2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷

数学试题

第I 卷(必做题，共160分)

一、填空题 (本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．) 1．已知集合A ＝{2 ，5} ，B＝{3 ，5} ，则A U B＝．

1 2i

2．已知复数z满足i(i 为虚数单位) ，则复数z的实部为．

z

3．A，B，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为

4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值

为．

5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两

次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看

电影，则该同学在家学习的概率为．

6．已知数列a n 满足a1 1，且3a n 1a n a n 1 a n 0 恒成立，则

a6 的值为

7．已知函数f (x) Asin( x ) (A> 0， > 0，

的值为．

22

xy 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2 21(a> 0，b>0)的

焦距为2c，若过右焦点且ab

与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c2，则双曲线的离心率为

9．已知m，n 为正实数，且m＋n＝mn，则m＋2n 的最小值为．

10．已知函数f (x) x x 4 ，则不等式f (a 2) f (3) 的解集为

< 2) 的部分图象如图所示，则f (0)

第 4 题第7题

第11 题第12 题

2 的圆锥形容器中，装有深度为 h 的水，再放入一 个半径为 1 半球的大

圆面、 水面均与容器口相平， 则 h 的值为 ．

ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是 BC ，CD 的中

uuur uuur uuur uuur

点，若 AE DE 1 ，则 AF CD 的值为

13．函数 f(x)满足 f (x) f(x 4)，当 x [﹣2，2)时，f(x)

若函数 f （x ）在［0，2020）上有 1515个零点，则实数 a 的范围为

14．已知圆 O ：x 2 y 2 4，直线 l 与圆O 交于 P ，Q 两点， A （2 ，2），若AP 2＋AQ 2＝ 40， 则弦 PQ

的长度的最大值为 ．

二、解答题 （本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明

过程或演算步骤． ）

15．（本小题满分 14 分） 如图，已知在三棱锥 P —ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，E ，F ，G 分别为 AC ，PA ，PB 的中 点，且 AC ＝2BE ．

（ 1）求证： PB ⊥BC ；

（ 2）设平面 EFG 与 BC 交于点 H ，求证： H 为 BC 的中点．

16．（本小题满分 14 分） ur r 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 m ＝（a ，b ﹣c ），n ＝（sinA ﹣ ur ur r

sinB ， sinB ＋ sinC ）， p ＝ （1，2），且 m ⊥ n ．

（1）求角 C 的值；

r ur

（2）求 n p 的最大值．

11．如图，在一个倒置的高为

的不锈钢制的实心半球后，

12．如图，在梯形 32

2 x 3x a ,

2 x a

1 x, a x 2

17．（本小题满分 14 分）

18．（本小题满分 16 分） 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具， 现欲用清洁棒清

洁一个 如图 1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图 2所示，一根长度为 L crn 的清洁棒在弯

头内恰好处于 AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小， （0， ））．

2

（ 1）请用角 表示清洁棒的长 L ；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度．

22 已知椭圆 C ：x 2 y 2 a 2 b 2

1（a >b >0）的左顶点为 A ，左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12 ，

P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合） 称

点为 Q ，直线 AP ，QF 2 交于点 M ．

（ 1）求椭圆方程；

，且△ PF 1F 2的周长为 6，点 P 关于原点的对

2）若直线 PF 2 与椭圆交于另一点

N ，且 S △AF 2M 4S △AF 2N ，求点

P 的坐标．

是否存在正整数 m ，使得 S m T m 1 恰好是数列 a n 或 b n 中的项？若存在，求

S

m T

m

出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由．

20．(本小题满分 16 分)

4 x a

已知函数 f (x) (1 )e x

，g(x)

1( a R)( e 是自然对数的底数， e ≈2.718⋯)．

xx

(1)求函数 f (x) 的图像在 x ＝1处的切线方程；

f ( x)

(2)若函数 y

在区间 [4，5]上单调递增，求实数 a 的取值范围；

g(x)

( 3)若函数 h(x) f(x) g(x)在区间(0， )上有两个极值点 x 1，x 2(x 1< x 2)，且 h(x 1) m 恒成立，求满足条件的 m 的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

19．(本小题满分

16 分)

已知等差数列

a n

和等比数列 b n 的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 S n ，T n ，

且 b 1 2a 1 2 ，

b 2S 3

54， a 2 T 2 11． 1) 求数列 a n

b n 的通项公式；

2) 求

M n

a 1

b 1 a 2b 2 a 3b 3 L

a n

b n ；

3)