04-第四章三角函数 (2)

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第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习

内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.

2024届新高考一轮总复习人教版第四章第2节同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件(35张)

所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝－cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦余弦正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___

北师版高中数学必修第二册精品课件第4章三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式 (2)

式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为
y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一
个整体研究函数的性质.
因忽视角的范围致误
【典例】化简: - + + (3π<α<4π).
错解:原式= - +
= - +
2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?
提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
个符号.

(2)若给出角 α 的具体范围(即某一区间),则先求角所在范围,再

根据角的终边所在象限确定符号.
3.求sin 22.5°,cos 22.5°的值.
解:sin 22.5°=
-°
2

α=2cos ,1-cos α=2sin ,则 + = , - =

,因此要根据的终边所在象限确定 sin ,cos 的符号,从
而去掉绝对值符号.
2

∵α∈
,∴α+ ∈

故 α+=0 或 α+ = ,

即 α=-或 α=.

-,

,

=-.

(2)∵0<x< ,sin - = ,

∴-x∈ , ,cos - = ,
∴

+

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)

时,怎样简化解题过程?
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第四章-§2两角和与差的三角函数公式

cos （ + ） + cos （ − ）＝2cos cos ；cos （ + ） − cos （ − ）＝ − 2sin sin .
+
−
，＝
.这样，上面得出的四个式子可以写成
2
2
设 + ＝， − ＝，则＝
sin + sin ＝2sin
+
−
∴tan ( +

3
tan +tan 4
+1

4
)＝
＝
3＝7.
4
1−tan ·tan
1−
4

4

4

3
（2）∵ ∈(0， 6 )，∴ + 6 ∈( 6 ， 3 ).又∵sin ( + 6 )＝5，∴cos ( + 6 )＝5.

6

6

6
又∵ ∈(0， )，∴ − ∈(− ，0).
cos
；sin
2
2
cos + cos ＝2cos
− sin ＝2cos
+
−
cos
；cos
2
2
+
−
sin
；
2
2
− cos ＝−2sin
+
−
sin
.
2
2
这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积
的形式.
高中数学
sin （ + ） + sin （ − ）＝2sin cos ，sin （ + ） − sin （ − ）＝2cos sin ，

高中数学基础知识总结第四章三角函数

高中数学基础知识总结第四章三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，它们在物理、工程、几何等领域中都有广泛的应用。

在高中数学中，学习三角函数的基本概念、性质和应用是非常重要的。

本章主要内容包括：正弦函数、余弦函数、正切函数、反三角函数以及它们的图像、性质和变换。

一、正弦函数1.正弦函数的定义：正弦函数sin(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的正弦值。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。

2.正弦函数的图像与性质：正弦函数的图像呈现周期性变化的特点，呈现出一条连续的波浪线。

该函数在原点处为零，随着自变量的增大，函数值先达到最大值1，然后再次回到最小值0。

正弦函数的性质包括：奇函数、周期性、增减性等。

3.正弦函数的变换：正弦函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。

二、余弦函数1.余弦函数的定义：余弦函数cos(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的余弦值。

余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。

2.余弦函数的图像与性质：余弦函数的图像呈现周期性变化的特点，呈现出一条连续的波浪线。

该函数在原点处为1，随着自变量的增大，函数值先达到最小值-1，然后再次回到最大值1余弦函数的性质包括：偶函数、周期性、增减性等。

3.余弦函数的变换：余弦函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。

三、正切函数1.正切函数的定义：正切函数tan(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的正切值。

正切函数的定义域为所有不是90°、270°、..的角度或弧度，值域为实数。

2.正切函数的图像与性质：正切函数的图像呈现周期性变化的特点，具有无穷多个间断点。

函数的值在间断点处取无穷大或无穷小。

正切函数的性质包括：奇函数、周期性、增减性等。

3.正切函数的变换：正切函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。

第四章第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第四章第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝ ( )A.－1213B.1213C.±1213D.512解析：由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1213.答案：A2.已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 ( )A.±15B.－15C.15D.－75解析：tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.答案：B3.已知tan θ＝2，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--+--＝ ( ) A.2 B.－2 C.0 D.23解析： sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--+--＝cos (cos )cos sin θθθθ---＝2cos cos sin θθθ-＝21tan θ-＝21－2＝－2.答案：B4.(tan x ＋1tan x)cos 2x ＝ ( ) A.tan x B.sin x C.cos x D.1tan x解析：(tan x ＋1tan x)cos 2x ＝(sin cos x x ＋cos sin x x )cos 2x＝22sin cos sin cos x xx x+·cos 2x ＝cos sin x x ＝1tan x .答案：D5.sin(π＋π6)sin(2π＋π6)sin(3π＋π6)…sin(2010π＋π6)的值等于 .解析：原式＝(－12)12(－12)…12＝－122010.答案：－1220106.若sin θ＝33，则cos()3cos [sin()1]2πθθπθ---＋cos(2)3cos()sin()sin()22πθπππθθθ-++-+的值为 .解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos cos cos cos θθθθ-⋅+＝1cos 1θ+＋11cos θ-＝221cos θ-＝22sinθ＝6.答案：67.已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)＝ ( )A.23 2B.－23 2 C.13 D.－13 解析：∵cos(π4＋α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝sin(π4－α)＝－sin(α－π4)＝－13.答案：D8.已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg11cos A-＝n ，则lgsin A 的值为 ( )A.m ＋1nB.m －nC.12(m ＋1n) D.12(m －n ) 解析：两式相减得lg(l ＋cos A )－lg11cos A-＝m －n⇒lg[(1＋cos A )(1－cos A )]＝m －n ⇒lgsin 2A ＝m －n ， ∵A 为锐角，∴sin A ＞0， ∴2lgsin A ＝m －n ，∴lgsin A ＝2m n-. 答案：D9.已知f (α)＝3sin()cos(2)cos()2cos()sin()2a a a a a πππππ---+--- (1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－313π，求f (α)的值.解：(1)f (α)＝sin cos (sin )sin sin a a a a a⋅-⋅＝－cos α.(2)∵cos(α－32π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－313π＝－6×2π＋53π ∴f (－313π)＝－cos(－313π) ＝－cos(－6×2π＋53π)＝－cos 53π＝－cos π3＝－12.10.已知f (x )＝ f (2 009)＝－1，则f (2 010)等于 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.2解析：法一：∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝－1，∴f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝1.法二：f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β) ＝a sin[π＋(2 009π＋α)]＋b cos[π＋(2 009π＋β)] ＝－a sin(2 009π＋α)－b cos(2 009π＋β) ＝－f (2 009)＝1. 答案：C11.若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为 . 解析：∵f (cos x )＝cos3x ，∴f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos3×60°＝cos180°＝－1. 答案：－112.是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在角α，β满足条件，则sin ,.αβαβ⎧=⎪=由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈(－π2，π2)，∴α＝±π4.当α＝π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6.此时①式不成立，故舍去. ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教学设计--高三数学一轮复习

