a≥0，b>0)．(5)0.a≥⎧⎪被开方数，考点二二次根式的运算及估值1．二次根式的加减先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除(1)＝(a≥0，b≥0)；(2)＝(a≥0，b＞0)；(3)二次根式的运算结果一定要化成．3．二次根式的开方＝(0)(0).a aa a≥⎧⎨⎩，－＜4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；(2)加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；(3)多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；(4)二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．5. 二次根式的估值(1)确定在哪两个相邻整数之间⇒先对根式平方，如)2＝7；⇒找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；⇒＝23；⇒确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如<3.(2)确定离哪个整数较近⇒先确定这个根式在哪两个整数之间，如<3；⇒求这两个整数的平均数，如232＝2.5；⇒用平方法比较根式和平均数的大小：若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近．如2.52＝6.25<7离3较近．【点拨】估算二次根式加上(减去)一个整数的值时，要先估算二次根式的值，然后根据不等式的性质：不等式两边同时加上(减去)1，，⇒2＋1<3＋1，即1<4.重难点讲解考点一二次根式有意义的条件方法指导：解题的关键是熟练运用二次根式的性质——被开方数是非负数.解决此类题需从整体上观察代数式的特点，若存在二次根式，便可根据被开方数是非负数列不等式；若存在分母，便可根据分母不为0列不等式.字母的取值范围便是所有不等式联立组成的不等式组的解集.经典例题1 (2020•湖北荆州模拟)x 的取值范围是 ．【解析】 ∵1－3x ≥0，∴x ≤13x 的取值范围是x ≤13．【答案】 x ≤13考点二 二次根式的运算方法指导：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径往往能事半功倍，在运算过程中除了注意运算顺序外，还要特别注意公式的运用和实数运算律的使用简化计算.采用的运算公式包括二次根式乘除运算公式，以及完全平方和平方差公式等．经典例题2 (2020•安徽合肥模拟)计算：＋1)2解：原式=2＋1＋＋2×2=2＋1＋－=3．过 关 演 练1．(2020·江西模拟)下列根式是最简二次根式的是( )A. B C. D 2．(2020·浙江嘉兴模拟)下列运算错误的是( )B. ×＝C. 2D. 133．(2020•山东青岛模拟)( )A ．5B ．6C ．7D ．84．(2020•浙江衢州)有意义，则x 的值可以为( )A ．0B ．1C ．2D ．45. (2020•四川成都模拟)有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－1且x ≠1 B ．x ≥－1 C ．x ≠1 D ．x ≥－1且x ≠16．(2020•山东济宁)下列各式是最简二次根式的是( )A B C D7．(2020•黑龙江绥化)化简－3|的结果正确的是( )A－3B－3C＋3D．3 8．(2020•重庆)下列计算中，正确的是()A B．2＝C D．29．(2020•山东聊城)÷的结果正确的是()A．1B．53C．5D．910．(2020•江苏泰州)下列等式成立的是()A．3＋＝BC＝D＝311．(2020•山东滨州)x的取值范围为．12．(2020•安徽阜阳模拟)x的取值范围为．13. (2020•北京中考第11题2分)小的整数．14．(2020•山东潍坊二模)＝．15. (2020•江苏南京一模)＝．16．(2020•黑龙江哈尔滨)的结果是．17．(2020·甘肃模拟)(－)2.18．(2020•山东滨州模拟)计算：tan45°－(12)－1．19．(2020•浙江湖州)－1|．20. (2020·陕西模拟)计算：23－a 621．(2020•甘肃武威)计算：(2)＋tan60°－(π－0．参 考 答 案考点梳理考点一 1. ≥0 2. (1)整数 整式 3. 最简二次根式 相同考点二 1. 最简二次根式 2. (3)最简二次根式或整式过关演练1. C2. D 解析：原式＝4＝A的计算正确；原式＝B的计2，所以选项C－，所以选项D的计算错误．3. B 解析：⇒36＜37＜49，6＜7，⇒37与36最接近，⇒是6.故选B.4. D 解析：由题意得x－3≥0，解得x≥3.5. D 解析：根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，根据分式有意义的条件可得x－1≠0，解得x≥－1，且x≠1．6. A 是最简二次根式，选项A B不符合题|a，不是最简二次根式，选项C，不是最简二次根式，选项D不符合题意．7. D 解析：－3＜0，－3|＝－－3)＝3．8. C A计算错误；2不是同类二次根式，不能合并，故选项B与－2不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误．9. A 解析：原式＝＝1515＝1．10. D 解析：3与不是同类二次根式，不能合并，故选项A B计，故选项C3，故选项D计算正确．11. x≥5 在实数范围内有意义，必须x－5≥0，解得x≥5．12. x≥－2 解析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得x＋2≥0，解得x≥－2．13. 2或3(答案不唯一) 解析：∵12，3＜4，2或3(答案不唯一)．14. 解析：直接利用二次根式的性质计算得出答案．原式＝＝．15. －解析：先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并．原式－＝－．16. 解析：原式＝17. 解：原式＝1818.18. 解：原式＝1－21－2－12＝－32．19. 解：原式＝－1＝－1．20. 解：原式＝－2a＋.21. 解：原式＝4－31．。
2024年中考数学一轮复习考点04 二次根式(精讲)(解析版)25
