泛函分析 课件第一章
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泛函分析
§1.1.4 练习题一解答
1. 设 M = {(1, 1, 1), (0, 0, 2)}, 试说明 span M 的几何意义。 解 其几何意义是由在三维直角坐标系中， 由 x = y = z 与z轴这两条直线所确定的平面。 设向量⃗ a = (1, 1, 1), ⃗ b = (0, 0, 2), 那么 span M = {α⃗ a + β⃗ b α, β ∈ R} = {(α, α, α + 2β) α, β ∈ R} 就是由这两个向量确定的平面. 2. 证明线性空间X的任意多个子空间的交仍然是X的子空间。 但是X的两个子空间的并 不一定是X的子空间, 试举例说明.
设ℓ1 ( x, y)是P2 , P3 两点所确定的直线, ℓ2 ( x, y)表示由P1 ,P3 两点所确定的直线, ℓ3 ( x, y)是P1 ,P2 两 点所确定的直线。由于P1 ,P2 ,P3 不在同一直线上, ℓ1 (P1 ) 构造函数 e1 ( x, y) = 类似地, ℓ2 (P2 ) ℓ1 ( x, y) ; ℓ1 ( P 1 ) ℓ2 ( x, y) ; ℓ2 ( P 2 ) 0, ℓ1 (P2 ) = ℓ1 (P3 ) = 0, 所以可
所以可构造函数
类似地, ℓ14 ( x, y)ℓ34 ( x, y) 含有P1 , P3 , P4 的信息,但不含P2 的信息, 可构造函数 e2 ( x, y) = ℓ14 ( x, y)ℓ34 ( x, y) ; ℓ14 (P2 )ℓ34 (P2 ) 0,ℓ3 (P2 ) =
ℓ12 ( x, y)ℓ14 ( x, y)含 有P1 , P2 , P4 的 信 息,但 不 含P3 的 信 息, 以 及ℓ3 (P3 ) ℓ3 (P1 ) = 0, 设 e3 ( x, y) = ℓ12 ( x, y)ℓ14 ( x, y) . ℓ12 (P3 )ℓ14 (P3 )
泛函分析讲义(中文版-武汉大学).
则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为 ( X , d ) ．
度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ( X , d ) 的子空间．
例 1 对于 n 维空间Φ n 中的点 x = (x1, , xn ) 和 y = ( y1, , yn ) ，定义
利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是 X 的 Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 ∀x, y ∈ E ，
0 ≤ r ≤ 1 ， rx + (1 − r) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记
容易验证 X 是线性空间． 今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多
在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。 注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中
广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n 数组。这一点很重要，例如在线性代数 中有一个结论：任何 n +1 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
实际上在Φ
n
上还可以定义其他度量，例如
d1 ( x,
y)
=
max
1≤i≤n
xi
−
yi
，此时 (Φ n , d1) 仍是度
量空间．但须注意应把 (Φ n , d1) 与 (Φ n , d ) 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到Φ n 是
度量空间时，总意味着它带有欧氏度量.
(53页幻灯片)泛函分析PPT课件
泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
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五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生 的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大 平时表现分+考试分数， 比例 认真学习则无须担心考核
应用泛函分析讲义第1章
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，泛函分析用于描 述和解析金融市场的动态行为， 如期权定价和风险评估。
计量经济学
在计量经济学中，泛函分析用于 建立经济数据的统计模型，如时 间序列分析和回归分析。
微观经济学
在微观经济学中，泛函分析用于 描述和解析市场供需关系和个体 行为，如消费者选择和生产者行 为。
02
线性空间与线性映射
线性空间的基本概念
线性空间
由满足加法和标量乘法封闭性的元素集合构成。
基与维数
线性空间中线性无关的元素个数称为该空间的 维数，而线性无关的元素组称为该空间的基。
线性子空间
线性空间中的子集，满足子集中的元素也满足线性空间的定义。
线性映射的基本概念
01
02
03
线性映射
将一个线性空间的元素映 射到另一个线性空间的元 素，且满足线性映射的运 算性质。
感谢您的观看
THANKS
03 范数的性质包括非负性、正齐次性、三角不等式 等。
向量的模与向量范数的关系
向量的模是向量范数的特例，即当范 数定义为向量与零向量之间的距离时 ，模即为该距离。
向量的模和范数具有相同的性质，如 非负性、正齐次性和三角不等式等。
向量范数的性质
非负性
向量范数总是非负的，即对于任意向量x，有||x|| ≥ 0。
收敛序列的性质
收敛序列是稳定的，即对于任意给定的$varepsilon > 0$，存 在一个正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| <
varepsilon$。
收敛性的判定
可以通过比较序列的各项大小、利用极限的性质或者通过 级数收敛的判定定理来判断序列的收敛性。
泛函分析ppt课件
E
E
E
等号相等当且仅当它们线性相关
24
例子
• 以出租车距离定义的平面距离空间; • 序列空间 l ,l p , p 1 • 函数空间C[a,b]; • 离散距离空间; • R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ • Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合