第四章三角函数第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一．课前回顾二．揭示目标1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.三．高考对应点年份试卷题号考点分值难度 2018全国1 8 同角三角函数基本关系、函数周期、最值 5 中 2019全国2文11二倍角公式、同角三角函数基本关系5中全国2理10 二倍角公式、同角三角函数基本关系 5 中 2020 全国3 11 余弦定理、同角三角函数基本关系 5 中 2021全国甲9二倍角公式、同角三角函数基本关系5易诱导公式及应用例1.已知cos(π6－θ)＝a ，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是__0_.方法规律(1)利用诱导公式解题的一般思路 ①化绝对值大的角为锐角②角中含有±π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．变式.已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)等于( A )A ．255B ．－255C ．52D ．－52同角三角函数基本关系的应用知弦求切例2.(2021·福建福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(π2，π)，则tan α＝___－22_____．方法规律(1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系sin αcos α＝tan α和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α；(2)在弦切互化时，要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号. 变式.若将本例的条件改为“sin α1＋cos α＝2，α∈(π2，π)”，求tan α的值．知切求弦例3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 方法规律利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．常见的结构：①sin α，cos α的齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)；②sin α，cos α的齐次分式(如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α)．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切时，采用此技巧．变式.【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ C ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65和积转化求值例4.已知sin θ＋cos θ＝15，0<θ<π，则sin θ－cos θ的值为____75____．方法规律正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcosα＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个. 变式.已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( D )A ．12B ．±12C ．－14D ．－12五、当堂练习1．(必修第一册·P194T5改编)已知sin (9π2＋α)＝35，则cos α的值为( C )A ．－45B ．－35C ．35D ．452．(必修第一册·P186T15改编)已知tan α＝－3，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为___12_____.3.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A.－79B.－29C.29D.79六、小组合作1、小组长带领本组成员通过组内讨论的方式解决有问题的题；2、不能解决的题目由小组长向老师汇报（反馈）.七、总结反思沉淀规律1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ(1＋1tan 2θ)＝tan π4等.【课后作业】1.(2021·湖南三轮联考)已知tan(π＋x )＝2，则sin x ＋cos x2sin x －cos x＝( A )A ．1B ．15C ．－14D ．－152.【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ C ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( D )A.125B.－125C.512D.－5124.(2019·衡水模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝( A ) A.25B.－65C.－45D.－1255.已知角α终边上一点P (－4，3)，则()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=__________. 6.已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．5.已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x 的值.。

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

3
A.
5
π
6
3
5
− = ，则sin −
故选C.
=(
)
√
4
B.
5
解：依题意，知sin −
2π
3
2π
3
= sin[
3
C.−
5
π
π
− − ]
6
2
4
D.−
5
= −cos(
π
− )
6
= −cos
π
6
− =
3
− .
5
【巩固强化】
1
3
1.已知cos = ，且为第四象限角，则sin =(
4
5
cos 2 = .则sin 2 = 2sin cos = −4cos2 = − .故选A.
（2）已知sin + cos =
A.−
3 5
，则tan
5
+
1
tan
B.
√
2
5
5
2
=(
C.−
)
4
5
5
4
D.
9
5
解：原式两边平方，得sin 2 + 2sin cos + cos 2 = .
A.−
√
1
2
1
2
B.
解：因为tan = −3，所以cos ≠
1
3
cos +sin
0.所以
cos −sin
)
C.−
1
3
1+ −3
1− −3
D.
=
1+tan

高考理科数学第一轮复习课件第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.6 正弦定理、余弦定理及其应用

4．6正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝_____________________；sin2C＝________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：(3)已知三边，用____________定理有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝______________＝______________＝______________＝______________＝______________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tan A＋tan B＋tan C＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.(4)在△ABC中，a＝b cos C＋ccos B，b＝____________，c＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠：1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2b ccos A c 2＋a 2－2c a cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22b c c 2＋a 2－b 22c a a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解 ①一解②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12b csin A 12a csin B ab c 4R12(a ＋b ＋c)r (2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C2 sin(B ＋C )－cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C (4)a cos C ＋ccos A a cos B ＋b cos A(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝ ( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A . (2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是 ( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝ sin A ⇒2b ＝a .故选A.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝ ( )A.π12B.π6C.π4D.π3 解：由题意sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，得sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C，即sin C ＝12，得C ＝π6.故选B.(2018·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝27×sin π3＝217，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ，所以7＝ 4＋c 2－2c ，所以c ＝3(负值舍去)．故填217；3. (2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋csin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解：根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，即sin A ＝12，结合余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2b ccos A ＝8，所以A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得b c ＝833，所以△ABC 的面积为S ＝12b csin A ＝12×833×12＝233.故填233.类型一正弦定理的应用(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，7sin A ＝8437，所以sin A ＝32.因为B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314. 如图所示，在△ABC 中，h ＝BC ·sin C ＝7×3314＝332，所以AC 边上的高为332.点拨：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解．(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解：在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.故填2113.(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2b cos B ＝a cos C ＋ccos A ，则B ＝________.解：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3.故填π3. 类型二余弦定理的应用(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝ ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 解：由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C .点拨：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，根据三角形内角A ＋B ＋C ＝π的隐含条件，结合诱导公式及正、余弦定理，将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角函数与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法、化边法、面积法、运用初等几何法等．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、化归与转化思想及分类与整合思想．(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解：因为AB →·AC →＝－6，所以b ccos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以b csin A ＝6，因此tan A ＝－1. 又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a＝29.类型三正、余弦定理的综合应用(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；c a 的取值范围是________．解：因为S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12a csin B ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B 3，即cos B ＝sin B 3，所以sin B cos B ＝3，即tan B ＝3，所以B ＝π3，则c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝⎛⎭⎫－12sin A sin A ＝32·1tan A ＋12，因为C 为钝角，B ＝π3，所以0<A <π6，所以tan A ∈⎝⎛⎭⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)．故c a ∈(2，＋∞)．故填π3；(2，＋∞)．点拨：①化边的关系为角的关系，和角或差角公式的正向或反向运用，以及多次联用是解决三角形问题的常用技巧；②将边的问题转化为三角函数的问题，或由边的关系结合基本不等式是解决最值(范围)问题的基本方法．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝ tan A cos B ＋tan Bcos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Acos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c.(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故cos C的最小值为12.类型四判断三角形的形状(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2ccos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解：因为2b cos C －2ccos B ＝a ，所以2sin B cos C－2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，所以tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，所以2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.点拨：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式，一般用到正弦定理；出现边的二次式，一般用到余弦定理．用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意适时缩小角的范围，如本例中由B ＝2C 知C 是锐角．(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，又A 为锐角，所以cos A ＝22. 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A 得a ＝b ，故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D .类型五解三角形应用举例如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m .解：设此山高h(m )，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600(m )．在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，即3h sin30°＝600sin45°，解得h ＝1006(m )．故填100 6. 点拨： ①解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．②不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为可解的三角形．(2017·郑州二模)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和 60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．解：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin15°＝30－103sin15°＝30－1036－24＝20 6.如右图过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ACN 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠ACN ＝60°.又在Rt△CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin30°，所以AC ＝60＋203，所以CN ＝30＋103，所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60.故填60.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤第一步，分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步，建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；第三步，求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步，检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．1．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A ，则 cos B ＝ ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解：因为b 3cos B ＝asin A ，所以由正弦定理得sin B 3cos B ＝sin A sin A ，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以 B ＝π3，所以cos B ＝12.故选B.2．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13， BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1.故选A .3．(北京通州2017届期末)在△ABC 中，a ＝2，B ＝π3，△ABC 的面积等于32，则b 等于 ( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 解：由△ABC 面积公式可得S ＝12a csin B ＝32，12×2c ×32＝32，c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝22＋12－2×2×1×cos π3＝3，b ＝ 3.故选C.4．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km解：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝ 120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a (km)，即灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km.故选D.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2， cos A ＝－14，则a 的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12b csin A ＝12b c ×154＝315，解得b c ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ＝(b －c)2＋2b c －2b ccos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，得a ＝8.故选D . 6．(2017·黑龙江、吉林八校期末)已知△ABC三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34 解：设△ABC 的面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝（22）2＋22－422×22×2＝－24.故选C .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋ccos B ＝2b ，则ab ＝________.解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B ＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab＋c·a 2＋c 2－b 22a c ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，a b ＝2. 解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋ccos B＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2.8．(2017·浙江节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________．解：取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC . △ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． ①将①两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12a csin B ＝417a c. 又S △ABC ＝2，则a c ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝(a ＋c)2－2a c(1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.10．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ； (2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.11．(2018·安徽合肥模拟)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A ·sin C .(1)求角B ；(2)若点D 在线段BC 上，满足DA ＝DC ，且a ＝11，cos(∠BAC －∠C )＝55，求CD 的长．解：(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理可得，a 2＋c 2－b 2＝3a c ，所以由余弦定理得cos B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(2)由题易知∠BAD ＝∠BAC －∠C ，又cos(∠BAC －∠C )＝55，所以sin(∠BAC －∠C )＝sin∠BAD ＝255，设AD ＝x ，则CD ＝x ，BD ＝11－x ，在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ADsin B，即11－x 255＝x12，解得x ＝45－5，所以CD ＝45－5.(2018·河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，PD ＝312－252＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。