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用（附答案）1．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a3．把二次根式化简为（）A．B．C．D．4．已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．95．下列计算正确的是（）A．（m﹣n）2＝m2﹣n2B．（2ab3）2＝2a2b6C．2xy+3xy＝5xy D．＝2a6．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm27．若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（）A．+5B．C．D．8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 9．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2 10．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．11．当x≤2时，化简：＝．12．化简：＝．13．当0＜x＜4时，化简的结果是．16．已知+2＝b+8，则的值是．14．已知|6﹣3a|+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣，则b a＝．15．若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是cm．16．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝．17．不等式2x﹣＜x的解集是．18．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E 是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．19.同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：反之，3﹣2∴3﹣2∴﹣1求：（1）；（2）；（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．20．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．21．先来看一个有趣的现象：＝＝＝2．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3、＝4等等．（1）猜想：＝，并验证你的猜想；（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？（3）证明你找到的规律；（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．22．有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn ＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．23．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．24．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？25．一个直角三角形的两条直角边长分别是（3﹣）cm，（3+）cm，求这个三角形的面积和周长．26．已知长方形长a＝，宽b＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．参考答案1．解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．故选：D．2．解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．3．解：∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝a×＝a×＝﹣．故选：A．4．解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．5．解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误；B、（2ab3）2＝4a2b6，故本选项错误；C、2xy+3xy＝5xy，故本选项正确；D、＝，故本选项错误；故选：C．6．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．7．解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．故选：D．8．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．9．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x＝a，则x＝＝，∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．故选：A．10．解：+＝+，设P（x，0），M（3，5），N（4，﹣3），则+表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即+的最小值等于线段MN的长，∵MN＝＝，∴代数式+的最小值是，故选：B．11．解：∵x≤2，∴＝＝2﹣x．故答案为：2﹣x．12．解：原式＝＝，故答案为：．13．解：∵0＜x＜4，∴＝|x+1|+|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3．故答案为：2x﹣3．14．解：由题可得，解得，即a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故答案为：5．15．解：∵＝|b﹣4|，∴a﹣3≥0，即a≥3，∴6﹣3a＜0，∴3a﹣6+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣|b﹣4|，∴（b﹣4）2+|b﹣4|＝0，当b≥4时，有（b﹣4）2+（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4+）＝0，∴b﹣4＝0或b﹣4+＝0，∵b﹣4≥0，且b﹣4+＝0，∴b＝4，a＝3，当b＜4时，有（b﹣4）2﹣（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4﹣）＝0，∵b﹣4＜0，≥0，∴b﹣4﹣＜0，因此不存在a、b的值使b﹣4+＝0，综上所述，a＝3，b＝4，∴b a＝43＝64，故答案为：64．16．解：∵长方形相邻两边的长分别是cm和cm，∴它的周长是：2（+）＝2（2+5）＝14（cm）．故答案为：14．17．解：∵a＞a+1，∴（1﹣）a＞1，则a＜，即a＜﹣1﹣，∴a+＜﹣1，a++1＜0，原式＝﹣a﹣+a++1＝1，故答案为：1．18．解：2x﹣＜x，故答案为：x19．解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．20．解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，∴△ABC的最长边的长度是3，故答案为：3；（2）由根式有意义可得即﹣1≤x≤4．可得，．所以C△ABC＝＝．（3）由（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．当x＝4时，三条边的长度分别是，但此时，不满足三角形三边关系．所以x≠4．当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．故此时C△ABC取得最大值为7，符合题意．不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得＝＝．24．解：（1）＝＝+1；（2）＝＝﹣1；（3）m+n＝a，mn＝b．理由：∵，∴（±）2＝a±2，∴m+n±2＝a±2，∴m+n＝a，mn＝b．20．解：（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝21．解：（1），；（2）＝n；（3）证明：＝＝；（4）．22．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．23．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．24．解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，∵＜1.5，∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，∵4.2＜＜4.3，4.2÷1.5≈2，因此只能截出2块，答：最多能截出2块．25．解：三角形的面积＝×（3﹣）×（3+）＝；三角形的斜边长＝＝，∴三角形的周长＝（3﹣）+（3+）+＝（6+）cm．26．解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长。