（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 • 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。
• 可数基数a，连续基数c。
9
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
• 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术 的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的 基础之一。
• 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
5
第一章 预备知识
1.集合
• 所谓集合，是指具有某种特定性质事物的全体， 构成集合的“事物”称为集合的元素。
• 集合的表示方法：1.列举法；2.描述法。 • 相关的概念和符号：集合相等，子集，真子集，
的参考书。
11
12
选择公理
• 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 • 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选 择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一 个新的集合。 • Zorn引理：设（P,>）是偏序集，若P的每一个全 序子集在P中都有上界，则P必有极大元 • 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对 每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它 的所有子集都有极小元素
泛函分析 PPT课件
• 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来 的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利 用数学上已有的结论去分析他们的性质。
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
实变函数与泛函分析课件
间的定义
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
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线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
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正交性
3
内积空间与Hilbert空间
泛函分析第1章 预备知识
第1章 预备知识泛函分析是现代数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些变分问题，是分析数学的高度发展。
其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算子和泛函的基本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科中的观点和方法。
为了学好泛函分析，了解实数空间及其上函数的有关理论是十分必要的。
1.1 集合的一般知识1.1.1 集合及其运算1.集合的概念集合式现代数学的一个基本概念。
一般地说，把具有某种公共特性的或满足一定条件的对象全体叫做集合，简称集。
其中每个对象叫该集合的元素。
本书基本上用大写字母表示集合，用小些字母表示集合的元素。
集合的特点：集合具有任意性、确定性和互异性。
即任意一些对象都可构成集合，集合中的每一个元素必须是确定的，集合中的每个元素都是不同的。
集合的表示方法：列举法、解析法、区间法。
列举法是把集合元素一一列举出来，用花括号扩上，如集合{1,2,3} ；解析法是把集合中的元素的公共属性描述出来，用花括号扩上，如集合{|12,}x x x R ≤≤∈表示所有大于等于1且小于等于2的实数集全体；区间法适用于实数集合分段表示的子集，如[1,2]表示大于等于1且小于等于2的实数集。
(1,2)表示大于1且小于2的实数全体。
设A 是集合，a 是集合A 中的元素，记为a A ∈，而记号b A ∉表示b 不是A 中的元素； 不包含任何元素的集合成为空集，记为φ；给定A ，B 两个集合，如果A 中的每个元素都属于B ，则说A 是B 的子集，记为A B ⊂或B A ⊃；规定φ集市任何集合的子集；若A B ⊂且B A ⊂，则称A 与B 相等，记为A B =；若A B ⊂，A B ≠，则称A 为B 的真子集； 2.集合的运算集合的并与交：设A ，B 是两个集合，由集合A 与B 的全体元素构成的集叫A 与B 的并，记为A B ，即{|}A B x x A x B =∈∈或；所有同时属于集合,{|};A B B A B x x A x B =∈∈与的元素构成的集叫A 与B 的交，记做A即且{|}A I αα∈设是一集簇，其中I 是指标集，则它们的并与交定义为：{|,};IA x I x A αααα∈=∃∈∈有{|,}IA x I x A αααα∈=∀∈∈有。
泛函分析第一章
x, y与x1 , y1对称,
d ( x , y ) d ( x1 , y1 ) d ( x , x1 ) d ( y1 , y ).
注：若xn x0 , yn y0 , 则d ( xn , yn ) d ( x0 , y0 ).
点列收敛意义
(1) n xk ( ξ
ξ k η k ξ k ζ k ζ k η k ξ k ζ k ζ k η k (1) 1 ξ k η k 1 ξ k ζ k ζ k η k 1 ξ k ζ k 1 ζ k η k
1 (1) k 并求和，得 2
1 ξ k η k 1 ξ k ζ k 1 ζ k η k d ( x, y) k k k ζ k 1 2 1 ξ k η k k 1 2 1 ξ k k k 1 2 1 ζ k η k
n （ξ 1， ，ξ n）|ξ i ，i 1，， , n 2
x ( 1 ,ξ n ), y ( 1 ,η n ) n , 定义 ξ , η ,
d ( x, y) ( k η k )2 ， ξ
k 1 n
则 n是距离空间.
证： x ( 1 ,ξ n ), y ( 1 ,η n ), ξ , η ,
在Rn中，按点列收敛等价于按坐标收敛.
