正规战争模型
战争模型
J (0) = 21500, J (36) = 0, ∑ A(t ) = 2037000
t =1
36
从(4.3.9)令t=36解出
b= J ( 0 ) − J ( 36 )
∑ A( t )
t =1
36
=
21500 = 0 . 0106 2037000
求近似解
把 b 代 回 (4.3.9) 式 便 可 求 出 J(t),t=1,2,3……36. 又在(4.3.8)中令t =36解出
2 0
这是一族开口向右的抛物线
c n 2 x = y − 2b 2b
战争结局分析
y n>0 乙胜
n=0,平局
n/c
n<0 甲胜
0
-n/2b
x
初始兵0 2 2b ( ) > x0 cx0
实际上,由于正规军在明处,游击队在暗处, 而且活动区域较大,从而使c很小而b较大.从 而y0/x0较大.
战争模型
早在第一次世界大战时期， nchester就提出了预测战争结局的 数学模型。
考虑因素
nchester的模型十分简单，只考虑：
双方兵力多少和战斗力强弱； 兵力因战斗减员和非战斗减员而减少， 由后备力量的增援而增加； 杀伤对方的能力，与射击率、命中率以 及战争类型有关。
b 2 k x + a a
>0
x→0
时
y→ k
甲方输,乙方胜。
情形三,k<0, 轨线方程为 x =
y → 0 时，x →
a 2 k (y − ) b a
−k >0 b
乙方输，甲方胜
战争结局分析
y k>0,乙胜 k=0,平局
第6讲 微分方程模型之战争模型
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα&&。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
战争模型
3.6 战争模型（1）问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。
本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
（2）模型假设甲乙两支部队互相交战，设)(t x 、)(t y 分别表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，其中t 是从战斗开始时以天为单位计算的时间。
0)0(x x =、0)0(y y =分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。
在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）。
这些因素转化为数量非常困难。
为此，我们作如下假定把问题简化。
1.设)(t x 、)(t y 为双方的士兵人数；2.设)(t x 、)(t y 是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。
（3) 模型建立根据假设，可以得到一般的战争模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅--=+⋅--=00)0( ,)0()(),()()(),()(y y x x t v y y x g t y t u x y x f t x βα 。
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率),(y x f 、),(y x g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
数学建模正规战与游击战ppt课件
6
f=ay
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵 的杀伤率（单位时间的杀伤数）， 称乙方的战斗有效系数。可以进一 步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射 击率（每个士兵单位时间内射击次 数），py是每次的命中率。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙 方获得胜利的条件可表示为
y0 x0
2
b a
rx ry
px py
(7)
12
Y(t)
k a
0
k
x(t)
b
图5-6 正规战争模型的相线
13
(7)式表明双方初始兵力之比y0/x0 以平方关系影响着战争结局。例如若
乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方 不变），则影响战争结局的能力增加
2
2 • 0.1• 0.1106 2 •1•100
100
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
27
正规部队一方要想取胜必须派出8 倍于游击部队的兵力，而美国最 多只能够派出6倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接 受和谈撤军，越南人民取得最后 的胜利。
由此可以写出关于x(t)、y(t)的微 分方程为
x(t) f (x, y) x u(t), 0 y(t) g(x, y) x v(t), 0 （1）
有增援的正规战争模型
介 玲
夺
力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
a 2
本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
容易画出式(3 的轨线图， ) 见图1.