中考数学一轮复习20讲：第4讲二次根式
【知识归纳】1．二次根式的有关概念⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．（要使二次根式a 有意义，则a ≥0.）⑵ 最简二次根式被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a )0(≥a a（3）==a a 2)0(<-a a（4）)0,0(≥≥•=b a b a ab（5）)0,0(≥≥=b a ba b a 3．二次根式的运算（1）．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有 二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）．二次根式的乘除法二次根式的乘法：a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)．二次根式的除法：a b＝ (a ≥0，b ＞0)． 【知识归纳答案】1．⑴非负数．⑵ 整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式(3)相同的二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a )0(≥a a（3）==a a 2)0(<-a a（4）)0,0(≥≥•=b a b a ab（5）)0,0(≥≥=b a b ab a3．（1（2）．ab b a2．二次根式中，x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ＜1【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x ﹣1≥0，∴x ≥1，3．下列运算正确的是（）A．= B．2×=C．=a D．|a|=a（a≥0）【考点】73：二次根式的性质与化简；15：绝对值；83：等式的性质．【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；B、2×=，故此选项错误；C、=|a|，故此选项错误；D、|a|=a（a≥0），正确．故选：D．4．下列说法中正确的是（）A．8的立方根是±2B．是一个最简二次根式C．函数y=的自变量x的取值范围是x＞1D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称【考点】74：最简二次根式；24：立方根；E4：函数自变量的取值范围；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据开立方，最简二次根式的定义，分母不能为零，关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：A、8的立方根是2，故A不符合题意；B、不是最简二次根式，故B不符合题意；C、函数y=的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意；D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称，故D 符合题意；5．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】74：最简二次根式．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：C．6．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A．B．C．D．【考点】7B：二次根式的应用．【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=，∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==，故选B．7．下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断．【解答】解：：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．故选D．二．填空题（共3小题）8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．9．计算﹣6的结果是．【考点】78：二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化简即可求出答案．【解答】解：原式=3﹣6×=3﹣2=故答案为：10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为1．【考点】7B：二次根式的应用．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为：1．三．解答题（共8小题）11．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【考点】79：二次根式的混合运算；6F：负整数指数幂．【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式=﹣+2﹣﹣2=﹣2﹣=﹣312．计算：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1．【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1=﹣1+2×﹣1+=．13．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）先化简，再求值：（ +）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【考点】79：二次根式的混合运算；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；14．计算：﹣12017﹣丨1﹣丨+×（）﹣2+0．【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=﹣1﹣|1﹣×|+2×4+1=﹣1﹣0+8+1=8．15．