材料力学组合变形

2). 如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则
轴向力在横截面上引起附加弯矩M=Py亦不能忽略，这时叠加
法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。
q
P
P
y
x
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例1
实例： 图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许
用应力[s]=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。
5.31105
15103
667FPa
s t.max
s c.max
s c.max
Mz1 Iy
FN A
425103 F 0.125 5.31105
15
F 103
934F Pa
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例2
F 350
s s t.m a6 x F 6 7t
M FN
Fst30 16 0450N 0
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
3. 由MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
即
sr4
M20.7T 52 [s]
W
亦即
(10 N 6 m )2 4 0 .7( 5 10 N 0 m )2 0 1 0 16 0 0 Pa W
于是得
1π3d37N /32m 2101 060P a
3 3 213N 7m 2
=?
§8.1 组合变形和叠加原理
叠加原理
+ =
+
§8.1 组合变形和叠加原理
注意！
图示的纵横弯曲问题，需用变形后的位置进行 计算，轴向力F除产生压缩外，还将引起弯矩Fw， 挠度w受q和F的共同影响，弯矩、挠度与F的关系
却都不是线性的，因此，叠加原理不能使用！
F
F
w
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
s1
线性分布，
s M 32Pe
sw
Wz d3
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例3
两种应力叠加后应满足强度条件:
sss4 d P 23 d P 2 3 es1
s1
41 d 5 21303 21 5d 1330303 02
sw
d11m4m
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例4
实例4：图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力； 若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不 变，则挖空宽度为多少？
扭弯组合变形
拉伸(压缩)
基 本
剪切
变
扭转
形
弯曲
§8.1 组合变形和叠加原理
叠加原理
如果内力、应力、应变和位移等与外力成线性关系，则在小变形 条件下，可分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力、应变和 位移，然后将其所得结果叠加，便得到构件在组合变形下的内力、 应力、应变和位移，计算结果与各单独受力的加载次序无关。
M 5P 1 0 350 N0m
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例4
应力分析如图
s NM z max
max A Iyc
P
y
yC z
N
20 20
8100 11 000 0 36570 .2 5 0 71 510 70 3
M
100
12 35 .8 7 16 .8M 2 Pa
P
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例4
材料的许用拉应力[st]＝30MPa，许用压应力[sc]＝
120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
y1 z 0 y z1
50 150
50
150
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例2
解：1）计算横截面的形心、面积及惯性矩
F 350 F
A150m 00m 2
F 350
M z0 75mm z1 125mm
s 32 []
80
d30.1173 1073249.3mm
8.12
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
实例：如图所示钢制实心圆轴的两个齿轮上作用有
切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向 力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直 径dD=200 mm。已知许用应力 [σ]=100 MPa。试按 第四强度理论求轴的直径。
FN
Iy 5.31107mm 4
y1 z 0 y z1
50 150
50
150
2）立柱横截面的内力
FN F
MF35075103 42F 5103N.m
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例2
3）立柱横截面的最大应力
F 350
M FN
s t.max
Mz0 Iy
FN A
425103 F 0.075 F
D
1.5m
A 2m
C
B
பைடு நூலகம்
1m P
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例1
解：(1) 根据AB杆的受力 简图，由平衡条件，得：
Ty
3 2
P
18 kN
Tx
4 3
Ty
24 kN
RA HA
A
M
_
T
Ty
Tx C
B
P
12kN·m
(2) 作AB杆的弯矩图和 轴力图：C点左截面上，弯 FN 矩为极值而轴力与其它截面 相同，故为危险截面。
M B M y 2 B M z 2B ( 3N 6 m )2 4 ( 10 N m 0 )2 1 00 N m 6
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB＝ -1000 N·m，于是判定 横截面B为危险截面。
s
D1点的主应力：
ss13s2
s2
2
2
s1
22
s242
s2 0
§8.4 扭转与弯曲的组合
5) 强度条件 对塑性材料而言，应采用第三或第四强度理论。
按第三强 度理论建 立的强度 条件为：
s1s3 s
圆截面：
Wt 2 W
T Wt
s242 s
s M W
1 M2 T2 s
W
§8.4 扭转与弯曲的组合
用矢量合成的方法 ，求得合成弯矩M：
M My2 Mz2
§8.4 扭转与弯曲的组合
3) 计算应力的极大值
与扭矩T对应的切应 力在边缘各点上达到 极大值：
T Wt
与合成弯矩M对应的 弯曲正应力在D1和D2 点达到极大值：
s M W
§8.4 扭转与弯曲的组合
4) 确定危险点的主应力
由抗拉和抗压强度相等的 塑性材料制成的圆轴，在危险 点D1和D2中只需校核其中一 点即可。D1点是二向应力状 态，应按强度理论建立强度条 件。
P yP zt2 go 02 .2 2 0 .3 86 3 0 .89 k 17 N 1 3F 232 D T 1 n320 0 ..5 32 3 44.0 31 k2 N
F1=2F2 y
f300 D2 f500 D1
A
C
D
B
200
400
200
F2
y Tn
Pz Py
Tn x
3F2 Q
z
Pz
Py
Pn
20o
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
解：1. 作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图 和My图（图c, d）及扭矩图－T 图（图e）。
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
2. 由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相 同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量求和。
例如，B截面上的弯矩 MzB和MyB（图f）按矢 量相加所得的总弯矩 MB（图g）为：
s m a x N A M W m a x 2 2 6 4 .1 1 1 0 0 3 2 1 1 4 2 1 1 1 0 0 6 3 9 4 .3 M P a 1 0 0 M P a
最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字 梁是合适的!
