北师大版不等关系 PPT

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新教材北师大版高中数学必修一 1.3.1 不等式的性质教学课件

，你不一定成立！
第十五页，共二十一页。
那可不一定，你是不是成立，得问问
c，c=0时，你就不成立！
5 不等式的性质又是哪些呢？
第十六页，共二十一页。
5 不等式的性质又是哪些呢？
★【对称性】 ★【传递性】
证明：
第十七页，共二十一页。
5 不等式的性质又是哪些呢？
第四页，共二十一页。
P
AC Q B
2 实数大小的比较
第五页，共二十一页。
2 实数大小的比较
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
第十二页，共二十一页。
3 一个重要不等式
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
第十三页，共二十一页。
4 等式的性质是哪些？
第十四页，共二十一页。
4 等式的性质是哪些？
★【对称性】 ★【传递性】 ★【加减性】 ★【同乘性】 ★【同除性】
我成立，你不一定成立！
1 不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

3.1.1《不等关系》习题课课件(北师大版必修5)

• [例8] 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路
程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( ) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
• •
• 分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人
所用的时间，再用比较法求解．
• [例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小． • 解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6 • ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)， • ∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
• [变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1
解析：设甲用时间为 T，乙用时间为 2t，步行速度为 a，跑步速度为 b(且 b>a)，距离为 s， s s a＋b 2 2 s s 则 T＝＋＝＋＝s× ； a b 2a 2b 2ab 2s ta＋tb＝s⇒2t＝ . a＋b sa＋b a＋b2－4ab 2s ∴T－2t＝－＝s× 2ab a＋b 2aba＋b sa－b2 ＝ >0.故 T>2t. 2aba＋b
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.

(名师整理)最新北师大版数学8年级下册第2章第1节《不等关系》精品课件

生活中的应用
小林到水果摊上称了24橘子，摊主称了几只橘子说：“你看秤，高高的．”这个 “高高的”，是什么意思？你能用不等式把它表示出来吗？
补充练习：（用不等式表示）
1、ａ绝对值是非负数。 2、ｙ的一半比-3大，比3小。 3、ｍ的5倍与2的差不大6。 4、ｘ除以2的商加上2，至多为5。 • （要求独立完成）
拓展应用
1、设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
拓展应用
2、小明和小华都在看同本长篇小说，到今天为止，小明看到第28页，小华看到第83页，如果从现在起，小明每天看16 页，小华每天看10页，问至少几天后小明看的比小华看的页数多？请你根据题意列出不等式。
常识２、如果a>b且b>c，那么a>c．推论：如果a<b且b<c，那么a<c．（传递性
常）识3、比较两数（式）大小的方法：（1）若a-b=0则a_=__b (2) 若a-b>0则a_>__b (3) 若a-b<0则a_<__b
注：比较两数大小可以用作差法.
开动脑筋
1、如图，用一根长度
为l cm 的绳子，围成一
开动脑筋
4、如图，用两根长度均
为12cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.
问:正方形和圆的面积会有怎样的关系?
开动脑筋
5、如图，用两根长度均
为l cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.ຫໍສະໝຸດ 问:正方形和圆的面积会有怎样的关系?你能得到什么猜想？

高考北师大版数学总复习课件：7.1不等关系与不等式

π π 5．(教材改编题)已知－ <α <β < ，则 α－β 的取值范围是 2 2 ________．
[答案] (－π，0) π π π π [解析] ∵－ <α<β < ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π － <－β< ，∴－π<α－β<0 2 2
6． (2012· 盐城模拟 )已知 a<0，－ 1<b<0，那么 a， ab， ab2 的大小关系是________．
[答案] A
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒ / “a>b 且 c> d”， ∴充分性不成立；又“a> b 且 c> d”⇒“a＋c>b＋d”， ∴必要性成立，故选 A.
2．(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A．若 a> b，则 ac2> bc2 B．若 a< b<0，则 a2> ab> b2 1 1 C．若 a< b<0，则 < a b b a D．若 a< b<0，则 > a b
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则设 a， b∈ R，则 (1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝ b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b， b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔a＋c>b＋c ； (4)a>b， c>0⇒ ac>bc； a>b， c<0⇒ ac<bc；

北师大版八年级数学下册第一讲不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)

第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变．【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号）【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可．解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式．故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础．【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>；当98x =时,左边=312935x -=>；当51x =时,左边=311525x -=>；当12x =时,左边=31355x -=>；当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<；当1x =-时,左边=3145x -=-<；当3x =-时,左边=31105x -=-<；当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<．（2）4x 13-≥．（3）1x 142-+≥．（4）4x 10-<-．【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解；（3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解；（3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解；解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<；（2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥；（3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-；（4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>．【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。