(2) C [a , b]
xn xn (t ), x0 x0 (t ) C[a , b]. 设xn x0，则
d ( xn , x0 ) 0, 即
( iii ) d 2 ( x , y ) ( k η k )2 ( k ζ k ζ k η k )2 ξ ξ
k 1 k 1 n n
( k ζ k )2 2 ( k ζ k )( k η k ) ( k η k )2 ξ ξ ζ ζ
泛函分析讲义00
（4） A Ι (B Υ C) = ( A Ι B) Υ ( A Ι C) ；
A Υ (B Ι C) = (A Υ B) Ι (A Υ C)
（5） A Ι B ⊂ A, A Ι B ⊂ B.
（6） A Υ B ⊃ A, A Υ B ⊃ B.
( ) （7） Ac c = A, X c = φ,φ c = X .
xn
−
x
→
0 ，则称 x 为 {xn }的极限，记为 xn
→
x
或
lim
n→∞
xn
=
x。
定义 1 设{xn }是一数列，如果当 m, n → ∞ 时，有 xm − xn → 0 ，那末就说
{xn }是一个基本数列或柯西数列。
定理 1（柯西收敛原理）数列 {xn }收敛的充分必要条件是，它是一个基本列.
,...;
k
= 1,2,..., n),
则 A 为可数集。 例 1 有理数全体成一可数集合。
证明：设
Ai
=
⎧1 ⎩⎨ i
,
2 i
,
3 i
,...⎬⎫(i ⎭
= 1,2,3...), 则
Ai 是可数集，于是由定理 4
知全
∞
Υ 体正有理数 Q + = Ai 成一可数集，因正负有理数集通过ϕ (r) = −r 成为 1—1 对 i =1
f −1 (B0 ) = {x : x ∈ A. f (x) ∈ B0 }
一般情况下，
( ) f f −1 (B0 ) ⊂ B0
若 A0 ⊂ A, 则有
f (−1 f ( A0 )) ⊃ A0
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定义 1 设 A, B 是两个集，如果存在一个从 A 到 B 的双射 f ，则称 A 与 B 是
泛函分析ppt课件
傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
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用。
.
4
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
.
5
例1：
信号处 理技术 数学
通信技术
计算机技术
网络技术
.
6
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
.
7
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
.
14
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。 另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
.
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称T
为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为 等距。
.
23
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
.
24
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
.
4
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
.
5
例1：
信号处 理技术 数学
通信技术
计算机技术
网络技术
.
6
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
.
7
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
.
14
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。 另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
.
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称T
为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为 等距。
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23
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
.
24
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
泛函分析课件pdf
泛函分析课件pdf
函数分析是一门重要的学科，在研究物理理论、做复杂工程计算、系统分析和系统控制时，函数分析起着重要作用。
它是以数学分析、复变函数论和范畴论为理论基础，以数值、空间和拓扑计算
等为方法，用以强有力地去探索研究函数的性质的一门学科。
函数分析课程有助于学生掌握函数分析和深入了解函数分析方法。
学习函数分析课程，学生需要学习基本定义和概念，以及函数域、自变量空间、向量值函数和曲面问题等知识。
学生还需要学习关
于由连续函数构成的向量空间结构、重要性质、分析解析三角函
数及多项式及它们之间的关系等知识。
函数分析课件pdf具有较强的可用性，能够帮助学生有效地学习
和掌握函数分析的相关知识，同时能够提供更多课堂学习资源。
学生可以使用函数分析课件pdf来学习不同的函数分析方法及它
们之间的关系，从而更好地掌握函数分析方法和相关内容。
同时，函数分析课件pdf还能够帮助学生练习课堂上学习的内容，比如函数的各种性质和函数空间的性质，以及函数的理论和应用
的应用知识。
学习实践结合，能够让学生更好地理解和掌握函数
分析方法，同时还可以增加学生对函数分析的热情。
总的来说，函数分析课件pdf对学生学习函数分析有着重要作用，能够提供丰富的有关函数分析的内容，并且学生们可以通过它进
行学习实践，从而更好地掌握函数分析方法。
韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》课件第1章
综合自动化研究所
应用泛函分析
泛函分析的研究对象
经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要 用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在 此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连 续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运 算。 数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意 有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一 般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及 矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。
综合自动化研究所
应用泛函分析
本课程的特点与学习方法
系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇 定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅 费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾 向于构造能用计算机实现的某些算法。迭代算法或递推算法的 收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函 分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系 统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进 行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。 所以，学习本课程还要求掌握构造各种算法的技能，并能对 其数值稳定性等进行分析。
综合自动化研究所
应用泛函分析
泛函分析的研究内容