计算：（1）|﹣2|﹣（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】（1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；（2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式=2﹣3=﹣1；（2）原式=9﹣7+2﹣2=2．16．计算、求值：（1）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）；（2）已知单项式2x m﹣1y n+3与﹣x n y2m是同类项，求m，n的值．【考点】79：二次根式的混合运算；34：同类项；6F：负整数指数幂．【分析】（1）利用绝对值的定义结合平方差公式计算得出答案；（2）直接利用同类项的定义分析得出答案．【解答】解：（1）|﹣2|+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）=2﹣+2﹣（5﹣1）=﹣；学科网（2）∵单项式2x m﹣1y n+3与﹣x n y2m是同类项，∴，解得：．17．请你参考黑板中老师的讲解，运用平方差公式简便计算：（1）×；（2）（﹣）．【考点】79：二次根式的混合运算；4F：平方差公式．【分析】（1）把19化为20﹣1，把21化为20+1，然后利用平方差公式计算；（2）把第1个括号内提2017，然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式===；（2）原式=2017（）（﹣）=2017×（3﹣2）=2017．18．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）【分析】首先在AB之间找一点F，且BF=2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可．【解答】解：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB=3.2m，CA=0.7m，BF=2.5m，∴CF=AB﹣BF+CA=1.4m，∵∠ECA=60°，∴tan60°=，∴GF=CAtan60°=1.4≈2.38m，∵2.38＜3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．11。
2024年中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 二次根式 (含答案)
专题 二次根式知识点1：二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a 必须是非负数。
二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
2.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （）是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若20a b +=，则a=0,b=0。
（2）2()a a =（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)=（3）知识点2：二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a将上面的公式逆向运用可得：)0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则：baba =).0,0(>≥b a 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd =-⨯-≠-⨯-. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)493.分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
4.最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
知识点3：二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
2024年中考数学考一轮复习第一部分+第一章+第4讲 二次根式课件
(2)当a＝1，b＝3时，把边长为a＋n b的正方形面积记作Sn＋1，其中n是正 整数，根据(1)中的计算结果，你能猜出Sn＋1－Sn等于多少吗？并证明你 的猜想；
Sn＋1－Sn＝6n－3＋2 3.证明如下： Sn＋1－Sn ＝(1＋ 3n)2－[1＋(n－1) 3]2 ＝[2＋(2n－1) 3]× 3 ＝3(2n－1)＋2 3 ＝6n－3＋2 3.
周长＝5
5x＋12 20x＋54x
4 5x
＝ 5x＋ 5x＋12 5x ＝52 5x.
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长 的值.
当 x＝20 时，周长＝52 5×20＝25. 或当x＝45时，周长＝25 5×45＝5等
反思感悟
把二次根式化成最简二次根式后再进行运算，运算结果一定要 化为最简二次根式.
√D. 3(2 3－2)＝6－2 3
( 2)0＝1，故 A 选项不符合题意； 2 3＋3 3＝5 3，故 B 选项不符合题意；
8＝2 2，故 C 选项不符合题意； 3(2 3－2)＝ 3×2 3－ 3×2＝6－2 3，故 D 选项符合题意.
3.(2023·河北中考)若 a＝ 2，b＝ 7，则
√A.2
跟踪训练2 (1)(2023·宜昌中考)下列运算正确的个数是
①|2 023|＝2 023；②2 0230＝1；③2 023－1＝2 0123；④ 2 0232＝2 023.
√A.4
B.3
C.2
D.1
①|2 023|＝2 023，故此项符合题意； ②2 0230＝1，故此项符合题意； ③2 023－1＝2 0123，故此项符合题意； ④ 2 0232＝2 023，故此项符合题意.
C.x<－1
广东省2021年中考一轮复习 数学知识梳理整合 第一章 数与式 第4课时 二次根式
A．0
B．1
C．2
D．4
（2）（2020·常德） 若代数式
2 2x－6
在实数范围内
有意义，则 x 的取值范围是_______x_＞__3_______．
考点过关
（3）使得式子
x－1 6－x
有意义的 x 的取值范围是
（A ）
A．x≥1 且 x≠6
B．x＞1 且 x≠6
C．x≤1
D．x＜1
（4）（2020·济宁） 下列各式是最简二次根式的是
12．（2020·怀化） 计算：
8 ＋2－2－2cos 45°＋2－
2
.
解：原式＝2
2
＋212
－2×
2 2
＋2－
2
＝2 2 ＋14 － 2 ＋2－ 2 ＝94 .
中考特训
13．计算：（2 2 －3）（2 2 ＋3）＋ 18 －6
1 2.
解：原式＝8－9＋3 2 －3 2 ＝－1 .
14．（2020·临沂） 计算：
是（ B ）
A． 48
B． 18
C． 24
D． 6
4．（2020·杭州） 2 × 3 ＝（ B ）
A． 5
B． 6
C．2 3
D．3 2
中考特训
5．（2020·武威） 若一个正方形的面积是 12，则
它的边长是（ A ）
A．2 3
B．3
C．3 2
D．4
6．（2020·达县） 下列各数中，比 3 大比 4 小的
解：由题意可得，大正方形的边长为 8 ＝2 2 ， 小正方形的边长为 2 ，图中阴影部分的面积为：
2 ·（2 2 － 2 ）＝2.