高三数学一轮复习课件第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝－1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于

2024届新高考一轮复习人教B版第四章第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件(33张)

2

=- .

sin α+sin αcos α+2=
答案:-

+
+
+2=
+
+
+2=

( ) +

( ) +

+2= .

.
(1)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α
的式子求解.
(2)关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.
“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系

[例 3] (1)已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α的值为(
A.

B.±

C.-
即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的
sin α,cos α的齐次式问题

-

+
[例 2] 已知 tan α= ,则
2
=
,sin α+sin αcos α+2=

解析:已知 tan α= ,

- -
所以
=
+ +
同角三角函数基本关系的应用
“知一求二”问题

[例 1] 已知 cos α=- ,则 13sin α+5tan α=
.

解析:因为 cos α=- <0 且 cos α≠-1,

三角函数常用公式表

07高中数学会考复习提纲（2）（三角函数）第四章三角函数1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；（2）、与α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ}（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1（2）、度数与弧度数的换算：π= 180弧度，1弧度)180( =π（3）、弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数）扇形面积：2||2121r lr S α===3、三角函数（1）、定义：（如图）（2）、各象限的符号： yry x r x xrx y r y ======ααααααcsc cot cos sec tan sin （3）、特殊角的三角函数值4、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：（２）商数关系：（３）倒数关系：1cos sin 22=+αα αααc o ss i nt a n = 1c o t t a n =αα αα22sec tan 1=+ αααs i nc o sc o t =1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）αsinx y++ _ _ O xy++__ αcosOαtanxy+ +__O=r αsec αsinαtan αcotcsc①、αα22cos 1sin -=， αα2cos 1sin -±=；αα22sin 1cos -=， αα2sin 1cos -±=；②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， |cos sin |2sin 1ααα±=± 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=︒⋅+=︒⋅+=︒⋅+k k k 公式二：公式三：公式四：公式五：ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-︒-=-︒=-︒ ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+︒-=+︒-=+︒ ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-︒=-︒-=-︒ 补充：ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+=+ ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+6、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ )(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-)(βα+T 的整式形式为：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+例：若︒=+45B A ，则2)tan 1)(tan 1(=++B A ．（反之不一定成立）7、辅助角公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，ab =ϕtan ）（多用于研究性质） 8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = （2）、降次公式：（多用于研究性质） α2C ： ααα22sin cos2cos -= ααα2sin 21cos sin =1cos 2sin2122-=-=αα 212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα α2T ： ααα2t a n1t a n 22t a n -= 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα （3）、二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-， |cos |22cos 1αα=+；②、|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2121αα=+③、22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+； ααα2cos sin cos 44=-；④半角：2cos 12sinαα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-= 9、三角函数的图象性质（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；②、如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。

高中数学第4章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式积化和差与和差化积公式课件北师大版必修第二册

第四章三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
2.4 积化和差与和差化积公式
课程标准
核心素养
通过证明及应用积化和差与和差化
能运用积化和差与和差化积公式进
积公式,提升数学抽象、逻辑推理、
行简单的恒等变换.
数学运算素养.
必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基
必备知识•探新知
知识点1 积化和差公式
2255°°＝__3_3__.
[解析]
35°＋25° 35°－25°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原式＝2sin35°＋2 25°cos35°－2 25°＝tan
30°＝
3 3.
2cos 2 cos 2
4．cos512πsin1π2＝_12_－___4_3_.
[解析] cos51π2sin1π2＝ 12sin51π2＋1π2－sin51π2－1π2 ＝12sinπ2－sin3π ＝12－ 43.
∵sinα－2 β≠0， ∴由①②得－tanα＋2 β＝－32， ∴tanα＋2 β＝32.
[归纳提升] (1)对于给值求值问题, 一般思路是先对条件化简,之后看能否直接求结果；若不满足,再对所求式化简,直到找到两者的联系为止．
(2)积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”都是指三角函数值之间的关系,并不是指角的关系．
【对点练习】❷ 13
已知 sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则 sin αcos β＝
__3_0__.
[解析] 因为 sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，
所以 sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝2sin αcos β＝23＋15＝1135，
所以 sin αcos β＝1330.