一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)

思考：10至25人的含义是什么？
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x，即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
探究新知
例 3 ：为绿化校园，某校计划购进 A， B两种树苗，共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．从图象上看， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的解集是使直线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一：一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？

北师大版2019-2020八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组章末复习课件(共60张)

分析先求出不等式组的解集, 即x的取值范围, 然后根据不等式组的整数解的个数确定其整数解, 再借助数轴进行直观分析得到b的取值范围．
章末复习
解解不等式组, 得xx≤≥b4，.5. 由题意知原不等式组有解, 所以原不等式组的解集为4.5≤x≤b, 如图2-Z-2所示, 将x≥4.5表示在数轴上. 由整数解有3个, 可知整数解为5, 6, 7.结合图形可知7≤b＜8.
章末复习
链接1 [南宁中考]若m＞n, 则下列不等式正确的是( ).
解析 ①分别求出两个不等式的解集；②求两个不等式解集的公共部分； ③在两个不等式解集的公共部分中确定整数解．
章末复习
解：解不等式 3x－1＜x＋5，得 x＜3. 解不等式x－2 3＜x－1，得 x＞－1. ∴不等式组的解集为－1＜x＜3，它的整数解为 0，1，2.
章末复习
专题三根据不等式(组)的解集确定字母的值(取值范围)
分析由题意可得不等关系：购买乒乓球的花费+购买球拍的花≤200元, 由此可列不等式解决问题.
章末复习
解设购买 x个球拍. 根据题意, 得1.5×20+22x≤200.
解这个不等式,
得x≤
8 711
. 因为x取整数,
所以x的最大值为7.
故孔明应该买7个球拍.
章末复习
相关题4 为加强中小学生安全和禁毒教育, 某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛, 为奖励在竞赛中表现优异的班级, 学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同, 每个篮球的价格相同). 已知购买1个足球和1个篮球共需159元；1个足球的价格比1个篮球的价格的2倍少9元. (1)足球和篮球的单价各是多少？ (2)根据学校实际情况, 需一次性购买足球和篮球共20个, 但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元, 学校最多可以购买多少个足球？

北师大版四年级数学下册不等式

北师大版四年级数学下册不等式
一、引言
本文档旨在介绍北师大版四年级数学下册中关于不等式的知识点和研究方法。

二、不等式的概念
不等式是数学中用来表示两个数之间的大小关系的一种符号的组合。

在不等式中，常见的符号包括“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于）。

三、研究内容
1. 不等式的表示方法
在数学上，我们可以通过数字、字母和符号来表示不等式。

比如，1 + 2 > 3就是一个简单的不等式，表示1加2大于3。

2. 不等式的性质
不等式有一些特殊的性质，包括传递性、对称性和加法性。

这些性质可以帮助我们更好地理解和解决不等式的问题。

3. 不等式的解法
解不等式的方法主要有两种：代入法和图解法。

代入法是将不等式中的数值代入到不等式中，然后通过计算比较大小来求解。

图解法是在数轴上绘制不等式的解集，然后通过观察图像来求解。

四、研究方法
1. 掌握基本概念
在研究不等式之前，我们要先掌握数字、字母以及基本数学符号的意义和使用方法。

2. 多做练
不等式是一种需要动手操作的数学内容，通过多做练可以增强对不等式的理解和运用能力。

3. 合理安排研究时间
由于不等式的概念和解法较为抽象，需要一定的时间来理解和消化。

建议合理安排研究时间，逐步深入研究。

五、总结
通过本文档的研究，我们可以了解到不等式的概念、性质和解法，并了解到有效的研究方法。

希望同学们在接下来的研究中能够充分理解和掌握不等式的知识，提高数学水平。

参考资料：
- 北师大版四年级数学下册教材。

3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m

1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求，应先求范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又＜＜，∴ ＜＜，∴ ＜＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.