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例2
实例：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例3
解：将力P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和 弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯 矩为：
FN P1 5k N
M P e 4N 5 m
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例3
横截面上与 F N 对应的拉应力均匀分布，
s
P A
4P
d2
横截面上与 M 对应的弯曲正应力按
667 667
s s c .m a9 x F 3 4 c
s t.max
s c.max
Fsc120 16 0128N 50
934 934
许可F 压 4力 50 N 为 0405kN
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例3
实例3，已知：P1k5N ,e30m0,m 许用拉应力
s13M 2 P , 试a设计立柱直径d。
f300 D2 f500 D1
A
C
D
B
200
400
200
F1=2F2 y
z
Pz
F2
Py
Pn
20o
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
解：1) 将外力向AB轴轴线简化，并计算各力的大小
N7 T n9.5n 59.52 50 0 0 .33k4 N •m 3
Pz2 D T2n20 0..3 334 23.22k8N
杆件在扭弯组合变形下的强度计算
以圆截面杆件的扭 弯组合变形为例，说明 强度计算的过程如下：
1) 根据计算得到危险 截面上的内力矩:
扭矩：T
xz平面内的弯矩：My
危险截面上的内力矩
xy平面内的弯矩：Mz
§8.4 扭转与弯曲的组合
2) 计算合成弯矩 对于截面为圆形的轴
，包含轴线的任意纵向面 都是纵向对称面，因此， 将My和Mz合成后得到的 弯矩M的作用平面仍然是 纵向对称面，仍可按对称 弯曲的公式(5.2)计算。
0.8 2 0.36 2
0.16kN·m
0.877 kN • m
Mz
0.36kN·m
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
3) 根据第三强度理论设计轴的直径
sr3
MD2 Tn2 s
W
d 3M D 2 T n 20 .82 7 0 .7 33 2 1 4 6 0 3 0 .11 17 7 m 03 3
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
2) 作轴的扭矩图和弯矩图
因整个轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面
内的My图和作xy平面的Mz图，可以看出D截面为危险 截面，其上的内力为:
Tn 0.3343 kN • m
M D
M
2 y
M
2 z
y Tn
Pz Py 0.446kN·m
My
Tn x
3F2 Q 0.8kN·m
计算方法
1). 分别计算轴向力引起 的正应力和横向力引起的 正应力； 2). 按叠加原理计算正应力的代数和。
§8.4 扭转与弯曲的组合
§8.4 扭转与弯曲的组合
扭转与弯曲的组
合变形在机械工程中 y
最为常见，右图为钢
A
制摇臂轴AB的受力
d
情况。
z
L
P C
B a x
P Pa
Tn
_
Pa
PL
M
_
§8.4 扭转与弯曲的组合
拉伸(压缩)与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力 外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是 工程中常见的情况。
计算方法
1). 分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力； 2). 按叠加原理计算正应力的代数和。
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
注意事项
1). 如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区 域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压 应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。
5) 强度条件
按第四强 度理论建 立的强度 条件为：
2 1 s1 s22 s2 s32 s3 s12 s
s232 s
1 M20.75T2 s
W
§8.4 扭转与弯曲的组合—实例
实例：图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW，转
速n=200r/min，右端皮带轮B重量Q=1.8kN，左端齿轮 A上啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角(压力角)为20o， 轴材料的许用应力s80MPa，试按第三强度理论设 计轴的直径。
_
24kN
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例1
(3) 计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强 度条件确定工字梁的抗弯截面模量
WM [sm ]ax1 12 0 01 0 130N 6P m a120cm3
(4) 查型钢表，选取W=141cm3的16号工字梁，然后 按压弯组合变形进行校核，在C截面下缘的压应力最大
P
y
yC
z
P 20 20
100
N
M
P P
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合—实例4
解：内力分析如图
P
y
坐标如图，挖孔处的形心
yC
z P
zC1021 0010 022 01005mm
20 20
100 N
IyC101120301010502
M
[10203 1020252 ]
12
P
7.27105 mm4
P
第八章 组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.4 扭转与弯曲的组合
§8.1 组合变形和叠加原理
组合变形
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形 ,则构件的变形称为组合变形。
拉弯组合变形
拉伸(压缩)
基 本
剪切
变
扭转
形
弯曲
§8.1 组合变形和叠加原理
组合变形
孔移至板中间时
A sN m a1 x 16 .8 0 1 1 2 0 36 0 0 63 .9m 12 m 1(1 00 x)0
P
y
yC
z
N
20 20
M
100
x3.68mm
P
§8.4 扭转与弯曲的组合
拉伸(压缩)与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力 外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是 工程中常见的情况。