2022高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件新人教B版

解析
第十三页，编辑于星期六：五点十九分。
(2)化简：tancoπs＋－ααc－os3π2πs＋inα－si3nπα－－α32π＝__－__1____.
解析原式＝tcaonsαc3oπs＋αsαin[－－s2iπn＋3πα＋＋α2π] ＝tanα－cocsoαssαisninπ2α＋α＝ta－nαccoossααscinoαsα ＝－tansαincαosα＝－csoinsαα·csoinsαα＝－1.
2．(2020·江西宜春中学诊断)若 α 为锐角，且 cosα＋π6＝13，则 cosα－π3 的值为( )
22 A. 3
B．
2 3
2 C. 6
D．5 6 2
解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π，
∴sinα＋π6＝ 1－cos2α＋6π＝2 3 2， ∴cosα－π3＝cosα＋π6－π2＝sinα＋π6＝2 3 2.故选 A.
[即时训练] 6.(2019·佛山模拟)已知 tanα＝2，则
3sinα－2cosα
4
(1) sinα＋cosα ＝___3_____；
7
(2)23sin2α＋14cos2α＝__1_2_____.
解析因为 tanα＝2，所以，
(1)原式＝3ttaannαα＋－12＝3×2＋2－1 2＝43. (2)原式＝23·sin2αsi＋n2cαos2α＋14·sin2αco＋s2cαos2α ＝23·tanta2nα2＋α 1＋14·tan21α＋1＝23×222＋2 1＋14×22＋1 1＝172.
解析
第十五页，编辑于星期六：五点十九分。
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含 2π 整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－ cosα.

第四章《三角函数》提高测试题(二)