知识梳理
知识点二： 二次根式的有关性质
二次根式及其运算 -2021年中考数学一轮复习命题点分类解读(解析版)
命题点5 二次根式及其运算1．二次根式有意义的条件（1（2利用分式有意义的条件，分母不为0)2．确定最简二次根式的条件（1（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如8，a 2b 2(ab >0)不是最简二次根式．3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，称为同类二次根式．注意：二次根式“合并”即两根式必须是同类二次根式．4．二次根式的性质（1a ≥0)；（2）(a )2a ≥0)；（3）a 2⎩⎨⎧-a a 00<≥a a（4）ab (a ≥0，b ≥0)．（5）b a ab ⋅=(a≥0，b≥0)；（6）b a b a =(a≥0，b ＞0). 口诀：平方在外边，直接去根号；平方在里边，加上绝对值，分类来讨论．5.二次根式的运算（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并（2）二次根式的乘除乘法：a ·b (a ≥0，b ≥0)；除法：a b ＝(a ≥0，b ＞0)． （3）分母有理化①1a＝aa·a＝aa(a＞0)；①1a－b＝a＋ba－b a＋b＝2baba-+(a≠±b，a≥0)．注意：进行二次根式的混合运算时应注意：①确定运算顺序；①灵活运用运算律；①正确使用乘法公式；①在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化．6.二次根式估值的步骤（1）先对二次根式平方，如(7)2＝7；（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；（3）对以上两个整数开方，如4＝2，9＝3；（4）确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的值之间，如2<7<3；（5）对于求二次根式的整数部分，可先用以上步骤确定二次根式a介于两个整数m，n之间，即m<a<n，从而得a的整数部分为m.一、选择题1.已知x2−2x+1+√y−8=0，则√xy的值等于（）A. 8B. 2√2C. 4D. √8【答案】B【解析】∵x2−2x+1+ √y−8 =0，∴(x−1)2+√y−8 =0，∴x−1=0，x=1；y−8=0，y=8；∴√xy=2√2．故选B．。
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次根式的应用(含答案)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次根式的应用（附答案）1．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2 2．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．（8﹣4）cm2B．（4﹣2）cm2C．（16﹣8）cm2D．（﹣12+8）cm23．若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（）A．+5B．C．D．4．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 5．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2 6．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．7．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是．8．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是，面积是．9．不等式x﹣3＜x的解集是．10．不等式：x＜2x+1的解是．11．若x＝，则x的值为．12．已知（a﹣）＜0，若b＝3﹣a，则b的取值范围．13．若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为．14．不等式x﹣＞0的解集是．15．一个直角三角形的两直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的面积是cm2．16．如图，D是等边三角形ABC中BA延长线上一点，连接CD，E是BC上一点，且DE ＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，则这个等边三角形的边长是．17．阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝…①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：S＝…②（其中p＝）．（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积S；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．18．阅读材料，请回答下列问题．材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．19．有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．20．等腰三角形的一边长为，周长为，求这个等腰三角形的腰长．21．秦九韶是我国南宋著名数学家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，被誉为“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”秦九韶所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．如果一个三角形三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣﹣海伦公式：S＝（其中p＝（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面积S．试求出三边长分别为、3、2的三角形的面积S．22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．+2；6+32；1+2；7+72．（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？23．如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值．24．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB 为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．（1）长方形ABCD的周长是多少？（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）25．一个矩形的长减少4cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个矩形周长．26．长方形的长是3+2，宽是3﹣2，求长方形的周长与面积．参考答案1．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．2．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：D．3．解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．故选：D．4．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．5．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x＝a，则x＝＝，∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．故选：A．6．解：+＝+，设P（x，0），M（3，5），N（4，﹣3），则+表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即+的最小值等于线段MN的长，∵MN＝＝，∴代数式+的最小值是，故选：B．7．解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．所以三角形的面积S＝＝＝4．故答案是：4．8．解：矩形的周长是2×（+）＝2×（+2）＝6，矩形的面积是×＝4．故答案为：6，4．9．解：由x﹣3＜x，得x﹣x＜3，（﹣）x＜3，x＞，即x＞﹣3﹣3．故答案是：x＞﹣3﹣3．10．解：x＜2x+1，∴x﹣2x＜1，∴（）x＜1，∴x＞，即：x＞，故答案为：．11．解：设x＝a n＝，a1＝，a2＝，a3＝，…，∴a n+1＝a n＞0，∴a n+1＜2，∴x＝，∴x＝2或x＝﹣1（舍），∴x＝2，故答案为2；12．解：∵（a﹣）＜0∴＞0，＜0∴0＜a＜∴﹣＜﹣a＜0∴3﹣＜3﹣a＜3∵b＝3﹣a∴3﹣＜b＜3故答案为：3﹣＜b＜3．13．解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，∴斜边长为：＝2，∴这个直角三角形斜边上的中线为，故答案为：．14．解：x﹣＞0，故答案为：x．15．解：这个直角三角形的面积＝cm2，故答案为：216．解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N．