【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案

基本不等式

1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．

2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题．

知识梳理

1．基本不等式错误!≥错误!

（1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 .

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号．

2．几个重要不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

(2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）；

(3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）；

（4)错误!≥（错误!）2。

3．基本不等式求最值

（1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大．

（2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．

利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．

热身练习

1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D）

A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误!

C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2

A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D.

2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D)

A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2

C。错误!≥错误! D。错误!≥错误!

易知A,B成立，

对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2,

所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立．

对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．

由以上分析可知，应选D.

3．周长为60的矩形面积的最大值为（A)

A ．225

B ．450

C ．500

D ．900

设矩形的长为x ,宽为y ，

则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30,

所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2

＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。

4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A)

A ．有最大值

B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减函数

f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1，

当且仅当x ＝－错误!时，等号成立，

所以函数f （x )有最大值，所以选A 。

5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。

因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2），

所以1a

＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，

当且仅当b a ＝4a b

，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.

利用基本不等式判断大小关系

下列不等式一定成立的是

A．x2＋1〉2x(x∈R)

B．sin x＋错误!≥2(x≠kπ，k∈Z）

C．x2＋1＋错误!〉2（x〉0）

D．x≥错误!（x〉0)

对于A,当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确．

对于B，需要满足sin x>0,不等式成立,所以B也不正确；

对于C，x2＋1＋错误!≥2,当且仅当x2＋1＝错误!，即x＝0时，取等号，但x〉0，所以不等式不能取到等号，故C正确．

对于D,当0

C

运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．

1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是（C)

A．当x〉0且x≠1时，lg x＋错误!≥2

B．当x∈(0,错误!)时，sin x＋错误!的最小值为4

C．当x>0时，错误!＋错误!≥2

D．当0

对于A，当0

对于B,当x∈（0,错误!)时，sin x＋错误!的最小值不为4（因为sin x＝2不成立)；

对于C，当x〉0时,错误!＋错误!≥2错误!＝2，当且仅当x＝1时,等号成立；

对于D，当0〈x≤2时,x－错误!单调递增，所以当x＝2时，取得最大值,最大值为错误!。

利用基本不等式求最值

（1）已知x〈错误!，求函数y＝4x－2＋错误!的最大值．

(2)已知x〉0，y>0,且错误!＋错误!＝1，求x＋y的最小值．

（1）y＝4x－2＋1

4x－5

＝－（5－4x＋错误!）＋3 ≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝错误!，即x＝1时,取等号．

故当x＝1时，y max＝1.

（2）(方法一)因为x 〉0,y 〉0,1x

＋错误!＝1， 所以x ＋y ＝(错误!＋错误!）（x ＋y )＝错误!＋错误!＋10≥6＋10＝16.

当且仅当错误!＝错误!，且错误!＋错误!＝1，即x ＝4，y ＝12时,上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，（x ＋y )min ＝16。

（方法二)由1x

＋错误!＝1，得（x －1)(y －9）＝9（定值）， 可知x >1，y 〉9，从而 x ＋y ＝(x －1）＋(y －9）＋10

≥2x －1y －9＋10＝16,

所以当且仅当x －1＝y －9＝3,

即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

(1）利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数,“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等"指满足等号成立的条件．

（2）利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．

2．（1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 错误! 。

(2）(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，错误!≥a 恒成立，则a 的最大值是(B ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

(1)因为x 〉0，y >0，且2x ＋3y ＝6.

所以xy ＝16

(2x ）·(3y ）≤错误!（错误!）2＝错误!， 当且仅当2x ＝3y ＝3,即x ＝错误!，y ＝1时，xy 取得最大值错误!.

(2)a ≤错误!对x ∈(1，＋∞）恒成立,即a ≤(错误!)min 。

因为x 2＋3x －1

＝错误!＝(x －1）＋错误!＋2， 因为x 〉1,

所以（x －1）＋错误!＋2≥2错误!＋2＝6，

当且仅当x －1＝错误!,即x ＝3时,取“＝"，所以a ≤6。