提升测试〔二〕〔一〕选择题〔每题3分,共30分〕1．“a ＝1〞是“函数y ＝cos 2 ax －sin 2 ax 的最小正周期为 π 〞的〔〕．〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件【提示】由于y ＝cos 2 ax －sin 2 ax ＝cos 2ax ,当a ＝1时,函数的最小正周期为π ,当a ＝－1时,函数的最小正周期也是π ,所以 a ＝1是函数的最小正周期为π 的充分而不必要条件．【答案】〔A 〕．【点评】此题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识．2．函数f 〔x 〕＝M sin 〔ωx ＋ϕ〕〔ω ＞0〕在区间[a ,b ]上是增函数,且f 〔a 〕＝－M , f 〔b 〕＝M ,那么函数g 〔x 〕＝M cos 〔ω x ＋ϕ〕在[a ,b ]上〔〕．〔A 〕是增函数〔B 〕是减函数〔C 〕可以取得最大值M〔D 〕可以取得最小值－M【提示】利用特殊值法,令M ＝ω ＝1,ϕ ＝0,那么有 f 〔x 〕＝sin x ,g 〔x 〕＝cos x ,同时a ＝－2π,b ＝2π,可见,g 〔x 〕在[a ,b ]〔即[－2π,2π]〕上既不是增函数,也不是减函数,但可以取得最大值1,故排除〔A 〕、〔B 〕、〔D 〕．此题也可以用作图法求解．【答案】〔C 〕．【点评】此题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的水平．3．α 、β 是锐角三角形的两个内角,那么以下各式中成立的是〔〕．〔A 〕cos α ＞sin β ,cos β ＞sin α〔B 〕cos α ＜sin β ,cos β ＜sin α〔C 〕cos α ＞sin β ,cos β ＜ sin α〔D 〕cos α ＜sin β ,cos β ＞sin α【提示】α 、β 是锐角三角形的两个内角,所以α ＋β ＞90°,α ＞90°－β ,故有sin α ＞sin 〔90°－β〕,cos α ＜cos 〔90°－β〕,即sin α ＞cos β ,cos α ＜sin β．【答案】〔B 〕．【点评】此题考查诱导公式以及正弦函数、余弦函数的单调性．4．以下不等式中正确的选项是〔〕．〔A 〕e cos 52°＜e cos 53°〔B 〕)200(tan log 31 ＞)199(tan log 31〔C 〕109tan π＞110tan π〔D 〕 115sin )32(＜ 116sin )32( 【提示】利用函数的单调性．【答案】〔A 〕．【点评】此题综合指数函数、对数函数的性质考查三角函数的单调性．由于cos 52°＞cos 53°,得e cos 52°＞e cos 53°,排除〔A 〕；由于tan 200°＝tan 20°,tan 199°＝tan 19°,有t a n 20°＞t a n 19°,而0＜31＜1,得 20tan 31log ＜ 19tan 31log ,排除〔B 〕；由于 109tan ＜ 110tan ,π ＞1,得109tan π＜110tan π,排除〔C 〕；而sin 115°＞sin 116°,且0＜32＜1,有 115sin )32(＜ 116sin )32(．应选〔D 〕． 5．设k 是4的倍数加上1的自然数,假设以cos x 表示cos k x 时,有cos k x ＝f 〔cos x 〕,那么sin k x 等于〔〕．〔A 〕f 〔cos x 〕〔B 〕f 〔sin x 〕〔C 〕f 〔cos k x 〕〔D 〕f 〔sin k x 〕【提示】由于sin α ＝cos 〔2π－α〕,设k ＝4n ＋1,〔n ＝0,1,2,…〕,那么有f 〔sin x 〕＝f 〔cos 〔2π－α〕〕＝)2π(cos x k - ＝)]2π)(14cos[(x n -+ ＝cos[2n π＋2π－〔4n ＋1〕x ] ＝cos[2π－〔4n ＋1〕x ] ＝sin[〔4n ＋1〕x ]＝sin k x ．以上各步均可逆．【提示二】利用特殊值法,令k ＝5,那么f 〔cos x 〕＝cos 5x ≠sin 5x ．排除〔A 〕,f 〔cos 5x 〕＝cos 〔5×5x 〕＝cos 25x ≠sin 5x ,排除〔C 〕,f 〔sin 5x 〕＝f [cos 〔2π－5x 〕]＝)52π(5cos x - ＝cos 〔2π－25x 〕＝sin 25x ≠sin 5x ,排除〔D 〕,而f 〔sin x 〕＝f [cos 〔2π－x 〕]＝)2π(5cos x -＝cos 〔2π－5x 〕＝sin 5x ．【答案】〔B 〕．【点评】此题考查函数的概念,诱导公式以及分析问题、解决问题的水平．6．f 〔x 〕＝x -1,那么当θ ∈〔4π5,2π3〕时,式子f 〔sin 2θ 〕的值是〔〕．〔A 〕2 sin θ 〔B 〕2 cos θ 〔C 〕－2 sin θ 〔D 〕－2 cos θ【提示】f 〔sin 2θ 〕－f 〔－sin 2θ 〕＝θ2sin 1-－θ2sin 1+ ＝2)cos (sin θθ-－2)cos (sin θθ+＝|sin θ －cos θ |－|sin θ ＋cos θ |,由于θ ∈〔4π5,2π3〕,得sin θ ＜cos θ ＜0, 所以,原式＝cos θ －sin θ＋sin θ ＋cos θ ＝2 cos θ ．【答案】〔B 〕．【点评】此题考查函数的概念,三角函数值符号、二倍角公式以及三角函数恒等变形的水平．7．sin α ＝53,α ∈〔2π,π〕,tan 〔π－β〕＝21,那么tan 〔α －2β 〕的值等于〔〕．〔A 〕247 〔B 〕－247 〔C 〕2425 〔D 〕－2425 【提示】由sin α ＝53,α ∈〔2π,π〕,得cos α ＝－54,tan α ＝－43．又tan 〔π－β〕＝21,得tan β ＝－21,tan 2β ＝ββ2tan 1tan 2-＝－34．所以,tan 〔α －2β 〕＝βαβα2tan tan 12tan tan ⋅+-＝247．【答案】〔A 〕．【点评】此题考查同角三角函数的关系,诱导公式、二倍角的正切公式,两角差的正切公式以及运算水平．8．要得到函数y ＝cos 〔2x －4π〕,x ∈R 的图象,只需将函数y ＝2sin x ,x ∈R 的图象〔〕．〔A 〕向左平行移动2π个单位长度〔B 〕向右平行移动2π个单位长度〔C 〕向左平行移动4π个单位长度〔D 〕向右平行移动4π个单位长度【提示】由y ＝cos 〔2x －4π〕＝cos 〔4π－2x 〕＝)]24π(2πsin[x --＝)4π2sin(+x ＝)]2π(21sin[+x 【答案】〔A 〕．【点评】此题考查三角函数的图象和性质．注意：当由函数y ＝x ωsin 的图象得到函数y ＝)(sin ϕω+x 的图象时,需将函数y ＝x ωsin 的图象上的所有点沿x 轴平移ωϕ个单位长度〔当ωϕ＜0时向左移,当ωϕ＞0时向右移〕． 9．适合tan 〔2x ＋3π〕＝33,x ∈[)π2,0的x 值的个数是〔〕．〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕5【提示】由tan 〔2x ＋3π〕＝33,得2x ＋3π＝k π ＋6π〔k ∈Z 〕,即x ＝21k π －12π〔k ∈Z 〕,满足x ∈[)π2,0时,k 可取1,2,3,4,故x 的值为125π,1211π,1217π,1223π共4个值．【答案】〔C 〕．【点评】此题考查反正切函数的定义．10．假设0＜α ＜2π,那么arcsin[cos 〔2π＋α 〕]＋arccos[sin 〔π＋α 〕]等于〔〕．〔A 〕2π 〔B 〕－2π 〔C 〕2π－2α 〔D 〕－2π－2α 【提示】用特殊值法,由0＜α ＜2π,取α ＝4π, 那么原式＝arcsin 〔－22〕＋arccos 〔－22〕＝－4π＋4π3＝2π．【答案】〔A 〕．【点评】此题主要考查反正弦、反余弦的定义及解决问题的水平．〔二〕填空题〔每题4分,共20分〕1．假设角α 的顶点与原点重合,其始边与x 轴的非负半轴重合,角α 的平分线过点〔－π,π 〕,那么sin α ＝________,cos α ＝___________．【提示】角α 的终边与y 轴的非正半轴重合,即α ＝2π3＋2k π〔k ∈R 〕．【答案】－1,0【点评】此题考查三角函数的定义．2．函数y ＝xx sin 2sin -的值域为__________．【提示一】化原函数为sin x ＝y y +12,由|sin x |≤1,得－1≤y y +12≤1,解之得－31≤y ≤1．【提示二】运用“别离常数法〞．y ＝x x sin 222sin -+-＝－1＋x sin 22-,当sin x ＝－1时,函数的最小值为－31；当x ＝1时,最大值为1．【答案】[－31,1]．【点评】此题考查三角函数的值域及其应用．3．对于正整数n ,f 〔n 〕＝sin n α ＋cos n α ,假设f 〔1〕＝a 〔| sin α ＋cos α |〕,那么f 〔3〕＝____________．