计算结构力学课程讲义

第1章绪论

1.1 课程内容

(1) 研究内容

本课程主要研究工程结构计算机分析（数值分析）的常用方法——

有限单元法、加权残数（余量）法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。

(2) 参考书籍

课程的主要参考书籍如下：

唐锦春，孙炳楠，郭鼎康，计算结构力学，浙江大学出版社，1989

丁皓江, 谢贻权, 何福保，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1989

王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003

王勖成，邵敏，有限单元法基本原理与数值方法，第二版，清华大学出版社，1997

徐次达，固体力学加权残数法，同济大学出版社，1987

孙炳楠，项玉寅，张永元，工程中边界单元法及其应用，浙江大学出版社，1991

Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.

Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001.

Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978.

Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002.

1.2 结构分析方法概述

一个工程技术问题总可由一组基本方程（通常是微分方程）加一组边界条件描述，即由下式给出：

基本方程：L(u)-p=0，∈V（域内）

边界条件：B(u)-g=0，∈S（边界）

式中L、B为算子，p、g为已知函数。

工程技术问题的常用分析方法有：

(1) 解析方法

只适用于少数简单问题，即形状规则且外部作用（如外荷载）简单的结构分析问题。

(2) 数值方法

数值方法可分为区域型方法和边界型方法。常用的区域型方法包括有限差分法、加权残数法、里兹(Ritz)法（变分法）和有限单元法等，其中有限差分法是直接对基本微分方程进行离散，再对离散后的代数方程进行求解；后几种方法则是先建立基本方程（一般是微分方程）的等效积分表达式，再进行离散求解。边界型方法中最典型的是边界单元法。它是先将基本微分方程变换为等效的边界积分方程，再在边界上对其进行离散求解。

例如，图1.1给出了一个受复杂横向荷载（分布荷载、集中力、集中力偶等）作用的两端固定变截面梁。为求梁的挠度和内力，可列出梁的基本方程和边界条件如下：

图1.1 变截面单跨梁受横向荷载作用

基本方程：L(u )-p =0，∈V （域内）

——EI (x )y ’’= -M (x ), 0≤x ≤l . 边界条件：B(u )-g =0， ∈S （边界）

——(y )x =0或x =l =0，(y ’)x =0或x =l =0

以下分别就采用加权残数法、里兹法（位移变分法）和有限单元法的基本原理进行讨论。 (1) 加权残数法

为求近似解，设试探函数∑==m

k k k u u 1α代入基本方程和边界条件，得残值：

R L =L(u )-p （域内），R B =B(u )-g （边界）

迫使残值在某种平均意义（加权积分）上等于零，则有

0d d =⎰+⎰S S

j B V j L S W R V W R

由此可得到关于待定系数αi 的代数方程组，解方程可求得待定系数及解答的近似表达式，其中的试函数可以选择多项式、三角函数、样条函数等。

(2) 里兹法（位移变分法）

里兹法的理论依据是最小势能原理。该原理可表述为：给定外力作用下，满足几何条件的各种可能位移中，真实的位移使总势能取极值，据此有

δ(U +U R )=0

假设满足位移边界条件的位移函数为：

∑=i

i i u A u

将其代入方程得到关于待定系数A i 的代数方程，解方程可得A i 。

里兹法需要在整个计算区域上假设近似函数，很难适应形状（边界）较复杂或解答较难预测的问题。

(3) 有限单元法

有限单元法的理论依据是最小势能原理或其他形式的变分原理。该方法与里兹法的主要区别是不在整体计算区域上假设近似函数，而是先将连续的求解区域离散为一个由有限个单元组成并按一定方式相互连接的单元集合体，再以各单元连接结点处的场量（如位移量）作为基本未知量，在各单元内假设近似函数（通过结点未知量插值得到），从而将一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。

图1.2 一维试函数的分段假设

例如图1.2中的曲线是某个一维问题的目标函数曲线，若采用里兹法对整个区段假设一个近似的试函数，显然比较困难。但如果现对整个区域进行分段（如图中短线为分段线），再对各个区段假设试函数，则要简单和准确得多，如可将各区段均假设为二次函数。哟次可见，有限单元法可视为一种分片（或分块、分段）形式的变分法。

虽然有限单元法的理论依据和里兹法是一致的，但采用了分片（或分块、分段）假设试函数的处理方法以后，使得该方法的具体实施变得简便易行，具有了优越的可操作性和更为明确的物理意义，也使得该方法具有了其他方法（如里兹法）所不具备的优点：

1) 概念简单、明确，易为工程人员接受；也可建立严格的数学分析和证明；

2) 适用性十分广泛，适应于各类复杂边界和不同外部作用的问题；

3) 求解过程程序化，易于编程和计算机实现。

1.3 课时安排

课程的总体课时安排如下：

有限单元法部分包括概论、进展；平面三角形、矩形、等参元；杆元、板元等，共约20个课时；加权残数法部分包括基本原理、方法分类，以及伽辽金（Galerkin）方法、最小二乘法的应用，共需约4～6个课时；边界单元法主要包括基本原理（以二维势问题为例）；梁弯曲和板弯曲问题，共需约4～6个课时。

思考题

1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何不同和相同点

？试分别举例说明。

1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面有何异同点？

1.3与里兹法相比，有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛，你认为主要的原因在于

那些方面？