阮
考虑的， 显然比 原先只考虑战斗减员率要优越， 也
七 ，
、 _
(创 kl) 卜
1+
b k a 一l
由假设中对参数的约束可知
考 思式 (3 的地 阵 A : ) I
‘ _ 、___ ， ， ~ ，_ _ 1一 k
\ 一臼
汀 0. 乍
e 由于 d 认二 一 kl
(成 kl) 卜
时，由图 1 可以看出随着时间t 的变大，
甲 兵 减 零， 方的 趋于专 此时 方的 力 少到 而乙 兵力
记
比，甲、乙 战斗有效系数分别为a b， >0， 通过分析轨线的变化来讨论其结果。问 方的 ， ( a
b>0).以 ， 2 ( )双方的自 然减员率为零， 即忽略如疾病、 逃
常微分方程模型
t0 1961 ,
x0 3.0610 ,
9
r 0.02,
x(t ) 3.0610 e
9
0.02( t 1961)
(4)
公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数,
8
但当t=2510年,
t=2635年, t=2670年,
x = 21014 (2万亿), x = 1.8 1015 (18万亿), x = 3.6 10 (36万亿),
(7)
dx ~ x 曲线 和 dt
根据(6),(7)两式可画出 图如图1-a及图1-b：
x~t
图1-a
图1-b
12
dx ~ x 是一条抛物线， 如图1-a, dt dx 他表示人口增长率 dt 随着人口数量 xm 的增加而先增后减，在 x 处达到 2
x
最大值。
如图1-b，x ~ t 是一条 型 xm 曲线 ，拐点在 x 处，当 x 2 m x 时，t
i i1
i2
(17)
制订生育政策就是确定 (t ) 和 hi (t ) ，通过 (t ) 控制 生育多少，通过hi (t )可以控制生育的早晚和疏密。 引入向量、矩阵记号：
x(t ) [ x1(t ), x2 (t ), xm (t )]
T
(18)
20
0 0 0 1 d1 ( t ) A( t ) 0 1 d 2 (t ) 0 0
3
影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率 的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况, 工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害, 战争,人口迁移等等. 如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我 们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素—增 长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立 一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考 虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合 的数学模型.
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
Lanchester战争模型分析
其中ry为射击率 , Py为命中率 , 满足 一次射击的有效面积 S ry Py . 甲方活动的面积 Sx
类似 S rx g ( x , y ) dxy, 且d rx Px rx . Sy
S ry Sx
从而,模型为:
dx dt cxy x u (t ) dy dxy y v(t ) dt x(0) x , y (0) y 0 0
36
为估计b, 我们在(9)式中令t 36,由资料得到 A(i) 2037000,
i 1
21500 0 于是b 0.0106, 再回代(9)式, 得到J (t ). 2037000 再由(9)的第一式我们可估计 a, 得到
a
u (i ) A(36) u (i ) 20265
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间,nchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用.
1.一般战争模型
用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为
模型验证的思想方法:
1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到. 2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分. 3.估计出a,b的值.
数学建模的多种作战模型
数学建模中的作战模型在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式2020bx ay >成立。
可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。
但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02增大四倍。
这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。
如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。
此时正规部队对正规部队的作战模型为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dtdyt f ay dt dx(3)现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，即令ab=1，没有援军，将(2)变为 y b a x c ay x ca2222-=-=(4)将y = 100，x = 50代入(4)式得 10050750022-==ca(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得y y 2750087=≈即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。
伊拉克战争中的数学模型分析
东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告伊拉克战争中的数学模型学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号*******姓名陈鹏程指导教师张尚国林秋成绩教师评语：指导教师签字：2013年7月16日1 绪论1.1 问题提出人类会厌倦睡觉；厌倦爱情；会厌倦唱歌；厌倦跳舞；但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉伊拉克战争，又称美伊战争，是以美英军队为主的联合部队在2003年3月20日对伊拉克发动的军事行动，美国以伊拉克藏有大规模杀伤性武器并暗中支持恐怖分子为由，绕开联合国安理会，单方面对伊拉克实施军事打击。
到2010年8月美国战斗部队撤出伊拉克为止，历时7年多，美方最终没有找到所谓的大规模杀伤性武器，反而找到萨达姆政权早已将其销毁的文件和人证。