【提示】f 〔1〕＝sin α ＋cos α ＝a ,于是,得sin α cos α＝212-a , 从而f 〔3〕＝sin 3 α ＋cos 3 α ＝a 〔1－212-a 〕＝2)3(2a a -．【答案】2)3(2a a -． 4．2π＜β ＜α ＜4π3,cos 〔α －β 〕＝1312,sin 〔α ＋β 〕＝－53,那么sin 2α 的值为____．【提示】由2π＜β ＜α ＜4π3,得0 ＜α －β ＜4π,π ＜α ＋β ＜2π3,根据cos 〔α －β 〕＝1312,有sin 〔α －β 〕＝135；根据sin 〔α ＋β 〕＝－53,有cos 〔α ＋β 〕＝－54, 所以,sin 2α ＝sin[〔α －β 〕＋〔α ＋β〕]＝sin 〔α －β 〕cos 〔α ＋β 〕＋cos 〔α －β 〕sin 〔α ＋β 〕＝135×〔－54〕＋〔1312〕×〔－53〕＝－6556．【答案】－6556．【点评】此题考查三角函数的和角公式、同角三角函数关系及运算水平．解题中运用了角的变换,注意到〔α ＋β 〕＋〔α －β 〕＝2α ,得sin 2α ＝sin[〔α ＋β 〕＋〔α －β〕],用两角和的正弦公式就可以得出sin 2α 的值,变换的思想是数学的根本思想．5．函数y ＝)cos (sin log 21x x 是减函数的区间为__________．【提示】由y ＝)cos (sin log 21x x ＝)2sin 21(log 21x ＝1＋x 2sin log 21．利用对数函数的定义域,知sin 2x ＞0,得x ∈〔k π ,k π＋2π〕〔k ∈Z 〕．又y ＝sin 2x 的递增区间为[－4π＋k π ,4π＋k π]〔k ∈Z 〕,而y ＝sin 2x 的递增区间即为原函数的递减区间．所以,原函数的递减区间为〔k π ,k π＋4π〕〔k ∈Z 〕．【答案】〔k π ,k π＋4π〕〔k ∈Z 〕．【点评】此题考查三角函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法．〔三〕解做题〔每题10分,共50分〕1．求值)212cos 4(12sin 312tan 32-- ．【提示】“切化弦〞后,利用三角函数根底知识,可解．【答案】原式＝)212cos 4(12sin 312cos 12sin 32--⨯＝ )212cos 4(12cos 12sin 12cos 312sin 32--＝24cos 224sin 21)60sin 12cos 60cos 12(sin 32⋅- ＝48sin 2148sin 32- ＝－34【点评】此题考查灵活运用同角三角函数关系、两角差的正弦、二倍角公式及运算水平． 2．0＜β ＜4π,4π＜α ＜43π,cos 〔4π－α 〕＝53,sin 〔43π＋β 〕＝135, 求sin 〔α ＋β 〕的值．【提示】用角表示所求角,注意到〔43π＋β 〕－〔4π－α 〕＝2π＋〔α ＋β 〕, 于是sin 〔α ＋β 〕＝－cos[2π＋〔α ＋β 〕]＝－cos[〔43π＋β 〕－〔4π－α 〕], 只要求出sin 〔4π－α 〕,cos 〔43π＋β 〕就可以了．【答案】∵ 0＜β ＜4π,4π＜α ＜43π, ∴ －2π＜4π－α ＜0,43π＜4π3＋β ＜π．由cos 〔4π－α 〕＝53,得sin 〔4π－α 〕＝－54．由sin 〔43π＋β 〕＝135,得cos 〔43π＋β 〕＝－1312． ∴ sin 〔α ＋β 〕＝－cos[2π＋〔α ＋β 〕] ＝－cos[〔43π＋β 〕－〔4π－α 〕] ＝－ cos 〔43π＋β 〕cos 〔4π－α 〕－sin 〔43π＋β 〕sin 〔4π－α 〕＝―〔―1312〕×53―135×〔―54〕＝6556 【点评】此题考查同角三角函数关系,诱导公式、两角差的余弦公式的灵活运用,考查计算推理水平以及变换的思想．3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ,且C A cos 1cos 1+＝B cos 2, 求2cos C A -的值．【提示】由题设A ＋C ＝2B ,可得B ＝60°,考虑把2cosC A -当作未知数,通过三角函数式的恒等变形,得到关于2cos C A -的一元二次方程解出2cos C A -即可．【答案】∵ 在△ABC 中,A ＋C ＝2B ,∴ B ＝60°,A ＋C ＝120°, 令2C A -＝θ , 那么由⎩⎨⎧=+=- 1202C A C A θ 得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=θθ 6060C A 于是,CA cos 1cos 1+＝)60(cos 1)60(cos 1θθ-++ ＝θθθθsin 3cos 2sin 3cos 2++- ＝θθθ22sin 3cos cos 4- ＝3cos 4cos 42-θθ 又－B cos 2＝－60cos 2＝－22． ∵ C A cos 1cos 1+＝－Bcos 2, ∴3cos 4cos 42-θθ＝－22, 即23cos 2cos 242-+θθ＝0 ,)2cos 2)(3cos 22(-+θθ＝0,∵ 3cos 22+θ≠0,∴ 2cos 2-θ＝0,cos θ ＝22, 所以,2cosC A -＝22．【点评】此题综合考查三角函数的根底知识,考查灵活运用三角公式进行恒等变形运算的水平．4．sin 2α ＝53,〔－43π＜α ＜π ),函数f (x )＝sin 〔α － x 〕－sin 〔α ＋x 〕＋2 cos α 有最大值0 ,求当x 为何值时,f (x )有最小值？最小值是多少？【提示】化简函数式,得f (x )＝2 cos α〔1－sin x 〕．根据题意,计算出cos α 的值,再利用| sin x | ≤1,就可以求出f (x )的最小值．【答案】∵ f (x )＝sin 〔α －x 〕－sin 〔α ＋x 〕＋2 cos α＝sin α cos x －cos α sin x －sin α cos x －cos α sin x ＋2 cos α＝2 cos α －2 cos α sin x＝2 cos α〔1－sin x 〕又f (x )≤0,∴ 2 cos α〔1－sin x 〕≤0,而1－sin x ≥0,∴ cos α ＜0,∵ －43π＜α ＜π , 于是－43π＜α ＜－2π 或2π＜α ＜π,－23π＜2α ＜－π,或π ＜2α ＜2π ．又sin 2α ＝53＞0, ∴ －23π＜2α ＜－π,且cos 2α ＝－54．也就是2 cos 2 α ＝－54,即cos α ＝－1010． ∴ f (x ) ＝－)sin 1(510x -, 当sin x ＝－1时,即x ＝2 k π－2π〔k ∈Z 〕时,f (x )有最小值－5102．【点评】此题综合考查三角函数的根底知识〔两角和差的正弦公式、同角三角函数关系、二倍角公式、函数的最值等〕以及运算水平．5．记函数f (x ) ＝1－2a －2a cos x －2 sin 2 x 的最小值为f 〔a 〕．〔1〕写出函数f 〔a 〕的表达式；〔2〕假设f 〔a 〕＝21,求这时函数f 〔a 〕的最大值．【提示】化简函数式,得f (x ) ＝122)2(cos 222----a a a x ,由| cos x | ≤1,利用二次函数的图象性质,应分情况讨论．【答案】〔1〕∵ f (x ) ＝1－2a －2a cos x －2 sin 2 x＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2 x )＝2 cos 2 x －2a cos x －2a －1 ＝122)2(cos 222----a a a x ．又 | cos x | ≤1,①当－1≤2a ≤1,即－2≤a ≤2时,取cos x ＝2a ,f 〔a 〕＝1222---a a ； ②当2a ＞1,即a ＞2时,取cos x ＝1,f 〔a 〕＝122)21(222----a a a ＝1－4a ； ③当2a ＜－1,即a ＜－2 时,即cos x ＝－1,f 〔a 〕＝122)21(222-----a a a ＝1．综上,有 f 〔a 〕＝))2(4122(122)2(12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<a aa a a a ．〔2〕假设f 〔a 〕＝21,显然a ≥－2． ①当－2≤a ≤2时,1222---a a ＝21,即a 2 ＋4a ＋3＝0,a ＝－1或a ＝－3〔舍去〕, ②当a ＞2时,1－4a ＝21,即a ＝81〔舍去〕．于是,满足f 〔a 〕＝21,a ＝－1,此时,f 〔x 〕＝21)21(cos 22++x ,当cos α ＝1时, f max 〔x 〕＝2129+＝5．【点评】此题综合二次函数的图象性质,考查与三角函数有关的函数最大〔小〕值的问题,考查灵活运用所学知识分析问题、解决问题的水平,以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法．。