某厂使用两种零件A、B，装配两种产品：甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来．

1-4-2一元二次不等式及其解法 (教学课件)——高中数学北师大版(2019)必修第一册

题型六一元二次不等式的实际应用
例7、某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,
每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削
笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?
例8、2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国
（4）关于的不等式 2 − 4 − 2 − > 0在区间 1,4 内有解，求实数的取值
范围；
三、分式不等式和高次不等式
1、分式不等式
−1
（1）一元分式不等式：形如
2+1
3
1,
−1
>
≤ 2含有一个未知数且分母中必须含有
未知数的不等式称为一元分式不等式。
（2）一元分式不等式的常见形式以及处理方法
（3）求解不等式3 2 + 5 − 2 ≤ 0的解集（是否可以由（2）式得到）
典例剖析
题型一解一元二次不等式
例1、不含参数的一元二次不等式的求解
（1）2 2 − − 3 > 0
（2）−3 2 + 6 − 2 > 0
（3） 2 − 2 + 2 > 0
题型二含有参数的一元二次不等式的求解
> 1 （4） 2 < −1 （5）
> 0( ∈
+2
−1
2+1
+2
+1
)
例6、求解下列高次不等式
（1）求不等式 + 1 2 ( − 1)( − 2) > 0的解集；
（2）求不等式 + 2 + 1 2 ( − 1)3 ( − 2) ≤ 0的解集；

3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)

所以 f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．又因为 1≤a－b≤2，所以 3≤3(a－b)≤6 因为 2≤a＋b≤4. 所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即 5≤f(－2)≤10. 法二设xy＝＝aa＋－bb，，即 a＝x＋2 y，b＝y－2 x.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y，而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.
本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用同向不等式的性质加以解决，解决此类问题常用的方法是方程组思想与待定系数法．
课前探究学习
课堂讲练互动
[正解] 法一 (待定系数法)：设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以－m＋m＋n＝n＝4，－2，解得mn＝＝13.，
答案 3
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 (1)已知 a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； (2)已知 a＞1，m＞n＞0，求证：am＋a1m＞an＋a1n. [思路探索] (1)对不等式进行变形，利用不等式的性质证明；(2)将不等式两边相减，转化为比较与0的大小问题．
课堂讲练互动
想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示不成立，如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 3－1＝ 13＜2－1＝12，所以原式不成立．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式． (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．

北师大版八年级下册数学《不等关系》一元一次不等式和一元一次不等式组研讨说课复习课件

A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人
4. 用“＜”或“＞”号填空．
(1)－2_＜___2；
(2)－3_＜___－2；
(3)12_＞___6；
(4)0__＞__－8；
(5)－a__＜__a (a＞0)； (6)－a__＞__a(a＜0)．
5.用不等式表示下列问题中数量之间的关系．
(1)小陈的体重（x）至少100斤. x≥100
(2)这支铅笔的价钱（y）至多3元. y≤3
(3)一辆轿车在某公路上的行驶速度是 x km/h，已知 x≤100 这辆轿车在该公路上行驶的速度不超过100 km/h. (4)一块正方形的苗圃地，边长为y(m),周长不少于 36 m . 4y≥36 (5)某隧道限速为60km/h，一辆车在隧道中行驶的速度为v(km/h)的轿车因超速被交警处罚. v＞60 (6)山亭3月8日最低气温1oC，最高气温是 13oC，薛城这一天某一时刻的气温是toC . 1oC ≤ toC ≤ 13oC
探究新知
不等式的概念：
观察由上述问题得到的关系式： x>50 ， s>60x ， s<100x,a+b+c≤160 ，6+3x＞30，它们有什么共同的特点？
结论
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或
“≤”）连接的式子叫做不等式.
探究新知
不等号：
不等号
＞
读作
大于
＜
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
不等关系
课件
情景导入
找出下列材料中的不等关系.

1.1 不等关系课件8(北师大版八年级下)

认识不等式
AHale Waihona Puke BD C E13.1 认识不等式
不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
问题1：相山动物园的门票价格是每人5元，一次购票满30张，每张票可少收1元。在国庆黄金周期间，如果是你组织班级中27名同学去动物园游玩，你认为怎么样购票最合算？
如果是20人，应该买多少张票呢？是不是也买30张？
C（8Km）
P 解：设同学们能登上的山顶距离P地x千米依题意得不等式：
五、归纳小结
这节课你学到了什么？有什么收获？还有什么问题？
六、实践探索
1、注意收集整理日常生活中表示数量间的不等关系的例子，并尽量用不等式表示出来。 2、巩固练习 P36 习题13.1 2
再
见
若人数少于30人时，至少要有多少人去公园，买30张票反而合算？
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
。
试一试：用不等式表示下列关系，并写出两个满足各不等式的数。（1）X的一半小于－1 （2）Y与4的和大于0.5 （3）a是负数（4） b是非负数
1、用“>”和“<”填空 ①7+3 4+3 三、比一比 ②7+（－1） 4+（－1）赛一赛 ③7×3 4×3 ④7×（－3） 4×（－3）
2、用不等式表示 ①x的3倍大于5 ②y与2的差小于1 ③x的2倍大于x ④y 的1/2与3的差是负数 ⑤a是正数 ⑥b不是正数
3、不等式x>－4的负整数解有（）
4、下列各数－5、－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4、5中适合不等式x+5<7且适合不等式2x+2>0的有（）

