矩阵论——三维图形应用

矩阵在计算机三维图形变换中的应用

矩阵在计算机三维图形变换中的应用

摘要：论述如何利用矩阵的变换性质实现计算机的三维图形变换，主要是通过平移、缩放和旋转三种基本变换的组合来实现的，利用矩阵可以是图形处理高速化。

关键词：平移、缩放、旋转

1 引言

三维图形图像的处理，显示和形体构造需要使用三维几何变换，这些变换是通过基本的平移，缩放和旋转组合而成的，每一个变化都可以表示为矩阵变换的形式，通过矩阵的相乘或连续可以构造复杂的变换。

2 矩阵与图形变换

计算机对图形的处理，经常用到各种变换，若用解析式表示坐标变换，计算过程和缩放程序都很复杂，用矩阵表示图形的坐标变换，特别是复合变换就显得比较简单，利用矩阵进行计算，可使图形处理高速化。

事实上，对于一个空间图形，图形上每一个点都对应着唯一的坐标（x，y，z），它的标准化齐次坐标为一个四维的向量。

设T为4 X 4变换矩阵：

其个元素的性质为：a,b,c,d,e,f,g,h,i产生比例，反射，旋转，错位变换，l,m,n

产生沿x轴，y轴，z轴的平等移动。P,q,r产生透视变换，s产生全比例变换。

利用变换矩阵T可以对三维坐标进行各种变换，其基本关系式为：

一般地，对图形对平移变换的变换矩阵为：

其中l,m,n分别沿x轴，y轴，z轴的方向的平移量，其坐标关系式为：

对图形做比例变换矩阵为：

a,e,i分别表示坐标x,y,z的放大率，其坐标关系为：

当a,e,i均等于1时，则变换矩阵为：

T=

1000 0100 0010 000s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

这时T产生全比例变换，其中S为整个图形的放大率，当s>1时整个图形缩小，当s<1时整个图形放大。对图形作错移变换的变换矩阵为：

T=

10

10

10 000

d g

b h

c f

s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

对图形作关于xoy平面的反射变换的变换矩阵为：

T=

1000 0100 0010 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

-

⎪⎝⎭

将图形绕x轴旋转角α的变换矩阵为：

T=

1000 0cos sin0 0sin cos0 0001⎛⎫ ⎪

αα

⎪ ⎪-αα

⎪⎝⎭

将图形绕y轴旋转角α的变换矩阵为：

T=

cos0sin0

0100 sin0cos0

0001

α-α

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪αα

⎪⎝⎭

如果要对图形连续施行几种变换，则它的变换矩阵就是几个相应变换后矩阵的乘积，如对点A（x，y，z）先作比例变换，然后再绕y轴旋转角α，则新旧坐标关系为：

（x,y,z,1）

000

000

000

0001

a

e

i

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

cos0sin0

0100

sin0cos0

0001

α-α

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

αα

⎪

⎝⎭

=()

*

**1

y

x z

3 利用矩阵进行三维图形变换

设三维孔家那种任意一点的齐次坐标p(x,y,z,1),作三维图形得打的点的齐次坐标为p’(x’,y’,z’,1)可得下面三维图形集合变换矩阵。

3.1 平移变换

平移变换课将指定形体从当前位置移到一个新的位置，而不改变其方向和大小。

式中，D x，D y，D z分别是沿x轴，y轴，z轴方向上的平移量，图1是三维平移变换示意图。

3.2 比例变换

比例缩放变换指定形体的大小，该比例变换以坐标原点为参考点，上式中的分别是沿x轴，y轴，z轴方向上的缩放比例，图2是以坐标原点为参考点的三维比例变换示意图。

如果要以三维空间中的任意一点（x0,y0,z0）为参考点作比例变换，先平移至原点作比例变换后再平移回到点（x0,y0,z0），比例变换矩阵为：

3.3 旋转变换

三维旋转变换是指空间形体绕坐标轴旋转角，旋转的正方向通常按右手定则确定，即右手拇指指向转轴方向，其余四指指向便是旋转角θ的正交（如图3）。旋转变换后形体的大小和形状不发生变化，只是空间位置相对原位置发生了变化。

绕x轴旋转：

，其中θ为图形绕x轴旋转的角度；

绕y轴旋转：

其中θ为图形绕y轴旋转的角度；

绕z轴旋转：

其中θ为图形绕z轴旋转的角度。

4 旋转矩阵

设o-x 1y 1z 1和o-x k y k z k 是以o 为同一原点的不同坐标系，对应的基向量分别为l e

和

k

e

，则同一矢量可以用两种不同的基表示出来。

，其中

为向

量

的坐标阵列，右边等式的两边用1e 点乘，得到：，其中A lk

为3X3标量矩阵，定义为：由此式可

以判断，相同元素之间的选择矩阵为三阶单位矩阵，即A ll （A kk ）=E ，并且于实际

情况

符合。我们用以下算例来实现旋转阵的应用：

5 三维图形变换的统一矩阵面

计算机绘制物体的投影图，是将三维空间的物体用二维平面上的图形来表示，因此，需要进行图形变换，而进行图形变换行之有效的方法是矩阵机器运算。常用的三维图形变换矩阵有绕z轴的旋转矩阵S1，绕x轴的旋转矩阵S2，平移矩阵S3，向y面的正投影矩阵S4，它们分别为

其中, φ分别为绕z轴和x轴旋转的角度，l,m,n为平移参数