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三角函数的概念〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号.〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义和符号处理问题；了解三角函数线.〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值.〖双基回顾〗⑴角的定义： .⑵叫正角；叫负角；叫零角.⑶终边相同角的表示：或者 .任意角三角函数的符号规则：在扇形中：=θ .S 扇形= 。

⑹两个特殊的公式：如果α∈)2,0(π，那么sin α＜α＜tan α 推论：α＞0则sin α＜α如果α∈)2,0(π，那么1＜sin α+cos α≤2一、知识点训练：1、终边在y 轴上的角的集合是 .2、终边在Ⅱ的角的集合是 .3、适合条件|sin α|=－sin α的角α是第象限角.4、在－720º到720º之间与－1050º终边相同的角是 . 5、sin 2·cos 3·tan 4的符号是………………………………………………………………………（）(A )小于0 (B )大于0 (C )等于0 (D )不确定ααθlr6、已知角α的终边过点P(－4m ,3m )，则2sin α+cos α=…………………………………………（） (A )1或者－1 (B )52或者－52 (C )1或者－52 (D )－1或者52 二、典型例题分析：1、确定5cot )3tan(8cos -=a 的符号2、角α终边上一点P 的坐标为(－3,y )并且y 42sin =α，求cos α与tan α的值.3、如果角α的终边在直线y =3x 上，求cos α与tan α的值.4、扇形的周长为20cm ，问其半径为多少时其面积最大？三、课堂练习： 1、角α终边上有一点（a ，a ）则sin α=…………………………………………………………（） (A )22 (B ) －22或 22 (C ) －22 (D )1 2、如果α是第二象限角，那么－2α是第……………………………………………（）象限角(A )Ⅱ或Ⅲ (B ) Ⅰ或Ⅱ (C ) Ⅰ或Ⅲ (D ) Ⅱ或Ⅳ 3、“α=2k π+β（k是整数）”是“tan α=tan β”的…………………………………………………（）(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分条件也不必要条件4、如果角α与β的终边关于y 轴对称，则cos α+cos β= .5、在（－4π，4π）上与角316π终边相同的所有角为 . 四、课堂小结：1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法.2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围3、知道α所在的象限能熟练求出2α所在象限. 五、能力测试：姓名得分 1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（）(A )cos 2－sin 2 (B )tan 3·s e c 2 (C )cos 2·sin 2 (D )sin 2·tan 2*2、已知锐角α终边上有一点（2sin 3，－2cos 3），那么α=………………………………………（）(A )3 (B )－3 (C )3－2π (D ) 2π－3 3、如果α与β都是第一象限角，并且α＞β，则一定有如下关系………………………………（）(A )sin α＞sin β (B )sin α＜sin β (C )sin α≠sin β (D )不能确定4、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为…………………（）(A )1sin 1(B )1sin 12 (C )2cos 11- (D )tan 15、如果角α是第二象限角，那么角2α是第象限角.6、已知第二、第三象限角x 满足cosx =aa --432，求实数a 的取值范围.同角三角函数关系与诱导公式〖考纲要求〗掌握同角三角函数关系和诱导公式，能运用上述公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.〖复习要求〗掌握并熟练应用同角三角函数关系和诱导公式.〖复习建议〗重点从同角三角函数关系和诱导公式出发，解决知值求值的一些题型. 〖双基回顾〗⑴诱导公式：sin (－α)= ;sin (π＋α)= ;sin (π－α)= ;sin (2π＋α)= ;sin (2π－α)= ;⑵同角三角函数关系：平方关系：倒数关系：商的关系：一、知识点训练： 1、sin (α－2π)=……………………………………………………………………………………（） (A ) sin (23π+α) (B ) cos (2π+α) (C ) cos (2π－α) (D ) sin (2π+α) 3、)335cot(π-=……………………………………………………………………………………（） (A )－33 (B )3 (C ) 33 (D )－3 4、设A 、B 、C 是⊿ABC 的三个内角，则下列四个表达式⑴cos(A ＋B)＋cosC ；⑵sin(A ＋B)＋sinC ；⑶2tan 2tanC B A +；⑷2sec 2cos CB A +，始终表示常数的是………………………………（）(A )⑴ (B ) ⑴⑶ (C ) ⑵⑷ (D )⑶⑷ 二、典型例题分析：1、求值： sin (－660º)cos 420º－tan 330ºcot (－690º)2、化简： cos 4α－sin 4α＋2sin 2α.3、已知31)180sin(=α+ ，求)270cos(α+ 之值.4、已知π＜α＜2π，cos （α－9π）=－53，求cot （α－211π）5、sin α与cos α是方程0)13(22=++-m x x 的两个根,求实数m .三、课堂练习： 1、如果sin α=1312，α∈（0，2π），那么cos (π－α)=……………………………………………（）(A )1312 (B )135 (C ) －1312 (D )－1352、函数x x f ω-=2sin 21)(的周期是函数x x g 4sin )(=的周期的2倍，则ω=……………（） (A )21(B )1 (C ) 2 (D )4 3、1941cos )2109sin(+-=……………………………………………………………………（）(A )0 (B )2sin 51º (C ) 2cos 51º (D ) －2sin 51º 4、0cos sin 12≠α=α-，那么α是第象限的角. 四、课堂小结：1、记忆诱导公式方法：“奇变偶不变（横同竖余）、符号看象限”.2、角的运算规则：“偶π丢，奇π留”，“负化正，大化小、化到锐角再查表”3、用同角三角函数关系时，首先考虑平方关系，但是要注意符号的讨论.五、能力测试：姓名得分 1、如果sin (π+α)=－21,那么cos (α-π23)=………………………………………………………（） (A )－21 (B ) 21(C ) －23 (D ) 232、sin 600º的值为………………………………………………………………………………………（） (A )－21 (B ) 21(C ) －23 (D ) 233、锐角α能使下列等式成立的是………………………………………………………………（） (A ) sin α+cos α=34 (B ) tan α+cot α=23(C )3csc sec 22=α+α (D )sin α=e |x | 4、cot 10º＋cot 190º＋tan 100º＋cot 350º＋sin 1590ºcos (－1860º)＋cot (－960º)cot 1395º= . 5、化简α-αα-α22cos sec cot tan = ；3cos sin cos sin =-+x x x x ，那么x tan = . 6、)75(sin 2cos )(cos f x x f ，则== .7、化简：)72cos()227cos(1)223sin()62sin(1π-+-π-+π+π++x x x x8、如果),0(3tan π∈=x x 并且，求sin x 之值.角的和、差、倍〖考纲要求〗能推导两角和、差、倍、半的正弦、余弦、正切公式.〖复习建议〗在复习中要注意掌握三角变形的方法和技巧：1的替换、角的变换（拼凑、分拆）、降次与升次，了解万能代换〖知识回顾〗两角和差公式：=+)cos(βα . 倍角公式：sin 2α= .=-)cos(βα . cos 2α= .=+)sin(βα . α2tg = .