2011年12月18日，美军全部撤出。
决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。
毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。
哲人说：人心的向背决定战争的胜负。
但人心是模糊的，很难说清楚。
这里，我们不想讨论战争胜负的原因。
只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。
早在第一次世界大战期间，nchester就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的。
1.2 问题分析战争的输赢通常正比于参加战争的军队数量，军队数量因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。
更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
战争模型
(1.2)
(1.3)
对于该方程，因为这是一个初始值问题，可以应用Matlab中的ode45来进行求解。但是在 写该程序的时候，必须对该方程进行预处理：把上式写成如下形式： x′ y′ 0 −rx px −ry py 0 x y (1.4)
=
对应的Matlab代码： infinity=12; options = odeset(’RelTol’,1e-4,’AbsTol’,[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[x0 y0 ],options); function dy = rigid(t,y) dy = zeros(2,1); dy(1) = -ry py y(1); dy(2) = -rx px y(2); 这是一个初始值问题，这样可以计算出方程的解。而同样对这样的方程不直接进行求 解，可以直接判断双方的胜负： bx r x px x dy = = dx ay ry py y 很容易计算出上面方程的解， ay 2 − bx2 = k 而根据方程的初始条件，有
2 cy 2 − 2bx = n, cy0 − 2bx0 = n,
(1.12)
(1.13)
这时相轨线是抛物线。并且乙方取得胜利的条件是：
2 y0 2b 2rx px sx > = 2 cx0 ry sry x0 x0
(1.14)
通过这个表达式，很容易可以得到在战争中如何处于弱势的游击一方以空间换取对对方 的战斗力的消弱的。可以作如下假设： 设甲方初始兵力为x0 = 100,命中率为px = 0.1, 火力rx 是乙方火力ry 的一半，活动区域面 积sx = 0.1平方公里，而乙方的射击的有效面积是sry = 1平方米，那么乙方胜利的条件是：
兰彻斯特模型
§17.4 兰彻斯特作战模型[学习目的]1. 能建立兰彻思特作战模型问题的数学模型；2. 会求解兰彻思特作战模型问题的数学模型；3.能用兰彻思特作战模型问题的数学模型解决一些实际问题。
问题： 两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？这个问题提得很模糊，因为战争是一个很复杂的问题，涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多原因。
因此，如果把战争所涉及到的因素都要考虑进去，这样的模型是难以建立的．但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的。
在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
数学建模-战争模型
在战争模型中，设乙方与甲方战斗系数之比为a/b=4,初始兵力相同，则 （1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
（2）若甲方在战斗开始时有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：（1）模型建立：（在没有增援的情况下）设()x t 为t 时刻甲方存活的士兵数，()y t 为t 时刻乙方存活的士兵数。
假设：（1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，()x t 和()y t 都是连续变量。
（2）乙方军队的一个士兵在单位时间内杀死甲方军队a 名士兵； （3）甲方军队的一个士兵在单位时间内杀死乙方军队b 名士兵； 则有x ay t y bx t∆=-∆∆=-∆令0t ∆→，得微分方程组模型：(0) (0)dxay a dtdy bx b dt⎧=->⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （1） 记bE a=，称为甲军与乙军的交换比。
对上式求解得 dy bx x E dx ay y== 分离变量并积分得22y Ex C -= （2）再设初始条件为0(0)(0)x x y y =⎧⎨=⎩从而2200C y Ex =- （3） 易知，式(2)表示一个双曲线，图形如下：由图可知：若0C >，乙军胜，且当yx 为零。
若0C =，平局。
且当y 减少到零时，x 也为零。
若0C <，甲军胜，且当x时，y 将为零。
第一个问题：若初始兵力相同，即00x y =，则2220034C y Ex x =-=，所以乙军02x =。
令4,1a b ==，求解(1)式，得2200220031()2231()44t t t tx t x e x e y t x e x e --⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩令()0x t =或0()y t x =得取胜时间为1ln 30.27t =≈(2)有增援的情况下，模型变为(0) (0)dxay r a dtdy bx b dt⎧=-+>⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （4） 解之得222ay bx ry C --= （5）配方得222()r r a y bx C a a--=+ （6）即 2222()r C r y Ex a a a--=+显然(6)仍然是一个双曲线，类似于前面的讨论。
战争模型
■忽略非战斗减员 ■假设没有增援
ay x bx y x(0) x , y (0) y 0 0
为判断战争的结局, 不直接求x(t), y(t), 而在相 平面上讨论 x 与 y 的关系
y (t )
dy bx dx ay
ay 2 bx 2 k
k ay0 bx0
2 2
0
x (t )
22
由上式确定的相 轨线是双曲线
相轨线: ay bx k , k ay bx
2 2 2 0
2 0
k 0 y 0时x 0 k 0 x 0时y 0
y (t )
k 0
甲方胜 平局 乙方胜
k 0 x 0时y 0
兰彻斯特作战分析
在全歼联合舰队后部后，英国舰队两个主纵列还 可以保留 (1024 529)1/2 = 22.25 艘，再与小纵列 中舰队联合，对联合舰纵列前部作战还占有优势。 即在最坏情况下， “纳尔森秘诀”也可以使英国 舰队获得胜利。 思考：小纵列的战术？
游击战争模型 双方都用游击部队作战
167艘战舰抵英, 经典海战重演.