∵△ABC是等边三角形，DE＝DC，∴BM＝BC，CN＝CE＝∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴AM∥DN∴设BA的长为x，则BM＝x，BN＝x﹣，BE＝x﹣2∵BD+BE＝6，∴BD＝6﹣BE＝8﹣x∴＝解得x＝故答案为：17．解：（1）由公式①，得S＝＝2．由②，得p＝＝7，故S＝＝2．（2）[a2b2﹣（）2]＝[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2]，＝（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），＝（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴＝．18．解：（1）设a＝4，b＝5，c＝7，由公式①得S＝＝4，由②得，故；（2）可以，过程如下：由平方差公式，①中根号内的式子可化为，通分，得，由完全平方公式，得，由平方差公式，得③，由，得2p＝a+b+c，代入③，得，所以．19．解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm），∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．20．解：2是腰长时，底边是4+7﹣2×2＝7，∵2+2＝4＜7，∴此时不能组成三角形；2是底边时，腰长为（4+7﹣2）＝+，能组成三角形，综上所述，这个等腰三角形的腰长+．21．解：∵三角形的三边长分别为、3、2，∴p＝＝，∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×（﹣）×（﹣3）×（﹣2）＝9，∴S＝＝＝3，即该三角形的面积S为3．22．解：（1）∵＞0，∴+＞0，∴+＞2，同理得：6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．故答案为：＞，＞，＞，＝；（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），理由是：∵a≥0，b≥0，∴a+b﹣2＝（）2≥0，∴a+b≥2；（3）设AC＝a，BD＝b，由题意得：＝1800，∴ab＝3600，∵a+b≥2，∴a+b≥2，∴a+b≥120，∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．23．解：依题意得：x2＝12×8∴x2＝96∴答：x的值为．24．解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（9+8）＝18+16（m），答：长方形ABCD的周长是18+16（m），（2）购买地砖需要花费＝5[]＝5[72﹣（14﹣1）]＝5（72﹣13）＝360﹣65（元）；答：购买地砖需要花费（360﹣65）元；25．解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，解得：，∴2（x+y）＝2（8+2）＝20．∴这个矩形周长为20cm．26．解：周长：2[（3+2）+（3﹣2）]，＝2（3+2+3﹣2），＝2×6，＝12；面积：（3+2）×（3﹣2）＝45﹣12＝33。
中考数学一轮复习二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．=1212⨯B ．4-3=1C ．63=2÷D ．8=2±2．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43﹣33=1C ．27÷3=3D ．23×33=63．下列计算正确的是（ ）A ．2510⨯=B ．623÷=C ．12315+=D ．241-=4．估计()123323+⨯的值应在 （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 5．若31m -有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 36．设a 为3535+--的小数部分，b 为633633+--的小数部分，则21b a-的值为（ ） A ．621+-B ．621-+C ．621--D ．621++7．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤48．已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为( ) A ．0B ．3C ．33D ．99．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236⨯=C 774=D 363693=+==10．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．9二、填空题11．已知112a b +=，求535a ab ba ab b++=-+_____． 12．2215x 19x 2+-=2219x 215x -+=________． 13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z ．如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①(3)f =z __________；②2(33)f +=z __________； ③222222111(11)(22)(22)(33)(33)(44)f f f f f f ++++⋅++⋅++⋅+z z z z z z221(20172017)(20182018)f f +=+⋅+z z __________．14．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．15．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．16．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________．17．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．18．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.19．将1236按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.20．12a 1-能合并成一项，则a =______．三、解答题21．小明在解决问题：已知a 23+2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a 23+()()32323+-＝23，所以a －23所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：2+1= － . (2)2+13+24+3…100+99(3)若a 21-，求4a 2－8a ＋1的值． 【答案】2 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（1()()221212121==++-；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：2121=+；(2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2S =2a b cp ++=（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．（2）请证明：12S S【答案】（12） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=-=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+=2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---∵2a b cp ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅ =1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =∵10S >，20S >， ∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．23．已知x=2，求代数式（7+x 2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x 2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣24．观察下列等式：1==；====回答下列问题：（1（2）计算：【答案】（1（2）9 【分析】（1）根据已知的31=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】解：（1=（2+99+=1100++-=1 =10-1 =9.25．计算（1（2）(()21-【答案】（1）；（2）24+ 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：（1=2+=(2-+=2（2）(()21-=22(181)---=452181--+=24+． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．26．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)114.