概率论参考答案 刘金山 主编 第3章

1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ 6 xy − x 2 y − xy 2 ⎟ 9⎝ 2 2 ⎠ P{ X ≤ 0.5, Y ≤ 1.5}=F ( 0.5,1.5 ) − F ( 0.5, 0 ) + F ( 0, 0 ) − F ( 0,1.5 ) = 5 12
(3) 8.
8 . 27
(1)
⎧2e − ( 2 x + y ) , f ( x, y ) = ⎨ ⎩0,
pij p i⋅
， j = 1,2, "
在 X = 2 的条件下， Y 的条件分布律；
P{Y = 1| X = 2} = 0 P{Y = 2 | X = 2} = 1 6
P{Y = 3 | X = 2} = 0 P{Y = 4 | X = 2} = 1 6
1 =0. 3 1 1 = . 3 2 1 = 0. 3 1 1 = . 3 2
∫∫ 4dxdy
y⎞ ⎛ = 4 S梯形 = 2 y ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 2⎠
三角形
∫∫
4dxdy = 4S三角形 = 1
1 ⎧ 0, x < − 或y < 0; ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ y (4 x + 2 − y ), − ≤ x < 0,0 ≤ y < 2 x + 1; ⎪ 2 . F ( x, y ) = ⎨ y (2 − y ), x ≥ 0,0 ≤ y < 1; ⎪ 1 ⎪ (2 x + 1) 2 , − ≤ x < 0, y ≥ 2 x + 1; ⎪ 2 ⎪ 1 x ≥ 0, y ≥ 1. ⎩
14. 由 x 轴， y 轴以及直线 y = 2(1 − x) 所围成的三角形区域的面积 B = 1 ， 因此 ( X , Y ) 的概率密度函数为：
1 = 0. 6 1 = 1. 6 1 =0. 6 1 = 0. 6
3 0 4 0
X
P
1 0
2 1
(2) X 的边缘分布律 P{ X = 2} = p2⋅ = p21 + p22 + p23 + p24 = 0 + 由条件分布率
1 1 1 +0+ = 6 6 3
P{Y = y j | X = xi } =
1 16 1 12 1 48 1 12
Y
X
1 2 3 4
1
2
3
4
1 6
0
0
1 6
0 0 0
0
1 6
0
1 6
0 0
1 6
0
1 6
(1) Y 的边缘分布律 P{Y = 4} = p⋅4 = p14 + p24 + p34 + p44 = 0 + 由条件分布率
1 1 +0+0 = 6 6
P{ X = xi | Y = y j } =
F ( x, y ) = ∫ y x
当x > 0, y > 0时， 其它，
f (u , v) dudv −∞ ∫ −∞
⎧ y x − (2u + v ) dudv = (1 − e −2 x )(1 − e − y ), y > 0, x > 0 2e ⎪ = ⎨∫ 0 ∫ 0 ⎪ 0 其它 ⎩
1 . 3 P{ X < Y } = ∫∫ f ( x, y )dxdy =
∫
⎡⎛ 1 1 = a ⎢⎜ 6 y − y 2 − 2 2 ⎣⎝
= 9a
⎞ 2⎤ y ⎟ |0 ⎥ ⎠ ⎦
9a =1，a =
(2)
1 9
5 ； 12
x y F ( x, y ) = ∫ −∞ ∫ −∞ f (u , v)dudv
= =
1 x y ∫ 0 ∫ 0 ( 6 − u − v ) dudv 9 1 y⎛ 1 ⎞ ∫ 0 ⎜ 6 x − x 2 − vx ⎟ dv 9 ⎝ 2 ⎠
1 时， F ( x, y ) = P {Φ} = 0 2
(b)
当−
1 < x ≤ 0 时， 2
y ≤ 0时，f ( x, y ) = 0, 所以，F ( x, y ) = 0
0 < y ≤ 2 x + 1时， F ( x, y ) =
梯形
∫∫ 4dxdy
y⎞ ⎛ = 4 S梯形 = 2 y ⎜ 2 x + 1 − ⎟ 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ = 4⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝
所以
1 ⎧ ⎧2(1 − y ), 0 ≤ y < 1 ⎪4(2 x + 1), − ≤ x < 0 f X ( x) = ⎨ ； f Y ( y) = ⎨ ；1. 2 0, 其它 ⎩ ⎪ 0 , 其它 ⎩
12.