乐队在游行中
8
英国演员 装扮纳尔逊在 座舰胜利号前
9
重现当年海战的油画
10
兰彻斯特作战分析
例 特拉法尔加海战(The Battle of Trafalgar)
1805年, 纳尔逊海军上将率领的英国舰队与 法国西班牙联合舰队在特拉法尔加角进行了一场海战 . 当 时法国-西班牙联合舰队有战舰F0 = 33艘, 英国舰队有 战舰B0 = 27艘. 双方的战斗力与各自的战舰数成比 例.
战争分类: 正规战争、游击战争、混合战争
数学与战争
数学与战争一、正规战于游击战数学模型。
一般战争模型：用)(t x 和)(t y 表示甲乙双方t 时刻的兵力。
假设：1、 每一方战斗减员率取决于双方兵力和战斗力，甲乙方战斗减员率分别为f(x,y)和g(x,y)表示。
2、每一方非战斗减员率只与本方兵力成正比，分别为a 、b 。
3、双方增援率分别为u(t)、v(t)表示。
正规战模型：对甲而言，其战斗减员只与乙方兵力有关，可设为f=cy. c 表示乙对甲的杀伤率.类似的有g=dx 。
所以有⎩⎨⎧+--=+--=)()(t v by dx dy t u ax cy dx 忽略非战争减员，并假设双方都没有增援。
取双方初始兵力分别为0x 、0y ，上式可化为⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x dx dy cy dx 由上式可知，双方兵力都是单调减函数，不妨认为兵力先减至零的一方未负。
则由上式可得：cy dx dx dy =其解为： k dx cy =-22 （1）由兵力的初始条件可得 ;2020dx cy k -= （2）由（1）式确定的相轨线是双曲线族，当k>0时，曲线与y 轴相交，说明存在t1，使;0)(,0)(11>=t y t x 即甲方兵力为0时，乙方兵力为正值，乙方获胜。
同理，k<0时，甲方获胜，当k=0时，双方战平。
游击战模型：不妨设甲方在乙方看不到的区域活动，乙方士兵向着区域开火，并且不知道杀伤情况。
这时甲方战斗减员不仅与乙方士兵有关，还随着甲方士兵的增加而增加，因为在有限的区域里，士兵越多，被杀伤的就越多。
可简单的假设f=exy,一方的战斗有效系数e 已知且为常数，同理，可设一方战斗减员为：g=hxy,h 为甲方站都有效系数。
则有：⎩⎨⎧+--=+--=);();(t v by hxy dy t u ax exy dx 经过与正规战中的解法可得：⎩⎨⎧-==-;;00hx ey m m hx ey （3） （3）式确定的相轨线是直线族，当m>0时，乙方胜，m<0时，甲方胜，m=0时，战平。
作战模型
dx dy
dt
= = =
− ay −bx x0 , y (0 ) = y0 (3 )
dt x (0 )
(4)
(5)
由(5)式确定的相轨线是双曲线族，如图 (5)式确定的相轨线是双曲线族， 式确定的相轨线是双曲线族
数学建模 军事模型 24
军备竞赛模型
Richardson, 1939 年， 军备竞赛理论模型。 军备竞赛理论模型。
History shows that the existence of weapons increases the likelihood of violent conflict. Without destructive weapons, perhaps nations sometimes would settle disputes by other means. It was this assumption that led Lewis Fry Richardson to begin his study and analysis of arms races. His scientific training in physics led him to believe that wars were a phenomena that could be studied and mathematically modeled.