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．28．02020((1)π-．【答案】 【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】原式11=-= 【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A2÷故选A.2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．4．A解析：A【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】(=，∵<3，∴<5，故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.5．B解析：B【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】310m-≥，解得13 m≥，所以，m能取的最小整数值是1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6．B解析：B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．7．B解析：B【解析】【分析】先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可．【详解】解：原式1x -=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时，此时1-x≥0，x-4＜0，∴（4-x ）-（1-x ）=3，不符合题意，当1≤x≤4时，此时1-x≤0，x-4≤0，∴（4-x ）-（x-1）=5-2x ，符合题意，当x≥4时，此时x-4≥0，1-x ＜0，∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意，∴x 的取值范围为：1≤x≤4故选B ．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a ﹣3）2=0，即a=39．D解析：D【解析】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知=故正确；=根据二次根式的性质和化简，=，故正确；根据二次根式的加减，不是同类二次根式，故不正确.故选D.10．B解析：B【分析】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，【详解】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，原式3===故选B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键. 二、填空题11．13【解析】【分析】由得a+b=2ab ，然后再变形，最后代入求解即可.【详解】解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【分析】由112a b+=得a+b=2ab，然后再变形535a ab ba ab b++-+，最后代入求解即可.【详解】解：∵112 a b+=∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 12．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元13．3【解析】1、；2、根据题意，先推导出等于什么，（1）∵，∴，（2）再比较与的大小关系，①当n=0时，；②当为正整数时，∵，∴，∴，综合（1）、（2）可得：，解析：320172018【解析】1、(1.732)2z z f f ==；2、根据题意，先推导出f 等于什么，（1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，12n <+， （2）12n -的大小关系，①当n=012n >-； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204n =->， ∴2212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，12n >-，综合（1）、（2）可得：1122n n -<+，∴f n =z ，∴3f =z ．3、∵f n =z ，∴(2017z f +111112233420172018=++++⨯⨯-⨯ 111111112233420172018=-+-+-++- 112018=-20172018=． 故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018. 点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n 为非负整数时，1122n n -<+，从而得到f n =z ；（2）解题③的要点是：当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++. 14．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y ﹣2，﹣x+7+x ﹣9＝3y ﹣2，整理得：＝3y ，∴x ﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x ≥11，|7﹣x ＝3y ﹣2，﹣x +7+x ﹣9＝3y ﹣2，＝3y ，∴x ﹣11＝9y 2，则2x ﹣18y 2＝2x ﹣2（x ﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．15．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．16．【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值．【详解】解析：【分析】10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．【详解】10-b 4-b-2=+，1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 17．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．18．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.19．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
中考数学一轮复习二次根式知识归纳总结及答案
一、选择题1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．4B ．21x +C ．12D ．40.52．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ）A ．12B ．30C ．8D ．123．下列各式中，无意义的是（ ）A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-4．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．32222=8383-=-．233=D ()222-=- 6．(21273632-的结果正确的是( ) A 3B ．3C ．6D ．337．下列各式计算正确的是（ ）A ．6232126()b a b a b a ---⋅=B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xyC 23a a a =D ．2x •3x 5=6x 6 8．2x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x >-2C ．x <-2D ．x≠-2 9．化简1x -） A x - B x C x -D x10．给出下列化简①（2-2=222-=（）2221214+=311142-=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④二、填空题11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4-_______12 12．若0a >，把4a b-化成最简二次根式为________． 13．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．15．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+⋅--=+--+--，则p =__________．17．化简(322)(322)+-的结果为_________.18．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．19．4x -x 的取值范围是_____． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______．三、解答题21．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+m 2n 2m 2n 2018+-++.【答案】12015【解析】【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13， ∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．22．）÷）（a ≠b ）． 