线性泛函分析是本书讨论的重点，同时还涉及非线性泛函 分析的基本知识，特别是有关凸集和凸泛函的凸分析理论，这 对比较广泛的一类泛函求极值问题有着重要意义。非线性泛函 分析还要把有限线性空间上函数微积分的概念，推广到无限维 线性空间上算子的微积分。 最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的 应用,包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、 泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。
泛函分析 课件第一章
n n i 1
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y 令 : y | x , 确实使唯一的
x 与 y 相对应，即 是映射，
11 1 : B A
则称
是 的逆映射 ，也记为
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可
d c 11 : x b ( x a) c a
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) (3) A B B
若
(2) A
A
A
(4) A B, B C A C
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
An
Bn , n 1,2,... ， 则
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y 令 : y | x , 确实使唯一的
x 与 y 相对应，即 是映射，
11 1 : B A
则称
是 的逆映射 ，也记为
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可
d c 11 : x b ( x a) c a
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) (3) A B B
若
(2) A
A
A
(4) A B, B C A C
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
An
Bn , n 1,2,... ， 则
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
实变函数与泛函分析全套课件
序言
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
0
n
分划T，有 ixi 1 i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集， 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1，乙的速度为1/2
0(甲)
½（乙）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/4
7/8 15/16 1
1 1 1
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
0
n
分划T，有 ixi 1 i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集， 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1，乙的速度为1/2
0(甲)
½（乙）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/4
7/8 15/16 1
1 1 1
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（3）分配律
A(
B )
( A B )
（4）
A A A,
A A A
掌握两个集合相等的证明
1 例题 1：设（1）Ai x | 0 x 1 , i 1, 2,... i
则
1 Ai x | 0 x 1 i 1 n
n n i 1
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
相等：两个集合有完全一致的元素时称为相等，记
为A=B。
空集：不含任何元素的集合，记为
子集：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集， 记为A B 真子集：若A是B的子集但不等于B，则称A为B的真子集。
注意
和
的区别：
：表示集合和它的元素之间的关系。
：表示集合与集合之间的关系。
S
S
(2) A 痧 S A S, A S A (3) 痧 S ( S A) A (4) A \ B A ðS B (5) 若 A B, 则 痧 S A SB (6) 痧 S ( A B)
S
A痧 S B,
S
( A B) 痧 S A SB
5、上限集、下限集 上限集：设A1 ，A2 ，…An，…是任意列集，由属于上述
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
A B x | x A 且 x B
A x | 对一切 有x A
显然有(1)
(A B) A (A B)
则
A B
(2)若 A B ,
，
A
B
定理1 （1）交换律 A B B A,
（2）结合律
A B B A
A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) ( A C )
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一
集列的上限集或上极限，记为 limAn 或 lim sup An n
n
limAn x | 存在无穷多个An , 使x An
n
下限集：设A1 ，A2 ，…An，…那种除有限个下标外，属 于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的
作用：
是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿-莱布尼兹 所建立的微积分学存在的缺点，是微分和积分的运算更加 完美对称。
缺点：黎曼意义下可积的函数类太小。
1 例如： D( x) 0
x为有理数 x为无理数
黎曼意义下不可积。
黎曼积分的缺陷（内填外包法）
m X f ( )X M X
下限集或下极限，记为 lim An 或 lim inf An
lim An x | 当n充分大以后都有x An
n
n
n
显然有
lim An
n
limAn
n
An ，则称集列{An}收敛，将这一 极限：如果 lim An lim n
n
集列称为{An}的极限，记为 lim An
n
6、单调集列
若An An1, 则称 An 为增加集列.
若An An1, 则称 An 为减少集列.
例题 2 设An如下一列点集：
1 A 2 m1 0, 2 , m 0,1, 2,... 2m 1
单调集列是收敛的。
1 A 2 m 0,1 , m 1, 2,... 2m
试确定An的上极限和下极限。
1 例题 3 An 0,1 , n 1, 2,3,... 试确定An的上极限和下极限。 n
1 A x , y | 0 x 2 n , 0 y , n 1, 2,... 例题 4 2n 2n 1 A2 n1 x, y | 0 x , 0 y 2n 1 , n 0,1, 2,... 2n 1
i i i i i i i i
i
L
集合
测度（集合的长度）
L积分
第一章 集合
§1. 集合概念
•
§2. 集合的运算
§3. 对等与基数
§4. 可数集合
§5. 不
集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集，将 它们看作一个整体时，就称这个整体为一个集合，用大写 字母A、B、C…表示。其中每个个体事物成为该集合的元 素或点，用小写字母a、b、c…表示。
n
i 1
Ai {0},
n i 1
Ai {1 x 1}
3、差集 C A B A \ B x | x A 但 x B
注意：这里并不要求 A B
( A \ B) B ？ A
4、余集 设 S A ,则 S \ A 表示A关于S的余集，记为 ðS A 定理3： (1) 痧 S S ,
实变函数
• 第一章 集合
• 第二章 点集
泛函分析
• 第七章 度量空间和赋 范线性空间
• 第三章 测度论
• 第四章 可测函数
• 第八章 有界线性算子
和连续线性泛函
• 第五章 积分论
第一篇 实变函数
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒
贝格（Lebesgue，1875-1941）创立的。