2019_2020学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1_3_2三元平均值不等式课件北师大版选修4_5

3 ＝300π·
12·（32）2.
∴w≥900π.
当且仅当 3x2＝2xy 即 3x＝2y 时取等号，可得 x＝1，y＝1.5.
答：当水池半径为 1 m，池高为 1.5 m 时，修建水池成本最
低为 900π元．
第31页
课后巩固
第32页
1．设 a，b，c∈R，且 a，b，c 不全相等，则不等式 a3＋b3
第43页
证明因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式知
2
a2＋b2＋c2≥3(abc)3.
①
1a＋b1＋1c≥3(abc)－31，即(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－23. ②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
又 3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
第14页
【思路】先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．
第15页
【证明】 (1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33 abc>0. 从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0， ∴(a12＋b12＋c12)(a＋b＋c)2≥3 3 a2b12c2·93 a2b2c2＝27. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
第27页
又2Hx＋(1－Hx )＋(1－Hx )＝2 为定值， ∴当2Hx＝1－Hx 即 x＝H3 时，v 最大．故当 x＝H3 时，Vmax＝841πR2H(1＋λ＋λ2)．
第28页
思考题 4 今欲造一个无盖的容积为32π m3 的圆柱形水池，池底所用材料每平方米 300 元，池壁所用材料每平方米 200 元，那么设计这个水池的最低成本是多少元？

2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识3.1不等式的性质课件北师大版必修第一册20210

当c>0时,3c>2c;
当c<0时,3c<2c.
(3)已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N+)成立吗?
提示:成立.
(4)已知

3>2,
提示:成立.
>

,那么
>

(n∈N+)成立吗?
2.不等式的性质
性质1 如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质2 如果a>b,那么a+c>b+c.

m n
m+n

即 a -a >0,a -1>0,∴ + − + >0,
故a
m

;.
+
【变式训练 2】已知 bc-ad≥0,bd>0,求证:

≤
+

证明:因为 bc-ad≥0,bd>0,所以 bc≥ad,>0,所以

+
+
所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
探究二利用不等式的性质证明简单不等式

【例 2】 (1)已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:- > -.
m

n

(2)已知 a>1,m>n>0,求证:a + >a + .

分析:证明不等式,要紧扣不等式的性质进行恒等变形,注意条
由已知得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6,

北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)

戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。

注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。

不等式：。

变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式：。

例2：⑴a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：； ⑶a 不大于b ：；⑷x 的3倍与－2的差是负数：；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2：。

变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍；（2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。

北师大版八年级数学下册第二章2.1不等关系(教案)

二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力：通过不等式的定义、性质和证明方法的学习，使学生能够运用逻辑推理分析、解决问题，提高其数学逻辑思维。
2.提升学生数学建模能力：学会将实际问题抽象为一元一次不等式（组），培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.增强学生数学运算能力：熟练掌握一元一次不等式的解法，提高运算速度和准确性。
-举例：若a>b，则a+3>b+3。
-一元一次不等式的解法：熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，包括移项、合并同类项、系数化为1等。
-举例：解不等式2x-5>7。
-不等式的应用：能够将实际问题抽象为一元一次不等式，并求解得出实际问题的答案。
-举例：某商品打折后价格不低于原价的8折。
2.教学难点
-不等式的证明：理解并掌握不等式的证明方法，如比较法、分析法、综合法等。
4.培养学生空间想象能力：通过不等式在几何中的应用，使学生能够理解和把握几何图形的不等关系，培养空间想象力。
5.培养学生合作交流能力：在讨论、探究不等式的性质和应用过程中，鼓励学生积极参与，学会与人合作、交流，提高表达能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-不等式的定义与性质：理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能运用性质进行简单的推理。
-难点解释：学生需要理解证明过程中的逻辑推理，以及如何选择合适的证明方法。
-不等式组的求解：对于含有多个不等式的组合，学生需要学会如何求解整个不等式组。
-难点解释：学生需要掌握如何将多个不等式综合起来考虑，以及如何确定解集的交集。
-不等式在几何中的应用：理解不等式在几何图形中的运用，如线段、角度的不等关系。
最后，我还计划在下一节课开始前，针对今天课堂上发现的问题，设计一些预习材料和问题，让学生提前思考，以便在课堂上能够更有针对性地解决他们的疑惑。通过这样的方式，我相信学生们能够更深入地理解和运用不等式的知识。

高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

第二十一页，共38页。
【解】设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元．要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后，要将结论回归到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学业分层测评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．