【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-23．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2∴a﹣2=∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.24．计算：（1）+（2(33+-【答案】（1）2） -10【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．【详解】解：（1）+===（2(33+- =5+9-24=14-24=-10．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．25．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】 原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a a a b a b -+-=a b a b-+，当，b=1时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．27．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.28．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可；(2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可．【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443．【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断．【详解】A，原根式不是最简二次根式；B=，原根式不是最简二次根式；C2==D、=4故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．2．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】解：A=不是最简二次根式，本选项错误；BC=不是最简二次根式，本选项错误；=D2故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．3．A解析：A【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．【详解】AB ，有意义，不合题意；C D 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x ≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.5．A解析：A【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、-=A 正确；B =B 错误；C 、2不能合并，故C 错误；D 2=，故D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．6．A解析：A【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．【详解】解：原式333=+=故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．7．D解析：D【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．【详解】 A. 2321526()b a b a b a ---⋅=，故选项A 错误； B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C 错误；D. 2x •3x 5=6x 6，正确．故选：D ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得： 20x +>，解得：2x >-．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．9．C解析：C【解析】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x.故选C．10．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式2==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.二、填空题11．【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)(2)∵∴∴故答案为：，．解析：<<【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)<(2)113424-=∵3=0<< 12 故答案为：< ，<． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．12．【分析】先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析： 【分析】先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】 解：∵40,0a a b-≥> ∴0b < 2a b b b b=--所以答案是： 【点睛】a =.13．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 14．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，ACAE＝2，EH＝，…，即a2a3＝2，a4＝（2）an n为正整数）．15．【分析】先把x分母有理化求出x= ，求出a、b的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值． 16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=， 解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 18．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．19．x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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第4讲二次根式及其运算一、选择题
1．(2020·杭州)2×3＝(B)
A．5B．6C．23D．32
2．下列二次根式化简后，与2的被开方数相同的是(D)
A．12B．3
2C．
2
3D．18
3．(2020·聊城)计算45÷33×3
5的结果正确的是(A)
A．1 B．5
3C．5 D．9
4．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是(B)
A．1
2B．2C．4D．12
5．(2020·临沂)设a＝7＋2.则(C)
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4
C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
6．若m 与6是同类二次根式，则m的值可以是(B)
A．12 B．24 C．36 D．48
7．(2020·南通)下列运算，结果正确的是(D)
A．5－3＝2B．3＋2＝32
C．6÷2＝3 D．6×2＝23
8．(2020·黔东南州)实数210介于(C)
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间
9．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则－(－ab)2019的值是(C) A．1 B．2019 C．－1 D．－2019
10．(2020·武威)若一个正方形的面积是12，则它的边长是(A) A．23B．3 C．32D．4
二、填空题
11．(2020·扬州)代数式x＋2
3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__x≥－
2__．
12．(2020·遵义)计算：12 －3 的结果是__3 __． 13．(2020·常德)计算：92 －12
＋8 ＝__32 __． 14．(2020·北京)写出一个比2 大且比15 小的整数__2(或3)__．
15．(2020·威海)计算3 －12 －(8 －1)0的结果是__－3 －1__.
16．(北师八上P51T14改编)满足－3 <x <5 的整数x 的和为__2__．
17．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示8 的点落在第__③__段内．
18．(北师八上P46T3改编)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的面积为__6__．
三、解答题
19．(2019·长沙)计算：|－2 |＋(12
)－1－6 ÷3 －2cos 60°. 解：原式＝2 ＋2－6÷3 －2×12
＝2 ＋2－2 －1
＝1.
20．(2020·大连)计算(2 ＋1)(2 －1)＋3－8 ＋9 .
解：原式＝2－1－2＋3＝2.
21．(2020·临沂)计算：（13－12）2 ＋22 ×16
－sin 60°. 解：原式＝12 －13 ＋123
－32 ＝16 ＋36 －32
＝1－236
.。