数学建模
dx dy
dt
= = =
− cxy − bx x0 ,
军事模型
dt x (0)
y (0) = y 0
16
相轨线
cy − 2bx =方获胜条件： n > 0
微分方程-4
y0 x0
2
2b gx0
b
rx
px , g
ry
Sry Sx
y0 x0
2
2 rx Sx px 1 ry Sry x0
M 0 : x获胜
x(t)
射击率 一次射击的 有效面积
dx ax by dt
最后添加一个常数项，以反 映国家A对国家B感到的所有潜 在的不安因素，这也就是说即使两个国家的防御支出为零，国家A 仍觉得有必要武装自己对付国家B，是一种对未来情况的担心。这 个往往根据两国的外交关系所定（美苏，美国与加拿大）。
dx ax by c dt
dy mx ny p dt
这时模型的平衡点就变为：ax by c mx ny p
的解，
其解为：
X bp cn an bm
Y ap cm an bm
当an-bm为正切较大时，这个交点在第一象限，有自身的物理意义。 但是当an-bm较小或趋于零时呢？将会出现经费失控（如美苏）！为负 的意义作为思考题。
那么显然这时的平衡点在 x, y 0,0处，在这种情况下，两国都没有
防御支出，国民经济的总产值全部用来投资医疗卫生以及教育事业等非
军事方面，两国可以用非军事方法来解决一切争端（历史上只有美国与 加拿大在1817年至今使这种关系），但当两国冲突矛盾很大时模型就变 为：
dx ax by c dt
而对于国家B来说则有：
dy mx ny p dt
现在来看看上述模型是否会平衡 ——是否会有(x, y)满足:
dx dt
正规战争模型
正规战争模型假定设甲乙两方都是正规部队,双方士兵公开活动,每个士兵处在对方的杀伤范围内1．甲方战斗减员率与乙方兵力成正比：，a称为乙方战斗有效系数(a>0)；2．乙方战斗减员率与甲方兵力成正比：，b称为甲方战斗有效系数(b>0).建模直接把代入得：若只考虑最简单的情况，,则分析1.轨线方程(4.45)是微分方程组，其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
相平面----把时间ｔ作为参数，为坐标的平面。
轨线——相平面中由方程组的解所描述的曲线。
从两边取不定积分得，令得2c=(4.46)就是轨线方程2.战争结局分析以下对Ｋ的三种情况分别作分析注：由于现在是没有增援的，故随ｔ增大，双方兵力越来越少，先为０者是输方。
①K=0，轨线方程为，开方：,得直线L：,过原点，双方兵力同时为０. ,平局。
②K>0（Ⅰ）轨线方程：即轨线总在直线Ｌ上方（Ⅱ），即y关于x递增，也即随x减少y也减少。
（Ⅲ）, 即轨线向上凹的。
（Ⅳ）时，，即甲方兵力先为０，甲方输,乙方胜。
③K<0（Ⅰ）轨线方程：，即轨线总在直线Ｌ下方。
（Ⅱ）, 即随y减少，x也在减少,此性质与K无关（Ⅲ），即轨线向下凹（Ⅳ），即乙方兵力先为0，乙方输，甲方胜。
3.初始兵力分析双方战平K=0 （平衡条件)可见若甲方初始兵力不变，乙方战斗有效系数也不变，而乙方初始兵力增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况.（4.45）也称为平方率模型。
注：可求出（4.45）的解为若用此解去分析战争结局反而麻烦。
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正规战争模型
假定
设甲乙两方都是正规部队,双方士兵公开活动,每个士兵处在对方的杀伤范围内
1．甲方战斗减员率与乙方兵力成正比：，a称为乙方战斗有效系数(a>0)；
2．乙方战斗减员率与甲方兵力成正比：，b称为甲方战斗有效系数(b>0).
建模
直接把代入得：
若只考虑最简单的情况，,则
分析
1.轨线方程
(4.45)是微分方程组，其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
相平面----把时间ｔ作为参数，为坐标的平面。
轨线——相平面中由方程组的解所描述的曲线。
从
两边取不定积分得，
令得2c=
(4.46)就是轨线方程
2.战争结局分析
以下对Ｋ的三种情况分别作分析
注：由于现在是没有增援的，故随ｔ增大，双方兵力越来越少，先为０者是输方。
①K=0，轨线方程为，开方：,
得直线L：,过原点，
双方兵力同时为０. ,平局。
②K>0
（Ⅰ）轨线方程：
即轨线总在直线Ｌ上方
（Ⅱ），即y关于x递增，
也即随x减少y也减少。
（Ⅲ）
, 即轨线向上凹的。
（Ⅳ）时，，即甲方兵力先为０，甲方输,乙方胜。
③K<0
（Ⅰ）轨线方程：，即轨线总在直线Ｌ下方。
（Ⅱ）, 即随y减少，x也在减少,此性质与K无关
（Ⅲ），即轨线向下凹
（Ⅳ），即乙方兵力先为0，乙方输，甲方胜。
3.初始兵力分析
双方战平
K=0 （平衡条件)
可见若甲方初始兵力不变，乙方战斗有效系数也不变，而乙方初始兵力增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况.（4.45）也称为平方率模型。
注：可求出（4.45）的解为
若用此解去分析战争结局反而麻烦。