⎧3 2 ⎪ xy , f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0,
+∞
当0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1时， 其它，
1
x2 fY ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx = ∫ 4.8 y (2 − x ) dx = 4.8 y (2 x − ) y −∞ 2
所以
= 2.4 y (3 − 2 y +
y
y2 ) 2
⎧2.4 x 2 (2 − x), 0 ≤ x ≤ 1 ⎧2.4 y (3 − 4 y + y 2 ), 0 ≤ y ≤ 1 ； f Y ( y) = ⎨ . f X ( x) = ⎨ 0, 其它 0, 其它 ⎩ ⎩
3 10 3 10 3 5
3 10 1 10 2 5
3 5 2 5
此结果说明不同的联合分布律可以确定相同的边缘分布律，因此边缘分布不能唯一确定联合分布. 4. (1) ( X , Y ) 的联合分布律为
Y
X
-1 0 (2) 离散型随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为
0
1 0
1 2 1 3
F ( x, y ) = P{ X ≤ x, Y ≤ y} F ( x, y ) = ∑ ∑ pij
(2)
D
x< y
∫∫ f ( x, y)dxdy
=∫ =∫
+∞ ⎡ y − (2 x + y ) ⎤ +∞ − y e dx dy = e [1 − e−2 y ]dy 2 ⎢ ⎥ ∫ ∫ 0 ⎣ 0 0 ⎦ +∞ 0 e − y dy − ∫ +∞ 1 2 e −3 y dy = 1 − = 0 3 3
{
X 2 +Y2 < z
}
∫∫
f (u, v)dudv
1 dudv 2 2 2 ) + v 2 2 2 π (1 + u u +v < z
∫∫
令⎨
⎧ x = r cos θ ，则变换的雅可比行列式为 ⎩ y = r sin θ ∂x cos θ ∂θ = ∂y sin θ ∂θ −r sin θ = r, r cos θ
1
13 2 xy 3 f X ( x) = ∫ f ( x , y ) dy = ∫ xy dy = 02 −∞ 2 +∞ 23
2
=
0 2
x , 2 = 3y2,
3x2 y 2 fY ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx = ∫ xy dx = 02 −∞ 4
所以
0
⎧x ⎧3 y 2 , 0 ≤ y ≤ 1 ⎪ , 0≤ x≤2 f X ( x) = ⎨ 2 ； f Y ( y) = ⎨ . 0 , 其它 ⎩ ⎪ 其它 ⎩ 0,
y=2x+1
-1/2
由 x 轴， y 轴以及直线 y = 2 x + 1 所围成的三角形区域的面积 B = 因此 ( X , Y ) 的概率密度函数为：
1 ， 4
1 ⎧ ⎪4, (− < x < 0, 0 < y < 2 x + 1) f ( x, y ) = ⎨ ； 2 ⎪ ⎩0, 其他
(2)分布函数为： F ( x, y ) = P { X < x, Y < y} (a)当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx ≤ −
9. 由题意知命中点与靶心(坐标原点)的距离为 Z = 当 z ≤ 0 时， Fz ( Z ) = P {Z < z} = P 当 z > 0 时，
X 2 + Y 2 ，先求 Z 的分布函数，
{
X 2 +Y2 < z = 0
}
Fz ( Z ) = P {Z < z} = P = =
u 2 + v2 < z
1⎫ 1⎫ 1 1 ⎧ ⎧ P ⎨ X = -2, Y = - ⎬ = P { X = -2} ⋅ P ⎨Y = - ⎬ = ⋅ 2⎭ 2⎭ 4 2 ⎩ ⎩
以此类推，得到下表
Y
X
-
1 2
1
3
-2 -1 0
1 2
6. ( X , Y ) 的分布律
1 8 1 6 1 24 1 6
1 16 1 12 1 48 1 12
z
∂x ∂r J= ∂y ∂r
故 Fz ( Z ) =
∫
2π
0
dθ ∫
z
0
r 1 dr = 2π ⋅ 2 2 π (1 + r ) 2π
1 ⎤ 1 z2 ⎡ − = − = 1 2 ⎢ 1+ z2 1+ z2 ⎣ 1+ r ⎥ ⎦0
a2 Fz ( a ) = 1 + a2
a2 . 1+ a2
10. (1)
2
y > 2 x + 1时， F ( x, y ) =
(c)
三角形
∫∫
4dxdy = 4 S三角形
当 x > 0 时，