=-)sin(βα .一、知识点训练：1、sin (x －y )cosy ＋cos (x －y )siny = .2、tgx =2，那么sin 2x = ；cos 2x = ；tg 2x = ；tg 2x = .3、如果5411+=+-tgx tgx ，则tg )4(x +π=………………………………………………………（）(A )－4－5 (B ) －4＋5 (C )541+ (D )－541+二、典型例题分析：1、求 15cos 之值.2、如果21)sin(=β+α，31)sin(=β-α，求βαtg tg :的值.3、在△ABC 中，135cos =A ，53sin =B ，求sinC 的值.4、已知71cos =α，1411)cos(-=β+α并且α∈(0,2π)，β∈(2π,π),求角β.5、设tan α，tan β是一元二次方程：ax 2＋bx ＋c =0（abc ≠0）的两个实数根，求)cot(β+α的值.三、课堂练习：1、利用公式3)4020tan(=+ 求：tan 20º＋tan 40º＋3tan 20ºtan 40º= .2、yx y x cot cot cot cot 1-+=…………………………………………………………………………………（）(A ) tan (x －y ) (B )－tan (x －y ) (C )cot (x －y ) (D )－cot (x －y )3、如果1258π<<πx ，则函数x x x f cos sin 61)(⋅=的值域为…………………………………（）(A ))242,241((B ) ]121,241( (C ) )32,121[ (D ) )122,121[ 4、=απ<α<π-=αcot ,223,1312sin 则………………………………………………………（）(A )125 (B )－125 (C )23 (D )－23 四、课堂小结：处理三角函数的和、差、倍、半问题，一个最重要的内容是能熟练记住几组公式：两角和与差的三角函数、倍角与半角公式，最好能记住万能公式，要学会根据角的范围确定三角函数的符号，掌握几种公式的变形结果并且能熟练使用.五、能力测试：姓名得分1、如果sinx ·cosx =－2512，其中x ∈(43π,π)，则tanx =…………………………………………（）(A ) －43 (B )－34 (C ) －43 或者－34 (D )以上都不对.2、= 15tan …………………………………………………………………………………………（）(A ) 2＋3 (B ) 2－3 (C ) －2+3 (D )－2－33、)4tan(41)4tan(,52)tan(π+α=π-β=β+α，那么=…………………………………………（）(A ) 1813 (B ) 223 (C ) 2213 (D ) 61 4、tan 18º＋tan 42º＋3tan 18ºtan 42º= . 5、112tan 112tan -π+π= . 6、设tan α，tan β是一元二次方程： x 2＋33x ＋4=0的两个实数根，并且－2π＜α＜2π，－2π＜β＜2π 求β+α的值.7、在等腰三角形ABC 中，B =C ，257sin =A ，求sinB .8、已知91)2cos(-=β-α，32)2sin(=β-α，并且β∈(0,2π)，α∈(2π,π),求)cos(β+α.三角函数式的化简求值证明〖考纲要求〗能运用三角函数公式化简三角函数式、在化简的基础上会求某些三角函数式的值，会证明比较简单的三角恒等式（包括条件恒等式）.〖复习建议〗1、在复习中主要熟练公式的各种变形；掌握化简的常用方法：异角化同角、异次化同次、高次化低次、切割化弦、特殊值与特殊角的转化；掌握化简的基本要求：项数尽可能要少、次数尽可能的低、函数种类尽可能的少、能求值的尽量求值；在处理化简问题时，观察表达式的结构特点和问题中出现的角的关系尤为重要.2、在复习中主要熟练公式的各种变形，注意公式的逆向使用、变形使用.掌握恒等变形的基本方法：异角化同角、高次化低次、特殊值与特殊角的转换、条件的代入等.在做题过程中，要注意做到：过程详细，不能遗漏任何一个知识点.〖知识回顾〗一、知识点训练：1、如果2π≠αk ，那么α+αα+α=ctg tg T cos sin 的值…………………………………………………（）(A )大于0 (B )不小于0 (C )小于0 (D ) 符号不定 2、)cos(2sin )2sin(y x x y x +-+等于………………………………………………………………（）(A )x y x sin )sin(+ (B )x y sin sin 2 (C ) y x sin sin (D ) xy sin sin 3、sinx ·cosx =81，24π<<πx ，则cosx －sinx = . 4、8cos 16cos 32cos 32sin 2ππππ= . 5、 28sin 36tan 45tan 54tan 62sin 22++= .二、典型例题分析：1、化简表达式：)]24tan(2)24(cos 2cos 3)[sin 1(2x x x x -π--π+2、化简表达式：280sin 3280cos 122-3、如果)sin(sin β+α=αA ，求证：A-ββ=β+αcos sin )tan(.*4、已知α、β是锐角且β=α=β+α2sin 22sin 3,1sin 2sin 322，求证：22π=β+α.5、求值：15cos 8sin 7cos 15cos 8sin 7sin -+6、2)tan(-=β+α，21)tan(=β-α，求βα2sin 2sin 之值.7、已知：53)4cos(=+πx ，π<<π471217x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.三、课堂练习：1、化简8cos 228sin 12+++的最简式为…………………………………………………（）(A ) 2sin 4 (B )2sin 4－4cos 4 (C )－2sin 4－4cos 4(D )4cos 4－2sin 42、xx x x x x cos 1sin cos 1cos 2cos 12sin -⋅+⋅+的最简形式为 . 3、y y x x tan ,52)tan(,21tan 那么=+== . 五、能力测试：姓名得分 .1、如果532cos =x ，那么sin 4x ＋cos 4x =…………………………………………………………（）(A )53 (B )54 (C ) 2516 (D ) 2517 2、如果θ+=θcos 1sin 2 ，则2tan θ=…………………………………………………………（） (A )2 (B )21 (C ) 21或者不存在 (D ) 不存在 3、（2003广东考题）x ∈（－2π，0），x x 2tan 54cos ，则==……………………………………（） (A )247 (B )－247 (C )724 (D )－724 4、)4tan(,tan α-πα是方程：x 2＋p x ＋q=0的两个根，那么……………………………………（）(A )p －q ＋1=0 (B )p ＋q ＋1=0 (C )p ＋q －1=0 (D ) p －q －1=05、sin x ＋sin 2x =1，则cos 2x ＋cos 4x = .6、如果），（并且26178)6sin(ππ∈θ=π-θ，求cos θ（提示：）（36π-θ+π=θ）三角函数的图象〖考纲要求〗了解正弦、余弦、正切、余切函数图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦以及函数)sin(ϕ+ω=x A y 的图象，并能解决与正弦曲线有关的实际问题.〖复习建议〗熟练掌握三角函数特别是正弦、余弦函数的图象，深刻理解并且熟练掌握函数)sin(ϕ+ω=x A y 中参量A 、ω、ϕ对正弦函数y =s i nx 图象的影响；用“五点法”画图象时，关键是正确选取“五点”，在如何选择“五点”上下工夫.〖知识回顾〗函数图象的几种常见变换：1、振幅变换：)(x f y = )(x Af y =2、周期变换：)(x f y = )(x f y ω=3、相位变换：)(x f y = )(ϕ+=x f y4、在横线上填写变换方法：y =x +ϕ)y =s i n ωx y =s i n (ωx +ϕ)5、=+ααcos sin b a 。

04-第四章 三角函数 (2)

第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习

2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)

北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式 (2)